朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁41、容易方程的解法【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的過程，叫做解方程。解一元一次方程的普通步驟（或解法）是：去分母，去括號，移項，合并同類項，兩邊同除以未知數(shù)x的系數(shù)。解去分母，兩邊同乘以6，得3（x-9）-2（11-x）=12去括號，得3x-27-22+2x=12移項，得3x+2x=12+27+22合并同類項，得5x=61【分式方程解法】分母中含未知數(shù)的方程是“分式方程”。解分式方程的普通步驟（或主意）是：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；（2）解這個整式方程；（3）把整式方程的根代入最簡公分母，看結果是不是零，使最簡公分母為零的根，是原方程的增根，必須舍去。解方程兩邊都乘以x（x-2），約去分母，得5（x-2）=7x解這個整式方程，得x=-5，檢驗：當x=-5時，x（x-2）=（-5）（-5-2）=35≠0，所以，-5是原方程的根。解方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），約去分母，得（x－2）2-16＝（x+2）2解這個整式方程，得x=-2。檢驗：當x=-2時，（x+2）（x-2）=0，所以，-2是增根，原方程無解。42、加法運算定律【加法交換律】兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。這叫做“加法的交換定律”，簡稱“加法交換律”。加法交換律用字母表達，可以是a+b=b+a。例如：864+1，236=1，236+864=2，100【加法結合律】三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再和第一個數(shù)相加，它們的和不變。這叫做“加法的結合定律”，簡稱“加法結合律”。加法結合律用字母表達，可以是（a+b）+c=a+（b+c）。例如：（48928+2735）+7265=48928+（2735+7265）=48928+10000=5892843、幾何圖形旋轉【長方形（或正方形）旋轉】將一個長方形（或正方形）繞其一邊旋轉一周，得到的幾何體是“圓柱”。如圖1.37，將矩形ABCD繞AB旋轉一周，得圓柱AB。其中AB為圓柱的軸，也是圓柱的高。BC或AC是圓柱底面圓的半徑，CD叫做圓柱的母線?！局苯侨切涡D】將一個直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉一周，所形成的幾何體是“圓錐”。例如圖1.38，將直角三角形ABC，繞直角邊AC旋轉一周，便形成了圓錐AC。其中AC是圓錐的軸，也是圓錐的高；CB是圓錐底面的半徑；AB叫做圓錐的母線。【直角梯形旋轉】將一個直角梯形繞著它的直角腰旋轉一周所形成的幾何體，叫做“圓臺”。例如圖1.39，將直角梯形ABCD繞著它的直角腰AB旋轉一周。便形成了圓臺AB。其中，AB是圓臺的軸，也是圓臺的高，上下底AD、BC，分離是圓臺上、下底面圓的半徑，斜腰DC，是圓臺的母線?！景雸A旋轉】將一個半圓繞著它的直徑旋轉一周所形成的幾何體，叫做“球”。例如圖1.40，半圓繞著它的直徑AB旋轉一周，便形成了球O。本來的半圓圓心O是球心；本來半圓的半徑和直徑，分離叫做球的半徑和直徑；本來半圓的直徑也是球的軸和直徑。44、幾何圖形的計數(shù)【點與線的計數(shù)】例1如圖5.45，每相鄰的三個圓點組成一個小三角形，問：圖中是這樣的小三解形個數(shù)多還是圓點的個數(shù)多？（全國第二屆“華杯賽”決賽試題）講析：可用“分組對應法”來計數(shù)。將每一排三角形個數(shù)與它的下行線舉行對應比較。第一排三角形有1個，其下行線有2點；第二排三角形有3個，其下行線有3點；第三排三角形有5個，其下行線有4點；以后每排三角形個數(shù)都比它的下行線上的點多。所以是小三角形個數(shù)多。例2直線m上有4個點，直線n上有5個點。以這些點為頂點可以組成多少個三角形？（如圖5.46）（哈爾濱市第十一屆小學數(shù)學比賽試題）講析：本題只要數(shù)出各直線上有多少條線段，問題就好解決了。直線n上有5個點，這5點共可以組成4＋3+2＋1=10（條）線段。以這些線段分離為底邊，m上的點為頂點，共可以組成4×10=40（個）三角形。同理，m上4個點可以組成6條線段。以它們?yōu)榈走?，以n上的點為頂點可以組成6×5=30（個）三角形。所以，一共可以組成70個三角形。【長方形與三角形的計數(shù)】例1圖5.47中的正方形被分成9個相同的小正方形，它們一共有16個頂點，以其中不在一條直線上的3點為頂點，可以構成三角形。在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個？（全國第三屆“華杯賽”復賽試題）為3的三角形，或者高為2，底為3的三角形，都符合要求。①底邊長為2，高為3的三角形有2×4×4=32（個）；②高為2，底邊長為3的三角形有8×2=16（個）。所以，包括圖中陰影部分三角形共有48個。例2圖5.48中共有______個三角形。（《現(xiàn)代小學數(shù)學》）邀請賽試題）講析：以AB邊上的線段為底邊，以C為頂點共有三角形6個；以AB邊上的線段為底邊，分離以G、H、F為頂點共有三角形3個；以BD邊上的線段為底邊，以C為頂點的三角形共有6個。所以，一共有15個三角形。例3圖5.49中共有______個正方形。（《現(xiàn)代小學數(shù)學》邀請賽試題）講析：可先來看看圖5.50的兩個圖中，各含有多少個正方形。圖5.50（1）中，正方形個數(shù)是6×3＋5×2＋4×1=32（個）；圖5.50（2）中，正方形個數(shù)是4×4+3×3+2×2＋1×1=30（個）倘若把圖5.49中的圖形，分成5×6和4×11兩個長方形，則：5×6的長方形中共有正方形5×6+4×5＋3×4＋2×3＋1×2=70（個）；4×11的長方形中共有正方形4×11+3×10+2×9＋1×8=100（個）。兩個長方形相交部分4×5的長方形中含有正方形4×5+3×4＋2×3＋1×2=40（個）。所以，原圖中共有正方形70＋100-40=130（個）。例4平面上有16個點，排成一個正方形。每行、每列上相鄰兩點的距離都相等[如圖5.51（1）]，每個點上釘上釘子。以這些點為頂點，用線將它們圍起來，一共可圍成______個正方形。（《小學生科普報》奧林匹克通訊賽試題）講析：能圍成圖5.51（2）的正方形共14（個）；能圍成圖5.51（3）的正方形共2（個）；能圍成圖5.51（4）的正方形共4（個）。所以，一共可圍成正方形20個?！玖Ⅲw圖形的計數(shù)】例1用125塊體積相等的黑、白兩種正方體，黑白相間地拼成一個大正方體（如圖5.52）。那么，露在表面上的黑色正方體的個數(shù)是_______。（1991年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：本題要注重不能重復計數(shù)。八個頂點上各有一個黑色正方體，共8個；每條棱的中間有一個黑色正方體，共12個；除上面兩種情況之外，每個面有5個黑色正方體，共5×6=30（個）。所以，總共有50個黑色正方體露在表面上。例2把1個棱長為3厘米的正方體分割成若干個小正方體，這些小正方體的棱長必須是整數(shù)。倘若這些小正方體的體積不要求都相等，那么，最少可以分割成______個小正方體。（北京市第九屆“迎春杯’小學數(shù)學比賽試題）講析：若分成｜×××｜的小正方體，則共可分成27個。但是分割時，要求正方體盡可能地少，也就是說能分成大正方體的，盡可能地分。則在開始的時候，可分出一個2×2×2的正方體（如圖5.53），余下的都只能分成1×1×1的正方體了。所以，最少可分成20個小正方體。45、幾何體側面展開【正棱柱、圓柱側面展開】正棱柱（底面是正多邊形，側棱與底面垂直的棱柱）和圓柱的側面展開，攤在同一個平面上，是一個矩形。矩形的上、下對邊，是柱體上、下底面的周長；矩形左右兩對邊，是柱體的側棱或母線。例如圖1.41，將正六棱柱ABCDEF—A払扖扗扙扚捈霸倉鵒O挼牟嗝嬲箍諭黃矯嬪希慍閃司匭蜛1A抇1A抇2A2。圖中畫出的是棱柱側面展開圖。圓柱側面展開后，也是一矩形，只是中間沒有那些虛線。%【正棱錐側面展開】正n棱錐（底面為正n邊形，頂點與底面中央的連線垂直于底面的棱錐）側面展開，攤在同一平面上，是頂點公共、腰與腰相連的n個全等的等腰三角形。例如圖1.42，將正三棱錐S—ABC的側面展開，攤在同一個平面上，便形成了三個全等的等腰三角形SAB、SBC和SCA捪嗔耐夾巍【圓錐側面展開】圓錐側面展開，攤在同一個平面上，變成的是一個扇形。