第6講立體幾何（2022-2023年高考真題）

一.選擇題

1.（2023?乙卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則

該零件的表面積（）

I--------I--I--------I--I--------I--II--------I--I--------1--I--------1

F-T-----Γ-T------Γ-1-------I

IIIIIII

L.J___I1I_J____I

::??t::

I--------1---------------------------------1-----I

I--------1--I；I--I--I

IIIIIII

IIIIIII

r-n—I--------1—I--------1—I

IIIIIII

L.J..L.J___L.J____I

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體是由兩個(gè)直四棱柱組成的幾何體.

如圖所示：

故該幾何體的表面積為：4+6+5+5+2+2+2+4=30.

故選：D.

2.（2023?甲卷）在三棱錐P-ABC中，Δ∕WC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,

PC=G則該棱錐的體積為（）

A.1B.√3C.2D.3

【答案】A

【解析】如圖，

PA=PB=2,AB=BC=2,取AB的中點(diǎn)。，連接P3,CD,

可得鉆_LPZMABA.CD,

又PnrCD=D,PD、Cr>u平面PCE>，平面P8,

在Δ∕W5與AASC中，求得PZ)=CD=J2-2=G

在ΔP8中，由PO=CO=√J,PC=娓,PD2+CD2=PC2,則PDJ_C￡),

,?SApCO=QXPDXCD=—×6X6=3,

113

SXABXX21

.?vP^ABC=~^PCD=--=-

故選：A.

3.（2023?乙卷）已知圓錐Po的底面半徑為√LO為底面圓心，PA,心為圓錐的母線,

ZAOB=120°,若ΔE4B的面積等于竽，則該圓錐的體積為（）

A.πB.?JβπC.3zrD.3?Jβπ

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的高為力，即Po=6取AB的中點(diǎn)E,連接收、OE,

由于圓錐Po的底面半徑為道，即OA=OB=有，

而ZAOB=120。，故AB=√（9A2+OB2-20A-OB-cos120o=√3+3+3=3,

同時(shí)OE=CMXSin30。=且，

2

ΔΛ4B中，PA=PB,E'為45的中點(diǎn)，則有莊_LAB,

乂由ΔΛ43的面積等于空，即L∕>E?A6=2巨，變形可得PE=空，

4242

而PE=Jh2+；,則有"+（=?解可得。=>/6,

故該圓錐的體積V=g乃X(?∣3)2h=y∕6τr.

故選：B.

P

4.（2023?天津）在三棱錐尸-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM=LPC,線段依上的

3

?

點(diǎn)N滿足PN=,PB,則三棱錐尸-ΛΛ"和三棱錐P-ABC的體積之比為（）

1214

C

A.9-B.9-3-D.9-

【答案】B

【解析】在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM=IPC，線段PB上的點(diǎn)N滿足

3

PN=-PB.

3

所以與WA=3%＞忙，

設(shè)N到平面∕?C的距離4,B到平面PAC的距離為，則J1=1J2,

則三棱錐P—AMN的體積為

匕:枝錐戶-AMV=匕:?t?V-APM=§SΔΛW,4=§X§^ΛPΛC*%4=§?il?tt?-PAC-

故三棱銖P-AΛ7N和一棱錐P-A8C的體積之比為*.

9

故選：B.

5.（2023?甲卷）在四棱錐P-ASCO中，底面ABeD為正方形，AB=A,PC=PD=3,

ZPCA=45°，則APBC的面積為（）

A.2近B.3忘C.4√2D.5√2

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)P在底面的射影為H，連接//C，

設(shè)APCH=θ,ZACH=a,H.ae（O,y）,

則/〃8=45。一］,或N〃C￡>=45。+。,

,2

易知CoSNPC。=一，又NPe4=45。，

3

則根據(jù)最小角定理(三余弦定理)可得:

?cosZPCA=cosθcosa

1cosZ.PCD=CoSgeoSZHCD

[√2A[√2A

——=COSJeOSa——=Coscosσ

2或.2

22

—=CoSeCoS(45。-a)—=COS0COS(450+6?)

cos(45°-a)_2Λ∕2或cos(45o+σ)_272

cosa3cosa3

cos2+sinα［或COSa-Sina4

COSaCoSa3

tan<z='或Ima=--,又α∈(O,?)，

332

131

.*.tana=",.,.cosa=—=,sina=—=?

