PAGEPAGE1備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學模擬卷01（新高考Ⅱ卷專用）第I卷（選擇題）一、單項選擇題1．設集合，，且，則（

）A．6 B．4 C． D．〖答案〗D〖解析〗，，∵，∴，∴，故選：D.2．已知，則（

）.A． B． C．2 D．1〖答案〗C〖解析〗由，得，則，所以.故選：C.3．已知的圖象與直線在區(qū)間上存在兩個交點，則當最大時，曲線的對稱軸為（

）A．， B．，C．， D．，〖答案〗D〖解析〗當時，要使得的圖象與直線存在兩個交點，則，解得，又因為，所以，所以，此時曲線的對稱軸為，，解得，，故選：D4．函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

〖答案〗C〖解析〗設，對任意，，所以，所以的定義域為，，所以函數(shù)為奇函數(shù).令，可得，即，所以，可得，由可得，解得，所以的定義域為，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項，當時，是減函數(shù)，則，，所以，排除A選項.故選：C5．如圖，正方形中，是線段上的動點，且，則的最小值為（

）

A． B． C． D．4〖答案〗C〖解析〗正方形中，，則，而，則，又點共線，于是，即，而，因此，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值.故選：C6．謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形是一種分形，它的構造方法如下：取一個實心等邊三角形（如圖1），沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形，挖去中間小三角形（如圖2），對剩下的三個小三角形繼續(xù)以上操作（如圖3），按照這樣的方法得到的三角形就是謝爾賓斯基三角形．如果圖1三角形的邊長為2，則圖4被挖去的三角形面積之和是（

）

A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗第一種挖掉的三角形邊長為，共個，面積為；第二種挖掉的三角形邊長為，共個，面積為，第三種挖掉的三角形邊長為，共個，面積為，故被挖去的三角形面積之和是.故選：D7．已知函數(shù)滿足對于任意實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗依題意，對于任意實數(shù)，都有成立，不妨設，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：D8．已知雙曲線右支上非頂點的一點A關于原點的對稱點為為雙曲線的右焦點，若，設，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設雙曲線的左焦點為，連接，，因為，則四邊形為矩形，所以，則，．．．即，則，因為，則，可得，即，所以，即雙曲線離心率的取值范圍是，故選：C．二、多項選擇題9．已知圓M：，則下列關于圓M的結論正確的是（

）A．點在圓M內(nèi)B．圓M關于直線對稱C．圓M與圓O：相切D．若直線l過點，且被圓M截得的弦長為，則l的方程為〖答案〗BC〖解析〗圓的方程為，即圓心為，半徑為，對于A：因為，所以點在圓外，故選項A錯誤；對于B：因為，所以圓心在直線上，故選項B正確；對于C：因為圓O、圓的圓心距為，兩圓的半徑差為，所以兩圓內(nèi)切，故選項C正確；對于D：當直線l的斜率不存在時，其方程為，圓心到直線l的距離為，直線被圓所截得的弦長為，當直線l的斜率存在時，設其方程為，圓心到直線l的距離為，解得，可得直線l的方程為，綜上所述，直線l的方程為或，故選項D錯誤.故選：BC.10．下列說法正確的是（

）A．若數(shù)據(jù)的方差為1，則新數(shù)據(jù)，，…，的方差為1B．已知隨機事件A和B互斥，且，，則等于0.5．C．“”是直線與直線互相垂直的充要條件D．無論實數(shù)λ取何值，直線恒過定點〖答案〗ABD〖解析〗對于A：若數(shù)據(jù)的方差為1，則新數(shù)據(jù)，，…，的穩(wěn)定程度沒有發(fā)生改變，方差還是，A正確；對于B：隨機事件A和B互斥，且，，則，則，B正確；對于C：若直線與直線互相垂直，則，解得或，故“”是直線與直線互相垂直的充分不必要條件，C錯誤；對于D：直線即為，令，解得，即無論實數(shù)λ取何值，直線恒過定點，D正確.故選：ABD.11．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，的中點，點在上，點在上，且，點在線段上運動，下列說法正確的有（

）A．當點是中點時，直線平面；B．直線到平面的距離是；C．存在點，使得；D．面積的最小值是〖答案〗AC〖解析〗對于A，由是中點，，得點是的中點，連接，顯然也是的中點，連接，于是，而平面，平面，所以直線平面，A正確；對于B，分別是棱的中點，則，平面，平面，于是平面，因此直線到平面的距離等于點到平面的距離h，，，，，由，得，B錯誤；以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，,對于C，設，則，，，，由，得，解得，由于，因此存在點，使得，C正確；對于D，由選項C得在的投影點為，則P到的距離，面積為，所以當時，取得最小值為，D錯誤.故選：AC12．已知、都是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，的圖像關于直線對稱，則下列說法中一定正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．的圖像關于直線對稱〖答案〗AD〖解析〗因為是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以，故A正確；因為是定義在上的函數(shù)，且的圖像關于直線對稱，所以，不一定為0，故B錯誤；C明顯錯誤；因為，所以的圖像關于直線對稱，故D正確.故選：AD第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知的展開式中各項系數(shù)的和為，則實數(shù)的值為.〖答案〗〖解析〗因為的展開式中各項系數(shù)的和為，令，可得，解得.故〖答案〗為：.14．已知等差數(shù)列的前項和分別為，且，則．〖答案〗〖解析〗等差數(shù)列的前項和分別為，且，所以.故〖答案〗為：15．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，，則的最大值為．〖答案〗〖解析〗由題意，,所以消去得，由,得，當且僅當時等號成立，∴，∴原式故〖答案〗為：.16．在棱長為2的正方體中，點M是對角線上的點（點M與A、不重合），則下列結論正確的是.（請?zhí)顚懶蛱枺?/p>

