空間直線、平面的垂直直線與直線垂直必備知識·自主學(xué)習(xí)1.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a,b′∥b,把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)本質(zhì):通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線,即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題.(3)應(yīng)用:刻畫異面直線的位置關(guān)系.導(dǎo)思1.怎樣刻畫異面直線的位置關(guān)系?2.怎樣定義空間中兩條直線垂直?【思考】平面內(nèi)兩條相交直線所成角的定義是什么?提示:兩直線相交,所成的銳角或直角叫做兩相交直線所成的角.2.異面直線互相垂直(1)定義:如果兩條異面直線所成的角是_____,那么這兩條異面直線互相垂直;(2)記作:a⊥b;(3)異面直線所成角的范圍:_____________.0°<α≤90°直角【思考】異面直線垂直與平面內(nèi)兩條直線垂直有何異同?提示:相同點(diǎn)是所成的角都是90°,不同點(diǎn)是異面直線垂直沒有交點(diǎn),平面內(nèi)兩條直線垂直有公共點(diǎn).3.空間兩條直線所成的角(1)當(dāng)兩直線a∥b時,規(guī)定a與b所成的角為0°;(2)空間兩條直線成角α的取值范圍:0°≤α≤90°.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)空間中若兩條直線垂直,則兩條直線是相交直線. (

)(2)分別與兩條異面直線平行的兩條直線是異面直線. (

)(3)△ABC中,A=120°,則與AB,AC分別平行的異面直線所成的角為120°. (

)提示:(1)×.兩直線可能是異面直線.(2)×.兩直線可能相交.(3)×.與AB,AC平行的異面直線所成的角為60°.2.已知空間中的三條直線a,b,c滿足a⊥c且b⊥c,則直線a與直線b的位置關(guān)系是 (

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A.平行 B.相交C.異面 D.平行或相交或異面【解析】選D.如圖,在長方體AC1中,AB⊥AD,AB⊥A1D1,AD∥A1D1,AB⊥AD,AB⊥AA1,AD∩AA1=A,AB⊥AD,AB⊥CC1,AD與CC1異面,所以,垂直于同一直線的兩條直線可平行,可相交,也可異面.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),則異面直線B1C與EF所成的角的大小為 (

)A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選C.連接BD,B1D1,D1C知△D1B1C是等邊三角形,所以D1B1與B1C所成角為60°,故B1C與EF所成角也是60°.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一求異面直線所成的角(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.(2020·新鄉(xiāng)高一檢測)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=1,AA1=,點(diǎn)O為長方形ABCD對角線的交點(diǎn),E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AD1與OE所成的角為

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2.(2020·南京高一檢測)如圖,已知四面體ABCD的棱長均為2,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成角的余弦值為

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【解析】1.連接AC,AC1,BD,因?yàn)辄c(diǎn)O為長方形ABCD對角線的交點(diǎn),E為棱CC1的中點(diǎn),所以O(shè)E∥AC1,所以∠D1AC1是異面直線AD1與OE所成角,在Rt△D1AC1中,AD1=,C1D1=3,所以tan∠D1AC1=,所以∠D1AC1=60°,所以異面直線AD1與OE所成的角為60°.答案:60°2.取AD的中點(diǎn)F,連接CF,EF,因?yàn)镋F∥BD,所以∠CEF(或其補(bǔ)角)為所求,又CE=CF=,EF=1,所以cos∠CEF=所以異面直線CE與BD所成角的余弦值為.答案:

【解題策略】異面直線所成的角的求法(1)作:利用三角形的中位線、長方體中相對應(yīng)的線段,平行四邊形的對邊等平移兩異面直線使之相交于一個點(diǎn),并說明相應(yīng)的角為異面直線所成的角或其補(bǔ)角.(2)求:求出三角形的邊,利用余弦定理求出角的余弦,進(jìn)而求出角;如果是特殊三角形,如等邊三角形、直角三角形等,則利用相應(yīng)三角形的性質(zhì)求角.【補(bǔ)償訓(xùn)練】

