第二章點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系章末復(fù)習(xí)共點(diǎn)、共線、共面問題如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上．空間中的平行關(guān)系如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點(diǎn)，求證：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.空間中的垂直關(guān)系如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：AD⊥CC1；(2)過側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面BCC1B1內(nèi)，PB1＝PC1＝eq\r(2).(1)求證：PA1⊥BC；(2)求證：PB1∥平面AC1D；(3)求證：B1D⊥平面ADC1.空間中角的計(jì)算如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的度數(shù)；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)．即時(shí)訓(xùn)練一、選擇題1．若直線a和b只有1個(gè)公共點(diǎn)，則a與b的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．平行或異面2．室內(nèi)有一直尺，無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線，它與直尺所在的直線()A．異面 B．相交C．平行 D．垂直3．已知二面角α-l-β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為()A．30° B．60°C．90° D．120°4．設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β5．把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成角的大小為()A．90° B．60°C．45° D．30°6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，則直線NO，AM的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面垂直 D．異面不垂直7．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．若m⊥α，m⊥β，則α∥βB．若m∥n，m⊥α，則n⊥αC．若m∥α，α∩β＝n，則m∥nD．若m⊥α，m?β，則α⊥β8．正四棱錐(頂點(diǎn)在底面的射影是底面正方形的中心)的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2eq\r(6)，則側(cè)面與底面所成的二面角為()A．30° B．45°C．60° D．90°9．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離為()A.eq\f(8,3)B.eq\f(3,8)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)10．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面二、填空題11．已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角的度數(shù)為________．12.如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的點(diǎn)，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC.(填圖中的一條直線)．13．已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，且三個(gè)側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，則這個(gè)三棱錐的體積為________．14．在四面體ABCD中，已知棱AC的長(zhǎng)為eq\r(2)，其余各棱長(zhǎng)都為1，則二面角A-CD-B的余弦值為________．15．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD成60°的角；④AB與CD所成的角是60°.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．三、解答題16．如圖，在底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，F(xiàn)，F(xiàn)1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.17．如圖，已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA＝CB，∠BAP＝45°，直線CA和平面α所成的角為30°.證明BC⊥PQ.18．如圖，圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P為SB的中點(diǎn)．(1)求證：SA∥平面PCD；(2)求異面直線SA與PD所成角的正切值．19．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面ABC1D1；(2)求證：EF⊥B1C；(3)求三棱錐B1-EFC的體積．20．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD＝eq\r(2)，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O為AD的中點(diǎn)．(1)求證：PO⊥平面ABCD；(2)求異面直線PB與CD所成角的正切值的大??；(3)線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為eq\f(\r(3),2)？