扇形的弧長是圓錐底面圓的周長，扇形的兩條半徑，是圓錐的母線。例如圖1.43，將圓錐SO的側面展開，攤在同一個平面上，便成了扇形徑SA、SA挼募薪鉛瓤砂聰旅嫻氖階蛹撲悖篲式中r是圓錐底面圓半徑，l是圓錐母線的長?！菊馀_側面展開】正n棱臺（用一平行于正n棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面間的幾何體）側面展開，攤在同一個平面上，得到的是n個全等的等腰梯形，并且腰腰相連。例如圖1.44，將正三棱臺ABC—A払扖挼牟嗝嬲箍諭黃矯嬪希閾緯閃耀猛加冶叩耐夾瘟恕【圓臺側面展開】圓臺側面展開，攤在同一個平面上的圖形，是圓環(huán)的一部分，叫做“扇環(huán)”。這個扇環(huán)像梯形，它的兩“腰”是圓臺的母線，它的上、下“底”是兩條弧，其弧長分離是圓臺上、下底面圓的周長。例如圖1.45，將圓臺O1O2的側面展開，攤在同一個平面上，就形成了46、幾何公式【平面圖形計算公式】普通的平面圖形計算公式，如下表?！玖Ⅲw圖形計算公式】(1)柱體公式。（2）錐體公式。正n棱錐（如圖1．13）的公式：圓錐的公式（圓錐如圖1．14所示）：（3）棱臺、圓臺公式。正n棱臺（如圖1．15）的公式：圓臺（如圖1．16）的公式：（4）球的計算公式。球的圖形如圖1．17所示。S表=4πr2；附錄：其他常用公式【整數(shù)約數(shù)個數(shù)公式】一個大于1的整數(shù)，約數(shù)的個數(shù)等于它的質因數(shù)分解式中，每個質因數(shù)的個數(shù)（指數(shù)）加1的連乘積。例如，求4500的約數(shù)個數(shù)。解∵4500=22×32×53∴4500的約數(shù)個數(shù)是（2+1）×（2+1）×（3+1）=36（個）。【約數(shù)之和的公式】一個大于1的天然數(shù)N，將它分解質因數(shù)為為天然數(shù)，則N的所有約數(shù)的和為S（N），可用下列公式計算：例如求1992的所有約數(shù)的和。解S（1992）=S（23×31×831）=5040．【分數(shù)拆項公式】在奧賽中，為使計算簡便，常常用到下面四個分數(shù)拆項公式：（1）延續(xù)兩個天然數(shù)積的倒數(shù)，可拆成較小的天然數(shù)的倒數(shù)，減去較大的天然數(shù)的倒數(shù)。即（2）延續(xù)三個天然數(shù)的積的倒數(shù)，可拆成前兩個天然數(shù)的積的倒數(shù)，減去后兩個天然數(shù)的積的倒數(shù)的差的一半。即（3）延續(xù)四個天然數(shù)的積的倒數(shù)，可拆成前三個天然數(shù)的積的倒數(shù)，（4）普通分數(shù)拆項公式。當n、d都是天然數(shù)時，有【堆垛計算公式】（1）三角形堆垛。計算每堆三角形物體總個數(shù)S時，可將底邊個數(shù)”乘以（n+1）再乘以（n+2），然后除以6。用式子表示就是例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底邊每邊4個，頂尖1個（如圖1．18）。桔子總數(shù)是多少個？”解根據(jù)三角形堆垛公式，得=20（個）。（2）正方形堆垛。計算底層為正方形的堆垛物體總個數(shù)S時，可將底邊個數(shù)n乘以底邊數(shù)加0．5的和，再乘以底邊個數(shù)加1的和，最后將乘積除以3。用式子表示，就是例如，“一些蘋果堆成正方形堆垛（如圖1．19），底層每邊放4個，頂尖放一個。蘋果總數(shù)是多少個？”解根據(jù)公式，得（3）長方形堆垛。計算底層為長方形（近似于橫放的三棱柱形，圖1．20。）的堆垛物體的總個數(shù)S時，可將底層寬邊的個數(shù)n1，長邊的個數(shù)n2，按照下面的公式計算：例如，“有一盤饅頭，底邊寬5個，長邊上放8個，如圖1．20所示，這盤饅頭共有多少個？”解此題中，n1=5，n2=8。根據(jù)長方形堆垛公式，得=45+55=100（個）或者是（4）梯形堆垛。計算梯形的堆垛（近似于棱臺形堆垛）物體總個數(shù)S時，可將最上層總數(shù)S1，加上最下層總數(shù)S2后，乘以層數(shù)n，再除以2。（梯形堆垛如圖1．21所示。）用式子表示就是例如，“一些酒壇，堆成梯形的堆垛（圖1．21），最上層為32只，最下層為45只，共堆有14層（每層差1只）。酒壇的總數(shù)是多少只？”解依計算公式，得【數(shù)線段條數(shù)的公式】若線段AB上共有n個分點（不包括A、B端點），則AB線段上共有的線段條數(shù)S，計算的公式是：S=（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1例如，求下圖（圖1．22）中所有線段的條數(shù)。解在線段AB上，共有五個分點。按照數(shù)線條數(shù)的公式，得S=（5+1）+5+4+3+2+1注重：這一公式，還可以用來數(shù)形如圖1．23的三角形個數(shù)。在這個圖形中，因為底邊BC上有4個分點，可根據(jù)數(shù)線段條數(shù)的計算公式，得三角形的個數(shù)為【數(shù)長方形個數(shù)的公式】若長方形的一邊有m個小格，另一邊有n個小格，那么這個圖形中長方形的總個數(shù)S為S=（m+m-1+m-2+……+3+2+1）×（n+n-1+n-2+……+3+2+1）例如，請數(shù)出下圖1．24中共有多少個不同的長方形。解長方形ABCD長邊上有6個小格，寬邊上有4個小格。按照數(shù)長方形總數(shù)的公式，可得=21×10=210（個）。（答略）注重：這一公式，還可以用來數(shù)形如圖1．25中的梯形的個數(shù)。顯然，這個圖形中除了△ADE以外，其余均為大大小小的梯形。最大的梯形下底上有五個小格，腰邊上有4個小格。利用數(shù)長方形個數(shù)的計算公式，可得梯形的總個數(shù)S為=15×10=150（個）。（答略）【數(shù)正方形個數(shù)的公式】若一個長方形的長被分成了m等份，寬被分成了n（n＜m）等份（長和寬上的每一份長度是相等的），那么這個長方形中的正方形總數(shù)S為：S=mn+（m-1）(n-1)+（m-2）(n-2）+……+（m-n+1）×1異常的，當一個正方形的邊長被分成n等分時，則這個圖形中正方形的總個數(shù)S為：例1求下圖中正方形的總個數(shù)（如圖1．26）。解圖中AB邊上有7個等分，AD邊上有3個等份。按照在長方形中數(shù)正方形個數(shù)的公式，可得：S＝7×3+6×2+5×1=21+12+5=38（個）。（答略）例2求下圖（圖1．27）中的正方形有多少個。解圖形中正方形每邊上有4等分。按照數(shù)正方形個數(shù)的計算公式，得（答略）【平面內n條直線最多分平面部分數(shù)的公式】平面內有n條直線，其中注重兩條直線都不平行，每條直線都與其他直線相交，且不交同一點。那么，這幾條直線將平面劃分的部分數(shù)S為例平面內有8條直線，它們彼此都相交，但不交于同一點，求這8條直線能把平面劃分出多少個部分？解按照平面內n條直線，最多分平面部分數(shù)的計算公式，得S=2+2+3+4+5+6+7+8【n個圓將平面分成最多的部分數(shù)公式】若平面上有n個圓，每個圓都與其他圓相交，且不交于同一點，那么這個圓將平面劃分的最多的部分數(shù)S為S=2+1×2+2×2+…+（n-1）×2=n2-n+2例在一個平面上有20個圓，這20個圓最多可將平面劃分為多少個部分？解按照平面內n個圓將平面劃分成最多的部分數(shù)的計算公式，可得S=2+1×2+2×2+…+19×2=202-20+2=400-20+2=382（塊）（答略）【格點面積公式】每個小方格的面積都是1個面積單位的方格紙上，縱橫兩組平行線的交點，叫做“格點”，這樣的方格紙，叫做“格點平面”。在格點平面上求圖形的面積，可以按照上面的公式去計算：圖形面積=圖形內部格點數(shù)+圖形周界上的格點數(shù)÷2-1。例如圖1．28，求格點平面內A、B兩個圖形的面積。解A圖內部無格點，B圖內部有9個格點；A圖周界上有9個格點，B圖周界上有7個格點。按照格點面積公式，得：A圖面積=9÷2-1=3.5（面積單位）B圖面積=（9+7）÷2-1=11．5（面積單位）（答略）倘若格點是由形如“∴”或“∵”構成（如圖1．29），且每相鄰的三點所形成的三角形面積為1的等邊三角形，則計算多邊形面積公式為多邊形面積=2×圖形內部格點數(shù)+圖形周界上格點數(shù)-2。47、幾何公理、定理或性質【直線公理】經過兩點有一條直線，并且惟獨一條直線。