3√io√10

.?.^?cos..

2√K)3

再根據(jù)最小角定理可得:

?

cosZPBC=CoSeCoS(450+a)=

3

SinNPBC=N,又BC=4,PC=3,

3

，APBC的面積為JXBCXPCXSin∕PBC=1χ4χ3x范=4√Σ

223

6.（2023?乙卷）已知AABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，ΔA8D為等邊三角形，若二

面角C-AB-O為150。，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）

2

A.-B.—CD.

555

【答案】C

【解析】如圖，取43的中點(diǎn)E，連接C?,DE,

則根據(jù)題意易得AB_LCE,ABIDE，

.?.二面角C—AB—。的平面角為NcE￡>=150。,

ABYCE,ABYDE,HCE∩DE=E,

平面AED,又ABU平面ABC,

.?.平面板）_1.平面ABC，

:.CD在平面ABC內(nèi)的射影為CE，

直線CD與平面ABC所成角為ADCE,

過。作。〃垂直CE所在直線，垂足點(diǎn)為，，

設(shè)等腰直角三角形ΛBC的斜邊長為2,

則可易得CE=1,DE=B又ZDEH=30。,

:.DH=—,EH=-,:.CH=\+-=-,

2222

Br

2

故選：C.

7.（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱ABC-AgG,AC=AAifE,尸分別是棱8C,AG

上的點(diǎn)?記所與胡所成的角為α,斯與平面ABC所成的角為尸，二面角尸-BC-A的

平面角為7,則（）

ΛCi

B

A.C轟IEγB.夕教hγC.aD.α及取β

【答案】A

【解析】,正三棱柱ABC-AqG中，AC=AAi,

正三棱柱的所有棱長相等，設(shè)棱長為1，

如圖，過尸作尸G_LAC,垂足點(diǎn)為G，連接GE,則AA//FG,

GF

二所與⑨所成的角為ZEFG=",目.…=而=GE,

又GE∈[O,1],/.tana∈[O,1],

GF1

??.￡F與平面ABC所成的角為NZ7EG=A，且tan/=——=——∈[1,+∞),

GEGE

tanβ..Iana>…①，

再過G點(diǎn)作G〃LBC,垂足點(diǎn)為“，連接HF,

又易知FGJ?底面ABC,BCu底面ABC,

.?.BC±FG,又FGnGH=G,..8C_L平面G"F，

GF1

.?.二面角/一BC-A的平面角為NG4F=y,且tan/=匕=----乂G4e[O,

GHGH

tan/∈["~~?+8),tan/..Iana,…②，

乂GE..GH,tan/??tan/?…③，

由①②③得tan0^Jtan∕?tan/,又a,β,∕∈[0,合，丁=1@口]在[0,')單調(diào)遞增,

.,.γ,

故選：A.

8.（2022?甲卷）在長方體ABs-ABlGR中，已知BQ與平面ABCD和平面AAIB由所成

的角均為30。，則（）

A.AB=IAD

B.ΛB與平面AgCQ所成的角為30。

C.AC=CBl

D.8Q與平面CIC所成的角為45。

【答案】D

【解析】如圖所示，連接AB∣,BD，不妨令/L41=l,

在長方體ABCD-AlBlCtDl中，AQ_L面AAfBlB,BB1!.而ABCD,

所以NBQB和ZDB1A分別為用力與平面ABCD和平面AAM8所成的角,

即ZB1DB=ZDB1A=30°,

所以在RtABDB∣中，BBl=AA,=1,BD=布,BQ=2,

在RtAADBl中，DB1=2,AO=I,ABl=JL

所以4B=√Σ,Cfi1=√2,AC=√3,

故選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤，

由圖易知，AB在平面ABC上的射影在Ag［二，

所以NB∣AB為AB與平面ABtCiD所成的角，

在RtΔABB∣中，SinNB∣AB=幽=《=立，

'AB1√33

故選項(xiàng)5錯(cuò)誤,

則B1D在平面BBCIC上的射影為B1C,

所以NO8∣C為B1D與平面BBCIC所成的角,

在Rf△DB∣C中,B,C=√2=DC,所以/。8?=45。,

所以選項(xiàng)。正確，

故選：D.