(2020·長春高一檢測)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,M為B1C1的中點(diǎn),連接A1B,D1M,則異面直線A1B和D1M所成角的余弦值為

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【解析】如圖,連接CD1,CM,由A1D1∥BC,A1D1=BC,可得四邊形A1BCD1為平行四邊形,則A1B∥CD1,所以∠CD1M為異面直線A1B和D1M所成角,由正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,M為B1C1中點(diǎn),得D1M=MC=,CD1=.在△CMD1中,由余弦定理可得,cos∠CD1M=,所以異面直線A1B和D1M所成角的余弦值為.答案:

類型二異面直線垂直的證明(直觀想象,邏輯推理)【典例】正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)E,F分別是BB1,D1B1的中點(diǎn),求證:EF⊥DA1.步驟內(nèi)容理解題意(1)正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)E,F分別是BB1,D1B1的中點(diǎn)(2)求證EF⊥DA1思路探求求出異面直線EF和DA1所成的角步驟內(nèi)容書寫表達(dá)如圖,連接B1C,分別取BC,B1C1的中點(diǎn)G,I,連接GE,GF,FI,GI.因?yàn)锳1D∥B1C∥EG,所以∠FEG是異面直線EF和A1D所成的角(或其補(bǔ)角),①設(shè)正方體的棱長為2,在Rt△FGI中,FI=1,GI=2,所以FG=,在Rt△EFB1中,B1E=1,B1F=,所以EF=,又EG=B1C=,FG2=EF2+EG2,所以△EFG是直角三角形,∠FEG=90°.②所以EF⊥DA1.①先作平行線,再注明異面直線所成的角(或其補(bǔ)角),②利用勾股定理的逆定理證明角為直角

步驟內(nèi)容題后反思證明線線垂直的一種方法:求出兩直線所成角為直角【解題策略】證明兩異面直線垂直的步驟(1)作出兩異面直線所成的角.(2)求出兩異面直線所成角的余弦值或在特殊三角形中說明垂直關(guān)系.(3)結(jié)論.【跟蹤訓(xùn)練】如圖,已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分別是BD1和AD的中點(diǎn),求證:CD1⊥EF.【證明】取CD1的中點(diǎn)G,連接EG,DG.因?yàn)镋是BD1的中點(diǎn),所以EG∥BC,EG=BC.因?yàn)镕是AD的中點(diǎn),且AD∥BC,AD=BC,所以DF∥BC,DF=BC,所以EG∥DF,EG=DF,所以四邊形EFDG是平行四邊形,所以EF∥DG,所以∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線CD1與EF所成的角.又A1A=AB,所以四邊形ABB1A1,四邊形CDD1C1都是正方形,且G為CD1的中點(diǎn),所以DG⊥CD1,所以∠D1GD=90°,所以異面直線CD1,EF所成的角為90°.所以CD1⊥EF.類型三異面直線所成角的應(yīng)用(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

角度1補(bǔ)形求異面直線所成的角

【典例】正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則DB1與CM所成角的余弦值為

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【思路導(dǎo)引】要作異面直線所成的角,可以考慮將正方體補(bǔ)成一個長方體,方便作平行線構(gòu)造角.【解析】將正方體ABCD-A1B1C1D1補(bǔ)上一個棱長相等的正方體,構(gòu)成一個長方體,連接CE1,ME1.因?yàn)镈B1∥CE1,所以∠MCE1是異面直線DB1與CM所成角(或其補(bǔ)角),設(shè)正方體的棱長為a.在三角形MCE1中,CM=那么cos∠MCE1=答案:

【變式探究】本例中,若N是BB1的中點(diǎn),試求異面直線DN,CM所成角的余弦值.【解析】將正方體ABCD-A1B1C1D1補(bǔ)上一個棱長相等的正方體,構(gòu)成一個長方體,P為所在棱中點(diǎn),連接CP,MP,DN∥CP,所以∠MCP是異面直線DN與CM所成角,設(shè)正方體棱長為a.在三角形MCP中,CM=那么cos∠MCP=角度2利用異面直線所成的角求值

