第二章晶體的宏觀對稱性第一節(jié)對稱性基本概念第二節(jié)晶體的宏觀對稱元素第三節(jié)宏觀對稱元素組合原理第四節(jié)晶體的三十二點群第二章晶體的宏觀對稱性點陣(格子)晶胞（等效）晶向指數(shù)（等效）晶面指數(shù)第二章晶體的宏觀對稱性對稱–物體或圖形的相同（equivalent）部分有規(guī)律的重復。對稱動作（操作）–使物體或圖形相同部分重復出現(xiàn)的動作。對稱元素（要素）–對稱動作所借助的幾何元素（點、線、面等）。階

–物體或圖形通過全部對稱操作得到的相同部分的數(shù)目。第一節(jié)對稱性基本概念第二章晶體的宏觀對稱性晶體的平移周期性是晶體對稱性的一種，它表現(xiàn)為晶體的結(jié)構(gòu)基元在三維晶體空間的平移復原（對稱操作為平移）。結(jié)構(gòu)基元/晶胞中原子排列的幾何規(guī)律導致晶體的對稱性也包含非（完全）平移的對稱操作，使得宏觀晶體具有不同的外觀及形狀特征。晶體外形的對稱性為宏觀對稱性，晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)原子或離子排列反映的對稱性為微觀對稱性。前者是有限大小宏觀晶體具有的對稱性，后者是無限晶體結(jié)構(gòu)具有的對稱性。兩者本質(zhì)上是統(tǒng)一的，微觀對稱性是晶體的本征性質(zhì)，宏觀對稱性是微觀對稱性的外在表現(xiàn)。晶體的對稱必須滿足晶體對稱性定律。第二章晶體的宏觀對稱性第二節(jié)晶體的宏觀對稱元素宏觀對稱元素(symmetryelement)和對稱操作(symmetryoperation)對稱動作類型對稱元素對稱操作

簡單反映面對稱中心旋轉(zhuǎn)軸

反映反演旋轉(zhuǎn)復合

反軸

旋轉(zhuǎn)反演第二章晶體的宏觀對稱性反映面(reflection/mirrorplane)：對稱物體或圖形中，存在一平面，作垂直于該平面的任意直線，在直線上距該平面等距離兩端上必定可以找到對應的點。這一平面即為反映面。相應的對稱操作為反映。反映面的慣用符號：P；國際符號：m；圣佛里斯符號：Cs第二章晶體的宏觀對稱性反映面的極射赤面投影反映操作聯(lián)系起來的兩部分互為對映體。如晶體自身存在反映面，該晶體不存在對映體。第二章晶體的宏觀對稱性立方體中的反映面九個反映面第二章晶體的宏觀對稱性六個反映面三個反映面第二章晶體的宏觀對稱性對稱中心(centreofsymmetry/inversioncentre)：對稱物體或圖形中，存在一定點，作通過該點的任意直線，在直線上距該點等距離兩端，可以找到對應點，則該定點即為對稱中心。相應的對稱操作為反演。對稱中心的慣用符號：C；國際符號：1；圣佛里斯符號：Ci第二章晶體的宏觀對稱性對稱中心的極射赤面投影第二章晶體的宏觀對稱性立方體中的對稱中心

有無有第二章晶體的宏觀對稱性旋轉(zhuǎn)軸(rotationaxis)：物體或圖形中存在一直線，當圖形圍繞它旋轉(zhuǎn)一定角度后，可使圖形相同部分復原，此直線即為旋轉(zhuǎn)軸。相應的對稱操作為旋轉(zhuǎn)。

在旋轉(zhuǎn)過程中，能使圖形相同部分復原的最小旋轉(zhuǎn)角稱為該對稱軸的基轉(zhuǎn)角（）。任何圖形在旋轉(zhuǎn)一周（360o）必然自相重復，因此有：360/=nn正整數(shù)n表示圖形圍繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周過程中，圖形相同部分重復的次數(shù)，因此n定義為旋轉(zhuǎn)軸的軸次。第二章晶體的宏觀對稱性晶體的對稱性定律：晶體只能出現(xiàn)1，2，3，4，6次旋轉(zhuǎn)軸。m’a=ma+2acos=ma+2acos(2/n)cos(2/n)=(m’-m)/2=M/2M=0,1,2,-1,-2