【直線性質】按照直線的公理，可以推出下面的性質：兩條直線相交，惟獨一個交點。【線段公理】在所有連結兩點的線中，線段最短。（或者說：兩點之間線段最短。）【垂線性質】（1）經過一點，有一條而且惟獨一條直線垂直于已知直線。（2）直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短。（也可以容易地說成：垂線段最短。）【平行公理】經過直線外一點，有一條而且惟獨一條直線和這條直線平行?！酒叫泄硗普摗刻热魞蓷l直線都和第三條直線平行，那么，這兩條直線也互相平行?！居嘘P平行線的定理】（1）倘若兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行。（2）倘若一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么，這條直線也和另一條垂直?！救切蔚奶匦浴咳切斡胁蛔冃蔚奶匦?，普通稱其為三角形的穩(wěn)定性。因為三角形有這一特性，所以在實踐中它有廣泛的應用?！救切蔚男再|】三角形的性質（或定理及定理的推論），普通有：（1）三角形隨意兩邊的和大于第三邊；三角形隨意兩邊的差小于第三邊。（2）三角形三內角之和等于180°。由三角形上述第（2）條性質，還可以推出下面的兩條性質：①三角形的一個外角，等于它不相鄰的兩個內角之和。如圖1.1，∠4=∠1+∠2。②三角形的一個外角，大于任何一個同它不相鄰的內角。如圖1.1，∠4＞∠1，∠4＞∠2?！竟垂啥ɡ怼吭谥苯侨切沃?，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。用字母表達就是a2+b2=c2。（a、b表直角邊長，c表斜邊長。）我國古代把直角三角形叫做“勾股形”，豎立的一條直角邊叫做“股”，另一條直角邊叫做“勾”，斜邊叫做“弦”。所以我國將這一定理稱為“勾股定理”。勾股定理是我國最先發(fā)現(xiàn)的一條數(shù)學定理。而古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯（Pythagoras）較早地證實了這個定理。因此，國外常稱它為“畢達哥拉斯定理”?！酒叫兴倪呅蔚男再|】（1）平行四邊形的對邊相等。（2）平行四邊形的對角相等。（3）平行四邊形鄰角的和是180°。如圖1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°。（4）平行四邊形的對角線互相平分。如圖1.2，AO=CO，BO=DO。平行四邊形是中央對稱圖形，對角線的交點是對稱中央?！鹃L方形的性質】長方形除具有平行四邊形的性質以外，還具有下列性質：（1）長方形四個角都是直角。（2）長方形對角線相等。長方形是中央對稱圖形，也是軸對稱圖形。它每一組對邊中點的連線，都是它的對稱軸?！玖庑蔚男再|】菱形除具有平行四邊形的性質以外，還具有下列性質：（1）菱形的四條邊都相等。（2）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。例如圖1.3，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。菱形是中央對稱圖形，也是軸對稱圖形，它每一條對角線都是它的對稱軸?！菊叫蔚男再|】正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質?！径噙呅蝺冉呛投ɡ怼縩邊形的內角的和，等于（n-2）·180°。（又稱“求多邊形內角和”的公式。）例如三角形（三邊形）的內角和是（3-2）×180°=180°；四邊形的內角和是（4-2）×180°=360°?！径噙呅蝺冉呛投ɡ淼耐普摗浚?）隨意多邊形的外角和等于360°。這是因為多邊形每一個內角與它的一個鄰補角（多邊形外角）的和為180°，所以，n邊形n個外角的和等于n·180°-（n-2）·180°=360°。（2）倘若一個角的兩邊分離垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。例如圖1.4，∠1的兩邊分離垂直于∠A的兩邊，則∠1+∠A=180°，即∠1與∠A互補。又∠2、∠3、∠4的兩邊也分離垂直于∠A的兩邊，則∠3和∠A也互補，而∠2=∠A，∠4=∠A?！緢A的一些性質或定理】（1）半徑相等的兩個圓是等圓；同圓或等圓的半徑相等。（2）不在同向來線上的三個點決定一個圓。（3）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。（4）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。（5）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。【軸對稱圖形的性質】軸對稱圖形具有下面的性質：（1）倘若兩個圖形關于某直線對稱，那么對應點的連結線段被對稱軸垂直平分。例如圖1.5，圖中的AA′對稱點連結線段，被對稱軸L垂直且平分，即L⊥AA′，AP=PA′。（2）兩個圖形關于某直線對稱，倘若它們的對應線段或其延伸線相交，那么，交點在對稱軸上。例如圖1.5中，BA與B′A′的延伸線相交，交點M在對稱軸L上。（3）兩個關于某直線對稱的圖形，一定是全等形。例如，圖1.5中△ABC與△A′B′C′全等?！局醒雽ΨQ圖形的性質】倘若把一個圖形繞著一個點旋轉180°后，它和另一個圖形重合，那么，這兩個圖形就是關于這個點的“中央對稱圖形”。中央對稱圖形具有以下性質：（1）關于中央對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中央，并且被對稱中央平分。例如，圖1.6中對稱點A與A′，B與B′，C與C′，它們的連線都經過O（對稱中央），并且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′。（2）關于中央對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同向來線上）且相等。48、和差積商的變化邏輯【和的變化邏輯】（1）倘若一個加數(shù)增強（或減少）一個數(shù)，另一個加數(shù)不變，那么它們的和也增強（或減少）同一個數(shù)。用字母表達就是倘若a+b=c，那么（a+d）+b=c+d；（a-d）+b=c-d。（2）倘若一個加數(shù)增強一個數(shù)，另一個加數(shù)減少同一個數(shù)，那么它們的和不變。用字母表達就是倘若a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c?！静畹淖兓壿嫛浚?）倘若被減數(shù)增強（或減少）一個數(shù)，減數(shù)不變，那么，它們的差也增強（或減少）同一個數(shù)。用字母表達，就是倘若a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，（a-d）-b=c-d。（a＞d+b）（2）倘若減數(shù)增強（或減少）一個數(shù)，被減數(shù)不變，那么它們的差反而減少（或增強）同一個數(shù)。用字母表達，就是倘若a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d），a-（b-d）=c+d。（3）倘若被減數(shù)和減數(shù)都增強（或都減少）同一個數(shù)，那么，它們的差不變。用字母表達，就是倘若a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，（a-d）-（b-d）=c?！痉e的變化邏輯】（1）倘若一個因數(shù)擴大（或縮?。┤舾杀?，另一個因數(shù)不變，那么，它們的積也擴大（或縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。用字母表達，就是倘若a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，（a÷n）×b=c÷n。（2）倘若一個因數(shù)擴大若干倍，另一個因數(shù)縮小同樣的倍數(shù)，那么它們的積不變。用字母表達，就是倘若a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，或（a÷n）×（b×n）=c?！旧袒蛴鄶?shù)的變化邏輯】（1）倘若被除數(shù)擴大（或縮小）若干倍，除數(shù)不變，那么它們的商也擴大（或縮小）同樣的倍數(shù)。用字母表達，就是倘若a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，（a÷n）÷b=q÷n。