朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁導數的應用5.1基本概念、內容、定理、公式1.導數的幾何意義與應用意義1)幾何意義：是曲線在處的切線的斜率.2)應用意義：設函數在處自變量的變化量（也稱增量）為，對應的因變量的變化量.稱即與在上的平均變化率，而稱即平均變化率的極限為關于在點的瞬時變化率，顯然關于在點的瞬時變化率=.3)曲線在處的切線與法線方程.（1）切線方程：.（2）法線方程：.注：當時，切線方程為，法線方程為；而當時，法線方程為.4)兩曲線的交角：兩曲線的交角就是兩曲線在交點處的兩條切線的夾角.倘若兩曲線為，在對應的點處相交，則在點處的交角滿意方程.5）曲線在切點處的向徑與切線的夾角.設為曲線的極坐標，則切點的向徑與切線的夾角（從向徑出發(fā)按逆時針方向轉到切線所成的角）滿意。注：設，則，為參數，則，設曲線在點處與軸的夾角為，則由導數的幾何意義知：，即。2.函數的單調性與極值1）函數單調性的判別法：設函數在上延續(xù)，在內可導，（1）倘若在內，那么函數在上單調增強；（2）倘若在內，那么函數在上單調減少；2）函數極值的定義：設函數在點的鄰域內有定義，若存在的一個去心鄰域，對，都有（或），則稱是函數的一個極大值（或極小值）.這時稱點為的極大值點（或極小值點）.3）函數極值的須要條件：若函數在點處可導，且在處取得極值，那么，此函數在點處的導數為零，即.4）函數取得極值的第一充足條件：設在內延續(xù)，在內可導，若當時，；而當時，，則函數在點處取得極大值；若當時，；而當時，，則函數在點處取得極小值；若當時，恒有（或），則函數在點處沒有極值.5）函數取得極值的第二充足條件：設在點處有二階導數，且，，則（1）當時，函數在點處取得極大值；（2）當時，函數在點處取得極小值；注：若存在，使得，且時，，則為偶數時，是極值，且時是極小值，時是極大值；而為奇數時，不是極值.6）函數的最大值與最小值：（1）設函數在上延續(xù)，按照閉區(qū)間上延續(xù)函數的性質，在上必達到最大值與最小值，最大值與最小值統(tǒng)稱最值.為求在上的最值，只需在它的兩個邊界值與以及它在該區(qū)間的可能極值點上的一切值中，挑選一個最大者與一個最小者，可得函數在上的最大值與最小值.（2）倘若函數在一個區(qū)間上惟獨唯一的一個極值點，則它就是函數在該區(qū)間的最值點；開區(qū)間內的最大值點也是極大值點.（3）對于實際問題：倘若所研究的區(qū)間中惟獨唯一的一個駐點，且實際問題確有最值，則唯一的駐點就是函數的最值點.3.曲線的高低性與拐點1）曲線高低性的定義：設在區(qū)間上延續(xù)，倘若對上隨意兩點，恒有，則稱在區(qū)間上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；倘若恒有，則稱在區(qū)間上的圖形是（向上）凸的（或凸?。?2）曲線高低的充足條件：設函數在上延續(xù)，在內具有一階和二階導數，那么（1）若在內恒有，則在上的圖形是凹的；（2）若在內恒有，則在上的圖形是凸的；3）拐點的定義：延續(xù)函數上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點.注：鄭重地說，拐點是平面光潔曲線（即切線延續(xù)變動的曲線）彎曲方向發(fā)生改變的轉折點，拐點的幾何特征是，該點的切線不是在曲線的一側“托”著曲線，而是切線在切點處把曲線一分為二，分離在切線的兩側.4）拐點的須要條件：若是曲線的一個拐點，且存在，則.5）拐點的第一充足條件：若曲線在處有切線，且在某鄰域的兩側異號，則是曲線的拐點.6）拐點的第二充足條件：若，，則是曲線的拐點.4.平面曲線的曲率1）平面曲線在一點處曲率的定義：在光潔曲線上，設的弧長為，給一個改變量，相應切線有一轉角，當時，稱為曲線在點處的曲率.2）曲率的計算公式：若曲線方程為，且具有二階導數，則曲線的曲率.3）曲率半徑及其計算：曲線在一點的曲率的倒數稱為曲線在該點處的曲率半徑，記為，.5.漸近線1）若，則直線是曲線的水平漸近線.2）若，則直線是曲線的垂直漸近線.3）若，且，則直線是曲線的斜漸近線.5.2例題選講1.幾何應用例5-1設曲線方程為，求曲線在對應的點處的切線方程；求曲線上通過原點的切線方程；求曲線上和直線垂直的法線方程.