9.（2022?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm?）

是（）

不

2

z?lzθ

-X1*2?Irt--Xl+2,1*

A.22乃B.8πC.—πD.—π

33

【答案】C

【解析】由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，F(xiàn)部是圓臺，

22

所以幾何體的體積為：IX"x『+ιχ]2χ2+，⑵X乃+/x7r+tJ2×T?！?L×π）×2=-π.

2333

故選：C.

10.（2022?北京）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是AABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成

的集合.設(shè)集合T={QeS∣PQ,5},則7表示的區(qū)域的面積為（）

A.—B.πC.2πD.3萬

4

【答案】B

【解析】設(shè)點(diǎn)P在面ΛBC內(nèi)的投影為點(diǎn)O,連接則。4=*/=2￡

所以O(shè)P=yjPA2-OA2=√36-12=2√6,

由JPQ2—0尸=J25-24=1,知T表示的區(qū)域是以O(shè)為圓心，I為半徑的圓，

所以其面積S=萬.

故選：B.

11.（2022?新高考I）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體

積為36左，且3蒯3√3,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

Q1丑，?

A.[18,—]B.D.[18,27]

444

【答案】C

【解析】如圖所示，正四棱錐P-ASCD各頂點(diǎn)都在同一球面上，連接AC與加交于點(diǎn)E,

連接PE,則球心O在直線PE上，連接Q4,

設(shè)正四棱錐的底面邊長為α,高為肌

222

在RtΔPAE中，PA=AE+PE,即F=（當(dāng)產(chǎn)+川=Itz?+川，

?球O的體積為36;T,球O的半徑R=3,

在Rt△€)AE中，=OE2+AE2,BPR2=(h-3)2+

.?.-a2+h2-6h=0,.?.-a2+h2=6/??

22

.?.∕2=6∕z,又領(lǐng)/3√3,Λ-g?h?,

22

117

.?.該正四棱錐體積V(h)=-a2h=-(Uh-2h2)h=--hi+4Λ2,

V,(∕Z)=-2Λ2+8Λ=2Λ(4-∕Z),

QQ

.?.當(dāng)士”力＜4時(shí)，V?h）＞O,M用單調(diào)遞增;當(dāng)4＜∕ζ,'時(shí),V'（?）＜O,Vs）單調(diào)遞減,

22

64

=可,

?'?V(‰v=V(4)

即該正四棱錐體積的取值范圍是［2，—b

43

12.（2022?乙卷）已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球

面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.-C.—

323

【答案】C

【解析】對于圓內(nèi)接四邊形，如圖所示，

svsm＞fiΛBCD=^AC-BD-sinθ,,?2r-2r-sin9O°=2r,

當(dāng)且僅當(dāng)AC,比＞為圓的直徑，且AC_L3￡＞時(shí)，等號成立，此時(shí)四邊形AB8為正方形,

當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面一定為正方形，設(shè)底面邊長為α,底面所在圓的半徑為r,

貝IJr=^-a,

2

該四棱錐的高〃

積

22A

當(dāng)且僅當(dāng)幺=I-幺，即/=￡時(shí)，等號成立,

423

該四棱錐的體積最大時(shí),H-∣S]Λ=

故選：C.

13?（2022?甲卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,

則該多面體的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱ABC。-A4GA，

四棱柱的底面是直角梯形如圖，

AB=A,AD=2,A41=2,AAJ.平面Aβ8,

???該多面體的體積為：

V=J（4+2）x2x2=12.

故選：B.

