一元二次不等式與基本不等式班級(jí)姓名 題組一一元二次不等式的解法1．已知不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0，,x2－6x＋8＜0))的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．2．解關(guān)于x的不等式12x2－ax>a2(a∈R)．3．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集為{x|x<1或x>b}，(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.題組二基本不等式4.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則()A．a(chǎn)b≤eq\f(1,2)B．a(chǎn)b≥eq\f(1,2)C．a(chǎn)2＋b2≥2D．a(chǎn)2＋b2≤35．設(shè)a、b是正實(shí)數(shù)，以下不等式①eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋eq\f(2,ab)>2恒成立的序號(hào)為()A．①③B．①④C．②③D．②④6.設(shè)x、y均為正實(shí)數(shù)，且eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1，則xy的最小值為()A．4B．4eq\r(3)7．若a，b是正常數(shù)，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，則eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f((a＋b)2,x＋y)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)時(shí)取等號(hào)．利用以上結(jié)論，函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)(x∈(0，eq\f(1,2)))取得最小值時(shí)x的值為()A．1B.eq\f(1,5)C．2D.eq\f(1,3)8．(2010·太原模擬)若直線ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函數(shù)f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)，則當(dāng)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式是________．9．已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求證：(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)≥8.題組三不等式的應(yīng)用問(wèn)題10.某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時(shí)的最低產(chǎn)量是()A．100臺(tái)B．120臺(tái)C．150臺(tái)D．180臺(tái)11．某摩托車廠上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(rùn)＝(出廠價(jià)－投入成本)×年銷售量．(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？12．某商場(chǎng)中秋前30天月餅銷售總量f(t)與時(shí)間t(0<t≤30)的關(guān)系大致滿足f(t)＝t2＋10t＋16，則該商場(chǎng)前t天平均售出(如前10天的平均售出為eq\f(f(10),10))的月餅最少為()A．18B．27C13．某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站________千米處．14.為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量，某企業(yè)擬在2010年進(jìn)行技術(shù)改革．經(jīng)調(diào)查測(cè)算，產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量x萬(wàn)件與投入技術(shù)改革費(fèi)用m萬(wàn)元(m≥0)滿足x＝3－eq\f(k,m＋1)(k為常數(shù))．如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量只能是1萬(wàn)件．已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元．由于市場(chǎng)行情較好，廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品均能銷售出去．廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍(生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．(1)將2010年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元(利潤(rùn)＝銷售金額－生產(chǎn)成本－技術(shù)改革費(fèi)用)表示為技術(shù)改革費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；(2)該企業(yè)2010年的技術(shù)改革費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？題組四不等式的恒成立15．已知關(guān)于x的不等式2x＋eq\f(2,x－a)≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)_______16．已知不等式(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（）A．8B．6C．417.若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥2或a≤－3B．a(chǎn)＞2或a≤－3C．a(chǎn)＞2D．－2＜a＜218．設(shè)奇函數(shù)f(x)在上是單調(diào)函數(shù)，且f(－1)＝－1，若函數(shù)f(x)≤t2－2at＋1對(duì)所有的x∈都成立，當(dāng)a∈時(shí)，則t的取值范圍是________．

