-2-第十三講.三角函數(shù)初步引言：本節(jié)開(kāi)始將進(jìn)入三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，為了便于三角函數(shù)的研究，首先需要引入角的弧度制，并講角的范圍擴(kuò)大到任意角，進(jìn)而需要定義任意角的三角函數(shù)，并會(huì)求任意角的三角函數(shù)。本節(jié)的重點(diǎn)在同角三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化以及誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用，這也是高考的重點(diǎn)考察內(nèi)容。教師在上本節(jié)課時(shí)，一要注重強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的理解，二要引導(dǎo)學(xué)生鍛煉自己的代數(shù)變形能力。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：①理解任意角的概念，弧度制的概念②理解任意角三角函數(shù)值的定義③掌握同角三角函數(shù)的關(guān)系④掌握誘導(dǎo)公式能力目標(biāo)：①掌握角度和弧度的轉(zhuǎn)化②熟練掌握同角三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化和恒等變形③熟練掌握誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化和變形情感目標(biāo)：加深學(xué)生初中對(duì)三角函數(shù)的理解，通過(guò)三角函數(shù)中簡(jiǎn)單的恒等變換問(wèn)題提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣知識(shí)主線考點(diǎn)1：任意角和弧度制注意：要注意負(fù)角考點(diǎn)2：弧度面積的計(jì)算公式的推導(dǎo)，1.參照?qǐng)A的周?chē)兔娣e，看所求扇形是圓的幾分之幾2.可以把扇形看作是一個(gè)三角形求面積要求A：能運(yùn)用公式求扇形的弧長(zhǎng)和面積要求B：能運(yùn)用二次函數(shù)及對(duì)勾函數(shù)，求弧長(zhǎng)及面積的最值注意：要注意運(yùn)用公式時(shí)，角度要換為弧度制考點(diǎn)3：象限角的表示要求A：能利用集合表示終邊在給定區(qū)域的角要求B：能根據(jù)角的范圍判斷角的終邊所在區(qū)域考點(diǎn)4：根據(jù)單位圓求任意角函數(shù)值任意角的三角函數(shù)的定義要求A：能根據(jù)任意角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求三角函數(shù)值要求B：能根據(jù)角的象限判斷三角函數(shù)值的符號(hào)考點(diǎn)5：同角三角函數(shù)的關(guān)系平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系要求A：同角的三角函數(shù)sin，cos，tan知一求2要求B：切化弦思想（遇到正切一般轉(zhuǎn)化為正弦余弦）要求C：弦化切思想（遇到有關(guān)正弦余弦的齊次分式，弦化切）要求D：“1”的替換及運(yùn)用要求E：sin+cos，sin-cos，sin·cos知一求2考點(diǎn)6：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)要求A：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)要求B：利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)要求C：誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用考點(diǎn)7：三角函數(shù)線三角函數(shù)線概念的理解：有向線段，只有上下左右四個(gè)方向，→↑為正，←↓為負(fù)，數(shù)值為線段的長(zhǎng)度要求A：會(huì)利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)的大小關(guān)系要求B：會(huì)利用三角函數(shù)線解三角函數(shù)的方程和不等式教學(xué)重點(diǎn)任意角的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化，誘導(dǎo)公式教學(xué)難點(diǎn)同角三角函數(shù)關(guān)系中“1”的代換，誘導(dǎo)公式及應(yīng)用教學(xué)過(guò)程【引入】自然界中許多運(yùn)動(dòng)、變化都有著循環(huán)反復(fù)、周而復(fù)始的現(xiàn)象。例如：潮汐變化，交變電流變化，之前學(xué)過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)，都不具有這種性質(zhì)，是否存在一種函數(shù)能刻畫(huà)這種周期變化規(guī)律呢？本章要學(xué)的三角函數(shù)就具有這種性質(zhì)。