14.（2022?乙卷）在正方體ABC￡>-44GR中，E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，則（

）

A.平面平面BDAB.平面AE尸J"平面A8。

C.平面SEF//平面AACD.平面片EF//平面AGD

【答案】A

【解析】對于A,由于E,尸分別為ΛB,BC的中點(diǎn)，則ER//AC,

又AC_LBD，AC±DDt,BD∩DD1=D,且8￡）,DDlU平面BDR,

.-.AC_L平面BDD1,則EF_L平面BDD1,

又瓦'u平面B1EF,

.?.平面B1EF1.平面BDDl,選項(xiàng)A正確；

對于3,由選項(xiàng)A可知，平面BIEFJ_平面，而平面BDnC平面ABO=BD,在該

正方體中，試想R運(yùn)動至A時(shí)，平面4EF不可能與平面ABD垂直，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對丁C,在平面A8B∣A上，易知M與8∣E必相交，故平面BIEF與平面AAC不平行，選

項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于D,易知平面A8∣C∕/平面A1C1D,而平面AB1C與平面BIEF有公共點(diǎn)、與，故平面B1EF

與平面AGo不可能平行，選項(xiàng)O錯(cuò)誤.

故選：4.

15.（2022?甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2萬，側(cè)面積

分別為S甲和S乙，體積分別為%和若券=2,則白=（）

S乙Yzt

D,也

A.√5B.2√2c.√io

4

【答案】C

【解析】如圖,

甲，乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3,甲、乙兩

個(gè)圓錐的底面半徑分別為個(gè)弓，高分別為∕?,h2,

則2乃4=4π，2πr2=2π,解得q=2,弓=1,

由勾股定理可得?l=√5,A2=2√2,

=√io.

2

^^r2A2

故選：C?

16?（2022?新高考H）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3石和46,其頂點(diǎn)

都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.IOO萬B.128;TC.144〃D.192兀

【答案】A

【解析】當(dāng)球心在分體外時(shí)，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為一氈一=3,

2sin60°

下底面所在平面截球所得圓的半徑為上^一=4,如圖，

2sin60°

設(shè)球的半徑為R,則軸截面中山幾何知識可得JF=7-JF二Tr=I,解得/?=5,

.?.該球的表面積為4萬川=4Z?！?5=100Λ??

當(dāng)球心在臺體內(nèi)時(shí)，如圖，

。,

【×Z。?臼37

此時(shí)Jw-3,+收-42=1,無解.

綜上，該球的表面積為IOO萬.

故選：A.

17.(2022?新高考I)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄

入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0切尸：水位為海拔

157.5”?時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0A∕√.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺，

則該水庫水位從海拔148.5%上升到157.56時(shí)，增加的水量約為("22.65)()

A.LOXlO9>B.1.2×IO9W3C.1.4×109w3D.1.6×IO9W3

【答案】C

【解析】140ATn2=140x1()6“，i?θfan2=180×106m2,

根據(jù)題意，增加的水量約為3舊亞生叵巫巫巫x(I57?5T48?5)

J140+180÷60√7)×10-X9

3

≈(320+60×2.65)×106×3=1437×106≈1.4×109∕H3.故選：C.

二.多選題

18.(2023?新高考I)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：血)的正方體容器(容

器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有()

A.直徑為0.99〃7的球體

B.所有棱長均為1.4“的四面體

C.底面直徑為0.01s,高為1.8機(jī)的圓柱體

D.底面直徑為1.2〃?，高為0.01〃?的圓柱體

【答案】ABD

【解析】對于A,棱長為1的正方體內(nèi)切球的直徑為l>0.99,選項(xiàng)A正確;

對于8，如圖,

正方體內(nèi)部最大的正四面體D-ABe的棱長為JMF=√∑>1.4,選項(xiàng)B正確；

對于C,棱長為1的正方體的體對角線為有<1.8,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于。，如圖，六邊形EFGHIJ為正六邊形,E,F,G,H,/,J為棱的中點(diǎn),

高為O.O1米可忽略不計(jì)，看作直徑為1.2米的平面圓，

六邊形EFGHlJ棱長為正米，NGFH=NGHF=30°,

2

所以FH=幣FG=6GH=顯米,故六邊形EFGHIJ內(nèi)切圓半徑為邁米，

22

而（亞）2=∣>（i.2）2=1.44,選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

19.（2023?新高考∏）已知圓錐的頂點(diǎn)為尸，底面圓心為O,AB為底面直徑，NAPB=120。,

24=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45。，則（）

A.該圓錐的體積為乃B.該圓錐的側(cè)面積為4缶

C.AC=2√2D.ΔΛ4C的面積為G

【答案】AC

【解析】取AC中點(diǎn)。，則ODLAC,PDJ,AC,

P

由二面角的定義可知,二面角P-AC-O的平面角即為NPDO=45。，

對于A,ΔΛ43中，由于∕?=P5=2,NAP8=120。，

則尸0=1,Ao=B

則OD=I,V=--3π-l=π,選項(xiàng)A正確.