參考答案：1．已知不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0，,x2－6x＋8＜0))的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：因?yàn)椴坏仁浇Meq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0，,x2－6x＋8＜0))的解集是{x|2＜x＜3}，設(shè)f(x)＝2x2－9x＋a，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(2)≤0，,f(3)≤0，))解得a≤9.答案：a≤92．解關(guān)于x的不等式12x2－ax>a2(a∈R)．解：由12x2－ax－a2>0?(4x＋a)(3x－a)>0?(x＋eq\f(a,4))(x－eq\f(a,3))>0，①a>0時(shí)，－eq\f(a,4)<eq\f(a,3)，解集為{x|x<－eq\f(a,4)或x>eq\f(a,3)}；②a＝0時(shí)，x2>0，解集為{x|x∈R且x≠0}；③a<0時(shí)，－eq\f(a,4)>eq\f(a,3)，解集為{x|x<eq\f(a,3)或x>－eq\f(a,4)}．3．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集為{x|x<1或x>b}，(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.解：(1)因?yàn)椴坏仁絘x2－3x＋6>4的解集為{x|x<1或x>b}，所以x1＝1與x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且b>1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＝\f(3,a)，,1×b＝\f(2,a).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))(2)所以不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c①當(dāng)c>2時(shí)，不等式(x－2)(x－c)<0的解集為{x|2<x<c}；②當(dāng)c<2時(shí)，不等式(x－2)(x－c)<0的解集為{x|c<x<2}；③當(dāng)c＝2時(shí)，不等式(x－2)(x－c)<0的解集為?.綜上所述：當(dāng)c>2時(shí)，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集為{x|2<x<c}；當(dāng)c<2時(shí)，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集為{x|c<x<2}；當(dāng)c＝2時(shí)，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集為?.題組二基本不等式4.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則()A．a(chǎn)b≤eq\f(1,2)B．a(chǎn)b≥eq\f(1,2)C．a(chǎn)2＋b2≥2D．a(chǎn)2＋b2≤3解析：法一：由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)得ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝1，又a2＋b2≥2ab?2(a2＋b2)≥(a＋b)2?a2＋b2≥2.法二：(特值法)取a＝0，b＝2滿足a＋b＝2，代入選項(xiàng)可排除B、D.又取a＝b＝1滿足a＋b＝2.但ab＝1，可排除A.答案：C5．設(shè)a、b是正實(shí)數(shù)，以下不等式①eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋eq\f(2,ab)>2恒成立的序號(hào)為()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：∵a、b是正實(shí)數(shù)，∴①a＋b≥2eq\r(ab)?1≥eq\f(2\r(ab),a＋b)?eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b).當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，∴①不恒成立；②a＋b>|a－b|?a>|a－b|－b恒成立；③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2≥0，當(dāng)a＝2b時(shí)，取等號(hào)，∴③不恒成立；④ab＋eq\f(2,ab)≥2eq\r(ab·\f(2,ab))＝2eq\r(2)>2恒成立．答案：D6.設(shè)x、y均為正實(shí)數(shù)，且eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1，則xy的最小值為()A．4B．4eq\r(3)解析：由eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1可得xy＝8＋x＋y.∵x，y均為正實(shí)數(shù)，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2eq\r(xy)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立)，即xy－2eq\r(xy)－8≥0，可解得eq\r(xy)≥4，即xy≥16，故xy的最小值為16.答案：D7．若a，b是正常數(shù)，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，則eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f((a＋b)2,x＋y)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)時(shí)取等號(hào)．利用以上結(jié)論，函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)(x∈(0，eq\f(1,2)))取得最小值時(shí)x的值為()A．1B.eq\f(1,5)C．2D.eq\f(1,3)解析：由eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f((a＋b)2,x＋y)得，f(x)＝eq\f(22,2x)＋eq\f(32,1－2x)≥eq\f((2＋3)2,2x＋(1－2x))＝25.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2,2x)＝eq\f(3,1－2x)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)x＝eq\f(1,5)時(shí)f(x)取得最小值25.答案：B8．(2010·太原模擬)若直線ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函數(shù)f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)，則當(dāng)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式是________．解析：函數(shù)f(x)＝ax＋1＋1的圖象恒過(guò)(－1,2)，故eq\f(1,2)a＋b＝1，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(1,2)a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(3,2)＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(3,2)＋eq\r(2).當(dāng)且僅當(dāng)b＝eq\f(\r(2),2)a時(shí)取等號(hào)，將b＝eq\f(\r(2),2)a代入eq\f(1,2)a＋b＝1得a＝2eq\r(2)－2，故f(x)＝(2eq\r(2)－2)x＋1＋1.