朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁中考總復(fù)習(xí)：異常的四邊形—知識講解（提高）【考綱要求】1.會識別矩形、菱形、正方形以及梯形；2.控制矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質(zhì)，會用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定解決問題．3.控制梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性質(zhì)和判定，會用性質(zhì)和判定解決實際問題．【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、幾種異常四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對角線矩形對邊平行且相等四個角是直角相等且互相平分①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中央、軸對稱圖形菱形四條邊相等對角相等，鄰角互補(bǔ)垂直且互相平分，每一條對角線平分一組對角①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形中央對稱圖形正方形四條邊相等四個角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對角線平分一組對角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對角線垂直的矩形是正方形3、有一個角是直角的菱形是正方形4、對角線相等的菱形是正方形中央、軸對稱等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；3、對角線相等的梯形是等腰梯形.軸對稱圖形【要點詮釋】矩形、菱形、正方形都是異常的平行四邊形，它們具有平行四邊形的一切性質(zhì).考點二、中點四邊形相關(guān)問題中點四邊形的概念：把依次銜接隨意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．若中點四邊形為矩形，則原四邊形滿意條件對角線互相垂直；

若中點四邊形為菱形，則原四邊形滿意條件對角線相等；

若中點四邊形為正方形，則原四邊形滿意條件對角線互相垂直且相等．【要點詮釋】中點四邊形的形狀由原四邊形的對角線的位置和數(shù)量關(guān)系決定．

考點三、重心

1.線段的中點是線段的重心；三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心；三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的2倍.

平行四邊形對角線的交點是平行四邊形的重心?！镜湫屠}】類型一、異常的平行四邊形的應(yīng)用1.（2012?湛江）如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF、再以對角線AE為邊作笫三個正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的邊長記為a1，按上述主意所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，…，an，則an=___________．【思路點撥】求a2的長即AC的長，按照直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以計算，同理計算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…，an=an-1=（）n-1，可以找出邏輯，得到第n個正方形邊長的表達(dá)式．【答案】（）n-1.【解析】∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，

∴a2=a1=，同理a3=a2=2，,

a4=a3=2，…

由此可知：an=an-1=（）n-1故答案為：（）n-1.【總結(jié)升華】考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理在直角三角形中的運用，考查了學(xué)生找邏輯的能力，本題中找到an的邏輯是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【高清課堂:多邊形與異常平行四邊形例4】【變式】(2011德州)長為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當(dāng)n=3時，a的值為________．第一次操作第二次操作第一次操作第二次操作【答案】或.2．（2015秋?寶安區(qū)校級期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=6，BD=8，點P是AC延伸線上的一個動點，過點P作PE⊥AD，垂足為E，作CD延伸線的垂線，垂足為E，則|PE﹣PF|=．【思路點撥】延伸BC交PE于G，由菱形的性質(zhì)得出AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，由勾股定理求出AD，由對頂角相等得出∠PCF=∠PCG，由菱形的面積的兩種計算主意求出EG，由角平分線的性質(zhì)定理得出PG=PF，得出PE﹣PF=PE﹣PG=EG即可．【答案】4.8．【解析】解：延伸BC交PE于G，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，∴AD==5，∠PCF=∠PCG，∵菱形的面積=AD?EG=AC?BD=×6×8=24，∴EG=4.8，∵PE⊥AD，∴PE⊥BG，∵PF⊥DF，∴PG=PF，∴PE﹣PF=PE﹣PG=EG=4.8．故答案為：4.8．【總結(jié)升華】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理、菱形面積的計算等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線證出PG=PF是解決問題的關(guān)鍵．類型二、梯形的應(yīng)用3．（2011?資陽）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點E，銜接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F．

（1）若點F與B重合，求CE的長；

（2）若點F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長；

（3）設(shè)CE=x，BF=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出結(jié)果可）．【思路點撥】（1）先證實四邊形ABED為矩形，CE=BC-AD，繼而即可求出答案；

（2）設(shè)AF=CE=x，則HE=x-3，BF=7-x，再通過證實△BEF∽△HDE，按照對應(yīng)邊成比例，然后代入求解即可；

（3）綜合（1）（2）兩種情況，然后代入求出解析式即可．【答案與解析】（1）∵F與B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC，

∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，

∴四邊形ABED為矩形，

∴BE=AD=9，

∴CE=12-9=3．

（2）作DH⊥BC于H，則DH=AB=7，CH=3．

設(shè)AF=CE=x，

∵F在線段AB上，

∴點E在線段BH上，CH=3，CE=x，

∴HE=x-3，BF=7-x，

∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，

∴∠BEF=∠HDE，

又∵∠B=∠DHE=90°，

∴△BEF∽△HDE

∴=，

∴=，

收拾得x2-22x+85=0，

（x-5）（x-17）=0，

∴x=5或17，

經(jīng)檢驗，它們都是原方程的解，但x=17不合題意，舍去．

∴x=CE=5．

（3）作DH⊥BC于H，

∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，CE=x，BF=y，

∴則HE=x-3，BF=y，

當(dāng)3≤x≤12時，

易證△BEF∽△HDE，

∴=，

∴y=-x2+x-，

當(dāng)0≤x＜3，

易證△BEF∽△HDE，

則HE=3-x，BF=y，

∴=，

∴y=x2－x＋．【總結(jié)升華】本題考查直角梯形的知識，同時考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，是一道小的綜合題，注重對這些知識的熟練控制并靈便應(yīng)用．舉一反三：【變式】（2011?臺灣）如圖為菱形ABCD與正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD與GH相交于I點，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，則梯形HEDI的面積為（）.Ａ．Ｂ．Ｃ．10-Ｄ．10+【答案】B.類型三、異常四邊形與其他知識結(jié)合的綜合運用【高清課堂:多邊形與異常平行四邊形例7】4.（2014秋?莒南縣期末）正方形ABCD邊長為2，點E在對角線AC上，銜接DE，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°至DF的位置，銜接AF，EF．（1）證實：AC⊥AF；（2）設(shè)AD2=AE×AC，求證：四邊形AEDF是正方形；（3）當(dāng)E點運動到什么位置時，四邊形AEDF的周長有最小值，最小值是多少？【思路點撥】（1）由已知條件及正方形的性質(zhì)易證△CDE≌△ADF，所以可得∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，進(jìn)而可得∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）若AD2=AE×AC，再由條件∠CAD=∠EAD=45°，易證△EAD∽△DAC，所以∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，繼而證實四邊形AEDF為正方形；（3）當(dāng)E點運動到AC中點位置時，四邊形AEDF的周長有最小值，由（2）得CE=AF，則有AE+AF=AC=2，又DE=DF，所以四邊形AEDF的周長l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，則DE最小四邊形的周長最小，問題得解．【答案與解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CDA=90°，CD=AD，ED=FD，∠CAD=45°，∵將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°至DF的位置，∴∠EDF=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△CDE和△ADF中，，∴△CDE≌△ADF，∴∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，∴∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）∵AD2=AE×AC，∴∵∠CAD=∠EAD=45°，∴△EAD∽△DAC，∴∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，∴四邊形AEDF為正方形（3）當(dāng)E點運動到AC中點位置時，四邊形AEDF的周長有最小值，理由如下：由（2）得CE=AF，則有AE+AF=AC=2，又DE=DF，則當(dāng)DE最小時，四邊形AEDF的周長l=AE+AF+DE+DF=4+2DE最小，當(dāng)DE⊥AC時，E點運動到AC中點位置時，此時DE=2四邊形AEDF的周長最小值為8．【總結(jié)升華】本題用到的知識點有正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及四邊形周長最小值的問題、動點問題，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，是一道不錯的中考題壓軸題．5．（2012?自貢）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分離在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．

（1）證實不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；

（2）當(dāng)點E、F在BC、CD上滑動時，分離探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？倘若不變，求出這個定值；倘若變化，求出最大（或最?。┲担舅悸伏c撥】（1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；

（2）按照△ABE≌△ACF可得=,故按照S四邊形AECF=+=+=即可解題；當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又按照=S四邊形AECF-，則△CEF的面積就會最大．【答案與解析】（1）證實：銜接AC，如下圖所示，

∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，

∴∠1=∠3，

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC和△ACD為等邊三角形，

∴∠4=60°，AC=AB，

∴在△ABE和△ACF中，，

∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；

（2）解：四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化．

理由：由（1）得△ABE≌△ACF，

則S△ABE=S△ACF，

故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，

作AH⊥BC于H點，則BH=2，

S四邊形AECF=S△ABC=BC?AH=BC?=，

由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．

故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，

又S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF，則此時△CEF的面積就會最大．

∴S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF=-××=．【總結(jié)升華】考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計算，求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵，有一定難度．6.（2012?蘇州）如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD一直與邊FG重合，銜接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，銜接PD．已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分離為4cm，3cm，設(shè)正方形移動時光為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5．

（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)y=3時相應(yīng)x的值；

（2）記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2．試說明S1-S2是常數(shù)；

（3）當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長．【思路點撥】（1）按照題意表示出AG、GD的長度，再由△GCD∽△APG，利用對應(yīng)邊成比例可解出x的值．

（2）利用（1）得出的y與x的關(guān)系式表示出S1、S2，然后作差即可．

（3）延伸PD交AC于點Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結(jié)合x的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長度．【答案與解析】（1）∵CG∥AP，∴△GCD∽△APG，

∴=，

∵GF=4，CD=DA=1，AF=，

∴GD=3-，AG=4-，

∴=，即y=，

∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=，

當(dāng)y=3時，=3，解得x=2.5，

經(jīng)檢驗的x=2.5是分式方程的根．故x的值為2.5；

（2）∵S1=GP?GD=??（3-）=，

S2=GD?CD=（3-x）×1=，

∴S1-S2=-=即為常數(shù)；

（3）延伸PD交AC于點Q．

∵正方形ABCD中，AC為對角線，

∴∠CAD=