【模塊一】考點(diǎn)①②③④的綜合梳理，教師根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)情況選擇附錄中的題目，務(wù)必要求學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)的定義要理解并掌握，并能快速判斷三角函數(shù)的符號(hào)。（建議時(shí)間：不超過(guò)20分鐘）提問(wèn)：任意角三角函數(shù)的定義：（教研時(shí)作圖演示）當(dāng)點(diǎn)在單位圓上時(shí)cosα=x，sinα=y當(dāng)點(diǎn)不在單位圓上時(shí)cosα=x/r，sinα=y/r三角函數(shù)的符號(hào)：1.根據(jù)角的象限，把（cosα，sinα）同象限中點(diǎn)的符號(hào)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)（適用較好學(xué)生）2.口訣記憶：一ALL,二.SIN三.TAN四.COS（適用較差學(xué)生）例題講解例1.（江西高考2011·難度C）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則______________答案：y=－8先求出，解出坐標(biāo)中含有參數(shù)的，要注意參數(shù)的符號(hào)練習(xí)1（武漢一中2013月考·難度C）已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P（-4a,3a)（a≠0）,則2sinθ+cosθ的值是（）A． B．-C．或- D．不確定答案：ｃ注意：要討論a的符號(hào)例2.（武漢四中2009年·難度B）sin2cos3tan4的值A(chǔ)．大于0 B．小于0C．等于0 D．不確定答案：B分析：判斷2，3，4所在的象限思路1：1rad≈57°思路2：把坐標(biāo)軸換成弧度表示練習(xí)2（黃岡中學(xué)2007年期中·難度C）函數(shù)y=++的值域是（）A.{-1，1}B.{-1，1，3}C.{-1，3} D.{1，3}答案：B分析：思路1：分情況討論，4個(gè)象限思路2：只有第一象限全正，其他象限都是兩負(fù)一正練習(xí)3（難度C）若角滿(mǎn)足條件，，則在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案：B分析：【模塊二】考點(diǎn)⑤同角三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化（建議時(shí)間：35分鐘）題型一:知一求二舉例.（北京東城區(qū)統(tǒng)考2013·難度B）若_____________.答案：例3.（吳家山中學(xué)·難度C）已知為某三角形的一內(nèi)角，且，求，的值．答案：，，∴分析：1.解方程的思想思考：是消還是？總結(jié)：開(kāi)方時(shí)要注意符號(hào)，根據(jù)角所在的象限先判斷出一定為正練習(xí)4已知tan＝3，且為第三象限角，求sin，cos的值；答案：分析：沿用上題，解方程的思想提問(wèn)：有無(wú)其他方法？其他方法1：根據(jù)公式，其他方法2：作直角三角形的，使一個(gè)銳角的正切值等于3，求出sin，cos再根據(jù)象限確定符號(hào)題型二:已知,求的齊次式例4（難度C）已知tan=3，求下列各式的值：①；②；③答案：①②③齊次式的概念：1.什么是齊次式，如2.是齊次式嗎？是齊次式嗎？方法：分子分母同除cos的冪口訣：上下齊次是關(guān)鍵練習(xí)5（洪山高中2012·難度C）已知，那么的值為 （） A．－2 B．2 C． D．－答案：D題型三:的運(yùn)用（難點(diǎn)）這一部分是三角恒等變換的難點(diǎn)，需引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)辨識(shí)式子的結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)變換能力。例5（孝感高中2012·難度B）計(jì)算題(1)若角是第二象限角，化簡(jiǎn)；(2)化簡(jiǎn)：.答案：1）-12）1練習(xí)6（課本改編題·難度C）（1）若，求值．（2）求值．答案：1）2）分析1）分母添“1”換成2）分母的1換成，分子的1換成例6（難度C）已知,則的值為（）A． B． C． D．答案：B總結(jié)：常用思路1；構(gòu)建齊次式常用思路2知一求二練習(xí)7（武漢一中周練·難度C）已知關(guān)于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的兩根為和，且(1)求＋的值；(2)求m的值；(3)求方程的兩根及此時(shí)θ的值．答案：，，分析：1.鞏固前面的切化弦思想2.與的關(guān)系3.含根式的十字相乘法【模塊三】考點(diǎn)⑥誘導(dǎo)公式（建議時(shí)間：30分鐘）請(qǐng)學(xué)生上黑板默寫(xiě)誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)：先推型再推型，提問(wèn)型接著推型，然后推型，也可看作再推型最后推型說(shuō)明1：形如的正弦余弦值都可化簡(jiǎn)為或2：口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”奇變偶不變中的“奇偶”指的是中的奇偶，符號(hào)看象限中的“看”有兩層意思：一是把看作是個(gè)銳角，二是看等號(hào)前面的符號(hào)3：把型與型的誘導(dǎo)公式與0到內(nèi)的特殊角三角函數(shù)值聯(lián)系起來(lái)，相互幫助記憶題型一:利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)練習(xí)8（廣東高考2013·難度A）已知（）A.B.C.D.