朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁7四、動能定理動能定理建立了質點與質點系動能的變化與作使勁的功之間的關系，它是研究質點和質點系動力知識題的重要定理之一。（一）力的功力的功是力在一段路程中對物體作用的累積效應。功的單位是N·m，稱為焦耳(J)。功的計算表達式列于表4—3-4、表4—3—5。（二）動能動能是物體因為速度而具有的能量，它是物體機械運動的一種量度。動能恒為正當。單位與功相同。動能的詳細表達式如表4—3—6。（三）勢能質點或質點系在勢力場中從某一位置運動到零位置時，有勢力的功稱為質點或質點系在該位置的勢能。在不同勢力場中勢能的表達式如表4-3-7。（四）動能定理·機械能守恒定律表4-3-8式中，上角標e與i分離表示外力與內(nèi)力之功，普通內(nèi)力的功不等于零；上角標A與N分離表示主動力與約束力之功，倘若約束是理想的，即，所以對于理想約束系統(tǒng)，在運用動能定理解題時，只需要分析主動力。（五）例題[例4-3-9]質量為m的直桿AB可以自由地在固定套管中移動，桿的下端A點擱在質量為M、傾角為α的光潔楔塊C上，而楔塊C放在光潔的水平面上，如圖4-3-27所示。因為AB桿的壓力，楔塊沿水平面向右運動，因而桿AB下降。試分離求出任一瞬時桿AB和楔塊C的加速度aAB和ac。[解]本題只需要求加速度，故可直接應用微分形式的動能定理，即(1)對象：取直桿AB和楔塊C組成的系統(tǒng)為研究對象，并將其處于任一瞬時t的位置，如圖4-3-27所示。(2)受力分析：系統(tǒng)的約束屬于理想約束，所受主動力是桿的重力rng和楔塊的重力Mg。 (3)運動分析：該兩物體均作平動。設某瞬時直桿AB的速度為vAB，楔塊的速度為vc，為了建立此兩速度間關系，對桿AB端點A應用點的速度合成定理，取A點為動點，楔塊為動系，則有顯然，va=vAB，ve=vc，因此，由圖4—3-27所示的速度平行四邊形可得(4)動能與功的計算。寫出任一瞬時的動能，且可表示成vAB的函數(shù)，即系統(tǒng)在運動中惟獨桿AB的重力作功，設在dt內(nèi)桿AB下降ds距離，則AB桿重力所作的元功為(5)建立動力學方程將式(1)、式(2)代入形式動能定理，得注重到于是上式可寫為由此可解得AB的加速度將式對時光t求導得楔塊的加速度[例4-3-10]系統(tǒng)如圖4—3—28所示。已知：物塊M和滑輪A、B的分量均為P，且兩滑輪視為均質圓盤，彈簧的剛性系數(shù)為k，繩重不計，繩與輪間無相對滑動。當M離開地面h時，系統(tǒng)處于平衡?，F(xiàn)給M以向下的初速度vo，欲使其恰能到達地面。試問vo應為多少?[解]以囫圇系統(tǒng)為研究對象，物塊M作直線平動，滑輪A作定軸轉動，滑輪掃作平面運動，因是求物塊M的初速度vo，宜用積分形式的動能定理求解。由題給條件知T2=0，式中vo為物體M的初速度，ωA是滑輪A的初角速度，ωB是滑輪B的初角速度，由運動學知識得式(2)代人式(1)有在運動過程中惟獨重力與彈性力做功。設為系統(tǒng)處于平衡位置時彈簧的靜變形，則物塊由平衡位置達地面過程中作用于系統(tǒng)上作使勁的功為為解，可取滑輪B為研究對象見圖4—3—28(b)，按照靜力平衡條件，知繩子拉力T=P,故有得代入功的計算公式得對系統(tǒng)應用動能定理：即解得方向如圖所示。 [例4-3-11]圖4-3-29所示，均質圓盤可繞O軸在鉛垂面內(nèi)轉動，圓盤的質量為m，半徑為R。在圓盤的質心C上銜接一剛性系數(shù)為k的水平彈簧，彈簧的另一端固定在A點，CA=2R為彈簧的原長，圓盤在常力偶矩M的作用下，由最低位置無初速地繞O軸向上轉。試求圓盤到達最高位置時，軸承O的約束反力。[解]取圓盤為研究對象。其在鉛垂平面內(nèi)作定軸轉動，質心作圓周運動。當圓盤的質心轉到最高位置時，作用在其上的力有重力P、彈性力F、矩為M的力偶及軸承處的反力X0與Y0，如圖4-3-29(b)所示。由題意知，欲求圓盤達最高位置時的反力X0與Y0，必須先解出該瞬時圓盤質心的加速度，故本題屬動力學第一類和第二類的綜合問題。首先由動能定理求圓盤的角速度ω。因初始處于靜止，所以質心由最低位置運動到最高位置時，詳細動能定理可寫為將此代入上式，得圓盤處于圖示第Ⅱ位置時的角速度為第二由定軸轉動微分方程求ε，列出圓盤處于第Ⅱ位置時的動力學轉動方程為即求出角加速度最后，由質心運動定理求約束反力X0與Y0，。按圖4—3—29(b)所示坐標系，質心加速度的投影為由質心運動定理列方程解得質心處于最高位置時軸承O處的反力為本題在求得ω后，為什么不用dω/dt求ε呢?因上面用動能定理求到的角速度是質心處于最高位置時，角速度的特定值，故不能求導。如求——般位置的ω，計算彈性力的功很繁，因此，不用這種主意，而是用定軸轉動微分方程求ε。所以用哪個主意，哪個定理，求什么量要按照題目的詳細情況而定。另外，定軸轉動剛體的軸承約束反力，普通應假定為兩個分力X0、Y0，不要無按照地丟掉一個分力。解題時應注重的問題1．計算功時除必須注重其正負號外，還必須注重內(nèi)力所作的功；在計算動能時