2024/2/281第五章線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定條件5.2代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)5.3幾何穩(wěn)定性判據(jù)5.4系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性5.5工程實(shí)例中的穩(wěn)定性分析2024/2/2825.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定條件2024/2/283系統(tǒng)的穩(wěn)定條件2024/2/284系統(tǒng)的傳遞函數(shù)此方程的根稱(chēng)為系統(tǒng)的特征根。

如果一個(gè)系統(tǒng)的特征根全部落在[s]平面的左半部分，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定。當(dāng)特征根具有負(fù)實(shí)部，則此特征根在復(fù)平面左側(cè)。2024/2/285（3）系統(tǒng)穩(wěn)定條件的證明：2024/2/2862024/2/2872024/2/2885.2代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)5.2.1赫爾維茨判據(jù)系統(tǒng)的特征方程式系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2024/2/2892024/2/28102024/2/2811[例5.2]單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為2024/2/28122024/2/28135.2.2勞斯判據(jù)其中，所有的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。這個(gè)方程的根沒(méi)有正實(shí)部的必要(但并非充分)條件為：

(1)方程各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)一致。

(2)方程各項(xiàng)系數(shù)非0。2024/2/2814判斷特征根是否全部具有負(fù)實(shí)部的充要條件首先列出下面的勞斯表其中，前兩列中不存在的系數(shù)可以填“0”，元素根據(jù)下列公式計(jì)算得出2024/2/2815……計(jì)算bi時(shí)所用二階行列式是由勞斯表右側(cè)前兩行組成的二行陣的第1列與第i+1列構(gòu)成的。系數(shù)b的計(jì)算一直進(jìn)行到其余值為零時(shí)止。2024/2/2816……顯然，計(jì)算ci時(shí)所用的二階行列式是由勞斯表右側(cè)第二、三行組成的二行陣的第1列與第i+1列構(gòu)成的，同樣，系數(shù)c的計(jì)算一直進(jìn)行到其余值為零為止。2024/2/2817例5.3

系統(tǒng)的特征方程為用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：因?yàn)榉匠谈黜?xiàng)系數(shù)非零且符號(hào)一致，滿(mǎn)足方程的根在復(fù)平面左半平面的必要條件，但仍然需要檢驗(yàn)它是否滿(mǎn)足充分條件。計(jì)算其勞斯表中各個(gè)參數(shù)如下2024/2/2818勞斯表為2024/2/2819勞斯表為表格第一列元素的符號(hào)改變兩次，因此方程有兩個(gè)根在復(fù)平面的右半部分。求解特征方程，可以得到4個(gè)根，分別為：顯然，后面一對(duì)復(fù)根在復(fù)平面右半平面，因而系統(tǒng)不穩(wěn)定。2024/2/28205.3幾何穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)2024/2/28212024/2/2822其中,Z和P分別為包含在Ls內(nèi)F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。關(guān)于幅角原理的說(shuō)明2024/2/2823根據(jù)復(fù)數(shù)性質(zhì)可知，兩個(gè)復(fù)數(shù)積的幅角等于它們幅角的和。F(s)的幅角為

設(shè)F(s)的零點(diǎn)、極點(diǎn)、分布如圖5.2(a)所示。(5.8)圖5.2關(guān)于幅角原理的說(shuō)明2024/2/28245.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)奈奎斯特路徑是包圍[s]平面右半面的順時(shí)針?lè)较虻姆忾]曲線Ls,，它由兩段有向線構(gòu)成，如圖5.3，其中L1為沿[s]的虛軸由的直線，為以為半徑從虛軸的正向順時(shí)針轉(zhuǎn)π角到虛軸的負(fù)向的半徑為無(wú)窮大的半圓。L1和L2兩段線包圍了復(fù)平面[s]的右半面。2024/2/2825(2)用系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)表示的乃奎斯特判據(jù)當(dāng)已知系統(tǒng)有Z個(gè)零點(diǎn)時(shí)，即，當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為(5.9)繪制出Ls的由Gb(s)映象的曲線繞原點(diǎn)按順時(shí)針轉(zhuǎn)的周數(shù)N來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，當(dāng)N=Z時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)N<Z時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2024/2/2826(3)用閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)表示的乃奎斯特判據(jù)對(duì)于如圖所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程由閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母等于零得出，即系統(tǒng)的特征方程為即+-2024/2/2827因此，乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)可以表述為：當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)在復(fù)平面[s]的右半面內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的充要條件是：[GH]平面上的映射圍線不包圍(-1,j0)點(diǎn)。如果G(s)H(s)在[s]的右邊面有極點(diǎn)，則乃奎斯特判據(jù)可一般地表示為：閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：