若存在，求出eq\f(AQ,QD)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．第二章點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系章末復(fù)習(xí)參考答案共點(diǎn)、共線、共面問題如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上．[證明](1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD.又EF∥BD，∴EF∥GH，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)∵G，H不是BC，CD的中點(diǎn)，∴EF∥GH，且EF≠GH，∴EG與FH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，而EG?平面ABC，HF?平面ACD，∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD，∴M∈平面ABC∩平面ACD，∴M∈AC，即EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上．空間中的平行關(guān)系如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點(diǎn)，求證：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.[證明](1)取B1D1的中點(diǎn)O，連接GO，OB，易證OG綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，∴OG綊BE，四邊形BEGO為平行四邊形，∴OB∥GE.∵OB?平面BDD1B1，GE?平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)由正方體性質(zhì)得B1D1∥BD，∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.連接HB，D1F，易證HBFD1是平行四邊形，得HD1∥BF.∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.空間中的垂直關(guān)系如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：AD⊥CC1；(2)過側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.[證明](1)∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C，∴AD⊥側(cè)面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)延長(zhǎng)B1A1與BM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，連接C1N.∵AM＝MA1，∴MA1綊eq\f(1,2)BB1，∴NA1＝A1B1.∵A1B1＝A1C1，∴A1C1＝A1N＝A1B1，∴NC1⊥C1B1.∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C，∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C.∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C，即截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面BCC1B1內(nèi)，PB1＝PC1＝eq\r(2).(1)求證：PA1⊥BC；(2)求證：PB1∥平面AC1D；(3)求證：B1D⊥平面ADC1.[證明](1)如圖，取B1C1的中點(diǎn)Q，連接A1Q，PQ，∵△PB1C1和△A1B1C1是等腰三角形，∴B1C1⊥A1Q，B1C1⊥PQ，∴B1C1⊥平面A1PQ，∴B1C1⊥PA1.∵BC∥B1C1，∴BC⊥PA1.(2)連接BQ，在△PB1C1中，PB1＝PC1＝eq\r(2)，B1C1＝2，Q為B1C1的中點(diǎn)，∴PQ＝1，∴BB1＝PQ.又∵BB1⊥B1C1，PQ⊥B1C1，且BB1，B1C1，PQ在同一平面內(nèi)．∴BB1∥PQ，∴四邊形BB1PQ為平行四邊形，∴PB1∥BQ.∵BD綊QC1，四邊形BQC1D為平行四邊形，∴BQ∥DC1，∴PB1∥DC1.又∵PB1?平面AC1D，∴PB1∥平面AC1D.(3)在矩形BCC1B1中，BC＝2，BB1＝1，D為BC的中點(diǎn)，∴B1D＝C1D＝eq\r(2)，∴B1D2＋C1D2＝B1Ceq\o\al(2,1)，∴∠B1DC1＝90°，即B1D⊥DC1.∵平面ABC⊥平面BCC1B1，AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1.∵B1D?平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，∴B1D⊥平面ADC1.空間中角的計(jì)算如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的度數(shù)；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)．[解](1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB.又OC⊥BO，AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°，即AO與A′C′所成角的度數(shù)為30°.(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)為90°.即時(shí)訓(xùn)練一、選擇題1．若直線a和b只有1個(gè)公共點(diǎn)，則a與b的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．平行或異面解析：選A.因?yàn)橹本€a和b只有1個(gè)公共點(diǎn)，則a和b相交．2．