（2）倘若除數(shù)擴大（或縮?。┤舾杀?，被除數(shù)不變，那么它們的商反而縮?。ɑ驍U大）同樣的倍數(shù)。用字母表達，就是倘若a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，a÷（b÷n）=q×n。（3）被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或都縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，那么它們的商不變。用字母表達，就是倘若a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，（a÷n）÷（b÷n）=q。（4）在有余數(shù)的除法中，倘若被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或都縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，不徹低商固然不變，但余數(shù)卻會跟著擴大（或縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。這一變化邏輯用字母表示，就是倘若a÷b=q（余r），那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。例如，84÷9=9……3，而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2），（84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。49、估值計算【確切度計算】例1計算111213÷3l21l10l98765432l，它小數(shù)點后面的前三位數(shù)字是______。（1991年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：被除數(shù)和除數(shù)都有17位數(shù)，直接去除是極棘手的。我們不妨將被除數(shù)和除數(shù)作適當?shù)姆趴s，再去舉行解答：原式的值＞1234÷3121=0.3953……原式的值＜1235÷3122=0.3955……所以，答案是3、9、5。例2以下四個數(shù)中有一個是304×18.73的近似值，請你估算一下，找出這個數(shù)。（1）570，（2）5697，（3）56967，（4）569673。（1989年日本小學數(shù)學總體評價測驗題）講析：在做近似數(shù)的乘除法時，先要估算結果的粗略值。18.73臨近20，304臨近300，300×20=6000，可知，乘積在6000左右。所以，答案是5697?！菊麛?shù)部分的估算】（1990年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：所以，整數(shù)部分是517。（全國第三屆“華杯賽”復賽試題）講析：將分母運用擴縮法舉行估算，可得X，那么，與X最臨近的整數(shù)是______。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：可將整數(shù)部分與分數(shù)部分分開計算，得答案是25。例4已知問a的整數(shù)部分是多少？（全國第二屆“華杯賽”決賽第一試試題）講析：本題計算較繁?？上葘⒎肿幼兂蓛纱蟛糠郑渲幸徊糠峙c分母相同，另一部分不同。所以，a的整數(shù)部分是101。果取每個數(shù)的整數(shù)部分，并將這些整數(shù)相加，那么，這些整數(shù)之和是_______。（1990年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：解題的關鍵是要找出從哪一個數(shù)開始，整數(shù)部分是2。本身），整數(shù)部分都是1。在此以后的數(shù)，整數(shù)部分都是2。故答案是49。大于3，至少要選______個數(shù)。（1989年全國小學數(shù)學奧林匹克復賽試題）講析：要使選的個數(shù)盡量少，所選的數(shù)必須盡量大。由此可得50、按照和、差、積、商變化邏輯速算【按照和的變化邏輯速算】和的變化邏輯有以下兩條。（1）倘若一個加數(shù)增強（或減少）一個數(shù)，另一個加數(shù)不變，那么它們的和也增強（或減少）同一個數(shù)。利用這一邏輯，可以使計算簡便、迅速。例如645+203=645+200+3=845＋3=848397＋468=400＋468-3=868-3（2）倘若一個加數(shù)增強一個數(shù)，另一個加數(shù)減少同一個數(shù)，那么它們的和不變。利用這一邏輯，也可以使計算簡便、迅速。例如657＋309=（657+9）＋（309-9）=666+300=966154＋286=（154—4）+（286＋4）=150＋290=（150-10）＋（290＋10）=140＋300=440【按照差的變化邏輯速算】差的變化邏輯有如下三條。（1）倘若被減數(shù)增強（或減少）一個數(shù)，那么它們的差也增強（或減少）同一個數(shù)。運用這一邏輯的速算，如804—355=800—355＋4=445＋4＝449593—264=600—264—7=336—7=329（2）倘若減數(shù)增強（或減少）一個數(shù)，被減數(shù)不變，那么它們的差反而減少（或增強）同一個數(shù)。運用這一邏輯的速算，如675—298=675—300＋2=375＋2=377458—209=458—200—9=258—9=249（3）倘若被減數(shù)和減數(shù)都增強（或都減少）同一個數(shù)，那么它們的差不變。運用這一邏輯的速算，如3520—984=（3520＋16）-（984＋16）=3536—1000=2526803—345=（803—3）-（345—3）=800—342=458【按照積的變化邏輯速算】積的變化邏輯有如下兩條。（1）倘若一個因數(shù)擴大（或者縮?。┤舾杀?，另一個因數(shù)不變，那么它們的積也擴大（或者縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。運用這一邏輯的速算，如175×4=（25×7）×4=[（25×7）÷25]×4×25=7×4×25=7×（4×25）=70068×25＝68×100÷4=6800÷4=1700（2）倘若一個因數(shù)擴大若干倍，另一個因數(shù)縮小同樣的倍數(shù)，那么它們的積不變。運用這一邏輯速算，如240×25=（240÷4）×（250×4）=60×1000=6000045×14=（45×2）×（14÷2）=90×2=180【按照商的變化邏輯速算】商的變化邏輯，有如下三條：（1）倘若被除數(shù)擴大（或者縮?。┤舾杀?，除數(shù)不變，那么它們的商也擴大（或者縮小）同樣的倍數(shù)。運用這一邏輯速算，如5400÷9=（5400÷100）÷9×100=54÷9×100=6×100=600（2）倘若除數(shù)擴大（或者縮?。┤舾杀?，被除數(shù)不變，那么它們的商反而會縮小，（或者擴大）同樣的倍數(shù)。運用這一邏輯速算，如3600÷25＝3600÷（25×4）×4=3600÷100×4=36×4=144（3）被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或者都縮小）同樣的倍數(shù)，它們的商不變。運用這一邏輯速算，如690000÷23000=（690000÷1000）÷（23000÷1000）=690÷23=3012000÷25=（12000×4）÷（25×4）=48000÷100=480注重：在有余數(shù)的除法里，倘若被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或者都縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，不徹低商固然不會變化，但余數(shù)會跟著擴大（或者縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。要使余數(shù)不變，所得的余數(shù)必須縮小（或者擴大）同樣的倍數(shù)。51、割補、拼接、截割【割補】在數(shù)學中，把圖形的某個部分割下，補到某一個新的位置，往往可以使新的圖形，更便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系，從而較快地解答出數(shù)學題目。