3

對于8,Sm=π×yβ×2=2^τr,選項(xiàng)5錯(cuò)誤.

對于C,AC=2√J二1=2四,選項(xiàng)C正確.

對于。，PD=y∕2,SMAC=LX應(yīng)x2五=2,選項(xiàng)力錯(cuò)誤.

故選：AC.

20.（2022?新高考I）已知正方體ABC。-AAGR,則（）

A.直線BG與Ca所成的角為90。

B.直線BG與C41所成的角為90。

C.直線BC1與平面88QQ所成的角為45°

D.直線BG與平面ABCD所成的角為45。

【答案】ABD

連接用c,由A4∕∕oc,AB1=DC,得四邊形。A4C為平行四邊形，

可得D4l∕/用C,BGJ.8∣C,.?.直線BG與Da所成的角為90。，故A正確；

ABlBcI,BC11B1C,ABrBC=耳，.18C∣J?平面ZMIBC,而CAU平面ZM4C,

/.BC11CA,,即直線BG與CA所成的角為90。，故BIE確;

設(shè)AG∏B∣R=O,連接50,可得Goj.平面B4RZ),即NGBO為直線BG與平面BBQlZ)

所成的角，

OC1

l

?.SinZC1BO=~=-,.?.直線BG與平面BBQD所成的角為30。，故C錯(cuò)誤；

BC12

CG，底面ABCD,.?.NGBC為直線BG與平面ABCD所成的角為45。，故O正確.

故選：ABD.

21.(2022?新高考II)如圖，四邊形ASCA為正方形，EZ)I,平面ΛfiCD,FBHED,

Aβ=ED=2EB.記三棱錐E-ACr>,F-ABC,F-ACE■的體積分別為匕，V2,匕，貝∣J(

)

A.V3=2V2B.匕=KC.匕=K+匕D.2匕=3耳

【答案】CD

【解析】設(shè)AB=￡?=2所=2,

14

K=IXs?Aa)XIEDI=屋

?=gxS?AβcX∣陽=|,

如圖所示，

AB

連接8。交Ae于點(diǎn)例，連接00、FM，

則尸M=GEM=√6,EF=3,

故限W=∣×√3×√6=^?,

VS=^‰f×AC=∣×^×2√2=2,

故C、。正確，A、8錯(cuò)誤.

故選：CD.

≡.填空題

22.（2023?上海）空間中有三個(gè)點(diǎn)4、B、C,且ΛB=BC=CA=I,在空間中任取2個(gè)不

同的點(diǎn)，使得它們與A、8、C恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法有

種.

【答案】2.

【解析】如圖所示，設(shè)任取2個(gè)不同的點(diǎn)為P、Q,

當(dāng)AABC為正四棱錐的側(cè)面時(shí)，如圖，平面ABC的兩側(cè)分別可以做ABPQ作為圓錐的底面，

有2種情況，

同理以BCPQ、ACPQ為底面各有2種情況，所以共有6種情況；

當(dāng)ΔA8C為正四棱錐的截面時(shí)，如圖，P、Q位于AB兩側(cè)，APB。為圓錐的底面，只有一

種情況，

同理以BPCQ、APCQ為為底面各有1種情況，所以共有3種情況；

綜上，共有6+3=9種情況.

故答案為：9.

23.（2023?新高考∏）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面

邊長為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.如圖所示，根據(jù)題意易知

△SQASASOA,

：—亞一,又明=3,

SOOA2應(yīng)2

.?.SO=6,.?.OQ=3,又上下底面正方形邊長分別為2,4,

.1所得棱臺的體積為]X(4+16+J4χl6)χ3=28.

