第55講、拋物線的定義和性質(zhì)通關(guān)二、扡物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦,F為拋物線的焦點(diǎn),AC,BD垂直于拋物線的準(zhǔn)線于(1)x(2)|AB(3)S△(4)1|(5)以AF(BF)(6)以AB為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切;(7)A,【證明】(1)因?yàn)閥2=2px(pp因此,總有y1(2)由拋物線定義,=x2+p2.+p2,所以x1+x2(2)得|AB|=2pk2+2(3)如圖,S(4)?1|AF(5)設(shè)AF的中點(diǎn)為ExE,yE,則xE=x1+p(6)設(shè)AB的中點(diǎn)為Mx0,y0,分別過A,M(7)由題意知,Ax1,y1,D?p2,y2,因?yàn)镺D=?結(jié)論一、標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)于拋物線y2=2px(對(duì)于拋物線y2=?2px(對(duì)于拋物線x2=2py(對(duì)于拋物線x2=?2py(【例1】拋物線y=ax2 A.(a,0) B.12a,0 C.【變式】拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 A.(0,1) B.(1,0) C.0,116 D結(jié)論二、拋物線焦半徑拋物線上任意一點(diǎn)Px0,y0(1)對(duì)于拋物線y2(2)對(duì)于拋物線y2(3)對(duì)于拋物線x2(4)對(duì)于拋物線x【例2】若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是 A.6 B.8 C.9 D.10【變式】如果P1,P2,?,P10是拋物線C:y2=4x結(jié)論三、拋物線定義拋物線y2=2px(p【例3】P是拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn),F是拋物線的焦點(diǎn),則以| A.相交 B.相離 C.相切 D.不確定【變式】過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作一直線l與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),作PP1結(jié)論四、p的幾何意義已知拋物線y2=2px(【例】4拋物線y2=2px(p>0)上的動(dòng)點(diǎn) A.12 B.1 C.2 【變式】已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為結(jié)論五、拋物線的通徑已知是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，設(shè)直線的傾斜角為，當(dāng)軸()時(shí)，稱弦為通徑.通徑是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的，其長度為.【例5】拋物線與過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線交于兩點(diǎn)，則（）.A.B.C.D.【變式】已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與的對(duì)稱軸垂直，與交于兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則的面積為（）.A.18B.24C.36D.48結(jié)論六、拋物線最值1.將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解；2.將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短”解決.【例6】已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，則的最小值是（）.A.B.4C.D.5【變式】已知是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值是（）.A.1B.2C.3D.4結(jié)論七、定點(diǎn)弦橫縱坐標(biāo)乘積為定值已知直線過定點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，若，，則，，當(dāng)時(shí)，，.【例7】如圖，拋物線，圓，其中，直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，依次交于四點(diǎn)，則的值為（）.A.B.C.D.【變式】過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為（）.A.B.C.D.結(jié)論八、焦半徑的傾斜角表示1.已知是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，為拋物線的焦點(diǎn)，在軸下方，則，(為直線的傾斜角)；2.已知是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，為拋物線的焦點(diǎn)，在軸左側(cè)，則，(為直線的傾斜角).【例8】若是拋物線上一點(diǎn)，且在軸上方，是拋物線的焦點(diǎn)，直線的傾斜角為60°，則=__________.【變式】過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于兩點(diǎn)(在軸左側(cè))，則__________.結(jié)論九、拋物線焦半徑比例模型1.已知拋物線，經(jīng)過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，，滿足：或(其中)；2.已知拋物線，經(jīng)過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，，滿足：或(其中).【例9】已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)，設(shè)，則與的比值等于__________.【變式】過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于兩點(diǎn)(在軸左側(cè))，__________.結(jié)論十、焦點(diǎn)弦長的傾斜角表示1.已知是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，為拋物線的焦點(diǎn)，則（為直線的傾斜角）；2.已知是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，為拋物線的焦點(diǎn)，則（為直線的傾斜角）.【例10】斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則=__________.【變式】過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的長為8，則=__________.結(jié)論十一、焦點(diǎn)三角形面積已知是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，為拋物線的焦點(diǎn)，則(為直線的傾斜角).【例11】設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過且傾斜角為30°的直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）.A.B.C.D.【變式】過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)(在第一象限)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，則的值為（）.A.B.C.D.結(jié)論十二、焦點(diǎn)弦與準(zhǔn)線構(gòu)造梯形面積已知是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則四邊形的面積為(為直線的傾斜角).【例12】已知過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為60°的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則四邊的面積為（）.A.B.C.D.【變式】已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，若，則四邊的面積為__________.結(jié)論十三、焦半徑倒數(shù)之和為定值已知是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，為拋物線的焦點(diǎn)，則.【例13】過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段與的長分別是，則=__________.【變式】已知以為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)滿足，則弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_________.結(jié)論十四、拋物線的中點(diǎn)弦問題直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則，；直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則，.【例14】已知拋物線，以為中點(diǎn)作拋物線的弦，則這條弦所在直線的方程為（）.A.B.C.D.【變式】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于兩點(diǎn).若的中點(diǎn)為，則直線的方程為