=0(360),180,120,90,60;n=1,2,3,4,6第二章晶體的宏觀對稱性慣用符號：L1L2L3L4L6國際符號：12346圣佛里斯符號:C1C2

C3

C4

C6第二章晶體的宏觀對稱性旋轉(zhuǎn)軸的極射赤面投影第二章晶體的宏觀對稱性立方體中的旋轉(zhuǎn)軸三個四次軸，四個三次軸，六個二次軸第二章晶體的宏觀對稱性三個二次軸，四個三次軸第二章晶體的宏觀對稱性反軸(inversion/rotainversionaxis)：物體或圖形中存在一直線，當圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，再繼之以對此直線上的一個定點進行反演，其最后結(jié)果可使圖形相同部分重合。相應的對稱操作為旋轉(zhuǎn)和反演的復合對稱操作。先旋轉(zhuǎn)后反演先反演后旋轉(zhuǎn)1(2’)4(1’)2(3’)3(4’)1(3’)3(1’)2(4’)4(2’)第二章晶體的宏觀對稱性三個四次反軸

四個三次軸三個二次軸四個三次軸第二章晶體的宏觀對稱性反軸類型及其極射赤面投影2=m3=3+i4=4?i6=3+m第二章晶體的宏觀對稱性復合對稱操作和對稱元素的組合的區(qū)別復合對稱操作：兩個（以上）的對稱操作連續(xù)進行，對稱圖形中不一定具有這些對稱操作相應的對稱元素，復合對稱操作通常用點乘符號表示。如四次軸的旋轉(zhuǎn)和對稱中心的反演的連續(xù)操作表示為：4

i。對稱元素的組合：對稱圖形中具有兩個（以上）對稱元素，通常用加號表示。如四次軸和對稱中心的組合表示為：4i。顯然，如果對稱圖形具有兩個（以上）對稱元素，它們的連續(xù)操作必定為復合對稱操作。第二章晶體的宏觀對稱性鏡轉(zhuǎn)軸（象轉(zhuǎn)軸）：圖形繞一直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，再以垂直于該直線的平面進行反映，相應的對稱動作為旋轉(zhuǎn)和反映的復合操作。一次鏡轉(zhuǎn)軸為反映面二次鏡轉(zhuǎn)軸為對稱中心三次鏡轉(zhuǎn)軸為三次軸和反映面的組合（六次反軸）四次鏡轉(zhuǎn)軸為四次反軸六次鏡轉(zhuǎn)軸為三次軸和對稱中心的組合（三次反軸）第二章晶體的宏觀對稱性宏觀對稱元素對稱元素旋轉(zhuǎn)軸對稱中心反映面反軸1234612346慣用符號L1L2L3L4L6CPL3L4L6圣佛里斯符號C1C2

C3

C4

C6

i(Ci)CsC3iS4C3h國際符號123461m346圖示

雙線或粗線

iii第二章晶體的宏觀對稱性第三節(jié)宏觀對稱元素組合原理反映面之間的組合反映面與旋轉(zhuǎn)軸的組合旋轉(zhuǎn)軸的組合第二章晶體的宏觀對稱性定理一：兩個反映面相交，交線必為旋轉(zhuǎn)軸，其基轉(zhuǎn)角為反映面交角的二倍。m1m2A1A2A3Ln第二章晶體的宏觀對稱性推論：基轉(zhuǎn)角為2

的旋轉(zhuǎn)軸可以分解為兩個夾角為的反映面的連續(xù)操作。P1

?P2=Ln第二章晶體的宏觀對稱性定理二：如果有一反映面穿過一n次旋轉(zhuǎn)軸，則必同時有n個反映面穿過此旋轉(zhuǎn)軸。Ln+P/=LnnP/PLn=PP1P2=IP2=P2第二章晶體的宏觀對稱性第二章晶體的宏觀對稱性定理三：偶次旋轉(zhuǎn)軸和反映面垂直相交，交點為對稱中心。L2n+P

