PAGEPAGE1內(nèi)蒙古錫林郭勒盟2024屆高三上學(xué)期第二次統(tǒng)一考試（12月月考）（全國乙卷）數(shù)學(xué)試題（文）一?選擇題1.若（是虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所?故選：C.2.若全集，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以集合A不是集合B的子集，集合B不是集合A的子集，又，且，所以.故選：D.3.已知，則（）A.1 B.-2 C.-1 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所?故選：B.4.造紙術(shù)是我國古代四大發(fā)明之一.紙張的規(guī)格是指紙張制成后，經(jīng)過修整切邊，裁成一定的尺寸.現(xiàn)在我國采用國際標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定以A0，A1，…，A10；B0，B1，.B10等標(biāo)記來表示紙張的幅面規(guī)格，其中A系列的幅面規(guī)格為：①A0規(guī)格的紙張的幅寬（以x表示）和長度（以y表示）的比例關(guān)系為；②將A0紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為A1規(guī)格.A1紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為A2規(guī)格，…如此對開至A8規(guī)格.若A4紙的面積為624cm2，則A8紙的面積為（）A.39cm2 B.78cm2 C.4992cm2 D.9984cm2〖答案〗A〖解析〗設(shè)紙張的面積分別為，，則為等比數(shù)列，公比，，解得：.故選：A.5.如圖，在中，是直角，的內(nèi)切圓與分別切于點(diǎn)，點(diǎn)是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)（不包含邊界）.若，則至少滿足（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗以為原點(diǎn)，所在的直線分別為的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，可得圓心，所以內(nèi)切圓的方程為，所以，，若點(diǎn)是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)（不包含邊界），則點(diǎn)應(yīng)該在圓外，所以至少滿足.故選：C.6.已知拋物線第一象限上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A. B.4 C. D.8〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)點(diǎn)，由題意拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，由題意并結(jié)合拋物線的定義可知點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，解得，將其代入拋物線方程得，解得.故選：D.7.已知函數(shù)，在以下四個選項(xiàng)中，錯誤的選項(xiàng)是（）A.B.若關(guān)于的方程有兩解，則C.在R上是減函數(shù)D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于A，因?yàn)椋?，正確；對于B，若關(guān)于的方程有兩解，則圖象與圖象有兩個交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，如圖：由圖知，，即，正確；對于C，作出函數(shù)圖象，如圖：由圖知，函數(shù)在和上是減函數(shù)，但是函數(shù)在R上不是減函數(shù)，錯誤；對于D，當(dāng)時，，解得，不合題意，當(dāng)時，，解得，符合題意，所以時，有，正確.故選：C8.已知一個正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)面與底面所成角的大小為，則該四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值為（）A. B. C.3 D.6〖答案〗A〖解析〗如圖所示：在正四棱錐中，設(shè)點(diǎn)為底面正方形的中心，所以面，即為側(cè)棱與底面所成的角，又因?yàn)槊妫?，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，，所以，又由以及三線合一可知，且由題意側(cè)面與底面所成角的大小為，面面，所以即為側(cè)面與底面所成的角，即，在中，有，，，所以，在中，有，，所以，即正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值為.故選：A.9.設(shè)是兩條異面直線，下列命題中正確的是（）A.過且與平行的平面有且只有一個B.過且與垂直的平面有且只有一個C.過空間一點(diǎn)與均相交的直線有且只有一條D.過空間一點(diǎn)與均平行的平面有且只有一個〖答案〗A〖解析〗對于A，過上一點(diǎn)作的平行直線，則與確定一平面，由平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，設(shè)過的平面為，若平面，則，故若與不垂直，則不存在過的平面與垂直，故B錯誤；對于C，當(dāng)點(diǎn)與確定一個平面，且與平行時，如圖，則過空間一點(diǎn)與均相交的直線不存在，故C錯誤；對于D，當(dāng)點(diǎn)與中一條確定的平面與另一條直線平行時，滿足條件的平面就不存在，故D錯誤.故選：A.

