從三則教學(xué)案例看數(shù)學(xué)問(wèn)題情境的有效設(shè)計(jì)獲獎(jiǎng)科研報(bào)告論文新課程實(shí)施以來(lái)，許多教師的教學(xué)理念發(fā)生了變化，在教學(xué)中都很注重問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，出現(xiàn)了一些優(yōu)秀的問(wèn)題情境設(shè)計(jì)方案，也有一些情境設(shè)計(jì)只是講究外面的包裝，看似很新、奇、亮，但不知道其真正的目的是什么?是否有效地達(dá)成了目標(biāo)?

情境設(shè)計(jì)的有效性是指情境設(shè)計(jì)所指向教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度，包括顯性目標(biāo)和隱性目標(biāo)的達(dá)成度，以及情境設(shè)計(jì)所展現(xiàn)的教學(xué)過(guò)程是否適切、是否經(jīng)濟(jì)，包括45分鐘的課堂效率.

一個(gè)有效的情境設(shè)計(jì)，“應(yīng)該有鮮明的目標(biāo)指向，能融數(shù)學(xué)教與學(xué)為一體，具有數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的內(nèi)驅(qū)力，并使數(shù)學(xué)課堂具有自我生長(zhǎng)性的立體的環(huán)境”［1］.

一個(gè)有效的情境設(shè)計(jì)應(yīng)該包括它的問(wèn)題性、指向性、適切性、探究性、現(xiàn)實(shí)性、趣味性.一個(gè)情境設(shè)計(jì)的有效性的標(biāo)準(zhǔn)是看是否設(shè)置了一種問(wèn)題的環(huán)境、背景和條件，有助于學(xué)生的探究、發(fā)現(xiàn)和體驗(yàn)，“是否選擇了有效的最近發(fā)展區(qū)，有助于本節(jié)課的核心目標(biāo)達(dá)成，是否重視了問(wèn)題的呈現(xiàn)方式，有助于學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，是否關(guān)注了學(xué)生學(xué)習(xí)的元認(rèn)知因素，有助于提升問(wèn)題的思維價(jià)值，是否強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，有助于探究有價(jià)值的真實(shí)問(wèn)題，是否注重了策略方法的研究，有助于提供新的學(xué)習(xí)渠道”［2］.

案例1：折紙游戲與橢圓——情境設(shè)計(jì)需要講究適度

設(shè)計(jì)方案1：

1.生活實(shí)際例子及圖片顯示：汽車油罐的橫截面的輪廓，行星和衛(wèi)星運(yùn)行的軌跡等.

2.動(dòng)手畫(huà)橢圓：教師利用兩個(gè)圖釘，一條一定長(zhǎng)的細(xì)線，一根粉筆，在小黑板上演示畫(huà)一個(gè)橢圓的過(guò)程.

3.學(xué)生觀察畫(huà)橢圓過(guò)程，思考橢圓的特征.

4.給出橢圓定義，推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

評(píng)注：設(shè)計(jì)1以教師在黑板上用橢圓的機(jī)械畫(huà)法，引入橢圓定義以及焦點(diǎn)的概念.生活實(shí)際例子、圖片、機(jī)械畫(huà)法，所設(shè)置的情境指向明確，橢圓的機(jī)械畫(huà)法這種情境中蘊(yùn)涵著橢圓內(nèi)部的數(shù)學(xué)本質(zhì)聯(lián)系，粉筆到兩個(gè)圖釘?shù)木嚯x和等于細(xì)線的定長(zhǎng)，但這種呈現(xiàn)方式過(guò)于顯性、直接、簡(jiǎn)單、容易.缺少探究的空間，幾乎是教師直接地、生硬地把概念“拋”給學(xué)生.本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是橢圓定義的發(fā)生、橢圓方程的推導(dǎo)和簡(jiǎn)單的應(yīng)用，其中探索橢圓定義是認(rèn)識(shí)橢圓并掌握橢圓方程的前提，因此，教學(xué)的重點(diǎn)是基于過(guò)程性的探索橢圓定義、方程和知識(shí)技能性的簡(jiǎn)單運(yùn)用，從這個(gè)意義出發(fā)，該情境與本節(jié)課的核心目標(biāo)達(dá)成有一定的距離和偏差.

設(shè)計(jì)方案2：

1.折紙活動(dòng)：(如圖1)在一張圓形紙片內(nèi)部設(shè)置一不同于圓心的一點(diǎn)，折疊紙片，使圓的周界上有一點(diǎn)落于設(shè)置點(diǎn).如圖折疊數(shù)次，形成一系列折痕，它們整體地勾畫(huà)出一條曲線的輪廓.