=L2n

P

CL2

?P

=C第二章晶體的宏觀對稱性推論一：如果在偶次旋轉(zhuǎn)軸上有對稱中心，則必有一反映面與旋轉(zhuǎn)軸垂直相交于對稱中心。L2n+C=L2nP

CL2

?C=P

第二章晶體的宏觀對稱性推論二：反映面和對稱中心的組合，必有一垂直反映面的二次軸。P+C=L2P

CP?C=L2第二章晶體的宏觀對稱性推論三：晶體對稱元素中有對稱中心存在時，偶次旋轉(zhuǎn)軸的總數(shù)必等于反映面的總數(shù)。定理四：如果有一反映面穿過一反軸（或有一條二次旋轉(zhuǎn)軸垂直于反軸）；當反軸軸次n為奇數(shù)，必有n個二次軸垂直于該反軸，并有n個反映面穿過該反軸；當反軸軸次為偶數(shù)時，必有n/2個二次軸垂直于該反軸，同時有n/2個反映面穿過該反軸，且反映面的法線與相鄰二次軸的交角為360o/2n。推論：如果一條二次旋轉(zhuǎn)軸與反映面斜交，反映面的法線與二次軸的交角為，則垂直于反映面法線和二次軸所決定的平面，存在一基轉(zhuǎn)角為2的反軸。第二章晶體的宏觀對稱性黑色和紅色分別為左、右形，實心為投影面上方，空心為投影面下方。n=3L3+C+P=L3C3P3L2L3+C+L2=L3C3P3L2n=4L4+P=L42P2L2L4+L2=L42P2L2iiii第二章晶體的宏觀對稱性歐拉定理：通過任意兩個相交旋轉(zhuǎn)軸的交點，必可產(chǎn)生第三個旋轉(zhuǎn)軸，它的作用等于前兩者的連續(xù)動作。新旋轉(zhuǎn)軸的軸次及其與二原始旋轉(zhuǎn)軸的交角決定于該二原始旋轉(zhuǎn)軸的軸次及它們的交角。Ln1

?Ln2=Ln3Ln1

?Ln2=P1?P2?P3?P4=P1?I?P4=Ln3A:12B:1323=C第二章晶體的宏觀對稱性歐拉公式：A，B為兩個相交的旋轉(zhuǎn)軸，它們的基轉(zhuǎn)角分別為2

，2，必存在一個旋轉(zhuǎn)軸C，基轉(zhuǎn)角為2，它們之間的關系為：cos(BC)=(cos+coscos)/sinsincos(AC)=(cos+coscos)/sinsincos(AB)=(cos+coscos)/sinsin

由于對稱性定律的限制，晶體旋轉(zhuǎn)軸只能為2，3，4，6，它們的組合結(jié)果有20種，其中六種實際存在：222，223，224，226，233，234。(其中222，223，224，226，是高次軸垂直于L2所在的平面；233出現(xiàn)在正四面體中；234出現(xiàn)在立方體或正八面體中）第二章晶體的宏觀對稱性第二章晶體的宏觀對稱性推論一：兩個二次軸相交，交角為

/2，則垂直于這兩個二次軸所定平面，必有一基轉(zhuǎn)角為的n次軸。推論二：一個二次軸和一個n次軸垂直相交，，則有n個二次軸同時與n次軸相交，且相鄰兩二次軸的交角為n次軸基轉(zhuǎn)角的一半。二次軸和四次軸的組合L44L2第二章晶體的宏觀對稱性總結(jié)：反映面的組合旋轉(zhuǎn)軸反映面和旋轉(zhuǎn)軸的組合旋轉(zhuǎn)軸

對稱中心

反軸旋轉(zhuǎn)軸的組合旋轉(zhuǎn)軸第二章晶體的宏觀對稱性第四節(jié)晶體的三十二點群晶體點群的推導晶體的分類晶體的定向與點群的符號晶體的晶型六方晶系的四軸定向分子的對稱性第二章晶體的宏觀對稱性

晶體點群的推導宏觀對稱元素也稱為點對稱元素。晶體的點對稱元素組合產(chǎn)生的宏觀對稱類型稱為點群。晶體的宏觀對稱元素包括L1，L2，L3，L4，L6，P，C，L4等。反映面的組合會產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)軸的組合只產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)軸，所以通過對稱元素的組合推導點群的一般原則為：1、首先導出旋轉(zhuǎn)軸組合的對稱類型。2、旋轉(zhuǎn)軸型分別與反映面、對稱中心和反軸組合得到其他對稱類型。i第二章晶體的宏觀對稱性一、旋轉(zhuǎn)軸的組合1、單一旋轉(zhuǎn)軸：2、高次軸與二次軸的組合：L1(C1),L2(C2),L3(C3),L4(C4),L6(C6)。L3