答案：f(x)＝(2eq\r(2)－2)x＋1＋19．已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求證：(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)≥8.證明：∵a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，∴(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)＝eq\f((1－a)(1－b)(1－c),abc)＝eq\f((b＋c)(a＋c)(a＋b),abc)≥eq\f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時(shí)取等號(hào)．題組三不等式的應(yīng)用問(wèn)題10.某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時(shí)的最低產(chǎn)量是()A．100臺(tái)B．120臺(tái)C．150臺(tái)D．180臺(tái)解析：依題意得25x≥3000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200，因?yàn)?＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低產(chǎn)量是150臺(tái)．答案：C11．某摩托車廠上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(rùn)＝(出廠價(jià)－投入成本)×年銷售量．(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解：(1)由題意得y＝×1000(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．(2)要保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，必須有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－(1.2－1)×1000＞0，,0＜x＜1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－60x2＋20x＞0，,0＜x＜1.))解得0＜x＜eq\f(1,3).∴投入成本增加的比例應(yīng)在(0，eq\f(1,3))范圍內(nèi)．12．某商場(chǎng)中秋前30天月餅銷售總量f(t)與時(shí)間t(0<t≤30)的關(guān)系大致滿足f(t)＝t2＋10t＋16，則該商場(chǎng)前t天平均售出(如前10天的平均售出為eq\f(f(10),10))的月餅最少為()A．18B．27C解析：平均銷售量y＝eq\f(f(t),t)＝eq\f(t2＋10t＋16,t)＝t＋eq\f(16,t)＋10≥18.當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(16,t)，即t＝4∈等號(hào)成立，即平均銷售量的最小值為18.答案：A13．某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站________千米處．解析：設(shè)倉(cāng)庫(kù)建在離車站d千米處，由已知y1＝2＝eq\f(k1,10)，得k1＝20，∴y1＝eq\f(20,d)，y2＝8＝k2·10，得k2＝eq\f(4,5)，∴y2＝eq\f(4,5)d，∴y1＋y2＝eq\f(20,d)＋eq\f(4d,5)≥2eq\r(\f(20,d)·\f(4d,5))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(20,d)＝eq\f(4d,5)，即d＝5時(shí)，費(fèi)用之和最?。鸢福?14．為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量，某企業(yè)擬在2010年進(jìn)行技術(shù)改革．經(jīng)調(diào)查測(cè)算，產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量x萬(wàn)件與投入技術(shù)改革費(fèi)用m萬(wàn)元(m≥0)滿足x＝3－eq\f(k,m＋1)(k為常數(shù))．如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量只能是1萬(wàn)件．已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元．由于市場(chǎng)行情較好，廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品均能銷售出去．廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍(生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．(1)將2010年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元(利潤(rùn)＝銷售金額－生產(chǎn)成本－技術(shù)改革費(fèi)用)表示為技術(shù)改革費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；(2)該企業(yè)2010年的技術(shù)改革費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？解：(1)由題意可知，當(dāng)m＝0時(shí)，x＝1(萬(wàn)件)，∴1＝3－k，∴k＝2，∴x＝3－eq\f(2,m＋1)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×eq\f(8＋16x,x)(元)，∴2010年的利潤(rùn)y＝x·－(8＋16x)－m＝－[eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)]＋29(元)(m≥0)．(2)∵m≥0，∴eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq\r(16)＝8，∴y≤29－8＝21，當(dāng)eq\f(16,m＋1)＝m＋1，即m＝3，ymax＝21.∴該企業(yè)2010年的技術(shù)改革費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．題組四不等式的恒成立15．已知關(guān)于x的不等式2x＋eq\f(2,x－a)≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閤>a，所以2x＋eq\f(2,x－a)＝2(x－a)＋eq\f(2,x－a)＋2a≥2eq\r(2(x－a)·\f(2,x－a))＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥eq\f(3,2)，即a的最小值為eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)16．已知不等式(x＋y)(eq\f(1,x)＋