概率的基本性質(zhì)

必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)概率的基本性質(zhì)(1)基本性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容1對任意的事件A,都有P(A)___0.2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即________,_______.3如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=__________.推廣如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=____________________.≥P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+…+P(Am)P(Ω)=1P(?)=0性質(zhì)內(nèi)容4如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=_______,P(A)=_______.5如果A?B,那么P(A)≤P(B),易得__≤P(A)≤__.6設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,我們有P(A∪B)=__________________.1-P(A)1-P(B)P(A)+P(B)-P(A∩B)01(2)本質(zhì):概率的范圍,互斥事件的和事件,對立事件等概率的關(guān)系.(3)應(yīng)用:①求互斥事件和事件的概率;②求對立事件的概率;③求實(shí)際問題的概率.【思考】(1)設(shè)事件A發(fā)生的概率為P(A),事件B發(fā)生的概率為P(B),那么事件A∪B發(fā)生的概率是P(A)+P(B)嗎?提示:不一定.當(dāng)事件A與B互斥時(shí),P(A∪B)=P(A)+P(B);當(dāng)事件A與B不互斥時(shí),P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).(2)若P(A)+P(B)=1,則事件A和B不一定對立嗎?提示:不一定.例如:擲一枚均勻的骰子,記事件A為出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn),事件B為出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn),則P(A)+P(B)=+=1,顯然事件A與事件B不互斥,也不對立.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)任意事件A發(fā)生的概率P(A)總滿足0<P(A)<1. (

)(2)若事件A為隨機(jī)事件,則0<P(A)<1. (

)(3)事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率. (

)(4)事件A與B互斥,則有P(A)=1-P(B). (

)提示:(1)×.任意事件A發(fā)生的概率P(A)總滿足0≤P(A)≤1.(2)√.隨機(jī)事件概率的范圍為0<P(A)<1.(3)×.事件A與不可能事件的和事件的概率等于事件A的概率.(4)×.如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(A)=1-P(B).2.(教材二次開發(fā):例題改編)中國乒乓球隊(duì)中的甲、乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽,甲奪得冠軍的概率為,乙奪得冠軍的概率為,那么中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為

.

【解析】由于事件“中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”,但這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算,即中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為+=.答案:

3.某產(chǎn)品分為優(yōu)質(zhì)品、合格品、次品三個(gè)等級(jí),生產(chǎn)中出現(xiàn)合格品的概率為0.25,出現(xiàn)次品的概率為0.03,在該產(chǎn)品中任抽一件,則抽到優(yōu)質(zhì)品的概率為

.

【解析】由題意,在該產(chǎn)品中任抽一件,“抽到優(yōu)質(zhì)品”與“抽到合格品或次品”是對立事件,所以在該產(chǎn)品中任抽一件,則抽到優(yōu)質(zhì)品的概率為P=1-0.25-0.03=0.72.答案:關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)派出人數(shù)≤2345≥6概率0.10.460.30.10.04則有4人或5人外出家訪與至少有3人外出家訪的概率分別為(

)

2.已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒,已知從中取出2粒都是黑子的概率是,從中取出2粒都是白子的概率是,現(xiàn)從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是

.

3.在10張卡片上分別寫上0,1,2,3,4,5,6,7,8,9后,任意疊放在一起,從中任取一張,設(shè)“抽到大于3的奇數(shù)”為事件A,“抽到小于7的奇數(shù)”為事件B,則P(A∪B)=

.

【解析】1.選B.設(shè)派出2人及以下為事件A,3人為事件B,4人為事件C,5人為事件D,6人及以上為事件E,則有4人或5人外出家訪的事件為事件C或事件D,C,D為互斥事件,根據(jù)互斥事件概率的加法公式可知,P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.至少有3人外出家訪的對立事件為2人及以下,所以P=1-P(A)=1-0.1=0.9.2.從中取出2粒棋子,“都是黑棋子”記為事件A,“都是白棋子”記為事件B,則A,B為互斥事件.所求概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.答案:

3.易知A,B不是互斥事件,所以不能直接套用互斥事件的概率加法公式.事件A+B包含了5個(gè)基本事件,即抽到1,3,5,7,9,則P(A∪B)==.答案:

【解題策略】求互斥事件的概率的關(guān)注點(diǎn)(1)將一個(gè)事件拆分為若干個(gè)互斥事件,分別求出各事件的概率,然后用加法公式計(jì)算結(jié)果.(2)在運(yùn)用互斥事件的概率加法公式解題時(shí),首先要分清事件間是否互斥,同時(shí)要會(huì)把一個(gè)事件拆分成幾個(gè)互斥事件,做到不重不漏.(3)常用步驟:①確定諸事件彼此互斥;②諸事件中有一個(gè)發(fā)生;③先求諸事件分別發(fā)生的概率,再求和.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如表所示:則年降水量在[100,200)(mm)范圍內(nèi)的概率為

,年降水量在[150,300)(mm)范圍內(nèi)的概率為

.