+L2=L33L2(D3)L4+L2=L44L2(D4)L2+L2=L22L2(D2)L6+L2=L66L2(D6)L22L2L33L2L44L2L66L2第二章晶體的宏觀對稱性3、高次軸的組合：4L33L2(T),4L33L46L2(O)旋轉(zhuǎn)軸型的對稱類型共11種。組合原理：歐拉定理及推論第二章晶體的宏觀對稱性L33L2第二章晶體的宏觀對稱性3L24L3第二章晶體的宏觀對稱性二、旋轉(zhuǎn)軸型與反映面的組合旋轉(zhuǎn)軸型與反映面組合的基本原則是，對稱類型不能在新的方向上產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)軸，否則組合結(jié)果將與歐拉定理矛盾，或產(chǎn)生重復的對稱類型。因此，反映面應與旋轉(zhuǎn)軸垂直、或穿過旋轉(zhuǎn)軸、或平分兩個相同旋轉(zhuǎn)軸的夾角。

對于具有多個旋轉(zhuǎn)軸的對稱類型，反映面垂直或穿過的旋轉(zhuǎn)軸，一般選取與兩個（以上）相同旋轉(zhuǎn)軸垂直的旋轉(zhuǎn)軸。1、垂直4次軸，穿過2次軸。2、穿過4次軸，垂直2次軸，穿過2次軸。3、穿過4次軸，平分2次軸間夾角。1、垂直2次軸，穿過4次軸，穿過2次軸。2、穿過2次軸，垂直4次軸。第二章晶體的宏觀對稱性1、旋轉(zhuǎn)軸與反映面垂直L1+P

=P(Cs)L2+P

=L2PC(C2h)L3+P

=L3P(C3h)L4+P

=L4PC(C4h)L6+P

=L6PC(C6h)3L2+P2=3L23PC(D2h)L33L2+P3=L33L24P(D3h)L44L2+P4=L44L25PC(D4h)L66L2+P6=L66L27PC(D6h)3L24L3+P2=3L24L33PC(Th)4L33L46L2+P4=4L33L46L29PC(Oh)組合原理：定理三及推論（C2h,C4h,C6h,D2h,D4h,D6h,Th,Oh）

定理四或定理二（D3h）第二章晶體的宏觀對稱性L6PCL33L24P3L24L33PC3L44L36L29PC第二章晶體的宏觀對稱性L33L24P第二章晶體的宏觀對稱性3L24L33PC第二章晶體的宏觀對稱性2、反映面穿過旋轉(zhuǎn)軸1）單一軸型L2+P/=L22P(C2v)L3+P/

=L33P(C3v)L4+P/=L44P(C4v)L6+P/=L66P(C6v)2）反映面平分相鄰二次軸夾角L22L2+Pd=L42L22P(D2d)（定理四）iL33L2+Pd=L33L23PC(D3d)（定理三及推論）

3L24L3+Pd=3L44L36P(Td)（定理四）i3L44L36L2+Pd=3L44L36L29PC(Oh)（定理三及推論）組合原理：定理二第二章晶體的宏觀對稱性L66PL42L22PiL33L23PC3L44L36Pi第二章晶體的宏觀對稱性L42L22Pi第二章晶體的宏觀對稱性L33L23PC第二章晶體的宏觀對稱性3）反映面垂直或穿過二次軸L22L2+P=3L23PC(D2h)L44L2+P=L44L25PC(D4h)L66L2+P=L66L27PC(D6h)3L24L3+P=3L24L33PC(Th)3L44L36L2+P=3L44L36L29PC(Oh)L33L2+P1=L33L23PC(D3d)L33L2+P2=L33L24P(D3h)旋轉(zhuǎn)軸和反映面的組合的對稱類型有18種。第二章晶體的宏觀對稱性三、旋轉(zhuǎn)軸與對稱中心的組合L1+C=C(Ci)L3+C=L3C=L3(C3i)i四、四次反軸與其他對稱元素的組合L4+P