故答案為：28.

24.(2023?新高考1)在正四棱臺ABC。一ABCQ中，AB=2,∕11B,=1,A41=√2,則

該棱臺的體積為,如圖，設(shè)正四棱臺ABCD-ABCl〃的上下底面中心分別為M，

N,

過A作A〃_LAC,垂足點(diǎn)為“，由題意易知AM="N=#,又AN=0,

AH=AN-HN=當(dāng),又AA=0,:.AH=MN=冬

該四棱臺的體積為1χ(l+4+g)x包=型.

326

故答案為：型.

6

25.(2023?乙卷)已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上，ΔA3C是邊長為3的等

邊三角形，SA_L平面ABC,貝!]SA=.

【答案】2.

【解析】設(shè)AABC的外接圓圓心為0「半徑為r,

貝IJIr=-=-y=?=24,解得r=?J3,

sinZACB?/?

T

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為O,連接04,OO,,

則04=2,OOl=f,

222

OA=OO-+O1A,Λ4=3+^SA.解得SA=2.

故答案為：2.

26.（2022?上海）已知圓柱的高為4,底面積為9萬，則圓柱的側(cè)面積為.

【答案】24萬.

【解析】因?yàn)閳A柱的底面積為91，即"R2=9萬，

所以R=3,

所以“=2乃出=24萬.

故答案為：24乃.

四.解答題

27.（2023?乙卷）如圖，在三棱錐P-A8C中，ABlBC,AB=2,BC=2近，PB=PC=布,

AD=>∕5DO,BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為。，E,O,點(diǎn)F在AC上，BFYAO.

（1）證明：EF//平面ADO;

（2）證明：平面AOO_L平面B￡7L

（3）求二面角D-AO-C的正弦值.

P

BC

A

【解析】證明：（1）由題可知，IACl=2逐，設(shè)A/=2AC,

AB?AC=|AB??4。IcosZBAC=4,

貝IJ3F?AO=(4AC-A3)?dAB+LAC)二人IACFABf+(-λ--)AB?AC=Sλ-4=0，

222222

解得2=1,

2

.?.OF∕∕AB,OF=-AB,

2

而OE//AB，DE=-AB..?DE∕∕OF,DE=OF,，四邊形OZ)EF為平行四邊形,

2

:.EFIIOD,

OD=平面4X7,Mtj平面ADe>,

.?.EF〃平面AZX9.

證明：(2)AO=√AB2+OB2=46=PC=2OD,AD=小OD,

:.AD2=AO2+OD1,即AO_LOD,AOVEF,

BF±AO,BFnEF=F，

.?.AO1,平面3砂，

AoG平面4X7,

二平面4X?JL平面BEF.

(3)設(shè)二面角￡>-AO-C的平面角為61,

.AO±OD,AOLBF,

.?.8為8和8戶的夾角,

I8用TACl=5|?！?gt;I=JPCl=半

133

BF.OD^OA-3OBYOD--OBOD--6

COSe=------------------=-----------：—：—=-?——=—^-==—

IBF∣∣OD∣IBFIlODIIBF∣∣OD∣r-√62

√3×-----

2

.A四

sin8=——，

2

.?.二面角Q-AO-C的正弦值為立.

2

28.(2023?上海)已知直四棱柱ABe￡>-ABlG〃，AB±AD,ABHCD,∕W=2,AD=3,

CD=A.

(I)證明：直線AB//平面OCCQ；

(2)若該四棱柱的體積為36,求二面角A-8。-4的大小.

【解析】(1)證明：根據(jù)題意可知AB〃Z)C，AA1//DD1,且AB∩A4t=A,

可得平面A1ABB1//平面DCGDI,又直線AiBU平面AfABBt,

直線AB//平面。CCQ；

(2)設(shè)44,=〃，則根據(jù)題意可得該四棱柱的體積為gx(2+4)χ3χ∕z=36,

.?.h=4,AAJ-底面A8Ct>,在底面ABCO內(nèi)過A作AE_L8￡),垂足點(diǎn)為E,

則A∣E在底面ABCD內(nèi)的射影為AE,

.?.根據(jù)三垂線定理可得8。_LAE，

故幺E4即為所求，

在RtAABD中，AB=2,AD=3,.?.BD=√4+9=√13.