G(s)H(s)的乃奎斯特周線Ls的映射圍線沿逆時(shí)針?lè)较虬鼑?-1,j0)點(diǎn)的周數(shù)等于G(s)H(s)在復(fù)平面[s]的右半面內(nèi)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。即，由N=-P，得Z=0。2024/2/2828例5.8

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其中：如圖所示為L(zhǎng)s在[GH]平面上的像。

Ls在[GH]平面上的像曲線包圍點(diǎn)(-1,j0)逆時(shí)針轉(zhuǎn)一圈，根據(jù)在試問(wèn)此閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：由已知條件可知G(s)H(s)只有一個(gè)極點(diǎn)s=1/T2在[s]平面右邊，即P=1。由在[GH]平面上的乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可知此閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。均為正實(shí)數(shù)，2024/2/2829(4)乃奎斯特路徑的進(jìn)一步討論由上式可知，為半徑在[s]平面右半邊的半圓弧L2,在[Gk(s)]平面上的像只是一個(gè)點(diǎn)。一個(gè)點(diǎn)對(duì)包圍點(diǎn)(-1,j0)來(lái)說(shuō)不產(chǎn)生影響。所以，對(duì)乃奎斯特路徑，可以只考慮L1

(ω由-∞到+∞)的映射。由以上分析可得在L(s)平面上的Nyquist穩(wěn)定判據(jù)為：如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)在[s]平面的右半邊有P個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)ω由-∞到+∞時(shí)，在平面Gk(s)上的像軌跡繞點(diǎn)(-1,j0)逆時(shí)針轉(zhuǎn)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2024/2/28305.3.3應(yīng)用乃奎斯特判據(jù)分析含有積分環(huán)節(jié)和延時(shí)環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性*圖5.7不包圍原點(diǎn)的乃奎斯特路徑(1)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)的穩(wěn)定性分析當(dāng)系統(tǒng)中串有積分環(huán)節(jié)時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)有位于[s]平面坐標(biāo)原點(diǎn)處的極點(diǎn)。如前所述，應(yīng)用乃奎斯特判據(jù)時(shí)，由于乃奎斯特軌跡不能經(jīng)過(guò)Gk(s)的極點(diǎn)，故應(yīng)以半徑為無(wú)窮小的圓弧逆時(shí)針繞過(guò)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)所在的原點(diǎn)，如圖5.7所示。這時(shí)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在[s]右半平面上的極點(diǎn)數(shù)已不再包含原點(diǎn)處的極點(diǎn)。2024/2/2831例5.9

若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)乃奎斯特圖如圖所示。因Gk(s)在[s]平面的右半平面有一個(gè)極點(diǎn)，為s=1，所以P=1。判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)ω由-∞變到+∞時(shí)，由于開(kāi)環(huán)乃奎斯特軌跡逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，所以，閉環(huán)系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。顯然，此時(shí)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)。2024/2/2832(2)具有延時(shí)環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析在機(jī)械工程的許多系統(tǒng)中存在著延時(shí)環(huán)節(jié)。延時(shí)環(huán)節(jié)的存在將給系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)不利的影響。通常延時(shí)環(huán)節(jié)串聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中。

圖5.10所示為一具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)方框圖，其中，G1(s)是除延時(shí)環(huán)節(jié)以外的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：(5.11)圖5.10含有延時(shí)環(huán)節(jié)的閉環(huán)系統(tǒng)2024/2/2833其開(kāi)環(huán)頻率特性、幅頻特性和相頻特性分別為：由此可見(jiàn)，延時(shí)環(huán)節(jié)不改變?cè)到y(tǒng)的幅頻特性，而僅僅使相頻特性發(fā)生變化。2024/2/28342024/2/28352024/2/2836圖5.12復(fù)雜的頻率特性曲線5.3.4根據(jù)伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性注意到，-∞到+∞的像是對(duì)稱(chēng)的，故可只畫(huà)出所對(duì)應(yīng)的像軌跡，特別是當(dāng)包圍(-1,j0)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的周數(shù)比較多時(shí)，如圖5.12，可引入“穿越”的概念。

頻率特性曲線Gk(jω)穿過(guò)(-1,j0)點(diǎn)左邊的實(shí)軸時(shí)，稱(chēng)為“穿越”。若ω增大時(shí)，乃奎斯特曲線由上而下穿過(guò)實(shí)軸的-1到-∞區(qū)間(相角增大)時(shí)稱(chēng)“正穿越”；乃奎斯特曲線由下而上穿過(guò)時(shí)(相角減小)稱(chēng)“負(fù)穿越”。穿過(guò)-1到-∞區(qū)間實(shí)軸一次，則穿越次數(shù)為1。若曲線始于或終于實(shí)軸的此區(qū)段上，則穿越次數(shù)為1/2