=L4PC(C4h)iL4+P/=L42L22P(D2d)iiL4+C=L4PC(C4h)i旋轉(zhuǎn)軸與對稱中心組合的對稱類型有2種。四次反軸(S4)為新的對稱類型。L4+L2=L42L22P(D2d)iiL4+L3=3L44L36P(Td)iiL4+L3=3L44L36L29PC(Oh)ii第二章晶體的宏觀對稱性軸的組合：11種垂直于主軸加反映面：11種穿過主軸加反映面：7種加對稱中心：2種4次反軸：1種晶體共有32種宏觀對稱類型，即32點群。晶體的宏觀對稱類型共計第二章晶體的宏觀對稱性晶體32點群的極射赤面投影第二章晶體的宏觀對稱性

晶體的分類一、根據(jù)32點群對稱特征，晶體分為七個晶系（crystalsystem）：立方晶系有四個3次軸四方晶系唯一的高次軸為4次軸或4次反軸六方晶系唯一的高次軸為6次軸或6次反軸三方晶系唯一的高次軸為3次軸和3次反軸正交晶系二次軸或反映面大于1單斜晶系二次軸或反映面等于1三斜晶系只有1次軸第二章晶體的宏觀對稱性4L33L46L29PC(Oh)全對稱類型4L33L46P(Td)i4L33L23PC(Th)4L33L46L2(O)4L33L2(T)第二章晶體的宏觀對稱性二、晶體的32點群反映了晶體的宏觀對稱特征，又稱為32種對稱型。具有同一對稱型的晶體稱為一個晶類。與點群相對應，晶體分為32晶類（crystalclass）。三、Acrystalfamilyisthesmallestsetofspacegroupscontaining,foranyofitsmembers,allspacegroupsoftheBravaisflockandallspacegroupsofthegeometriccrystalclasstowhichthismemberbelongs.(Vol.Ap729)晶族是最小的一組空間群，屬于同一晶類的空間群和具有相同點陣對稱性的空間群都屬于同一晶族。(吳國慶，大學化學15(1),(2000)15.)晶體分為六個晶族：立方晶族，四方晶族，六方晶族（六方和三方晶系），正交晶族，單斜晶族和三斜晶族。第二章晶體的宏觀對稱性六方點群六次軸對稱性的點陣三方點群三次軸對稱性的點陣三方點群六次軸對稱性的點陣六方晶族第二章晶體的宏觀對稱性晶體的定向?qū)w按晶系選用適當?shù)淖鴺讼档诙戮w的宏觀對稱性銀晶體在不同生長條件下的部分形態(tài)第二章晶體的宏觀對稱性立方晶系a=b=c,===90o四方晶系a=bc,===90o六方晶系a=bc,==90o,=120o三方晶系a=b=c,==90o

a=bc,==90o,=120o正交晶系abc,===90o單斜晶系abc,==90o,90o三斜晶系abc,

晶系的劃分依據(jù)的是晶體的對稱性，而不是根據(jù)晶胞形狀劃分。七個晶系的晶胞形狀第二章晶體的宏觀對稱性點群的國際符號a=b=c,===90oa=bc,==90o,=120oa=bc,==90o,=120oa=bc,===90oabc,===90oabc,==90o,90oabc,第二章晶體的宏觀對稱性a/<100>方向：有平行的4次軸和垂直的反映面。a+b+c/<111>方向：有平行的3次軸。a+b/<110>方向：有平行的2次軸和垂直的反映面。以Oh（3L44L36L29PC）為例說明點群的國際符號。簡寫國際符號表示的一般原則：決定晶系的特征對稱元素所屬方向上的對稱元素全部保留，其他方向如同時存在旋轉(zhuǎn)軸和反映面，只保留反映面。Oh點群的簡寫國際符號表示為：m3m或m3mOh點群的全寫國際符號為：第二章晶體的宏觀對稱性第二章晶體的宏觀對稱性續(xù)表第二章晶體的宏觀對稱性