年降水量(單位:mm)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)概率0.120.250.160.14【解析】記這個(gè)地區(qū)的年降水量在[100,150)(mm)、[150,200)(mm)、[200,250)(mm)、[250,300)(mm)范圍內(nèi)分別為事件A、B、C、D.這四個(gè)事件是彼此互斥的,根據(jù)互斥事件的概率加法公式,有:年降水量在[100,200)(mm)范圍內(nèi)的概率是P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37.年降水量在[150,300)(mm)范圍內(nèi)的概率是P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55.答案:

類型二對立事件的概率(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】一名射手在某次射擊訓(xùn)練中,射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28,計(jì)算這個(gè)射手在這次射擊中:(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率;(2)射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)的概率.【思路導(dǎo)引】先設(shè)出事件,判斷是否互斥或?qū)α?然后再使用概率公式求解.【解析】(1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A,“射中7環(huán)”為事件B,由于在這次射擊中,事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生,故事件A與事件B是互斥事件,“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B.所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.所以射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.(2)“低于7環(huán)”從正面考慮有以下幾種情況:射中6環(huán),5環(huán),4環(huán),3環(huán),2環(huán),1環(huán),0環(huán).但由于這些概率都未知,故不能直接求解.可考慮從反面入手.“低于7環(huán)”的反面是“大于或等于7環(huán)”,即7環(huán),8環(huán),9環(huán),10環(huán),由于這兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生,故是對立事件,故可用對立事件的方法處理.設(shè)“低于7環(huán)”為事件E,則事件為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”.由(1)知“射中7環(huán)”“射中8環(huán)”“射中9環(huán)”“射中10環(huán)”彼此互斥.故P()=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,從而P(E)=1-P()=1-0.97=0.03.所以射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)的概率為0.03.【解題策略】當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜或根本無法求時(shí),可先轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率.

【跟蹤訓(xùn)練】玻璃球盒中裝有各色球12只,其中5紅、4黑、2白、1綠,從中任取1球,求:(1)得到紅球或黑球的概率.(2)得到紅球或黑球或白球的概率.【解析】記事件A1:從12只球中任取1球得紅球;A2:從12只球中任取1球得黑球;A3:從12只球中任取1球得白球;A4:從12只球中任取1球得綠球,則:P(A1)=,P(A2)==,P(A3)==,P(A4)=.(1)取出紅球或黑球的概率為:P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+=.(2)A1+A2+A3的對立事件為A4.P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-=.類型三概率基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模、邏輯推理)

角度1與古典概型相關(guān)的綜合問題

【典例】從1,2,3,…,30這30個(gè)數(shù)中任意摸出一個(gè)數(shù),則事件“摸出的數(shù)是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)”的概率是(

)A. B. C. D.【解析】選B.方法一:這30個(gè)數(shù)中“是偶數(shù)”的有15個(gè),“能被5整除的數(shù)”有6個(gè),這兩個(gè)事件不互斥,既是偶然又能被5整除的數(shù)有3個(gè),所以事件“是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)”包含的樣本點(diǎn)是18個(gè),而樣本點(diǎn)共有30個(gè),所以所求的概率為=.方法二:設(shè)事件A“摸出的數(shù)為偶數(shù)”,事件B“摸出的數(shù)能被5整除”,則P(A)=,P(B)==,P(A∩B)==,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.【思路導(dǎo)引】先根據(jù)圖形計(jì)算出球員的總?cè)藬?shù)與分別只屬于某球隊(duì)的人數(shù),設(shè)出事件;再由互斥、對立事件的概率公式求解.【解析】分別令“抽取一名隊(duì)員只屬于籃球隊(duì)、羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)”為事件A,B,C.由圖知3支球隊(duì)共有球員20名.則P(A)=,P(B)=,P(C)=.(1)令“抽取一名隊(duì)員,該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)”為事件D.則D=A+B+C,因?yàn)槭录嗀,B,C兩兩互斥,所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.(2)令“抽取一名隊(duì)員,該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)”為事件E,則為“抽取一名隊(duì)員,該隊(duì)員屬于3支球隊(duì)”,所以P(E)=1-P()=1-=.【變式探究】本例條件不變,求若從中隨機(jī)抽取一名隊(duì)員,該隊(duì)員屬于兩支球隊(duì)的概率.【解析】P=++=.【解題策略】求復(fù)雜事件的概率常見的兩種方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件;(2)若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和事件時(shí),需要分類太多,而其對立面的分類較少,可考慮利用對立事件的概率公式,即“正難則反”,它常用來求“至少…”或“至多…”型事件的概率.【題組訓(xùn)練】1.已知P(A)=0.4,P(B)=0.2.(1)如果B?A,則P(A∪B)=