【典例】正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,點(diǎn)P是棱BB1上一點(diǎn),若異面直線AC1與PD所成角的余弦值為,則BP=

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【思路導(dǎo)引】先補(bǔ)形作出異面直線所成的角,再設(shè)出BP,利用BP表示出異面直線所成角的余弦值后求值.【解析】將原正方體的一側(cè)補(bǔ)上另一個正方體ABEF-A1B1E1F1變?yōu)槿鐖D所示的長方體.在EE1上取點(diǎn)P1使EP1=BP,連接AP1,C1P1,則DPAP1,∠P1AC1即為異面直線AC1,DP所成的角(或補(bǔ)角).設(shè)BP=x,則AP1=,P1C1=.又AC1=4,=48+32+x2=80+x2,P1=80+x2-8x,>P1,所以∠C1AP1為銳角,cos∠C1AP1=解得x=1.答案:1【解題策略】1.關(guān)于補(bǔ)形作異面直線所成的角當(dāng)不方便作異面直線所成角時,可以考慮補(bǔ)形,一是補(bǔ)一個相同形狀的幾何體,以方便作平行直線,二是將不常見的幾何體補(bǔ)成一個常見的幾何體,如四棱錐補(bǔ)成一個正方體.2.關(guān)于異面直線的應(yīng)用當(dāng)已知條件中含有異面直線所成角時,應(yīng)先作出該角,才能應(yīng)用此條件,但要注意作出的角不一定是已知異面直線所成角,也可能是已知角的補(bǔ)角,應(yīng)分情況討論.【題組訓(xùn)練】1.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別為棱A1D1,C1D1的中點(diǎn),過M,N,B三點(diǎn)的截面與平面BCC1B1的交線為l,則直線l與AD所成角的余弦值為

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【解析】在平面ABCD中,連接AC,過B作BE∥AC,交DC的延長線于點(diǎn)E,連接NE,交CC1于F,連接BF,則BF就是過M,N,B三點(diǎn)的截面與平面BCC1B1的交線l,由題意得CE=DC=2NC1,所以CF=2C1F,因?yàn)锽C∥AD,所以∠FBC是直線l與AD所成角(或所成角的補(bǔ)角),設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,則BC=3,CF=2,BF=所以cos∠FBC=所以直線l與AD所成角的余弦值為.答案:

2.如圖,在四面體A-BCD中,AC=BD=a,對棱AC與BD所成的角為60°,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),則線段MN的長為

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【解析】取BC的中點(diǎn)E,連接EN,EM,因?yàn)镸為AB的中點(diǎn),所以ME∥AC,且ME=AC=,同理得,EN∥BD,且EN=,所以∠MEN或其補(bǔ)角為異面直線AC與BD所成的角,在△MEN中,EM=EN,若∠MEN=60°,則△MEN為等邊三角形,所以MN=.若∠MEN=120°,可得MN=.答案:

或直線與直線垂直核心知識易錯提醒核心素養(yǎng)方法總結(jié)直觀想象：求作異面直線所成角的問題異面直線所成的角的求法(1)作：利用中位線、長方體、平行四邊形等性質(zhì)平移至一個三角形，并說明為異面直線所成的角或補(bǔ)角.(2)求：利用余弦定理求角（如果是特殊三角形），或利用三角形的性質(zhì)求角。求異面直線所成的角時注意的范圍直線與直線垂直異面直線所成的角求異面直線所成的角課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線B1D1與CD所成角的大小是 (

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A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選B.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)锽1D1∥BD,所以∠BDC是異面直線B1D1與CD所成角,因?yàn)锽C=DC,BC⊥DC,所以∠BDC=45°,所以異面直線B1D1與CD所成角的大小是45°.2.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E