，A￡=ABXAD=2X36又=4,

BD√13√13

L,AA42√13

tanZA,EA=-l-=-7-=-------

AE63

^3

二面角A.—BD—A的大小為arctan―".

3

D

1C1

29.(2023?甲卷)在三棱柱ABC-4BιCι中，A4=2,AICJ_底面ABC,NACB=90°,

Al到平面BCCiBi的距離為1.

(1)求證：AC=AiC;

求ABi與平面BCCIBI所成角的正弦值.

【解析】(1)證明：取CCl的中點(diǎn)，連接4。,

VAiCXJSfflAfiC,AC?JSlfi-ABC,

.'.AiC-LAC,.,MιC±AιCι.：.A\O=

1

2

CIC=1>

VA1C±JisIfilABC,BCu底面ABC,

ΛAιC±BC.VZACB=90o,ΛAC±BC,

VAιC∩AC=C,,Be,平面AICICA,

CU平面BCCiBi,.?.平面BCCI8i_L平面AiCiCA,

VΛ∣到平面8CC∣B∣的距離為I,

AAl到CCl的距離為1,

ΛΛιO±CCι,

."C=4C;

(2)過4作A例〃4。交ClC的延長線與M,連接Λ∕8ι,

取88ι的中點(diǎn)N,連接。M

.?.四邊形BCON為平行四邊形，

.,.ON_L平面AIClcA,

AiOHON=O,/.CCil5FEAiOM

：4Nu平面AlOM

/.CCi±A∣M

ΛAA∣1Λ∣M

：.A\N為直線AA↑與BB\距離，

：.AiN=2,：.ON=

由⑴可知AM_L平面BCCI物,

NABiM為ABI與平面BCClBI所成角的角,

易求得ClM=3,

√9^3

=2

√3

VAiM=I,：.A\B=

√Γ42

√13

,

AsinZABiAf=

1

√13

√I3

^l3~

ΛAB∣與平面BCCiBi所成角的正弦值為

√13

"IF

30.(2023?天津)如圖，己知AA_L平面ABC,AB±AC,AB=AC=AA1=2,AG=I,

M,N分別為BC,Afi中點(diǎn).

(I)求證：AN〃平面C∣ΛM;

(II)求平面GM4與平面4CC∣A所成角的余弦值；

(III)求點(diǎn)C到平面GMA的距離.

【解析】(I)證明：連接MV,可得MN為AAC的中位線,

可得MV//AC,HMN=-AC=I,

2

而ACI=1,AC//AiCt,

則MN/M1G,MN=AiCl,

可得四邊形MNAG為平行四邊形，

則AN∕∕C∣M,

而ANU平面C1MA,GMU平面C1MA,

所以AN//平面GMA；

(H)取AC的中點(diǎn)H,連接M"，

由A8J.AC，MHUAB,可得LAC.

由AA_L平面ABC,MHU平面48C,

可得AALMH,

可得_L平面AACCL

過”作〃￡>?!AG,垂足為￡),連接。M,

由三垂線定理可得DM?AC1,

可得ZMDH為平面GMA與平面ACGA所成角?

由MH=IA8=1.

2

在矩形AgAl中，O"=也些=竿=拽，

Q55

2√5

所以cos/MD"=—=-iJ==-；

DM43

√1+?

(III)設(shè)C到平面GM4的距離為d.

在中，AM=IAC=0,AC,=√Γ+4=√5.MCi=?JΓ+4=√5,

則SGMA=Jx0>j5-g=∣.

1131112

由匕-GMA=%-CΛM，可得clMA=§，萬=ICH，S^CMA=§*2X萬X2X1=5,

解得d=—.

3

ΛιC1

H

31.(2023?新高考∏)如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,BDVCD,

NADB=NADC=60。，E為BC中點(diǎn).

(I)證明BC±DA;

(2)點(diǎn)尸滿足EF=D4,求二面角D-AB-尸的正弦值.