例5-2證實曲線上任一點與該點的切線和軸的交點的距離恒為常數.例5-3求曲線為常數）在處的切線及法線方程.例5-4求與曲線相切且與直線垂直的直線方程.注：求切線方程，關鍵是找切線的斜率及切點，求切線斜率時需要按照曲線方程的詳細形式采用相應的計算主意，普通地，曲線方程可有四種類型：直角坐標方程、參數方程、極坐標方程，隱函數式方程，相應的斜率計算就是用各種不同的的主意求導數.2.極值的求法例5-5求數列的最大項.分析：對離散變量不能直接求導數，因此需利用數列的通項公式構造一自變量延續(xù)取值的函數，利用函數的最值來求數列的最值.注：此題還可變形為：比較兩個數的大小.將這兩個數的指數同時乘，再比較兩個數的大小.由上例中的研究可知，從而.例5-6設可導函數由方程所決定，試研究并求出的極大值和極小值.例5-7已知，求的極值.注：求函數極值的步驟為（1）找出可疑極值點，可疑極值點包括駐點和一階導數不存在的點.（2）判斷.對可疑極值點，利用極值的第一、第二充足條件判定.例5-8設函數在區(qū)間內取得極小值，且極小值為0，求函數在該區(qū)間內的極大值.分析：函數是隨意階可導的初等函數，因此，在一階導數為零且二階導數大于零處取得極小值，在一階導數為零且二階導數小于零處取得極大值.可通過對駐點處的二階導數符號的研究求得在該區(qū)間內的極大值點，從而求得極大值.例設函數可導，且滿意，試求函數的極值。例設，求函數的極值、單調區(qū)間和高低區(qū)間。例求出使得下列不等式對所有天然數都成立的最大的數及最小的數：提醒：，令，可考慮函數，。例設，求的最值和值域。3.函數的高低區(qū)間及拐點例5-9求曲線的高低區(qū)間及拐點.例5-10求曲線的拐點.注：求曲線高低區(qū)間及拐點的步驟為：找出可疑拐點的橫坐標.可疑拐點包括二階導數為零的點及二階導數不存在的點；判斷.利用二階導數的符號來判定曲線的高低區(qū)間及拐點.4.極值與最值的應用例5-11設和在內二階可導，且滿意，倘若，證實：.分析：要證，只需證實的最大值與最小值都為零即可.例5-12對于一切實數滿意微分方程.（1）倘若在點有極值，證實它是極小值；（2）倘若在有極值，問它是極小值還是極大值？（3）倘若，求最小常數使對于所有，有.證實：（2），容易證實所以由極值的第二充足條件可知：是極小值.（3）令，因，定義；又，，定義.設，則，所以當時，，由此得，在上單減.故當時，，于是由所給方程得，當時有.設，.僅當時，，而，即知，而，又知，即.所以取常數，當有，且為最小常數.例5-13一個高度為10m的正圓錐通過增強底面半徑以改變其形狀，在底面半徑達到5m的時候，試問它要有多快的增長率才干使圓錐體積以的速度增長？注：求相關變化率的步驟：分析題意，建立相關變量之間的等量關系；（2）關系式兩邊同時對求導；（3）代入指定時刻的已知變量及變化率，求出未知變化率.例5-14由曲線圍成曲邊三角形，在曲邊上求一點，過此點作的切線，使該切線與直線段所圍成的三角形面積最大.注：對實際應用問題求最值，首先要建立函數關系，普通把要求最值的量作為目標函數，由實際問題決定函數的定義區(qū)間；第二求函數的最值，若該函數在其定義區(qū)間內部惟獨一個駐點，而由實際問題性質又能決定最值在該區(qū)間內部取得時，不必研究該駐點是否為極值點，就可斷言該駐點處的函數值就是所求的最值.5.曲率例5-15求橢圓曲率的最大值與最小值.分析：首先求出曲率的表達式，再利用閉區(qū)間上延續(xù)函數求最值的主意求曲率的最大值與最小值.注：平面曲線曲率計算公式.不僅適用于由直角坐標方程給出曲線的曲率計算，也適用于由參數方程表示的曲線及極坐標所表示的曲線的曲率計算.相當于求上述三種情形的二階導數.6.函數作圖例5-16作函數的圖形.分析：函數的解析表達式不直觀，首先將其恒等變換，再利用函數作圖的步驟來畫圖.注：函數作圖的步驟：（1）決定的定義域，并求出函數的一階導數及二階導數.（2）求出方程和=0在函數定義域內的所有實根及使和不存在的點，用以上兩種點將函數的定義域劃分成幾個部分區(qū)間；（3）決定這些部分區(qū)間內和的符號，并由此決定函數圖形的升降、高低和拐點，以及函數的極值點；（4）決定函數圖形的水平、鉛直漸近線及斜漸近線；（5）列表并作出函數圖形.例5-17求下列曲線的漸近線：（1）；（2）；解：（1）因為定義域為，即.