例如，在圖4.38中，三個圓的面積都是12.56平方厘米，且三個圓兩兩相交，三個交點都是圓心，求三塊陰影部分的面積。從表面上看，題目是無法解答的。但只要仔細看見就能發(fā)現(xiàn)，按照軸對稱性及割補主意，題目可作如下的解答：如圖4.39，將圖形1翻折到圖形2的位置；再將圖形3和4割下來，合并在一起，補到圖形5的位置上。于是，本來的陰影部分就正巧拼成了一個半圓。所以，三塊陰影部分的面積是12.56÷2=6.28（平方厘米）【拼接，截割】（1）平面圖形的拼接、截割。拼接和截割，是兩個相反的過程。平面圖形的拼接是把兩個或兩個以上的圖形拼接在一起；平面圖形的截割，是把一個圖形截割成兩個或兩個以上的圖形。平面幾何圖形拼接或截割以后，面積和周長的變化有以下邏輯：①兩個或兩個以上的圖形拼接成一個新的幾何圖形，它的面積等于本來若干個幾何圖形的面積之和；而周長卻會比原圖形周長之和要短。倘若拼接部分的總長度為a，那么拼接后減少的周長就是2a。②把一個平面幾何圖形截割以后，各小塊圖形的面積之和，等于原圖形的面積；但截割后各小塊幾何圖形的周長之和，要比原圖形的周長要長。若所有截割部分長度為a，那么截割后增強的長度就是2a。根據(jù)這一邏輯，可迅速地解答一些幾何問題。例如，如圖4.40，正方形被均分為大小、形狀徹低相同的三個長方形，每個長方形周長都是48厘米，求正方形的周長。解題時，可以把大正方形看成是三個小長方形拼接而成的，三個小長方形的拼接部分，都是小長方形的長，長度等于大正方形的“邊長”。拼接以后的圖形（大正方形）的周長，比本來的三個小長方形的周長之和，要減少4個“邊長”，而這4個“邊長”正巧相當于大正方形的周長。這就是說，三個小長方形的周長之和里，剛好包含有兩個大正方形的周長。所以，正方形的周長是48×3÷2=144÷2=72（厘米）（2）立體圖形的拼接、截割。立體幾何圖形拼接或截割以后，它的體積和表面積的變化，有以下邏輯：①兩個或兩個以上的幾何體，拼接成一個新幾何體以后，它的體積等于本來若干個幾何體體積之和；但是它的表面積卻比本來若干個幾何體的表面積之和要小。倘若重疊部分為S，那么減少的面積就是2S。②把一個幾何體截割以后，各部分的體積之和等于原幾何體體積；但截割后的表面積之和，卻大于原幾何體的表面積。倘若其中的截割面積為S，那么，增強的表而積就是2S。根據(jù)這一邏輯，可以較快地解答出某些題目。例如，如圖4.41，把一個棱長為5厘米的正方體木塊鋸成兩個形狀大小徹低相同的長方體（不計損耗），表面積會增強多少平方厘米？因為正方體木塊的截割面積為5×5=25（平方厘米），根據(jù)上面的邏輯可知，表面積會增強25×2=50（平方厘米）又如，把長10厘米、寬6厘米、高5厘米的長方體木塊截成形狀、大小相同的兩個長方體，表面會增強多少平方厘米？因為此題未交代從何處下手截割，所以要分三種情況來解答題目。①如圖4.42左圖的截法，表面積會增強。5×6×2=30×2=60（平方厘米）②如圖4.42中圖的截法，表面積會增強。10×6×2=60×2=12（平方厘米）③如圖4.42右圖的截法，表面積會增強10×5×2=50×2=100（平方厘米）52、改變運算種類在四則運算中，改變原題的運算種類，如以乘代加、以加代減、以加代乘、以減代除……，往往可使一些題目的計算變得比較簡便、迅速。【以乘代加】幾個加數(shù)固然不同，但數(shù)字大小比較臨近的時候，可以挑選一個數(shù)作“基準數(shù)”，采用“以乘代加”的主意速算。例如（1）17＋18＋16＋17＋14+19＋13+14解題時，可以挑選17為基準數(shù)，以乘代加解答如下。17＋18+16＋17＋14+19+13＋14=17×8＋1-1-3＋2-4-3=17×8-8=128（2）325＋324＋318＋327＋323＋320解題時，可以選取323作為基準數(shù)，然后解答。325+324＋318+327＋323＋320=323×6+2＋1-5+4-3=323×6+（2＋1＋4）-（5＋3）=323×6＋7-8=323×6-1=1937運用基準數(shù)以乘代加速算，對于一些隨報隨記而且數(shù)字又很臨近的連加運算，是極為方便、迅速的，它的算法可以是：選定一個數(shù)作基準數(shù)，把比基準數(shù)多的記“十”，比基準數(shù)少的記“一”，隨報隨算它的累計數(shù)。當要加的數(shù)報完后，結果也就計算出來了。例如，某組10個學生某次數(shù)學考試分數(shù)如下：72；71；70；68；74；69；73；67；70；73。計算時，可挑選70分作基準數(shù)。計算過程可如下表所示（實際計算時只需要算出累計數(shù)就行了）：所以，這組學生這次考試成績的總分數(shù)是70×10＋7=707（分）【以加代減】為說明問題，先看一個實際問題：“某人去商店購物，需要付款4.65元。他交給售貨員10元，應找回多少錢？”很顯然，這是個減法算題，應該用10—4.65=5.35（元）去求答案。可是在找錢的時候，售貨員普通不做減法，而是采用“前位湊九，末位湊十”的加法運算，得5.35與4.65能湊成10，從而得出要找的錢數(shù)是5.35元。這是為什么呢？因為做減法會產生延續(xù)退位的問題，而用加法湊整，可以通過“前位九，末位十”的主意口算。達到準確、迅速、簡便地求差的目的。凡是整百、整千、整萬……減去一個數(shù)，都可以用“以加代減”的主意——“前位湊九，末位湊十”，去疾馳地求差。請看下面的兩個例子，異常是看一看列出的豎式：（1）1000—675=325(2)50000-3672=46328【添0折半】一個數(shù)乘以5，可以看成是先乘以10再除以2。一個數(shù)乘以10異常簡便，只要在這個數(shù)的末尾添個0；再除以2，也很容易口算。這種添0后再除以2的主意，叫做“添0折半法”。它也改變了原題的運算種類。例如（1）486×5＝4860÷2=2430（2）4.37×5=43.7÷2=21.85【添0退減原數(shù)】一個數(shù)乘以9，就是乘以10—1。按照一個數(shù)乘以兩數(shù)之差的分配性質，一個數(shù)乘以9，可以在這個數(shù)的末尾添一個0，再退一位減去原數(shù)，所得的就是所要求的積。這種主意，可稱為“添0退減原數(shù)法”。例如396×9=3960-396=3564（退減原數(shù)可看式口算?？词娇谒悴皇炀殨r，可從低位減起，熟練之后可從高位減起，一下子就可直接寫出得數(shù)。）【添0折半加原數(shù)】一個數(shù)乘以6，可以看成是乘以（5＋1）。運用乘法分配律，可以用這個數(shù)分離乘以5和1，再求兩個積之和。一個數(shù)乘以5，可以用“添0折半法”，加上這個數(shù)與1的積，就是加上原數(shù)。所以這種速算主意可稱之為“添0折半加原數(shù)法”。例如6489×6=64890÷2+6489=32445＋6489=38934這種主意還可以推廣到一個數(shù)乘以7中去。不過，乘以7就必須是“添0折半加原數(shù)的2倍”了。例如2436×7=24360÷2＋4872=12180+4872=17052234.2×7=2342÷2+468.4=1171＋468.4=1639.4【以加代乘】“以加代乘”又可以稱之為“添0加原數(shù)”。例如720×11=7200＋720=792067203×11＝672030＋67203=739233這種主意還可以推廣到一個數(shù)乘以12的計算中去。不過，一個數(shù)乘以12，需要添0加原數(shù)的2倍。例如：623×12=6230+1246=7476【原數(shù)加半，加半定積】倘若一個數(shù)乘以1.5，也就是乘以（1＋0.5），那么按照乘法分配律，只要把這個數(shù)加上它的一半就可以了。這時，本來的乘法也可以改用加法來代替。例如48×1.5=48×（1＋0.5）=48+24（48的一半）=72顯然，“原數(shù)加半”的主意速算乘法，也是“以加代乘”的一種主意。這種“原數(shù)加半”主意還可推廣到一個數(shù)乘以15、150、1500……以及0.15、0.015、0.0015……中去。因為15=1.5×100.15=1.5×0.1150=1.5×1000.015=1.5×0.011500=1.5×10000.0015=1.5×0.001…………所以，一個數(shù)乘以這些數(shù)，只要把這個數(shù)加上它的一半以后，再移動小數(shù)點的位置就可以了。比喻6.4×150=6.4×1.5×100=（6.4＋3.2）×100=9.6×100=9604600×0.0015=（4600＋2300）×0.001=6900×0.001=6.9這樣的主意，可以稱作“加半定積法”。在我國農村，還常常將它用于將平方米數(shù)換算成畝數(shù)的計算。