10.2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素數(shù)（素數(shù)即質(zhì)數(shù)）猜想的一個弱化形式.素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮個素數(shù)，使得是素數(shù)，素數(shù)對稱為孿生素數(shù).則從不超過18的素數(shù)中任取兩個素數(shù)，這兩個素數(shù)組成孿生素數(shù)對的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不超過18的素數(shù)有：2,3,5,7,11,13,17，共7個，則從不超過18素數(shù)中任取兩個素數(shù)共有種，不超過18的素數(shù)組成的孿生素數(shù)對為，，共有3組，能夠組成孿生素數(shù)的概率為.故選：C11.已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，為上的奇函數(shù)，又，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故恒成立，故為上的增函數(shù)，不等式對恒成立，即對恒成立，即對恒成立，即對恒成立，即對恒成立，當(dāng)時，不等式恒成立，當(dāng)時，則，解得：，綜上所述：.故選：D.12.如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心為圓心的圓形軌道I上繞月球飛行，然后在點(diǎn)處變軌進(jìn)入以為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月球飛行，最后在點(diǎn)處變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道III繞月球飛行，設(shè)圓形軌道I的半徑為，圓形軌道III的半徑為，則下列結(jié)論中正確的序號為（）①軌道II的焦距為；②若不變，越大，軌道II的短軸長越??；③軌道II長軸長為；④若不變，越大，軌道II的離心率越大.A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④〖答案〗C〖解析〗由已知得圓形軌道I的半徑為，設(shè)軌道II的方程為，則，又因?yàn)閳A形軌道III的半徑為，則，聯(lián)立，解得，所以軌道II的焦距為，故①正確；又，所以，所以若不變，越大，軌道II的短軸長越大，故②不正確；長軸，故③正確；所以離心率，若不變，越大，軌道II的離心率越大，故④正確.故選：C.二?填空題13.的三內(nèi)角所對邊的長分別是，設(shè)向量，若向量與向量共線，則角______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)橄蛄抗簿€，所以，即，在中，由余弦定理得，，又，所以.故〖答案〗為：.14.已知一組數(shù)據(jù)為，若在這組數(shù)據(jù)中插入一個自然數(shù)使得這組新數(shù)據(jù)滿足中位數(shù)是7且平均數(shù)大于7，則滿足上述條件的最小自然數(shù)是__________.〖答案〗〖解析〗要使得中位數(shù)是7，a必須插在7的前面，即，平均數(shù)為，解得，a是滿足上述條件的最小自然數(shù)，則.故〖答案〗為：4.15.已知直線與函數(shù)的圖象相鄰的三個交點(diǎn)依次為，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相鄰的三個交點(diǎn)依次為，所以函數(shù)的相鄰的兩條對稱軸分別為，，所以函數(shù)的周期為，所以.故〖答案〗：16.設(shè)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗函數(shù)定義域?yàn)?，且，依題意在上恒成立，所以在上恒成立，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.三?解答題（一）必考題：共60分.17.設(shè)公差不為0的等差數(shù)列中，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，，，.（2）當(dāng)，當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足，所以，①②由①-②得，.18.如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，為側(cè)棱的中點(diǎn)．（1）設(shè)經(jīng)過、、三點(diǎn)的平面交于，證明：為的中點(diǎn)；（2）若底面，且，求四面體的體積．（1）證明：連結(jié).因?yàn)榈酌鏋榫匦危?又平面，且平面，所以平面.又平面，且平面平面，所以.又因?yàn)?，所以因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn).（2）解：平面，平面，，又，平面.取中點(diǎn)，連，是中點(diǎn)，，即且平面，又的面積.四面體的體積.19.2023年，在第十四屆全國人民代表大會常務(wù)委員會第六次會議上教育部關(guān)于考試招生制度改革情況的報告中提出：改革考試內(nèi)容和形式，實(shí)現(xiàn)從“考知識”向“考能力素養(yǎng)”轉(zhuǎn)變；探索拔尖創(chuàng)新人才超常規(guī)選鑒通道，設(shè)立清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)軍人才培養(yǎng)計劃?北京大學(xué)物理卓越人才培養(yǎng)計劃等專項(xiàng)計劃，推進(jìn)拔尖創(chuàng)新人才選拔培養(yǎng).為此，各地區(qū)高中積極推進(jìn)“強(qiáng)基計劃”的落實(shí)，“強(qiáng)基培訓(xùn)”成為學(xué)生們熱愛的課程之一.某高中隨機(jī)調(diào)研了本校2023年參加高考的90位考生是否參加“強(qiáng)基培訓(xùn)”的情況，經(jīng)統(tǒng)計，“強(qiáng)基培訓(xùn)”與性別情況如下表：（單位：人）參加“強(qiáng)基培訓(xùn)”不參加“強(qiáng)基培訓(xùn)”男生2535女生525（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析參加“強(qiáng)基培訓(xùn)”與性別是否有關(guān)聯(lián)？（2）在本校被調(diào)研的90位考生中，先對多加“強(qiáng)基培訓(xùn)”的30人采用分層抽樣的方法抽取6位同學(xué)，然后從這6名同學(xué)中選拔2人參加北京大學(xué)物理卓越人才培養(yǎng)計劃專項(xiàng)計劃的招生考試，求有女生參加北京大學(xué)物理卓越人才培養(yǎng)計劃專項(xiàng)計劃的招生考試的概率.0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879解：（1）假設(shè)參加“強(qiáng)基培訓(xùn)”與性別無關(guān)聯(lián)，由題意，，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷假設(shè)不成立，即認(rèn)為參加“強(qiáng)基培訓(xùn)”與性別有關(guān)聯(lián).（2）由題知，在本校被調(diào)研的90位考生中，先對參加“強(qiáng)基培訓(xùn)”的30人采用分層抽樣的方法抽取6位同學(xué)，其中有5位男同學(xué)，一名女同學(xué).5位男同學(xué)分別記為：；一名女同學(xué)記為：.從中抽取2名同學(xué)共有：，，種方法，其中抽到女生的方法有，G）共5種.有女生參加北京大學(xué)物理卓越人才培養(yǎng)計劃專項(xiàng)計劃的招生考試的概率為，則.20.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有，又由，消去得，解得，所以，橢圓的離心率為.（2）解：由（1）知，，故橢圓方程為，由題意，，則直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，消去并化簡，得到，解得，代入到的方程，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在軸的上方，所以，由圓心在直線上，可設(shè)，因?yàn)?，且由（I）知，故，解得，因?yàn)閳A與軸相切，所以圓的半徑為2，又由圓與相切，得，解得，所以橢圓的方程為：.21.已知函數(shù)，其中．（1）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由有兩個零點(diǎn)，得方程有兩個解，設(shè)，則，由，可得，單調(diào)遞增，由，可得，單調(diào)遞減，所以的最大值為，當(dāng)時，當(dāng)時，，所以可得函數(shù)的大致圖象，所以，解得，所以，有兩個零點(diǎn)時，的取值范圍是；（2）設(shè)，即，則恒成立，由，，可得，下面證明當(dāng)時，，即證，令，則證，，令為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，由（1）可知，故在時單調(diào)遞增，則，下面只需證明即可，即證，令，則，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，從而不等式得證，綜上，的取值范圍是．（二）選考題【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程，