,P(AB)=

;

(2)如果A,B互斥,則P(A∪B)=

,P(AB)=

.

【解析】(1)因?yàn)锽?A,所以P(A∪B)=P(A)=0.4,P(AB)=P(B)=0.2.(2)如果A,B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6.P(AB)=P(?)=0.答案:

02.在數(shù)學(xué)考試中,小明的成績(取整數(shù))不低于90分的概率是0.18,在80～89分(包括89分)的概率是0.51,在70～79分(包括79分)的概率是0.15,在60～69分(包括69分)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,計(jì)算:(1)小明在數(shù)學(xué)考試中成績不低于70分的概率.(2)小明數(shù)學(xué)考試及格(60分及以上)的概率.【解析】小明的成績不低于70分可以看作互斥事件“70～79分”“80～89分”“不低于90分”的并事件,小明數(shù)學(xué)考試及格可以看作互斥事件“60～69分”“70～79分”“80～89分”“不低于90分”的并事件,又可以看作“不及格(在60分以下)”這一事件的對立事件.于是分別記小明的成績“不低于90分”“80～89分”“70～79分”“60～69分”為事件B,C,D,E,這四個(gè)事件彼此互斥.(1)小明的成績不低于70分的概率是P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.18+0.51+0.15=0.84.(2)方法一:小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.方法二:小明數(shù)學(xué)考試不及格的概率是0.07,所以小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是1-0.07=0.93.(1)求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖.(2)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名,記他們的身高分別為x,y,求|x-y|≤5的概率.【解析】(1)由頻率分布直方圖知,前五組的頻率為(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,所以后三組的頻率為1-0.82=0.18,人數(shù)為0.18×50=9,由頻率分布直方圖得第八組的頻率為0.008×5=0.04,人數(shù)為0.04×50=2,設(shè)第六組人數(shù)為m,則第七組人數(shù)為m-1,又m+m-1+2=9,所以m=4,即第六組人數(shù)為4,第七組人數(shù)為3,頻率分別為0.08,0.06,頻率除以組距分別等于0.016,0.012,則完整的頻率分布直方圖如圖所示:(2)由(1)知身高在[180,185)內(nèi)的男生有四名,設(shè)為a,b,c,d,身高在[190,195]內(nèi)的男生有兩名,設(shè)為A,B.若x,y∈[180,185),有ab,ac,ad,bc,bd,cd共6種情況;若x,y∈[190,195],只有AB這1種情況;若x,y分別在[180,185),[190,195]內(nèi),有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8種情況,所以基本事件的總數(shù)為6+8+1=15,事件|x-y|≤5包含的基本事件的個(gè)數(shù)為6+1=7,故所求概率為.核心知識(shí)1.非負(fù)性：P(A)≥02.特殊事件的概率3.互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)P(Ω)=1P(φ)=0方法總結(jié)求較復(fù)雜事件的概率：（1）將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的并事件；（2）先求對立事件的概率，再求符合條件的事件的概率.易錯(cuò)提醒利用加法公式求事件的概率時(shí)，首先要判斷是否為互斥事件.核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用概率的基本性質(zhì)求概率概率的基本性質(zhì)4.對立事件的概率：P(A)=1-P(B)，P(B)=1-P(A)5.包含事件的概率：若A?B，則P(A)≤P(B)6.隨機(jī)事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.若A與B為互斥事件,則 (

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