24.2.2直線與圓的位置關(guān)系(3)·oo′pAB

如圖，已知⊙O外一點P，你能作幾條直線與⊙O相切？通過作圖你能發(fā)現(xiàn)什么呢？觀察實驗1.過圓外一點作圓的切線可以作兩條2、A、B關(guān)于直線PO對稱。說明經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。用尺規(guī)過作圖·opAB如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點。如果連結(jié)OA、OB、OP，圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關(guān)系？探究∵PA、PB是⊙O的切線，

A、B為切點∴OA⊥PA，OB⊥PB又∵OA＝OB，OP＝OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO結(jié)論切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。·opAB符號語言∵PA、PB是⊙O的切線，

A、B為切點∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO猜想如圖，若連接AB，則OP與AB有什么關(guān)系？分析∵PA、PB是⊙O的切線，

A、B為切點∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO∴OP⊥AB，且OP平分ABCD歸納從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線垂直平分切點所成的弦；平分切點所成的弧。AD與BD相等嗎？⌒⌒例1已知，如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點.直線OP交⊙O于點D、E，交AB于C.（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（2）寫出圖中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半徑OA的長.AOCDPBE解：(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.(3)設(shè)OA=xcm,則PO=PD+x=2+x(cm)

在Rt△OAP中，由勾股定理，得

PA2+OA2=OP2

即42+x2=(x+2)2

解得x=3cm

所以，半徑OA的長為3cm.利用切線長定理進行計算·P·OABc如圖，P為⊙O

外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，OP交⊙O于C，若PA＝6，PC＝2，求⊙O的半徑OA及兩切線PA、PB的夾角。解：連接OA，則OA⊥AP在Rt△AOP中，設(shè)OA＝x則OP＝x＋2∴OA2＋PA2＝OP2即x2＋62＝（x＋2）2解得x＝2，即OA＝OC＝2∴OP＝4

在Rt△AOP中，OP＝2OA∴∠APO＝30°∵PA、PB是⊙O的切線∴∠APB＝2∠APO＝60°∴⊙O的半徑為2，兩切線的夾角為60°利用切線長定理進行證明·ABCDEO21例2如圖，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓交AB于點E，與AC交于點D。求證：DE∥OC證明：連接ＢＤ．∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ為⊙Ｏ的半徑∴ＣＢ是⊙Ｏ的切線∵