因為1平方米=0.0015畝，所以2800平方米=（0.0015×2800）畝=[（2800＋1400）×0.001]畝=4.2畝在民間，人們普通稱這樣的迅速簡算主意，叫做“加半向左移三法”。【以減代除】除法實際上是同數(shù)連減的簡算主意，而同數(shù)連減又可以用乘法代替。所以，“以減代除”可以達到簡算和速算的目的。例如，550÷25，先用550減去20個25，得50，50再減去2個25，便得0。所以，550÷25=22。由口算便疾馳得出了此題的得數(shù)?！疽猿舜猿恕吭诔朔ㄟ\算里，倘若一個因數(shù)是5”，則可將它化為“10n÷2n”，從而將“乘以5n”轉化為“除以2n”舉行計算。同樣，在除法運算里，倘若除數(shù)是5n，那么，也可以將它轉化為“乘以2n”去舉行計算。顯然，除以或乘以2n，要比乘以或除以5n方便、迅速得多。例如（1）12000÷125=12000÷53=12000÷（103+23）=12000÷103×23=12×23=96因為12×23=12×2×2×2，所以口算得數(shù)時，只要把12延續(xù)翻倍三次即可。即12—→24—→48—→96。（2）480×125=480×53=480×（103÷23）=480×103÷23＝480÷23×103=60×103=60000因為480÷23=480÷2÷2÷2，所以口算得數(shù)時，只要把480延續(xù)折半三次即可。即480—→240—→120—→60。53、復雜分數(shù)應用題【復雜的普通分數(shù)問題】例1已知甲校學生數(shù)是乙校學生數(shù)的40％，甲校女生數(shù)是甲校學生數(shù)的30％，乙校男生數(shù)是乙校學生數(shù)的42％。那么，兩校女生總數(shù)占兩校學生總數(shù)的百分之幾？（全國“幼苗杯”小學數(shù)學比賽試題）講析：關鍵是要求出甲、乙兩校學生數(shù)，分離占兩?？側藬?shù)的幾分之幾。因為甲校學生數(shù)是乙校學生數(shù)的40％，所以，甲、乙兩校學生數(shù)之比為所以，兩校女生占兩校學生總數(shù)的例2有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放入16塊水果糖后，奶糖就只占25％。那么，這堆糖中有奶糖____塊。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）16塊水果糖之后，其它糖就是奶糖的（1-25％）÷25％=3（倍）。例3某商店經銷一種商品，因為進貨價降低了8％，使得利潤率提高了10％。那么這個商店本來經銷這種商品所得利潤率是百分之幾？（長沙市奧林匹克代表隊集訓試題）講析：“利潤”是出售價與進價的差；“利潤率”是利潤與進貨價的比率。設這種商品原進價為每件a元，出售后每件獲利潤b元。那么現(xiàn)進價為每件（1-8％）×a=92％a（元），例4小學清晨6：00開校門，晚上6：40關校門。下午有一學生問老（1992年小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：本題的關鍵是要注重“時光”和“時刻”這兩個概念的區(qū)別。從清晨6點到中午12點共有6小時，從中午12點到下午6點40分共有設從中午12點到“現(xiàn)在”共a小時，可列方程為解得a=4。所以，現(xiàn)在的時光是下午4點鐘。【工程問題】例1一件工作，甲做5小時后，再由乙做3小時可以完成；若乙先做9小時后，再由甲做3小時也可以完成。那么甲做1小時以后，由乙做____小時可以完成？（1987年北大附中友好數(shù)學邀請賽試題）講析：因為“甲做5小時，乙做3小時可以完成”；或者“甲做3小時，乙做9小時也可以完成”。由此得，甲做5-3=2（小時）的工作量，就相當于乙做9-3=6（小時）的工作量。即：甲做1小時，相當于乙做3小時。由“甲做5小時，乙再做3小時完成”，可得：甲少做4小時，就需乙多做3×4=12（小時）。所以，甲做1小時之后，還需要乙再做3+12=15（小時）才干完成。例2倘若用甲、乙、丙三根水管同時往一個空水池里灌水，1小時可以灌滿；倘若用甲、乙兩根水管，1小時20分可以灌滿；倘若用乙、丙兩根水管，1小時15分可以灌滿。那么，用乙管單獨灌水，要灌滿一池水需要____小時。（1993年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：關鍵是求出乙的工作效率。例3一項挖土方工程，倘若甲隊單獨做，16天可以完成；乙隊單獨做時，驟然碰到地下水，影響施工進度，使得天天少挖了47.25方土，結果共用了10天完成工程。問囫圇工程要挖多少方土？（1993年全國小學數(shù)學奧林匹克總決賽第二試試題）講析：甲、乙兩隊合做，則工效可提高20％，所以天天可以完成例4某工廠的一個生產小組，當每個工人在自己原崗位工作時，9小時可以完成一項生產任務，倘若交換工人A和B的工作崗位，其他工人生產效率不變時，可提前1小時完成這項生產任務；倘若交換工人C和D的工作崗位，其他工人生產效率不變時，也可以提前1小時完成這項生產任務。問：倘若同時交換A與B，C與D的工作崗位，其他工人生產效率不變時，可以提前幾分鐘完成這項生產任務。（全國第四屆“華杯賽”決賽試題）所以，同樣交換A與B，C與D之后，全組每小時可以完成：例5一批工人到甲、乙兩個工地舉行清理工作。甲工地的工作量是乙工已做完，乙工地的工作還需4名工人再做1天。那么，這批工人有____人。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：把甲、乙兩地所有工作量作單位“1”，由“甲工地的工作量是把工人總數(shù)作單位“1”，由“上午去甲工地人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3所以，一天中去甲、乙工地人數(shù)之比為：例6蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管。要灌滿一池水，單開甲管需要3小時，單開丙管需要5小時。要排光一池水，單開乙管需要丁的順序循環(huán)開各水管，每次每管開1小時，問多少時光后水開始溢出水池？（全國第一屆“華杯賽”決賽第一試試題）有當開到甲水管時，水才會溢出。溢出。的思路是在假設要打開水管若干個循環(huán)之后，水才開始開始溢出。所以，這樣解的思路是錯誤的。54、分數(shù)與繁分數(shù)化簡【分數(shù)化簡】講析：容易看出，分子中含有因數(shù)37，分母中含有因數(shù)71。所以可得（長沙地區(qū)小學數(shù)學奧林匹克選拔賽試題）講析：注重到，4×6=24，2＋4=6，由此產生的一連串算式：16×4=64166×4=6641666×4=6664……（全國“育苗杯”小學數(shù)學比賽試題）講析：容易看出分子中含有因數(shù)3。把48531分解為48531=3×16177，然后可試著用16177去除分母：【繁分數(shù)化簡】（1990年馬鞍山市小學數(shù)學比賽試題）講析：倘若分離計算出分子與分母的值，則難度較大。看見式子，可發(fā)現(xiàn)分子中含有326×274，分母中含有275×326。于是可想主意化成相同的數(shù)：（全國第三屆“華杯賽”復賽試題）講析：可把小數(shù)化成分數(shù)，把帶分數(shù)都化成假分數(shù)，并注重將分子分母同乘以一個數(shù)，以消除各自中的分母。于是可得例3化簡（全國第三屆“華杯賽”復賽試題）講析：因為分子與分母部分都比較復雜，所以只能分離計算。計算時，哪一步中能簡算的，就采用簡算的主意去計算。所以，原繁分數(shù)等于1。（北京市第一屆“迎春杯”小學數(shù)學比賽試題）講析：連分數(shù)化簡，通常要從最下層的分母開始，自下而上逐步化簡。依此法計算，題目的得數(shù)是2。（計算過程略）55、對稱變換【將軍飲馬】據(jù)說古代希臘有一位將軍向當初的大學者海倫請教一個問題：從A地出發(fā)到河邊飲馬，再到B地（如圖4.32所示），走什么樣的路最近？如何決定飲馬的地點？海倫的主意是這樣的：如圖4.33，設L為河，作AO⊥L交L于O點，延伸AO至A＇，使A＇O=AO。連結A＇B，交L于C，則C點就是所要求的飲馬地點。再連結AC，則路程（AC+CB）為最短的路程。為什么呢？因為A＇是A點關于L的對稱點，AC與A＇C是相等的。而A＇B是一條線段，所以A＇B是連結A＇、B這兩點間的所有線中，最短的一條，所以AC+CB=A＇C+CB=A＇B也是最短的一條路了。這就是海倫運用對稱變換，找到的一種最巧妙的解題主意。運用這種主意，可以巧妙地解決許多幾何問題?！