①存在點M，使得平面平面；②存在點M，使得平面；③若的面積為S，則；④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點M，使得.〖答案〗①②④〖解析〗連接,,

①設平面與對角線交于M,由,，且平面，平面，且，所以平面，即平面,所以存在點M，使得平面平面，所以①正確；②連接,,由，平面，平面，所以平面，同理由可得平面，又，平面，平面，所以平面平面，設平面與交于點M，則平面，所以平面，所以②正確；③連接交于點O,過O點作,

在正方體中，由①平面，同理可證平面，且平面，所以,所以OM為異面直線與的公垂線,根據(jù),所以,即,此時的面積為,所以③不正確；

④設點在平面的正投影為，在平面的正投影為如圖，因為平面，則在平面內(nèi)的射影為，由，則，故在點從的中點向著點A運動的過程中，點也從的中點向著點運動.由平面，則，故當為中點時，正投影也為中點，此時在平面的正投影的面積，因此，在點從的中點向著點A運動的過程中，的面積即從1減少到趨向于0,即,同理，在點從的中點向著點A運動的過程中，點也從的中點向著點運動，的面積即從0開始增加，當與重合時，正投影與重合，此時在平面的正投影的面積，所以,故在此過程中,必存在某個點使得,所以④正確,故〖答案〗為：①②④.四、解答題17．已知點是角終邊上一點．(1)求的值；(2)若將角終邊繞著坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，求的值．解：(1)因為點是角終邊上一點，所以，，，(2)將角終邊繞著坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，故，所以18．（12分）已知正項數(shù)列的前項和，滿足：．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，設數(shù)列的前項和為，求證．(1)解：當時，，解得．當時，由①，可得，②①②得：，即．，．是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的通項公式．(2)證明：由（1）可得，，，，，，，，.19．如圖，在四棱柱中，四棱錐是正四棱錐，.

(1)求與平面所成角的正弦值；(2)若四棱柱的體積為16，點在棱上，且，求點到平面的距離.解：(1)因為四棱錐是正四棱錐，連接交于點，則，連接，則平面，所以兩兩垂直.如圖所示，以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，

設，因為，,則，設與交于點，則為的中點，所以，，所以，設平面的一個法向量為，則有，得，取，得，直線的一個方向向量為，設與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.(2)因為四棱柱的體積為，所以，由(1)知，，.因為，則，所以，，設平面的一個法向量為，則有，得，取，得，所以點到平面的距離為.20．第19屆亞運會于9月23日至10月8日在杭州舉行，某學校為持續(xù)營造全民參與亞運、服務亞運、奉獻亞運的濃厚氛圍舉辦“心心相融·愛答亞運”知識挑戰(zhàn)賽．挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，規(guī)則為挑戰(zhàn)者和守擂者輪流答題，直至一方答不出或答錯，則另一方自動獲勝．若賽制要求挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對問題的概率都是，且每次答題互不影響．(1)若在不多于兩次答題就決出勝負，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少?(2)在此次比賽中，挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少?(3)現(xiàn)賽制改革，挑戰(zhàn)者需要按上述方式連續(xù)挑戰(zhàn)8位守擂者，每次挑戰(zhàn)之間相互獨立，當戰(zhàn)勝至少三分之二以上的守擂者時，則稱該挑戰(zhàn)者勝利．若再增加1位守擂者時，試分析該挑戰(zhàn)者勝利的概率是否增加?并說明理由．解：(1)設事件為挑戰(zhàn)者獲勝，事件為不多于兩次答題比賽結束．．(2)設為先答題者獲勝的概率，則，解得，所以挑戰(zhàn)者獲勝的概率是.(3)設隨機變量為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)8人時戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，為此時挑戰(zhàn)者獲勝的概率；為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)9人時戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，為此時挑戰(zhàn)者獲勝的概率．，，顯然，，即該挑戰(zhàn)者勝利的概率沒有增加．21．已知橢圓：，點、分別是橢圓的左焦點、左頂點，過點的直線（不與x軸重合）交橢圓于A，B兩點．

(1)求橢圓M的標準方程；(2)若，求的面積；(3)是否存在直線，使得點B在以線段為直徑的圓上，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．解：(1)由左焦點、左頂點可知：，則，所以橢圓的標準方程為.(2)因為，，則過的直線的方程為：，即，解方程組，解得或，所以的面積.(3)若點B在以線段為直徑的圓上，等價于，即，設，則，因為，則，令，解得：或，又因為，則不