答案：C分析：利用口訣例7.（華科附中月考·難度C），，的值為（）A. B. C. D.—答案：A分析：無(wú)論條件中是什么角，都要把看作銳角練習(xí)9.（難度C），且是第四象限的角，那么______答案：（易錯(cuò)題）題型二:利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)例8.（黃岡中學(xué)2012-2013期末·難度A）sin600°的值為（）A.B.C.—D.答案：C分析：負(fù)角邊正，大角變小，先把角變到0°到360°內(nèi)，再變?yōu)?°到180°內(nèi)最后變?yōu)殇J角練習(xí)10（深圳2013年一調(diào)·難度A）化簡(jiǎn)的結(jié)果是()ABCD答案：C題型三：誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用例9.（難度D）已知銳角終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為,則角的弧度數(shù)為_(kāi)_______答案：分析：誘導(dǎo)公式的逆用練習(xí)11.（山東高三2013年期中·難度D）已知、是方程的兩根,且終邊互相垂直,則的值為_(kāi)_______.答案：六．課后練習(xí)：老師根據(jù)上課情況和學(xué)生情況，在附錄題庫(kù)中選擇附錄【考點(diǎn)一】任意角及弧度制1.（黃陂2012·難度A）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯(cuò)誤的是A．化成弧度是radB．化成度是-600度C．化成弧度是-radD．化成度是15度答案：C2．（難度D）(1)自上午9點(diǎn)整上學(xué)到中午11點(diǎn)50分下班,時(shí)鐘的時(shí)針和分針各轉(zhuǎn)了多少度?(2)上午9點(diǎn)整和中午11點(diǎn)50分,時(shí)針與分針?biāo)傻淖钚≌歉魇嵌嗌俣?答案：1）-85°，-1020°2）90°，55°點(diǎn)評(píng)：時(shí)鐘問(wèn)題是角度在現(xiàn)實(shí)生活中一個(gè)典型而有趣的實(shí)例【考點(diǎn)二】弧長(zhǎng)面積的計(jì)算1.（難度B）半徑為，圓心角為所對(duì)的弧長(zhǎng)為（）. . . .答案：D(易錯(cuò)題)?點(diǎn)評(píng)：強(qiáng)調(diào)角度換成弧度，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變觀念和習(xí)慣。2．（黃陂區(qū)2011-2012期中·難度B）A． B．2倍 C． D．3倍答案：D點(diǎn)評(píng)：利用正比和反比關(guān)系3.（營(yíng)口二模2013·難度D）如圖，用一根鐵絲折成一個(gè)扇形框架，要求框架所圍扇形面積為定值S，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則使用鐵絲長(zhǎng)度最小值時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足的條件為（）A．r=lB．2r=lC．r=2lD．3r=l答案：B點(diǎn)評(píng)：用函數(shù)的思想求最值4.（課本改編題·難度D）扇形的中心角為，半徑為，在扇形中作內(nèi)切圓及與圓外切，與相切的圓，問(wèn)為何值時(shí)，圓的面積最大？最大值是多少？答案：時(shí)，圓的半徑最大，圓的面積最大，最大面積為．點(diǎn)評(píng)：同上5.（重慶一模2010·難度D）如圖，半徑都為1的三個(gè)圓兩兩相交，且AB弧長(zhǎng)=BC弧長(zhǎng)=AC弧長(zhǎng)，CD弧長(zhǎng)等于，則圖中陰影部分的面積為（）A．3πB．2πC.D.答案：D【考點(diǎn)三】象限角的表示1.（襄樊四中2009年月考·難度A）終邊與坐標(biāo)軸重合的角α的集合是（）A.{α|α=k·360°，k∈Z} B.{α|α=k·180°+90°，k∈Z}C.{α|α=k·180°，k∈Z} D.{α|α=k·90°，k∈Z}答案：D2.（課本習(xí)題改編·難度B）1．（1）如果是第一象限的角，那么是第幾象限的角？（2）如果是第二象限的角，判斷的符號(hào)．答案：1）是第一、二或三象限的角．2）負(fù)3．（廣東高考2012·難度C）已知集合，，，那么集合的關(guān)系是（）答案：4.（宜城一中2011年期中·難度C）若角α、β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則α、β的關(guān)系一定是（其中k∈Z）(A)α+β=π（B)α-β=(C)α-β=(2k+1)π(D)α+β=(2k+1)π答案：D【考點(diǎn)四】根據(jù)單位圓求任意角三角函數(shù)題型一:任意角的三角函數(shù)值1.（山東高考2012·難度B）若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則的值為（）答案：D2.