Q）根據(jù)已知條件，推得DELBC,AEA.BC,再結(jié)合線面垂直的判定定理，即可求證.

（2）根據(jù)已知條件，推得AEL平面Ba）,依次求出兩個(gè)平面的法向量，再結(jié)合向量的夾

角公式，即可求解.

【詳解】

證明：（1）連接AE,DE,

DB=DC,E為Be中點(diǎn).

..DEA-BC,

又'DA=DB=DC,ZADB=ZADC=ωo,

.?.ΔACZ）與ΔAβf＞均為等邊三角形，

.-.AC=AB,

.?AEYBC,AE[DE=E,

.?.8C_L平面ADE,

45U平面Ao￡,

..BCA-DA.

（2）設(shè)D4=D3=OC=2,

.?.BC=2-j2,

DE=AE=應(yīng),AD=2,

：.AE2+DE2AD1,

：.AEYDE,

又?AEYBC,DEnBC=E,

:.AE_L平面BCD,

以后為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

D(√2,0,0),A(0,0,√2),B(0,√2,0),E(O,O,O),

EF=DA,

??.尸(-&,0,忘)，

.?.DA=(-√2,0,√2),AB=(O,√Σ,-4,ΛF=(-√2,0,0),

設(shè)平面DAB與平面A肝的一個(gè)法向量分別為HI=(Xl,y∣,z∣),n2=(x2,y2,z2),

氏+fz∣=O,令%=],解得兇=4=1,

則

[-√2zl=0

?-√2Z2=0J令%=],解得.=o,Z2

X=O

?n,=(1,1,1),n2=(0,1,1),

設(shè)二面角D-AS-尸的平面角為e,

則Ie。SeI=^d=-rl7==

IH11116X&3

故Sine=—,

3

所以二面角O-45-尸的正弦值為走

3

,

32.(2023?新高考I)如圖，在正四棱柱ABCZ)-A4G。中，AB=2,/LA1=4點(diǎn)A2,B2

C2,D2分別在棱AAI,BBt,CC1,DD1上，AA2=1,BB2=DD2=2,=3.

(1)證明：B2C2ZZA2D2；

(2)點(diǎn)尸在棱BBl上，當(dāng)二面角尸-4。2-口為150。時(shí)，求.

【分析】

(1)建系，根據(jù)坐標(biāo)法及向量共線定理，即可證明；

(2)建系，根據(jù)向量法，向量夾角公式，方程思想，即可求解.

【詳解】

(1)證明：根據(jù)題意建系如圖，則有：

B2(0,2,2),C2(0,0,3),4(2,2,I),0,(2,0,2),

.?.B2C2=(0,-2,1),A2D2=(0,-2,1),

.?.B2C2=A2A,又與，C2,A2,D2四點(diǎn)不共線，

.?.B2C2//A2D2;

(2)在(1)的坐標(biāo)系下，可設(shè)尸(0,2,t),r∈[0,4],

又由(1)知C?(0,0,3),4(2,2,1),Z?(2,0,2),

.?.C2A2=(2,2,-2),C2P=(0,2√-3),AD2=(0,-2,1),

設(shè)平面PA2C2的法向量為m=(x,y,z),

,“C,A,=2x+2y-2Z=O?

則rι《-2,取力=Q-1,3-f,2),

mC2P=2y+(t-3)z=0

設(shè)平面AC2D2的法向量為n=(a,b,c),

,,∏C-,A,=2a+2b-2c=0?

則r《2-,取”=(1,1,2),

n-A2D2=-2b+c=0

根據(jù)題意可得Icos150°1=)cos<m,n>|=@/

?m??n?

B____________6__________

2J(r-1)-+(3-r)-+4X?/6

2

.?.r-4r+3=0,又fe[O,4],

解得f=1或t=3,

.?.P為片坊的中點(diǎn)或8中的中點(diǎn)，

.?.B1P=I.

33.(2022?天津)直三棱柱ABC-A與G中，AAI=AB=4C=2,AAilAB,ACVAB,

。為44中點(diǎn)，E為M中點(diǎn)，尸為CD中點(diǎn).

(1)求證