室內(nèi)有一直尺，無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線，它與直尺所在的直線()A．異面 B．相交C．平行 D．垂直解析：選D.當(dāng)直尺在地面上，則就沒有異面的直線；當(dāng)直尺平行于地面，則底面就沒有直線與直尺相交；當(dāng)直尺與平面相交，則底面不存在直線與直尺平行．不論直尺與地面保持怎樣的位置關(guān)系，地面上總有這樣的直線與直尺所在的直線垂直．3．已知二面角α-l-β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為()A．30° B．60°C．90° D．120°解析：選B.如圖，在m上任取一點(diǎn)A，過A作AC⊥β，C為垂足．∵n⊥β，∴n∥AC，AC和m確定的平面交l與O點(diǎn)．又∵m⊥α，E為垂足，∴l(xiāng)⊥平面AEOC，即EO⊥l且CO⊥l，∠EOC＝60°，∠EAC＝120°，則m和n所成的角為60°.4．設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析：選B.過l的平面γ交α于直線m，則l∥m.因?yàn)閘⊥β，則m⊥β.又m?α，所以α⊥β.5．(2014·東北三校高一聯(lián)考)把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成角的大小為()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：選C.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，如圖．連接BD交AC于O.折疊后得三棱錐D-ABC，因?yàn)锽O⊥AC，DO⊥AC，所以V三棱錐D-ABC＝VA-BOD＋VC-BOD＝eq\f(1,3)AO·S△BOD＋eq\f(1,3)CO·S△BOD＝eq\f(1,3)S△BOD(AO＋CO)＝eq\f(1,3)AC·S△BOD＝eq\f(1,3)·eq\r(2)a·S△BOD.若三棱錐D-ABC的體積最大，則S△BOD最大．當(dāng)∠BOD＝90°時(shí)，S△BOD最大，此時(shí)DO⊥平面ABC，∠DBO就是BD和平面ABC所成的角，則∠DBO＝45°.6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，則直線NO，AM的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面垂直 D．異面不垂直解析：選C.易證ON在平面A1ADD1上的射影與AM垂直，進(jìn)而可證ON⊥AM.7．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．若m⊥α，m⊥β，則α∥βB．若m∥n，m⊥α，則n⊥αC．若m∥α，α∩β＝n，則m∥nD．若m⊥α，m?β，則α⊥β解析：選C.垂直于同一條直線的平面平行，選項(xiàng)A正確；兩平行線中一條垂直于一個(gè)平面，另一條也垂直于這個(gè)平面，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C不正確；由面面垂直的判定定理知選項(xiàng)D正確．8．正四棱錐(頂點(diǎn)在底面的射影是底面正方形的中心)的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2eq\r(6)，則側(cè)面與底面所成的二面角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C.由棱錐體積公式可得底面邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，高為3，在底面正方形的任一邊上，取其中點(diǎn)，連接棱錐的頂點(diǎn)及其在底面的射影，根據(jù)二面角定義即可判定其平面角，在直角三角形中，因?yàn)閠anθ＝eq\r(3)，所以二面角為60°，選C.9．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離為()A.eq\f(8,3)B.eq\f(3,8)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)解析：選C.利用三棱錐A1-AB1D1的體積變換：VA1-AB1D1＝VA-A1B1D1，則eq\f(1,3)×6×h＝eq\f(1,3)×2×4，h＝eq\f(4,3).10．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面解析：選D.由題意，若a∥l，則利用線面平行的判定，可知a∥α，a∥β，從而a在α，β內(nèi)的射影直線b和c平行；若a∩l＝A，則a在α，β內(nèi)的射影直線b和c相交于點(diǎn)A；若a∩α＝A，a∩β＝B，若直線a和l垂直，則a在α，β內(nèi)的射影直線b和c相交；否則直線b和c異面．綜上所述，b和c的位置關(guān)系是相交、平行或異面，選D.二、填空題11．已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角的度數(shù)為________．解析：如圖，取AD的中點(diǎn)G，連接FG，EG.又因?yàn)镋，F(xiàn)為AC，BD的中點(diǎn)，所以FG綊eq\f(1,2)AB，EG綊eq\f(1,2)CD.又∵EF⊥AB，∴EF⊥FG，所以△FEG為直角三角形，且∠FEG即EF與CD所成的角．在直角三角形FEG中，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)AB＝1，EG＝eq\f(1,2)CD＝2，所以∠FEG＝30°.答案：30°12.如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的點(diǎn)，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC.(填圖中的一條直線)．解析：因?yàn)锳B是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的點(diǎn)，所以BC⊥AC.因?yàn)镻A垂直于⊙O所在的平面，所以BC⊥PA.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.又AF?平面PAC，所以AF⊥BC.又AF⊥PC，BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC.答案：AF13．已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，且三個(gè)側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，則這個(gè)三棱錐的體積為________．解析：因?yàn)镻A，PB，PC兩兩相互垂直，所以VP-ABC＝VA-PBC.設(shè)S△APB＝S1，S△APC＝S2，S△PBC＝S3，因?yàn)閑q\f(1,2)AP·PB＝S1，eq\f(1,2)AP·PC＝S2，eq\f(1,2)PB·PC＝S3，所以eq\f(1,4)AP2·PB·PC＝S1S2，所以AP2＝eq\f(2S1S2,S3)，所以AP＝eq\r(\f(2S1S2,S3))，所以VA-PBC＝eq\f(1,3)AP·S△PBC＝eq\f(1,3)eq\r(\f(2S1S2,S3))·S3＝eq\f(1,3)eq\r(2S1S2S3).答案：eq\f(1,3)eq\r(2S1S2S3)14．在四面體ABCD中，已知棱AC的長(zhǎng)為eq\r(2)，其余各棱長(zhǎng)都為1，則二面角A-CD-B的余弦值為________．解析：取AC的中點(diǎn)E，取CD的中點(diǎn)F(圖略)，則EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(2),2)，BF＝eq\f(\r(3),2)，結(jié)合圖形知二面角A-CD-B的余弦值cosθ＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)15．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD成60°的角；④AB與CD所成的角是60°.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析：命題①，如圖，取BD的中點(diǎn)E，連接AE、CE，有BD⊥AE，BD⊥CE，所以BD⊥平面ACE，所以BD⊥AC.命題②，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，所以AE＝EC＝eq\f(\r(2),2)a，∵△AEC為直角三角形，∴AC＝a，∴△ACD為等邊三角形．命題③，平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD，所以∠ABE即為AB與平面BCD所成的角，∠ABE＝45°，故該命題錯(cuò)誤，命題④正確．答案：①②④三、解答題16．如圖，在底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，F(xiàn)，F(xiàn)1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.證明：(1)在底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，∵F，F(xiàn)1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又∵B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.17．如圖，已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA＝CB，∠BAP＝45°，直線CA和平面α所成的角為30°.證明BC⊥PQ.證明：在平面β內(nèi)過點(diǎn)C作CO⊥PQ于點(diǎn)O，連接OB.因?yàn)棣痢挺?，α∩β＝PQ，所以CO⊥α.又因?yàn)镃A＝CB，所以O(shè)A＝OB.而∠BAO＝45°，所以∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，從而BO⊥PQ，又CO⊥PQ，所以PQ⊥平面OBC.因?yàn)锽C?平面OBC，故BC⊥PQ.18．如圖，圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P為SB的中點(diǎn)．(1)求證：SA∥平面PCD；(2)求異面直線SA與PD所成角的正切值．解：(1)證明：連接PO，因?yàn)镻，O分別為SB，AB的中點(diǎn)，所以PO∥SA.因?yàn)镻O?平面PCD，SA?平面PCD，所以SA∥平面PCD.(2)因?yàn)镻O∥SA，所以∠DPO為異面直線SA與PD所成的角．因?yàn)锳B⊥CD，SO⊥CD，AB∩SO＝O，所以CD⊥平面SOB.因?yàn)镻O?平面SOB，所以O(shè)D⊥PO.在Rt△DOP中，OD＝2，OP＝eq\f(1,2)SA＝eq\f(1,2)SB＝eq\r(2)，所以tan∠DPO＝eq\f(OD,OP)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，所以異面直線SA與PD所成角的正切值為eq\r(2).19．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面ABC1D1；(2)求證：EF⊥B1C；(3)求三棱錐B1-EFC的體積．解：(1)證明：連接BD1，在△DD1B中，E，F(xiàn)分別為D1D，DB的中點(diǎn)，則EF∥D1B.因?yàn)镋F∥D1B，D1B?平面ABC1D1，EF?平面ABC1D1，所以EF∥平面ABC1D1.(2)證明：因?yàn)锽1C⊥AB，B1C⊥BC1，AB，BC1?平面ABC1D1，AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1.又BD1?平面ABC1D1，所以B1C⊥BD1.又因?yàn)镋F∥BD1，所以EF⊥B1C.(3)因?yàn)镃F⊥平面BDD1B1，所以CF⊥平面EFB1且CF＝BF＝eq\r(2)，因?yàn)镋F＝eq\f(1,2)BD1＝eq\r(3)，B1F＝eq\r(BF2＋BBeq\o\al(2,1))＝eq\r(（\r(2)）2＋22)＝eq\r(6)，B1E＝eq\r(B1Deq\o\al(2,1)＋D1E2)＝eq\r(（2\r(2)）2＋12)＝3，所以EF2＋B1F2＝B1E2，即∠EFB1＝90°，所以V