。2024/2/2837這樣，乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)可表述成：當(dāng)ω從0變到+∞時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相頻率特性Gk(jω)在(-1,j0)點(diǎn)以左實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于P/2(其中P是系統(tǒng)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù))，那么閉環(huán)系穩(wěn)定的。否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。即閉環(huán)穩(wěn)定開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)不穩(wěn)定2024/2/2838根據(jù)乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，若一個(gè)控制系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)是穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開(kāi)環(huán)乃奎斯特特性G(jω)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。圖5.14中的特性曲線1對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而特性曲線2對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2)對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定性判據(jù)的原理2024/2/2839系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的乃奎斯特圖和伯德圖之間存在著一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如果開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)與單位圓相交的一點(diǎn)頻率為ωc（幅值交界頻率），而與實(shí)軸相交的一點(diǎn)頻率為ωg（相位交界頻率），當(dāng)幅值A(chǔ)(ω)≥1時(shí)(在單位圓上或在單位圓外)就相當(dāng)于當(dāng)幅值A(chǔ)(ω)<1時(shí)(在單位圓內(nèi))就相當(dāng)于2024/2/2840所以，對(duì)應(yīng)下圖特性曲線(閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的)，在ωc點(diǎn)處

(5.15)(5.12)(5.13)而在ωg點(diǎn)處(5.14)2024/2/2841由此可知：乃奎斯特圖上Gk(s)上的單位圓與Bode圖對(duì)數(shù)幅頻特性的零分貝線相對(duì)應(yīng)，單位圓與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)與伯德圖對(duì)數(shù)相頻特性的-π軸對(duì)應(yīng)。2024/2/2842因此，開(kāi)環(huán)乃奎斯特曲線與(-1,j0)點(diǎn)以左實(shí)軸的穿越就相當(dāng)于L(ω)≥0的所有頻率范圍內(nèi)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線與-180o的穿越點(diǎn)。由穿越的定義可知，當(dāng)ω增加時(shí)相角增大為正穿越，所以，在對(duì)數(shù)相頻特性圖中，L(ω)≥0范圍內(nèi)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線由下而上穿過(guò)-180o線時(shí)為正穿越，反之，為負(fù)穿越。

圖5.14表示穩(wěn)定性的乃奎斯特曲線圖5.15與圖5.14對(duì)應(yīng)的Bode圖2024/2/2843如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)是穩(wěn)定的(即P=0)(通常為最小相位系統(tǒng))，則在L(ω)≥0的所有頻率值下，相角不超過(guò)-180o線或正負(fù)穿越之差為零，那么閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)在開(kāi)環(huán)狀態(tài)下的特征方程式有P個(gè)根在復(fù)平面的右邊(即為非最小相位系統(tǒng))，它在閉環(huán)狀態(tài)下穩(wěn)定的充分必要條件是：在所有L(ω)≥0的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線在-180o線上的正負(fù)穿越之差為P/2。(3)對(duì)數(shù)頻率特性的穩(wěn)定性判據(jù)2024/2/2844例5.12已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)特征方程的右根數(shù)P，以及開(kāi)環(huán)伯德圖如圖5.16(a)，(b)、(c)所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(a)(b)(c)不穩(wěn)定穩(wěn)定穩(wěn)定2024/2/28455.4系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性定義交點(diǎn)的矢量與負(fù)實(shí)軸的夾角為相位穩(wěn)定裕度，即

2024/2/2846交點(diǎn)處幅值的倒數(shù)稱(chēng)為幅值穩(wěn)定裕度。

幅值穩(wěn)定裕度的用分度表示為：2024/2/28472024/2/2848特征方程的系數(shù)2024/2/28492024/2/28502024/2/28512024/2/2852作業(yè)題5.4：1）、3）；5.5：1）、2）；5.8；5.12；5.19思考題5.4：2）；5.5：3）；5.6；5.7；5.9；5.13；5.18。2024/2/28535.5.1工作臺(tái)位置自動(dòng)控制系統(tǒng)5.5工程實(shí)例中的穩(wěn)定性分析（選講）伺服電動(dòng)機(jī)xi檢測(cè)電位器減速器滾珠絲杠導(dǎo)軌功率放大器比較放大器指令電位器

u工作臺(tái)2024/2/28541.系統(tǒng)基本參數(shù)確