2.觀察、猜想：眾多折痕圍出一個(gè)橢圓.

3.幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示折紙過(guò)程及形成的橢圓.

4.探究本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)形成定義：橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)C、點(diǎn)O的距離和等于圓半徑，由學(xué)生概括、教師補(bǔ)充，整理成定義.

5.根據(jù)橢圓定義，推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

評(píng)注：設(shè)計(jì)2引入了折紙活動(dòng)，使原本單調(diào)、枯燥的數(shù)學(xué)變得生動(dòng)、有趣.定義的給出，不是教師直接“拋”出的，而是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、概括的.教師的工作是把教學(xué)設(shè)計(jì)成學(xué)生動(dòng)手操作、多媒體輔助、觀察猜想、揭示規(guī)律、引入定義、形成概念等一系列過(guò)程.從情境任務(wù)與問(wèn)題表達(dá)、情境對(duì)問(wèn)題解決的暗示程度來(lái)看，折紙情境相比設(shè)計(jì)1中的機(jī)械畫(huà)法，較隱性、間接，有一定的探究的空間，是在“最近發(fā)展區(qū)”的一種恰當(dāng)?shù)亩?

案例2：e值的討論與拋物線——情境設(shè)計(jì)需要講究適時(shí)

設(shè)計(jì)方案：

1.折紙游戲：閱讀游戲規(guī)則，動(dòng)手操作折紙(如圖2).

2.觀察、發(fā)現(xiàn)1：折線的交點(diǎn)是拋物線.

3.幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示折紙過(guò)程及拋物線(如圖3).

4.探究、發(fā)現(xiàn)2：拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到紙邊的距離.

5.形成定義、推導(dǎo)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.

6.知識(shí)應(yīng)用和變式練習(xí).

評(píng)注：如果孤立地看這個(gè)設(shè)計(jì)，和上述橢圓的設(shè)計(jì)一樣是個(gè)很有效的情境設(shè)計(jì).但從圓錐曲線整個(gè)單元系統(tǒng)來(lái)看，采用復(fù)習(xí)橢圓、雙曲線的統(tǒng)一定義，由對(duì)離心率e<1、e>1的分類討論，引出問(wèn)題e=1，并直接告訴拋物線定義，進(jìn)而推導(dǎo)拋物線方程.這種方式自然、直接、省時(shí)，在這節(jié)課的三個(gè)教學(xué)目標(biāo)，拋物線定義、方程推導(dǎo)、性質(zhì)應(yīng)用的實(shí)施中可以重心適當(dāng)后移，更經(jīng)濟(jì)、高效地達(dá)成教學(xué)目標(biāo).有效的情境設(shè)計(jì)應(yīng)該是“一章節(jié)(單元)教學(xué)中情境—問(wèn)題教學(xué)的總體設(shè)計(jì)”［3］，所以說(shuō)從整個(gè)單元系統(tǒng)來(lái)看，這個(gè)設(shè)計(jì)不適時(shí).

同樣另外的幾種情境的設(shè)計(jì)，都不是很適切.一種是通過(guò)多媒體展現(xiàn)生活中拋物線的現(xiàn)象，如姚明投籃、紹興橋的圖片等，從現(xiàn)象引入課題，直接給出定義，豐富、精美的畫(huà)面能很好地渲染氣氛、調(diào)動(dòng)學(xué)生情緒，也能直觀地、簡(jiǎn)單地說(shuō)明拋物線的現(xiàn)實(shí)性，但缺少對(duì)拋物線定義本質(zhì)的揭示過(guò)程.另一種是從一個(gè)具體的應(yīng)用問(wèn)題情境引入課題，直接給出拋物線定義，如紹興環(huán)城河的水位、船載物高度與紹興廊橋的形狀及通航的關(guān)系等具體情景，這種現(xiàn)實(shí)生活中具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)無(wú)法解決的問(wèn)題情境，能使學(xué)生在實(shí)際情境中產(chǎn)生“疑”，但情境與定義的發(fā)生沒(méi)有聯(lián)系.

案例3：李白和酒杯中的數(shù)學(xué)——情境不只是為了渲染

設(shè)計(jì)方案1：

1.多媒體播放李白的資料：生平、畫(huà)像、詩(shī)詞，所用時(shí)間1分鐘.

2.配音朗誦并分析李白的《將進(jìn)酒》：詩(shī)深沉渾厚，氣象不凡.情極悲憤狂放，語(yǔ)極豪縱沉著，大起大落，奔放跌宕.詩(shī)句長(zhǎng)短不一，參差錯(cuò)綜，節(jié)奏快慢多變，一瀉千里等等，所用時(shí)間8分鐘.

