朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁2010年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試題及參考答案一、挑選題：1~8小題，每小題4分，共32分。1、主意二（2）等式兩邊求全微分得：，即所以有，（3）、【解析與點評】：顯然是兩個瑕點，有對于的瑕點，當(dāng)時等價于，而收斂（因是正整數(shù)），故收斂；對于的瑕點，當(dāng)時，而顯然收斂，故收斂。所以挑選D.4、（5）(6)設(shè)的特征值為，因為為所以即又，必可相似對角化，且對角陣的秩也是3.所以準確答案為（D）(7)【解析與點評】.所以選C評注：本題實際上是考查分布函數(shù)的性質(zhì)，即對隨意隨機變量，均有，這樣的問題在輔導(dǎo)教程中浮上過多次，屬于基本概念的考查。(8)所以選A。評注：本題實際上是考查密度函數(shù)的性質(zhì)與正態(tài)分布和勻稱分布的基本性質(zhì)，這里還需要知道的是標準正態(tài)分布取負值的概率為，以及勻稱分布的計算問題。二、填空題（9）解故（10）、【解析與點評】令原式為（11）、已知曲線的方程為起點是盡頭是則曲線積分【解析與點評】令（12）、設(shè)則的形心坐標（13）設(shè)若由形成的向量空間維數(shù)是2，則【解析與點評】由題意知向量組線性相關(guān)，而其中兩個向量線性無關(guān)，所以，即（14）設(shè)隨機變量概率分布為，則【解析與點評】由概率密度的性質(zhì)，有即為參數(shù)為的泊松分布，則有評注：本題實際上考查Poisson分布的分布列以及它的二階矩的計算，是基本的題目，實際上，倘若大家對Poisson分布的分布列認識的話，天然就知道這里的X就是順從參量為1的Poisson分布，從而常數(shù)C的決定是顯然的，而二階矩的計算直接用期待和方差就可以得到.三、解答題（15）（本題滿分10分）求微分方程的通解.【解析與點評】齊次方程的特征方程為由此得對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程的特解為則，代入原方程得從而所求解為（16）（本題滿分10分）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值【詳解】由，可得，，列表研究如下減極小值增極大值減極小值增因此，的單調(diào)增強區(qū)間為及，單調(diào)減少區(qū)間為及；極小值：極大值為（17）（本題滿分10分）（Ⅰ）比較與的大小，說明理由（Ⅱ）設(shè)，求極限【解析與點評】（Ⅰ）令當(dāng)時，，故當(dāng)時當(dāng)時，從而又由得（Ⅱ）主意一，由（Ⅰ）知，，因為所以由夾逼準則得主意二由夾逼準則的主意三由（Ⅰ）知，又因為，所以所以因為，所以評點：本題主要考點：初等函數(shù)性質(zhì)，積分的保號性與比較性質(zhì)，分部積分法與極限運算。注重本題中積分為第二類廣義積分（18）（本題滿分10分）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)【解析與點評】因為，所以當(dāng)即時，原冪級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時，級數(shù)為，顯然收斂，故原冪級數(shù)的收斂域為。因為設(shè)則因為，所以從而收斂域，和函數(shù)（19）【解析與點評】（1）切平面法向量，因與面垂直，所以所以軌跡為（2）原式=（20）（本題滿分11分）【解析與點評】（I）設(shè)為的2個不同的解，則是的一個非零解，故。于是或當(dāng)時，因為，所以無解，舍去當(dāng)時，對的增廣矩陣施以初等行變化因為有解，所以（II）當(dāng)，時，所以的通解為，其中為隨意常數(shù)。評點：本題考查的知識點是線性方程的理論及求解能力。由題設(shè)非齊次線性方程組有兩個解，就有無窮多解，其導(dǎo)出組就有非零解，導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣列不滿秩，其行列式為零，從而求出參數(shù)的值。利用方程組有解的條件，判斷的取值。再利用方程組有解的條件，通過消元法求得的值。最后通過對增廣矩陣作初等行變換，求得方程組的通解。（21）【解析與點評】（Ⅰ）由題意知,其中，則，設(shè)的其他任一列向量為為正交矩陣即，其基礎(chǔ)解系含2個線性無關(guān)的解向量，即為把單位化（II）證實：為實對稱矩陣又因為的特征值為特征值為，都大于為正定矩陣評點：本題考查的知識點有二次型用正交變換化標準形的理論，實對稱矩陣通過正交矩陣和對角矩陣相似的理論，以及二次型正定性的判定等。首先按照正交變換下的標準形，決定二次型矩陣的特征值及特征向量，再按如實對稱矩陣不同特征值的特征向量正交求得特征值1的特征向量，特征向量單位化，構(gòu)造正交矩陣，進一步求出矩陣A，由A的特征值求出A+E的特征值，利用特征值判定A+E是正定矩陣。（22）（本題滿分11分）設(shè)二維隨機變量的概率密度為，求常數(shù)及條件概率密度【解析與點評】由概率密度的性質(zhì)，可知又知，有所以，即的邊緣概率密度為（23）【解析與點評】由題知分離順從二項分布，則有評點：本題實際上是考查無偏預(yù)計的概念與二項分布的概念與性質(zhì)的題目。這里的