緞澗€均分】通過中央對稱圖形的對稱中央，隨意畫一條直線，都可以把原圖形均分成兩個大小、形狀徹低相同的圖形。利用這一性質，可以使某些較復雜的問題疾馳地解答出來。例如（1）把圖形（圖4.34）的面積，用一條直線分成相等的兩個部分。解題時，只要把這個圖形看成是由兩個矩形（長方形）組成的組合圖形，而矩形既是軸對稱圖形，也是中央對稱圖形，所以只要找出兩個對稱中央（對角線交點），利用中央對稱圖形的上述性質，通過兩個對稱中央作一條直線，就能把它的面積分成相等的兩個部分了。如前頁的三種分法都行（如圖4.35所示）。（2）如圖4.36，長方形ABCD內有一個以O點為圓心的圓，請畫一條直線，同時將長方形和圓分為面積相等的兩個部分。大家知道，長方形和圓都既是軸對稱圖形，又是中央對稱圖形。長方形的對稱中央是對角線的交點，圓的對稱中央是它的圓心。按照中央對稱圖形的上述性質，先找出這兩個對稱中央O點和P點（如圖4.37），再過O、P作直線L，此直線L即是所畫的那根直線。56、典型應用題【平均數(shù)問題】例1小強騎自行車從甲地到乙地，去時以每小時15千米的速度前進，回時以每小時30千米的速度返回。小強往返過程中的平均速度是每小時多少千米？（江西省第二屆“八一杯”小學數(shù)學比賽試題）講析：我們不能用（15+30）÷2來計算平均速度，因為往返的時光不相等。只能用“總路程除以往返總時光”的主意求平均速度。所以，往返的平均速度是每小時例2動物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生。倘若只分給第一群，則每只猴子可得12粒；倘若只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒。那么平均分給三群猴子，每只猴子可得____粒。（北京市第八屆“迎春杯”小學數(shù)學比賽試題）講析：設花生總粒數(shù)為單位“1”，由題意可知，第一、二、三群猴子于是可知,把所有花生分給這三群猴子，平均每只可得花生例3某班在一次數(shù)學考試中，平均成績是78分，男、女生各自的平均成績是75.5分和81分。問：這個班男、女生人數(shù)的比是多少？（全國第三屆“華杯賽”決賽第二試試題）講析：因男生平均比全班平均少2.5分，而女生平均比全班平均的多3分，故可知2.5×男生數(shù)=3×女生數(shù)。2.5∶3=女生數(shù)：男生數(shù)即男生數(shù)：女生數(shù)=6:5。例4某次數(shù)學比賽原定一等獎10人，二等獎20人，現(xiàn)在將一等獎中最后4人調節(jié)為二等獎，這樣，得二等獎的學生平均分提高了1分，得一等獎的學生的平均分提高了3分。那么，本來一等獎平均分比二等獎平均分多____分。（1994年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：設本來一等獎每人平均是a分。二等獎每人平均是b分。則有：10a+20b=6×（a+3）+24×（b+1）即：a-b=10.5。也就是一等獎平均分比二等獎平均分多10.5分?！拘谐虇栴}】例1甲每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米，甲乙兩人從A地，丙一人從B地同時相向出發(fā)，丙碰到乙后2分鐘又碰到甲，A、B兩地相柜______米。（1990年《小學生報》小學數(shù)學比賽試題）講析：如圖5.30，當乙丙在D點相遇時，甲已行至C點。可先求出乙、兩相遇的時光，也就是乙行距離AD的時光。乙每分鐘比甲多走10米，多少分鐘就多走了CD呢？而CD的距離，就是甲、丙2分鐘共行的距離：（70+50）×2=240(米）。于是可知，乙行AD的時光是240÷10=24（分鐘）。所以，AB兩地相距米數(shù)是（70+60）×24=3120（米）例2在一條馬路上，甲、乙兩個地點相距600米，張明每小時行走4千米，李強每小時行走5千米。8點整，他們兩人從甲、乙兩地同時出發(fā)相向而行，1分鐘后他們都調頭反向而行，再過3分鐘，他們又調頭相向而行，依次按照1、3、5、7……（延續(xù)奇數(shù)）分鐘數(shù)調頭行走。那么，張、李兩個人相遇時是8點_____分。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克比賽初賽試題）（千米）=150（米）他倆相向走（1+5）分鐘，反向走（3+7）分鐘后兩人相距：600+150×〔（3+7）-（1+5）〕=1200（米）所以，只要再相向行走1200÷150=8（分鐘），就可以相遇了。從而可知，相遇所需要的時光共是1+3+5+7+7+8=24（分鐘）也就是相遇時是8點24分。例3快、中、慢三輛車同時從同一地點出發(fā)，沿同一馬路追逐前面的一個騎車人。這三輛車分離用6分鐘，10分鐘、12分鐘追上騎車人?，F(xiàn)在知道快車每小時走24千米，中車每小時走20千米，那么，慢車每小時走多少千米？（全國第一屆“華杯賽”決賽第二試試題）講析：如圖5.31所示，A點是三車的出發(fā)點，三車出發(fā)時騎車人在B點，A1、A2、A3分離為三車追上騎車人的地點?？燔囎咄?.4千米追上了他。由此可見三輛車出發(fā)時，騎車人已走的路程是AB=2.4-1.4=1（千米）。所以，慢車的速度是：例4一輛車從甲地開往乙地。倘若把車速提高20％，可以比原定時光提前一小時到達；倘若以原速行駛120千米后，再將速度提高25％。則可提前40分鐘到達。那么，甲、乙兩地相距______千米。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：首先必須考慮車速與時光的關系。因為車速與時光成反比，當車速提高20％時，所用時光縮短為本來的例5游船順流而下每小時行8千米，逆流而上每小時行7千米，兩船同時從同地出發(fā)，甲船順流而下，然后返回。乙船逆流而上，然后返回，經過2小時同時回到出發(fā)點，在這2小時中，有______小時甲、乙兩船的航行方向相同。（上海市第五屆小學數(shù)學比賽初賽試題）講析：關鍵是要理解上行與下行時光各占所有上下行總時光的百分之幾。因為兩船2小時同時返回，則兩船航程相等。又上行船速是每小時行7例6甲、乙兩車分離從A、B兩城同時相向而行，第一次在離A城30千米處相遇。相遇后兩車又繼續(xù)前行，分離到達對方城市后，又趕緊返回，在離A城42千米處第二次相遇。求A、B兩城的距離。（《小學生科普報》小學數(shù)學比賽預選賽試題）講析：如圖5.32所示。兩車第一次在C地相遇，第二次在D地相遇。甲、乙兩車從開始到第一次C點相遇時，合起來行了一個全程。此時甲行了30千米，從第一次相碰到第二次D點相遇時，兩車合起來行了兩個全程。在這兩個全程中，乙共行（30+42）千米，所以在合行一個全程中，乙行（30＋42）÷2=36（千米），即A、B兩城的距離是30＋36=66（千米）。例8甲、乙兩車分離從A、B兩地出發(fā)，在A、B之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時15千米，乙車的速度是每小時35千米，并且甲、乙兩車第三次相遇（兩車同時到達同一地點叫相遇）的地點與第四次相遇的地點恰好相距100千米。那么A、B兩地的距離等于____千米。（1993年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：按照甲、乙兩車的速度比為3∶7，我們可將A、B兩地平均分成10份（如圖5.33）。因為甲、乙兩車速度之比為3∶7，所以甲每走3份，乙就走了7份。于是它們第一次在a3處相遇。甲再走4.5份，乙走10.5份，在a7與a8之中點處甲被乙追上，這是第二次相遇；甲再又走1.5份，乙走3.5份，在a9點第三次兩車相遇；甲走6份，乙走14份在a5點第四次兩車相遇。（千米）。例9在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點相距100米（如圖5.34）。甲、乙兩人分離從A、B兩點同時按逆時針方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘，那么，甲追上乙需要____秒鐘。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：各跑100米，甲比乙少用的時光是100÷4-100÷5=5（秒鐘），現(xiàn)在甲要比乙多跑100米，需20秒鐘。由20÷5=4（個百米），可知，乙跑400米以后，甲就比乙多跑100米。這樣便剛好追上乙。甲跑完（400+100）米時，中途停了4次，共停40秒鐘。故20×5+40=140（秒）。當乙跑完400米以后，停了10秒，甲剛好到達同一地點。所以，甲追上乙需要140秒鐘。