3.用“莫使金木尊空對(duì)月”引出“酒杯”：“人生得意須盡歡，莫使金木尊空對(duì)月.天生我材必有用，千金散盡還復(fù)來(lái).”其中的“金木尊”為何意?——酒杯，所用時(shí)間1分鐘.

4.介紹酒杯(課件演示)：直角酒杯、橢圓酒杯、拋物線酒杯(按酒杯的軸截面形狀分)，所用時(shí)間1分鐘.

5.酒杯中的數(shù)學(xué)1：如果已知一拋物線酒杯，我們測(cè)量得杯口寬4cm，杯深8cm，能否求出該拋物線方程?通過(guò)練習(xí)，復(fù)習(xí)拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等問(wèn)題，為后面的探究在知識(shí)上做好鋪墊，所用時(shí)間3分鐘.

6.酒杯中的數(shù)學(xué)2：定長(zhǎng)為2的細(xì)棒AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線酒杯x2=1/2y上移動(dòng)，記線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

評(píng)注：這是一節(jié)拋物線知識(shí)的應(yīng)用課，感覺(jué)

從聲音、畫(huà)面、情境都很有感染力，但前面的14分鐘，只引出了酒杯，不經(jīng)濟(jì)，浪費(fèi)時(shí)間.從李白、酒杯到酒杯中的數(shù)學(xué)，這樣的故事情境具有一定的人文性和生活化，但情境指向的僅僅是酒杯，不是本節(jié)課的本質(zhì)問(wèn)題，這樣的情境太重形式，表面的東西，沒(méi)有意義.設(shè)計(jì)中的1至4步與課的目標(biāo)及內(nèi)容沒(méi)有什么聯(lián)系，遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)本質(zhì)，為情境化而設(shè)計(jì)情境.

設(shè)計(jì)方案2：

1.李白豪飲、狂書(shū)、甩筆：假如李白一手握杯，一手執(zhí)筆.先將美酒一飲而盡，將酒杯置于身后.然后揮筆草書(shū)《將進(jìn)酒》.寫(xiě)完后，甩筆，恰入酒杯中.假設(shè)此杯為大號(hào)拋物線酒杯，因唐朝制杯工藝優(yōu)秀，古杯壁光滑可忽略摩擦，現(xiàn)視筆為粗細(xì)均勻的細(xì)棒.問(wèn)題當(dāng)筆最后達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，筆在酒杯中的位置如何?(課件演示).

2.從物理學(xué)科角度看：“物體處于平衡位置與其重心有什么關(guān)系”?(細(xì)棒的中心即細(xì)棒的重心處于最低位置).

3.請(qǐng)學(xué)生編寫(xiě)數(shù)學(xué)題：“根據(jù)上述現(xiàn)象的結(jié)論，舉例編寫(xiě)出數(shù)學(xué)問(wèn)題”.

4.酒杯中的數(shù)學(xué)：定長(zhǎng)為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線x2=1/2y上移動(dòng)，記線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

評(píng)注：“李白豪飲、狂書(shū)、甩筆”的故事情境，描述了筆“從滑動(dòng)到最后平衡狀態(tài)”的物理現(xiàn)象，情境設(shè)計(jì)中的2、3兩個(gè)“問(wèn)題串”，引導(dǎo)學(xué)生從物理的角度揭示問(wèn)題本質(zhì)，進(jìn)一步數(shù)學(xué)化為本節(jié)課的核心問(wèn)題.與設(shè)計(jì)1比較，這樣的情境既有故事的趣味性、又有問(wèn)題的本質(zhì)的東西，這樣的“問(wèn)題串”“適度”，能“引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去解決問(wèn)題.”［4］

有效的數(shù)學(xué)情境設(shè)計(jì)“不要脫離課堂教學(xué)目標(biāo)”，“為情境而設(shè)置情境”，不要刻意追求“為課件而制作課件”.要恰當(dāng)處理“復(fù)雜的情境”，要注重“虛擬情境”中的數(shù)學(xué)信息探析，要處理好核心知識(shí)學(xué)習(xí)與學(xué)生興趣的關(guān)系”.［5］

參考文獻(xiàn)

［1］黃翔，李開(kāi)慧.關(guān)于數(shù)學(xué)課程的情境化設(shè)計(jì)［J］.課程教材教法，2006(9)：39-43.

［2］李曉明.例說(shuō)“情境”中問(wèn)題設(shè)置的改造［J］.數(shù)學(xué)教