對于點群，給定一個晶面，通過點群的全部對稱操作，得到的一組面，稱為單形，記為{hkl}。其中的每一個晶面為等效晶面。由若干組單形構(gòu)成的晶體外形為聚形。

如晶面在一般位置，對稱操作得到的單形為普形。如晶面在特殊位置，得到的單形為特形。

閉形為封閉的等面多面體單形，不能形成閉合多面體的單形為開形。?晶體的晶形第二章晶體的宏觀對稱性對于m3m點群，{111}晶形的等效晶面為：(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111)晶形為正八面體（特形、閉形）。{100}晶形的等效晶面為：

(100)，(010)，(001)，(100)，(010)，(001)晶形為立方體（特形、閉形）。對于4/m點群，{111}晶形的等效晶面為：(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111)晶形為四方雙錐普形（普形、閉形）。{100}晶形的等效晶面為：

(100)，(010)，(100)，(010)，晶形為四方棱柱（特形、開形）。第二章晶體的宏觀對稱性（a）普形，閉形（b）特形，開形（c）特形，開形（d）聚形，閉形C4h（4/m）的一些晶形第二章晶體的宏觀對稱性六方晶系的四軸定向三軸定向四軸定向Miller-Bravais指數(shù)：(hkil)i=-(h+k)第二章晶體的宏觀對稱性47種單形的分類

單形分類的依據(jù)是晶體的外形而不是它的微觀結(jié)構(gòu)。由于單形分類只考慮外形不考慮內(nèi)部結(jié)構(gòu)，所以不同對稱類型、甚至不同晶系推得的同樣單形也只算1種，這就減少了單形的數(shù)目。例如在D4h

，D6h

兩種類型中，當出發(fā)面垂直于主軸時，就只得到板形，顯然他們在晶體中形狀上、內(nèi)部結(jié)構(gòu)上都不相同，單這兩種和所有的對稱類型推得的板形只算1種。這樣一來，大大減少了單形數(shù)目，單形共有47種。在對稱中心、反映面的對稱類型中，單形有左右形，這里只算一種，否則單形還不止47種，將有58種。第二章晶體的宏觀對稱性低級晶系單形斜方四面體：是由兩個不等邊三角形所組成，該單形僅見于3L2對稱型中，單形的每個棱中點均有L2對稱型中，單形的每個棱中點均有L2顯露。斜方單錐：由4個不等邊的三角形組成。僅見于L22P對稱型中斜方雙錐：由8個不等邊的三角形組成，相鄰的4個臨位面聚于一點，橫切面為菱形，僅見于3L23PC對稱型中

從以上各單形的形態(tài)可以看出，該晶系單形簡單，以開形為主，這是由于對稱要素所決定的。單面：單形為一個晶面，無任何對稱要素同另一個晶面重合。平行雙面：單形是由兩個彼此平行的晶面組成雙面：由兩個相交的晶面組成。兩者可通過L2或?qū)ΨQ面使之重合斜方柱：由4個晶面組成，晶面兩兩互相平行，它的橫切面為菱形，這點可與其他柱狀單體相區(qū)別第二章晶體的宏觀對稱性中級晶系按單形特征歸納為如下幾種類型：柱類：這類單形晶棱相互平行，而且與晶體的高次對稱軸平行，根據(jù)晶面數(shù)目和單形橫截面的形狀，再細分如下：三方柱、四方柱、六方柱、復三方柱、復四方柱、復六方柱單錐類：該類單形：三方單錐、四方單錐、六方單錐、復三方單錐、復四方單錐和復六方單錐。這些頂點相交于高次對稱軸，其橫切面和晶面數(shù)目與相應的柱體相同。中級晶系第二章晶體的宏觀對稱性中級晶系單形單錐類：該類單形：三方雙錐、四方雙錐、六方雙錐、復三方雙錐、復四方雙錐和復六方雙錐,它們的形狀猶如兩個單錐以底相結(jié)合而成，雙錐的尖端相連為高次對稱軸方向，上下晶面恰好兩兩相對。偏方面體類：該單形包括3個類型：三方偏方體、四方偏方體、六方偏方體。由于該單形是由偏四方形的面所組成，而且該四邊形只有兩個邊是相等的，另外的兩個邊則為一長一短，偏方面體是左右對稱型，它可分為右形偏方面體或左型偏方面體。

(a)四方四面體和復四方三角面體

(b)菱面體和復三方偏三角面體中級