專題02均值、柯西、排序不等式真題特點(diǎn)分析：考查思維例一、【2021北大強(qiáng)基】設(shè)正整數(shù)，均不大于2021，且．則這樣的數(shù)組個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案：3449，過(guò)程略.考查技巧例二、【2023清華強(qiáng)基】使得成立的最小正整數(shù)等于（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C解析：，即，因而構(gòu)造函數(shù)則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，因而【2022年中科大3】已知，（1）求滿足什么條件恒成立。（2）若存在,使得則滿足什么條件。答案：，q=0解析：令故即.知識(shí)要點(diǎn)拓展：1.兩個(gè)重要的不等式（二元均值不等式）：①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。2.最值定理：若，則：①如果P是定值,那么當(dāng)時(shí)，S的值最小；②如果S是定值,那么當(dāng)時(shí)，P的值最大。注意：①前提：“一正、二定、三相等”，如果沒(méi)有滿足前提，則應(yīng)根據(jù)題目創(chuàng)設(shè)情境；還要注意選擇恰當(dāng)?shù)墓?；②“和定積最大，積定和最小”，可用來(lái)求最值；③均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請(qǐng)注意每處取等的條件是否一致。基本不等式：設(shè)是個(gè)正實(shí)數(shù)，記，，，，則，其中等號(hào)成立的條件是。分別稱為平方平均、算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均?；静坏仁街饕脕?lái)解決多變量的比較大小；求取值范圍和恒成立等問(wèn)題。在解題的過(guò)程中，首先要注意等式的變形；選用合適的基本不等式；最后需要指出的是，在解題時(shí)先把等號(hào)成立條件解出來(lái)并注意變量之間的對(duì)稱性常常會(huì)給我們帶來(lái)意想不到的好處。2.柯西不等式：柯西不等式的二維形式：若都是實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。 柯西不等式的一般形式：設(shè)，是實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)或存在一個(gè)數(shù)，使得時(shí)，等號(hào)成立。3.柯西不等式的幾個(gè)推論：當(dāng)時(shí)，柯西不等式即為，若（），則，此即上面提到的平方平均算術(shù)平均。當(dāng)（）時(shí)，有。當(dāng)（），則。4.排序不等式（又稱排序定理）：給定兩組實(shí)數(shù)；．如果；．那么（反序和）（亂序和）（同序和） 其中是的一個(gè)排列．該不等式所表達(dá)的意義是和式在同序和反序時(shí)分別取得最大值和最小值．三、競(jìng)賽題目精練【江蘇競(jìng)賽】設(shè)實(shí)數(shù)，滿足.證明：．證明：設(shè)f(x)2x+cosx，欲證不等式轉(zhuǎn)化為f(b)≤f(a).由于f′(x)2sinx，f″(x)2cosx.當(dāng)x∈(0,)時(shí)，f″(x)2cosx＜0，當(dāng)x∈(,1)時(shí)，f″(x)2cosx＞0，所以f′(x)在區(qū)間[0,]上單調(diào)減，在區(qū)間[,1]上單調(diào)增.因?yàn)閒′(0)f′(1)2和f′()2＜0，所以存在和，0＜＜＜＜1，使得f′()f′()0，f′(x)＜0當(dāng)且僅當(dāng)x∈(,).于是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]和[,1]上單調(diào)增，在區(qū)間[,]上單調(diào)減.因?yàn)閒(0)f()f(1)1，故對(duì)于x∈[0,]有f(x)≥1，對(duì)于x∈[,1]有f(x)≤1.特別地，f(b)≤1≤f(a).四、典例精講例1.證明柯西不等式?證法一：若，則柯西不等式顯然成立。若不全為零，（），令。一方面，因（*）另一方面，由，恒成立，此即柯西不等式。由(*)知等號(hào)成立的條件為（）。?證法二：將平面向量、空間向量推廣到維向量。令，，。，由于，故等號(hào)成立的條件是共線，即（）?注：柯西不等式的證明方法很多，有十幾種，以上兩種方法是中學(xué)生比較容易接受的。例2.證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)a>1,b>1，有.?分析：由對(duì)稱性，容易算出當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)?證明： 即 同理 兩同向不等式相加得，時(shí)等號(hào)成立．?說(shuō)明：不等式中什么時(shí)候等號(hào)成立，應(yīng)該看作是一種信息，有時(shí)能幫助我們找到證題的入口．本題對(duì)平均不等式用得巧妙、簡(jiǎn)捷、富有啟發(fā)性．?鏈接：本題可以稍作引申： 當(dāng)、、時(shí)，證明：例3.設(shè)，那么的最小值是_____?分析：本題取自人教社版課本的一個(gè)習(xí)題（第二冊(cè)（上）），題中有兩個(gè)變量a，b，解題時(shí)總希望字母愈少愈好，故最好把原式處理成一個(gè)變量問(wèn)題，再證明它大于或等于一個(gè)常數(shù)．在這中間我們又注意到和之和為，因式?解：，因此的最小值是4．當(dāng)時(shí)取得最小值．?說(shuō)明：當(dāng)若干個(gè)變量的和為常量或積為常量時(shí)，我們就可以考慮用平均值不等式，再說(shuō)在短短的演算過(guò)程中兩次使用了平均值不等式．?鏈接：如果題目變?yōu)?，求的最小值，你?huì)做嗎？例4.為正的常數(shù)，，，求的最小值.?分析：利用不等式解決極值問(wèn)題，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取等號(hào)的條件，這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和，可看作，如再能出現(xiàn)，則可用，注意到.?解法一：用柯西不等式 ，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值。?解法二：用平均值不等式 ，同時(shí)可以算得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取得最小值。?說(shuō)明：解法一和解法二都作了湊配，湊配之后，才能用上相應(yīng)的不等式。例5.（復(fù)旦千分考）設(shè)是一個(gè)正整數(shù)，則函數(shù)在正實(shí)半軸上的最小值是（）。（B）（C）（D）?分析與解：由個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均根≥幾何平均數(shù)，即知：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，故選。例6.（交大）若滿足關(guān)系：，則。?分析與解：由柯西不等式，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，化簡(jiǎn)得。例7.（南大）為內(nèi)一點(diǎn)，它到三邊的距離分別為，為的面積。求證：（這里分別表示的長(zhǎng)）。?分析與解：如圖2-1，易見(jiàn)。由柯西不等式，2-1。2-1例8.（浙大）有小于1的正數(shù)，且。求證：。?分析與解：解法一：由柯西不等式，，注意到：，而，（），故。從而，顯然，故。解法二：先證明一個(gè)局部不等式：（）（*）事實(shí)上，（*），顯然成立。所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。例9.設(shè)的三內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其周長(zhǎng)為1.求證：.?分析：由問(wèn)題的對(duì)稱性，不妨設(shè)，三角形中大邊對(duì)大角，于是有（這種形式是題目所需要的）。這樣既不改變問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，又增加了已知條件：兩組有序?qū)崝?shù)，及。這就為應(yīng)用排序原理創(chuàng)設(shè)了很好的情境。 證法一：用排序原理。不妨設(shè)，于是有。由排序不等式（同序和大于或等于反序和），也就是，同理，，相加得，不等式兩邊同加，并注意到，就得 證法二：比較法，因此。?說(shuō)明：利用排序原理證明其他不等式時(shí)，必須制造出兩個(gè)合適的有序數(shù)組 五、強(qiáng)基真題訓(xùn)練（復(fù)旦）設(shè)滿足，則的最大值是（）（A）3（B）4（C）5（D）6【解析】A，故，當(dāng)時(shí)取等號(hào)。（復(fù)旦）設(shè)實(shí)數(shù)，成等差數(shù)列，則下列一定成立的是（）（B）（C）（D）【解析】D顯然同號(hào)，不妨設(shè)。取，知A錯(cuò)誤。取，知BC不對(duì)。下證。由題意，，而，故有，得證。（復(fù)旦）當(dāng)和取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)所能取到的最小值為（）（A）1（B）2（C）3（D）4【解析】B由柯西不等式，（均值不等式），當(dāng)時(shí)取等號(hào)。（復(fù)旦）給定正整數(shù)和正常數(shù)，對(duì)于滿足不等式的所有等差數(shù)列和式的最大值為（）。（B）（C）（D）【解析】A，由柯西不等式，故（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），從而的最大值是。（交大）方程的兩根滿足，則（）【解析】。由韋達(dá)定理知，故，而，故，等號(hào)在時(shí)取到，即。（交大）已知，，則的最小值是?！窘馕觥坑煽挛鞑坏仁剑?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。（交大）若且，則的最小值為。【解析】9由柯