PAGEPAGE1陜西省榆林市五校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將〖答案〗答在答題卡上.選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色中性筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的〖答案〗無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章第1節(jié)第2節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列滿足,則（）A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗由,可推得,所以數(shù)列是以3為周期的一個(gè)周期數(shù)列,所以.故選：B.2.若，，則直線不經(jīng)過(guò)的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由，得，又，，則直線的斜率，在軸上的截距，所以直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限.故選：A3.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，則的面積為（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭巧弦稽c(diǎn)，所以，解得，又是拋物線的焦點(diǎn)，所以，所以的面積為．故選:B．4.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.64 B.32 C.28 D.22〖答案〗C〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得.故選：C5.一條漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)（，）代入雙曲線方程得，所以雙曲線的方程為，即.故選：A.6.已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為其中奇數(shù)項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和為則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗項(xiàng)數(shù)為的中奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng),其和為項(xiàng)數(shù)為的中偶數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng),其和為所以解得故選:A.7.已知分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若原點(diǎn)到直線的距離是橢圓的短軸長(zhǎng)的，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，所以直線的方程為，即，原點(diǎn)到直線的距離，整理得，所以橢圓的離心率.故選：D.8.已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為與,且,則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閿?shù)列、都是等差數(shù)列,所以,又，，故，，即有,在中，令，得，故.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與直線平行，且與間的距離為，則的方程可以是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗直線，即，設(shè)所求直線的方程為，由題意可得，解得或．故所求直線的方程為或．故選：AD．10.如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,,若,則（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，,故A正確；對(duì)于B，,故B正確；對(duì)于C，,故C正確；對(duì)于D，,故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.某市為了改善城市中心環(huán)境，計(jì)劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移，需要拆除工廠內(nèi)一個(gè)高塔，施工單位在某平臺(tái)的北偏東方向處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)，在平臺(tái)的正西方向處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)，已知經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓為圓，規(guī)定圓及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū).以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，在平臺(tái)的正南方向的處，有一輛小汽車(chē)沿北偏西方向行駛，則（）A.觀測(cè)點(diǎn)之間的距離是B.圓的方程為C.小汽車(chē)行駛路線所在直線的方程為D.小汽車(chē)會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)〖答案〗BCD〖解析〗由題意,得,所以,即觀測(cè)點(diǎn)之間的距離是,故錯(cuò)誤；設(shè)圓的方程為,因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)三點(diǎn),所以，解得，所以圓的方程為,故B正確；小汽車(chē)行駛路線所在直線的斜率為,又點(diǎn)的坐標(biāo)是,所以小汽車(chē)行駛路線所在直線的方程為,故C正確；圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑,圓心到直線的距離,所以直線與圓相交,即小汽車(chē)會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū),故D正確.故選：BCD.12.經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，的最小值是4，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為D.若，則直線的傾斜角為或〖答案〗BC〖解析〗，由題意可知直線的斜率存在且不為，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，，，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以拋物線方程為，所以，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以，，所以，B正確；因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，即，所以直線的方程為，C正確；，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，解得（舍去），又，故，所以，所以直線的斜率為，直線的傾斜角為，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的四邊形的面積是__________.〖答案〗40〖解析〗由橢圓方程可得橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)分別為，故這四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形為菱形，所以面積.故〖答案〗為：4014.若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)__________〖答案〗或〖解析〗圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，當(dāng)圓與圓外切時(shí)，，即，解得；當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí)，，即,解得，所以圓與圓相切時(shí),或.故〖答案〗為：或15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，不滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為故〖答案〗為：16.已知點(diǎn)是離心率為的雙曲線上的三點(diǎn),直線的斜率分別是點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別是.若則______〖答案〗3〖解析〗因?yàn)殡p曲線的離心率為所以不妨設(shè)因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以?xún)墒较鄿p,得,因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以,,所以即所以同理因?yàn)樗怨省即鸢浮綖椋?.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知的圓心為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與相切于點(diǎn)，求的方程．解：（1）由題可知，的半徑為,所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)橹本€與相切于點(diǎn)，且,所以，所以，由點(diǎn)斜式得，，整理得，.18.如圖，在直四棱柱中，是棱的中點(diǎn),.請(qǐng)用向量法解決下列問(wèn)題.（1）求證:;（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由直棱柱的性質(zhì)可知,因?yàn)?所以?xún)蓛苫ハ啻怪?故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則.因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn),所以,所以,所以.所以,即.（2）由(1)可知.設(shè)向量是平面的法向量,則即令,得.設(shè)直線與平面所成的角為,則.所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．解：（1）設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為，由可得，，所以，解得，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)為，所以，即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由，得雙曲線的右頂點(diǎn)為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且斜率為2，所以直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去，得，所以，，所以．20.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，由兩式相減，得，即，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，解得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）得，，，即，設(shè)的前項(xiàng)和為，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.21.如圖，已知與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）作中點(diǎn)，因?yàn)榕c都是正三角形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，所以分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，且，設(shè)平面法向量為，則，即，令，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離；（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，即，令，則，所以，由（1）知面的法向量為，令平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.22.已知橢圓E：的離心率為，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，右頂點(diǎn)為C，且的面積為6．（1）求E的方程；（2）若點(diǎn)P為E上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線是AP與BC交于點(diǎn)M，直線C