（難度B）若點(diǎn)是角終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，則的值為（）. . . .答案：D3.（江西高考2011·難度C）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則______________答案：y=－84.（麻城一中2010·難度C）已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P（-4a,3a)（a≠0）,則2sinθ+cosθ的值是（）A． B．-C．或- D．不確定答案：ｃ5．（難度C）已知角α終邊上一點(diǎn)P，則角α的最小正值為()A.eq\f(5,6)π B.eq\f(11,6)πC.eq\f(2,3)π D.eq\f(5,3)π答案：B6．（吳家山中學(xué)·難度D）已知角的終邊上的點(diǎn)P與（）關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，角的終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求的值．答案：0題型二:三角函數(shù)的符號(hào)判斷7.（北京高考2007·難度A）已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角答案：ｃ8.（武漢四中2009年·難度B）sin2cos3tan4的值A(chǔ)．大于0 B．小于0C．等于0 D．不確定答案：B9．（黃岡中學(xué)2007年期中·難度B）函數(shù)y=++的值域是（）A.{-1，1}B.{-1，1，3}C.{-1，3} D.{1，3}答案：B10.（遼寧高考2004·難度C）若，且，則角的終邊所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案：D11.（難度C）若角滿(mǎn)足條件，，則在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案：B12.（難度D）若a＝sin(sin2009°)，b＝sin(cos2009°)，c＝cos(sin2009°)，d＝cos(cos2009°)，則a、b、c、d從小到大的順序是____________答案：c>d>a>b【考點(diǎn)五】同角三角函數(shù)的關(guān)系題型一:的相互轉(zhuǎn)化知一求二是基礎(chǔ)1.（黃陂2012·難度A）若，，則A．B．C．D．答案：B2.（北京東城區(qū)統(tǒng)考2013·難度B）若_____________.答案：3.（吳家山中學(xué)·難度C）已知為某三角形的一內(nèi)角，且，求，的值．答案：，，∴4.（難度C）1）已知tan＝3，且為第三象限角，求sin，cos的值；2）已知，求sin＋tan的值；3）已知tan＝－2，求值：①；②sin2＋sincos．答案：1）2）當(dāng)為第二象限角時(shí)，，當(dāng)為第三象限角時(shí)，3）1，題型二:已知,求的齊次式上下齊次是關(guān)鍵5.（難度C）已知tan=3，求下列各式的值：①；②；③答案：①②③6.（洪山高中2012·難度C）已知，那么的值為 （） A．－2 B．2 C． D．－答案：D題型三:的運(yùn)用常用思路1:構(gòu)建齊次式常用思路2：的轉(zhuǎn)化7.（難度C）已知,則的值為（）A． B． C． D．答案：B8.（孝感高中2012·難度C）計(jì)算題(1)若角是第二象限角，化簡(jiǎn)；(2)化簡(jiǎn)：.答案：1）-12）19．（課本改編題·難度C）（1）若，求值①；②．（2）求值．答案：1）2）10.（難度C）已知關(guān)于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的兩根為和，且(1)求＋的值；(2)求m的值；(3)求方程的兩根及此時(shí)θ的值．答案：，，11.（課本改編題·難度C）已知是方程的兩個(gè)根，，求角答案：12.（難度D）（1）若，且，則_____（2）若是三角形的內(nèi)角，且，試判斷三角形的形狀；（3）設(shè)則（4）如果，求的值；（5）若，則答案：1）2）鈍角三角形3）14）15）【考點(diǎn)六】誘導(dǎo)公式題型一:利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值1．（廣東高考2013·難度A）已知（）A.B.C.D.答案：C2.（浙江省重點(diǎn)中學(xué)2013高三期中·難度C）已知,則__________;答案：－23.（華科附中月考·難度C），，的值為（）A. B. C. D.—答案：A4.（難度C），且是第四象限的角，那么______答案：（易錯(cuò)題）5.（黃岡中學(xué)2012期末·難度C）已知，則答案：-16.（華科附中月考·難度C）已知：，求值答案：187.（吳家山中學(xué)·難度C）化簡(jiǎn)：；答案：18.（江西高三2013年月考·難度D）若,則____________.答案：點(diǎn)評(píng)：在學(xué)習(xí)二倍角公式之前，這題可以用誘導(dǎo)公式做，考察函數(shù)解析式的基本概念，出題新穎題型二:利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)大角變小，負(fù)角變正9.（黃岡中學(xué)2012-2013期末·難度A）sin600°的值為（）A.