又，所以是垂直漸近線.同理是垂直漸近線.又，故無水平漸近線.又，且，故是斜漸近線.（2）這是一個求隱函數圖形的漸近線的問題，即求出和.將原方程兩邊同除以，得.假設，則對上述方程求極限，得，即.下面證實：.將原方程變形為，從而.注重到有下列不等式由夾逼法則，即有，故.又.故是原曲線的斜漸近線.練習：求曲線的漸近線。5.3練習題5-1曲線上哪一點處的切線與直線平行？寫出切線方程.5-2當時，求擺線的切線方程及法線方程.5-3當時，求對數螺線為常數）的切線方程與法線方程.5-4求曲線在處的切線方程.5-5已知是周期為5的延續(xù)函數.它在的鄰域內滿意關系式，其中是當時比高階的無窮小，且在處可導，求曲線在點處的切線方程.5-6證實數列為遞減數列.5-7研究下列函數在指定范圍內的增減性，并給出增減區(qū)間.（1）；（2），；（3）；5-8求下列函數的極值：（1）；（2）；5-9問為何值時，函數在處取得極值，它是極大值還是極小值？并求此極值.5-10求函數的極值.5-11設函數由方程所決定，試求的極值.5-12求下列函數在指定區(qū)間上的最大值和最小值：（1）；（2）；（3）；5-13研究函數的極值.5-14設函數，試求函數在上的最大值.5-15求出使得下列不等式對所有天然數都成立的最大的數及最小的數：.5-16試求內接于半徑為R的球內的圓錐體的最大體積.5-17已知平面曲線L的方程為，求把L圍在內部且各邊平行于坐標軸的矩形中的面積最小者，并求其面積.5-18若以表示在上的最大值與最小值之差，試求的最小值.5-19求曲線的高低區(qū)間及拐點.5-20若曲線有拐點，試求的取值范圍.5-21設一球體，其半徑以的速度增強，當其半徑為時，問體積的增強速度為多少？5-22曲線弧上哪一點處的曲率半徑最?。壳蟪鲈擖c處的曲率半徑.5-23設是拋物線上任一點處的曲率半徑，是該曲線介于點與之間的弧長，計算的值.5-24設曲線由方程組決定，試求該曲線在處的曲率.5-25作函數的圖形.5-26求由軸上的定點到拋物線上的點的最短距離.5-27設計一個地面控制的自動降臨系統(tǒng)，需把臨近跑道的降臨路線設計為一條三次拋物線（如圖5-2）.設開始下降的高度為，原點為著地點，垂直方向的加速度絕對值不超過，水平方向翱翔速度為常數.試求允許下降點的最小值.圖5-25-28求下列函數的漸近線：（1）；（2）；（3）.5.4答案與提醒5-1曲線上和處的切線平行于直線，相應的切線方程為及.5-2切線方程：；法線方程：.5-3切線方程：；法線方程：.5-4.5-5由，得，又，即，從而，所以，故過點的切線方程為.5-6設，證實當時，即可.5-7（1）在上單減；（2）在上單增；在上單調減少；（3）在上單減；在上單增；5-8（1）是極大值，是極小值.（2）當為奇數時，不是極值，當為偶數時，是極小值；當n是奇數時，不是極值，當n是偶數時，是極小值；無論m,n為奇為偶都是極大值.5-9時，是極大值，且極大值.5-10極大值，極小值，極大值.5-11為極小值點，極小值為.5-12（1）是最大值，無最小值；（2）是最大值，是最小值.（3）為最小值，為最大值.5-13當為奇數時，在點有極大值；當為偶數時，無極值.5-14可證在上單減，即為最大值.5-15注重到，故設，則是單調減的函數.故，.5-16最大值為.5-17過點分離作平行于軸的直線與過點分離作平行于軸的直線所圍成的矩形即為所求，這矩形的面積為.5-18.（1）當時，，單增，所以，這時，單減.（2）當時，，單減，所以，這時，單增.（3）當時，令，即，解得.因，所以在處取得極小值，亦即最小值.在上，，單減；在上，，單增，比較其中較大者即為最大值.（a）設，即，解得.即當時，在上的最大值為，已求得最小值為，所以，這時，在上單減.（b）設，即，解得.這時在上的最大值為，已求得最小值為，所以，這時，在上單增.（4）可分離求得，當時，或；當時，或；當時，或.綜合起來得最小值為.5-19為凸區(qū)間，為凹區(qū)間，是拐點.5-20當或時，所給曲線有拐點.要使曲線有拐點，首先要使，即.這相當于曲線與有交點.（1）若，（從而），直線必與曲線相交，且易知交點橫坐標所對應的曲線上的點是拐點；（2）若，（從而），直線與曲線相交的極限位置就是該直線與曲線相切時的位置.為此，求該切線所對應的值.設切點坐標為，