PAGEPAGE1四川省內(nèi)江市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號、班級用簽字筆填寫在答題卡相應(yīng)位置.2.選擇題選出〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗.不能答在試題卷上.3.非選擇題用簽字筆將〖答案〗直接答在答題卡相應(yīng)位置上.4.考試結(jié)束后，監(jiān)考人員將答題卡收回.一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的，把正確選項(xiàng)的代號填涂在答題卡的指定位置上.）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故傾斜角滿足為，，故.故選：C2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，解得：.故選：B.3.如圖，空間四邊形的對角線，，，分別為，的中點(diǎn)，并且異面直線與所成的角為，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，，如圖，則，，（或其補(bǔ)角）即異面直線與所成的角，，，，故選：C.4.若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知，，則，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：A5.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗D〖解析〗根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，又，所以，所以.故選：D6.如圖，在三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如下圖所示：首先有，一方面：由，所以，又是的中點(diǎn)，所以，所以；另一方面：，且注意到分別是，的中點(diǎn)，所以.因此.故選：D．7.我國古代著作《莊子天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”其含義是：一尺長的木棍，每天截去它的一半，永遠(yuǎn)也截不完．在這個(gè)問題中，記第n天后剩余木棍的長度為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則使得不等式成立的正整數(shù)n的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)可得：數(shù)列是首項(xiàng)、公比為的等比數(shù)列，∴，，又由可得：，解得：，∵，∴，故選：B．8.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴“有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早系外包皮革?內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)P?A?B?C，其中平面，，則該球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以兩兩垂直，所以三棱錐的外接球即為以為長，寬，高的長方體的外接球，即該球的直徑為長方體體對角線的長，因?yàn)椋?，所以該球的半徑?，體積為.故選：C二、多選題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，選錯(cuò)得0分.）9.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.平面平面 D.〖答案〗ABC〖解析〗對于選項(xiàng)A,C，因?yàn)榈酌?，平?則，因?yàn)?且平面,平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，且平面，所以平面⊥平面，故A，C正確；對于B,由選項(xiàng)A知，，又，且平面,平面所以平面，且平面，所以，故B正確；對于D,若，則垂直于在平面內(nèi)的射影，顯然不成立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說法正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.C當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)或4時(shí)，取得最大值〖答案〗CD〖解析〗當(dāng)時(shí)，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；因?yàn)榈膶ΨQ軸為，開口向下，而是正整數(shù)，且或距離對稱軸一樣遠(yuǎn)，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故D正確.故選：CD.11.已知圓，直線，則（）A.直線過定點(diǎn)B.直線與圓可能相離C.圓被軸截得的弦長為D.圓被直線截得的弦長最短時(shí)，直線的方程為〖答案〗AC〖解析〗直線，由，得，即l恒過定點(diǎn)，故A正確；點(diǎn)與圓心的距離，故直線l與圓C恒相交，故B錯(cuò)誤；令，則，可得，故圓C被y軸截得弦長為，故C正確；要使直線l被圓C截得弦長最短，只需與圓心連線垂直于直線，所以直線l的斜率，可得，故直線l為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且都在軸的上方，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記的面積分別為，則（）A.直線的斜率為 B.直線的斜率為C. D.〖答案〗BC〖解析〗設(shè)，過點(diǎn)分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義可得，所以，，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)正確；，所以，C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC.三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.若數(shù)列為等差數(shù)列且，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______.〖答案〗〖解析〗設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得，所以，故〖答案〗為：.14.正方體的棱長為，、分別是、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為________.〖答案〗〖解析〗建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，.則，，設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴.令，得.又∵，∴點(diǎn)到平面的距離.故〖答案〗為：.15.如圖，已知圓的半徑為定長是圓所在平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和直線相交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)：（1）當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)且不與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)的軌跡是__________（從圓?橢圓?拋物線中選擇一個(gè)填寫）；（2）當(dāng)__________（從>，=，<中選擇一個(gè)填寫）時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．〖答案〗①橢圓②>〖解析〗當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)且不與點(diǎn)重合時(shí)，，因此點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為半徑的橢圓，當(dāng)點(diǎn)A在圓上時(shí)，點(diǎn)到圓心重合，當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為半徑的雙曲線的一支．故〖答案〗為：橢圓；．16.設(shè)、是橢圓：（）與雙曲線：（，）的公共焦點(diǎn)，曲線、在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，由，所以，由，得，化為，所以，由，可得，所以，所以，故〖答案〗為：.四、解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）17.已知圓C過，，且圓心C在直線l：上．經(jīng)過點(diǎn)的直線m交圓C于P、Q兩點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求直線m的方程．解：（1）因?yàn)?，，所以，線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線AB的垂直平分線的斜率為，其方程為，即，聯(lián)立，解得，則，又圓C半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)?，，所以在中，，則圓心C到直線m的距離為，當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m方程為，此時(shí)C到直線m距離為2，滿足題意；當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為，即，所以，解得，所以直線m的方程為，即，綜上可得，直線m方程為或．18.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，則求出通項(xiàng)公式，若不是請說明理由；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.解：（1）由題設(shè)，即，且，又時(shí)，，可得，綜上，是公比為2的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（2）由題設(shè)，故，所以，又，所以，得證.19.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求銳二面角的余弦值.解：（1）因?yàn)橹比庵云矫?，因?yàn)槠矫?，所以；因?yàn)槭堑冗吶切危抢獾闹悬c(diǎn)，所以；因?yàn)槠矫?，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?）分別取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭堑冗吶切?，是中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹比庵云矫?，因平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以即兩兩垂直，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，取，則，平面的一個(gè)法向量為；則，所以銳二面角的余弦值為20.“①，；②，”兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并解答.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）若選①，：設(shè)公比為，顯然.因?yàn)椋?，因?yàn)椋瑑墒阶魃炭傻?，整理可得，解得或（舍去），將代入可得，所以；若選②，：設(shè)公比為，顯然.由已知可得，，因?yàn)椋瑑墒阶魃炭傻?，整理可得，解得或（舍去），將代入可得，，所?（2）由（1）知，，則.所以，，，兩式作差可得，，所以.21.如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為菱形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，，AB＝2，M為PC上一點(diǎn)，且．（1）求異面直線AP與DM所成角的余弦值．（2）在棱PB上是否存在點(diǎn)N，使得平面BDM？若存在，求的值；若不存在，說明理由．解：（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以，由于平面PAD⊥平面ABCD且交線為，平面，所以平面，由于平面，所以，在菱形中，，所以三角形是等邊三角形，所以，故兩兩相互垂直，由此建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，，，，，所以直線AP與DM所成角為，則.（2），設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).平面，設(shè)，則，若平面，則，解得，所以在棱PB上是存在點(diǎn)N，使得平面BDM且.22.已知橢圓：（）的左、右頂點(diǎn)分別為，且，離心率為，為橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過且斜率為