朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁第九節(jié) 壓桿穩(wěn)定細長壓桿的臨界力——歐拉公式歐拉公式如下式中E——壓桿材料的彈性模量；I——截面的主慣性矩；μ——長度系數；μl——壓桿失穩(wěn)時撓曲線中一個“半波正弦曲線”的長度，稱為相當長度，此相當長度等于壓桿失穩(wěn)時撓曲線上兩個彎矩零點之間的長度。常用的四種桿端約束壓桿的長度系數μ；(1)一端固定、一端自由，μ=2;(2)兩端鉸支，μ=1；(3)一端固定、一端鉸支，μ=0.7；(4)兩端固定，μ=0.5。工程實際中壓桿的桿端約束往往比較復雜，不能容易地將它歸于哪一類，要對其作詳細分析，從而定出與實際較臨近的μ值。例21-端固定，一端彈性支承的細長壓桿如圖所示，其長度系數的范圍應為。A.0.5≤μ≤2B.0.7≤μ≤2 C.o.5≤p≤1D.0.7≤μ≤1解：從常用的四種桿端約束壓桿的長度系數μ的值可看出，桿端的約束越強，μ值越?。▔簵U的臨界力越大）。圖所示壓桿的桿端約束比一端固定、一端自由時(μ=2)強，但又比一端固定、一端鉸支時(μ=0.7)弱，故0.7≤μ≤2，即為B的范圍。2016--70真題真題兩端鉸支細長（大柔度）壓桿，在下端鉸鏈處增強一個扭簧彈性約束，如圖所示，該壓桿的長度系數μ的取值范圍是（）。（A）0.7＜μ＜1（B）2＞μ＞1（C）0.5＜μ＜0.7（D）μ＜0.5提醒：從常用的四種桿端約束的長度系數μ的值可看出，桿端約束越強，μ值越小，而桿端約束越弱，則μ值越大。本題圖中所示壓桿的桿端約束比兩端鉸支壓桿（μ=1）強，又比一端鉸支、一端固定壓桿（μ=0.7）弱，故0.7＜μ＜1，即為（?。┑姆秶?。答案：（?。├?2009年真題)兩根徹低相同的細長（大柔度）壓桿AB和CD如圖所示，桿的下端為固定鉸鏈約束，上端與剛性水平桿固結。兩桿的彎曲剛度均為EI，其臨界載荷Fa為。提醒：從常用的四種桿端約束的長度系數μ的值可看出，桿端約束越強，μ值越小，而桿端約束越弱，則μ值越大。本題圖中所示壓桿的桿端約束比兩端鉸支壓桿（μ=1）強，又比一端鉸支、一端固定壓桿（μ=0.7）弱，故0.7＜μ＜1，即為（?。┑姆秶４鸢福海é。┙猓簣D示結構的臨界載荷應該是使壓桿AB和CD同時到達臨界載荷，也就是壓桿AB(或CD)臨界載荷的兩倍：故有答案：B（2011年、2017年真題）一端固定一端自由的細長（大柔度）壓桿，長為L（圖a），當桿的長度減小一半時(圖Vb)，其臨界載荷Fcr比本來增強()。(A)4倍(B)3倍(C)2倍(D)1倍提醒：由壓桿臨界載荷公式可知，與桿長的平方成反比，故桿長變?yōu)橐话霑r，臨界力則是本來的4倍，比本來增強了3倍。答案：(B)二、臨界應力、柔度、歐拉公式的適用范圍（一）臨界應力、柔度其中式中i——慣性半徑，它是反映截面形狀和尺寸的一個幾何量；λ——壓桿的柔度，又稱為長細比，它是一個無量綱量，它綜合地反映了桿長、桿端約束以及截面形狀和尺寸對臨界應力的影響?？梢?，柔度λ是一個極其重要的量。（二）臨界應力總圖、歐拉公式的適用范圍按照壓桿的柔度值可將所有壓桿分為三類：λ≥λP的壓桿為細長桿或大柔度桿，其臨界應力可按歐拉公式計算；λS<λ<λP的壓桿為中長桿或中柔度桿，其臨界應力可按經驗公式σcr=a-bλ算；λ≤λS的壓桿則為短桿或小柔度桿，應按強度問題處理，用σcr=σS來計算其臨界應力。圖表示出這三種壓桿的臨界應力σcr隨柔度λ的變化關系，稱為臨界應力總圖，由圖中可以看到歐拉公式的使用條件是，亦即中長桿與短桿的柔度分界值為（a、b是由實驗得到的材料常數）【真題解析】5—84（2006年真題）在材料相同的條件下，隨著柔度的增大，。(A)細長桿的臨界應力是減小的，中長桿不是(B)中長桿的臨界應力是減小的，細長桿不是(c)細長桿和中長桿的臨界應力均是減小的(D)細長桿和中長桿的臨界應力均不是減小的解：不同壓桿的臨界應力總圖如圖所示。圖中AB段表示短桿的臨界應力，BC段表示中長桿的臨界應力，CD段表示細長桿的臨界應力。從圖中可以看出，在材料相同的條件下，隨著柔度的增大，細長桿和中長桿的臨界應力均是減小的。答案：(c)

三、壓桿的穩(wěn)定計算（一）安全系數法式中P——壓桿所受的實際軸向壓力；Pcr——壓桿的臨界力；nst——壓桿的工作穩(wěn)定安全系數；[nst]——規(guī)定的穩(wěn)定安全系數。（二）折減系數法（土建結構規(guī)范中常用）式中[σ]——強度許用應力；A——壓桿橫截面面積；[σst]——穩(wěn)定許用應力；φ——[σst]與[σ]的比值，稱為折減系數，是一個小于1的系數，其值可按照有關材料的φ—λ關系曲線或折減系數表查得，或由經驗公式算得。對折減系數表中沒有的非整數λ開對應的φ值，可用線性插值公式計算式中λ1、λ2——整數的柔度；φ1、φ2——分離為λ1、λ2所對應的折減系數。利用式(5-87)、式(5-88)兩個穩(wěn)定條件，除了可用來對壓桿的穩(wěn)定性舉行校核，決定壓桿的允許荷載外，還可用試算法決定壓桿的截面尺寸。若壓桿橫截面上兩個形心主慣性軸方向μ和i各不相同，則應用公式分離計算λy和λz，求出最大柔度λmax作為計算的根據。四、提高壓桿穩(wěn)定性的措施(1)減小壓桿長度l，或在壓桿的中間增強支承。(2)改善桿端約束，使長度系數μ值減小。(3)挑選合理的截面形狀：1)盡可能將材料分布的離截面形心較遠，以增大慣性矩I。2)盡可能使壓桿在兩個形心主慣性平面內有相等或相近的穩(wěn)定性，即λy≈λz。(4)合理選用材料。對大柔度桿，在彈性模量E值相同或相近的材料中，沒有須要選用高強度鋼。對中柔度桿和小柔度桿，選用高強度鋼能提高其穩(wěn)定性。