例10甲、乙二人在同一條環(huán)形跑道上作異常訓練：他們同時從同一地點出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達出發(fā)點后趕緊回頭加速跑第二第一次相遇點190米，問這條環(huán)形跑道長多少米？（全國第四屆“華杯賽”復賽試題）講析：圖為甲、乙兩人每跑到原出發(fā)點時，就返回頭跑。于是，從出發(fā)點切開，然后將環(huán)形跑道拉直，這樣，他倆就可以看作在AB線段上的往返跑步（如圖5.35）。跑第一圈時，乙的速度與甲的速度的比是3∶2。當甲從原速跑到A點。（個）全程，即剛好到達D點。所以，在AD段中，甲、乙兩人都是按各自的加速度相向而行。不難求得例11圖5.36，大圈是400米跑道，由A到B的跑道長是200米，直線距離是50米。父子倆同時從A點出發(fā)逆時針方向沿跑道舉行長跑鍛煉，兒子跑大圈，父親每跑到B點便沿直線跑，父親每100米用20秒，兒子每100米用19秒。倘若他們按這樣的速度跑，兒子在跑第幾圈時，第一次與父親再相遇？（全國第二屆“華杯賽”復賽試題）講析：容易計算出，父親經過150秒剛好跑完3小圈到達A點，兒子經過152秒剛好跑完2圈到達A點，兒子比父親慢2秒鐘，所以兒子將沿跑道追逐父親。因為A到B彎道長200米，兒子每跑100米比父親快一秒，可知恰好在B點追上父親。即，兒子在跑第三圈時，會第一次與父親相遇。例12甲班與乙班學生同時從小學出發(fā)去某公園。甲班步行的速度是每小時4千米，乙班步行的速度是每小時3千米。小學有一輛大客車，它的速度是每小時48千米。這輛車恰好能坐一個班的學生。為了使兩班學生在最短時光內到達，那么甲班學生與乙班學生需要步行的距離之比是____。（1991年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：要使兩個班在最短時光內到達，惟獨讓兩個班都同時運行且同時到達。設甲班先步行后乘車。甲班、乙班和客車的行進路線如圖5.37所示。AB、CD分離表示甲班和乙班步行距離。當甲班從A地行至B地時，汽車共行了：AB+2·BC。又汽車速度是甲班的12倍，所以同理，當乙班從C地行至D地時，汽車共行了CD+2·BC。又，汽車速度是乙班的16倍，所以AB∶CD=15∶11。即甲班與乙班需要步行的距離之比為15∶11。例13王經理總是上午8點鐘乘公司的汽車去上班。有一天，他6點40分就步行上班，而汽車仍按以前的時光從公司出發(fā)，去接經理，結果在路途中接到了他。因此，王經理這天比平時提前16分鐘到達公司。那么汽車的速度是王經理步行速度的____倍。（《小學生科普報》小學數(shù)學奧林匹克通訊賽試題）講析：如圖5.38，A點表示王經理家，B點表示公司，C點表示汽車接王經理之處。王經理比平時提前16分鐘到達公司，而這16分鐘實際上是汽車少走了2·AC而剩下的時光，則汽車行AC路程需要8分鐘，所以汽車到達C點接到王經理的時光是7點52分鐘。王經理步行時光是從6點40分到7點52分，共行72分鐘。因此，汽車速度是王經理步行速度的72÷8=9（倍）?！颈稊?shù)問題】例1倉庫里有兩個貨位，第一貨位上有78箱貨物，第二貨位上有42箱貨物，兩個貨位上各運走了相同的箱數(shù)之后，第一貨位上的箱數(shù)還比第二貨位上的箱數(shù)多2倍。兩個貨位上各運走了多少箱貨物？（1994年天津市小學數(shù)學比賽試題）講析：因為兩堆貨物各運走相同數(shù)量的貨物之后，第一堆比第二堆貨物多2倍。即此時第一堆貨物是第二堆貨物的3倍。所以，42的3倍的積與78的差，就是兩堆中各運走貨物的箱數(shù)的2倍。故兩個貨位各運走的貨物箱數(shù)是（42×3-78）÷2=24（箱）。例2一筆獎金分一等獎、二等獎和三等獎。每個一等獎的獎金是每個二等獎獎金的2倍，每個二等獎獎金是每個三等獎獎金的2倍。倘若評一、二、三等獎各兩人，那么每個一等獎的獎金是308元；倘若評一個一等獎，兩個二等獎，三個三等獎，那么一等獎的獎金是多少元？（全國第二屆“華杯賽”復賽試題）講析：我們可將二等獎和三等獎都換成一等獎。倘若評1個一等獎，2個二等獎，3個三等獎時，每個一等獎的獎金為：0例3甲、乙兩個小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒。倘若甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的2倍。倘若乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的3倍。那么，甲、乙兩個小朋友共有糖____粒。（1994年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）。講析：甲給乙一定數(shù)量的糖之后，甲是乙的2倍。這說明甲乙兩個糖數(shù)之和是3的倍數(shù)；同理，乙給甲一定數(shù)量的糖后，甲是乙的3倍，這說明甲乙兩個糖數(shù)之和又是4的倍數(shù)。所以，甲、乙兩人糖?？倲?shù)一定是12的倍數(shù)。又，每袋糖都不到20粒，所以甲乙兩個糖數(shù)之和應為12、24、36中的一個數(shù)。經檢驗，當總糖數(shù)是24時，即甲為17粒、乙為7粒時，符合要求。即兩個小明友共有糖24粒。例4一小和二小有同樣多的學生參加金杯賽。小學用汽車把學生送往考場。一小用的汽車，每車坐15人，二小用的汽車，每車坐13人，結果二小比一小要多派一輛汽車。后來每校各增強一個人參賽，這樣兩校需要的汽車就一樣多了。最后又決定每校再各增強一人參加比賽，二小又要比一小多派一輛汽車。問最后兩校共有多少人參加比賽？（全國第一屆“華杯賽”決賽試題）講析：本來二小比一小多一輛車，各增強一人后，兩校所需車一樣多。由此可見，一小增一人就要增強一輛車，所以本來汽車恰好所有坐滿，即本來一小人數(shù)是15的倍數(shù)。后來又增強1人，這時二小又要多派一輛車，所以在第二次增強人數(shù)之前，二小的車也恰好坐滿。即人數(shù)是13的倍數(shù)。因此，本來每校參加的人數(shù)都是15的倍數(shù)。而加1之后，是13的倍數(shù)。即求15的某個倍數(shù)恰等于13的倍數(shù)減1。因為15×6=90，13×7=91，所以，兩校各有92人參加比賽。從而可知，兩校共有184人參加比賽?！灸挲g問題】例1小明今年5歲，爸爸的年齡是小明的7倍，再過多少年爸爸的年齡是小明年齡的3倍？（1993年吉林省“金翅杯”小學數(shù)學比賽試題）講析：可先求出當爸爸年齡是小明年齡的3倍時，小明的年齡是多少歲：（5×7-5）÷（3-1）=15（歲）。故，再過10年，爸爸的年齡是小明年齡的3倍。例2今年祖父的年齡是小明年齡的6倍。幾年后，祖父年齡是小明年齡的5倍。又過幾年后，祖父年齡是小明年齡的4倍。問：祖父今年多少歲？（全國第二屆“華杯賽”少年數(shù)學比賽試題）講析：因為今年祖父年齡是小明年齡的6倍。所以，年齡差是小明年齡的5倍，即一定是5的倍數(shù)。同理，又過幾年后，祖父的年齡分離是小明年齡的5倍和4倍，可知年齡差也是4和3的倍數(shù)。而年齡差是不變的。由3、4、5的公倍數(shù)是60、120、……可知，60是比較合理的。所以，小明今年的年齡是60÷（6-1）=12（歲）；祖父今年的年齡是12×6=72（歲）。例31994年姐妹兩人年齡之和是55歲。若干年前，當姐姐的年齡惟獨妹妹現(xiàn)在這么大時，妹妹的年齡恰好是姐姐年齡的一半。姐姐是哪一年出生的？（長沙地區(qū)數(shù)學比賽預選賽試題）講析：設若干年前，妹妹的年齡為x歲，則現(xiàn)在妹妹為2x歲；姐姐在“若干年前”那一年的年齡也為2x歲，則姐姐現(xiàn)在的年齡為3x歲。由2x+3x=55，可知，x=11。所以，今年姐姐的年齡是3×11=33（歲）。故姐姐是1960年出生的。【時鐘問題】例1把一個時鐘改裝成一個玩具鐘，使得時針每轉一圈，分針轉16圈，秒針轉36圈。開始時三針重合。問：在時針旋轉一周的過程中，三針重合了幾次？（不計起始和終止的位置）（全國第三屆“華杯賽”決賽口試試題）講析：如圖5.39，設時針和分針第一次在B點重合。從開始到重合，時針走了AB，而分針走了一圈后再又走AB。例27點____分的時候，分針落后于時針100°。（上海市第五屆小學數(shù)學比賽試題）講析：7點整時，分針落后于時針210°，時針每分鐘走0.5°，分針每分鐘走6°，依照追及問題有：（210-100）÷（6-0.5）=20（分鐘）。故，在7點20分鐘的時候，分針落后時針100°。【其他問題】例1如圖5.40是一個圍棋盤，還有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤上