平面向量1.向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量（注意：向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。诹阆蛄浚洪L度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行，零向量＝｜｜＝0.（注意：由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件，且注意與0的區(qū)別）③單位向量：模為1個單位長度的向量（向量為單位向量｜｜＝1.）④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，稱為平行向量，記作∥；由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量.（注意：數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的．）⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同注意：（1）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（2）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（3）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)題型1、基本概念判斷正誤：例1：下列說法正確的是(

)A.向量與向量BA的長度相等B.兩個有共同起點長度相等的向量的終點相同C.零向量沒有方向D.任意兩個單位向量都相等例2：判斷下列命題是否正確，并說明理由．(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；(2)若向量|a|＝|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)對于任意|a|＝|b|，且a與b的方向相同，則a＝b；(4)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反．練1：判斷（1）共線向量就是在同一條直線上的向量；（2）若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點；（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的；（4）四邊形ABCD是平行四邊形的條件是；（5）若，則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形；（6）因為向量就是有向線段，所以數(shù)軸是向量；（7）若與共線，與共線，則與共線；（8）若，則；（9）若，則；（10）若與不共線，則與都不是零向量；（11）若，則；（12）若，則.2.向量加法和減法求兩個向量和（差）的運算叫做向量的加（減）法運算類型幾何方法坐標(biāo)方法運算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則例2：如下圖，解答下列各題：(1)用a，d，e表示；(2)用b，c表示；(3)用a，b，e表示；(4)用d，c表示.例3：（1）已知向量a、b的模分別是|a|＝9，|b|＝6，求|a＋b|的最大值和最小值.（2）已知，，求的取值范圍.練1：在平行四邊形ABCD中,,,若,,若，的值.練2：若,,則的取值范圍是3.實數(shù)與向量的積：運算類型幾何方法坐標(biāo)方法運算性質(zhì)向量的乘法是一個向量,滿足:>0時,與同向;<0時,與異向;=0時,=∥★兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=題型3、向量的數(shù)乘運算例1：已知

λ

,

μ

∈

R

,且

a

≠

0

，則在以下各命題中，正確命題的個數(shù)為()①

λ

<

0

時,

λ

a

與a的方向一定相反;②

λ

>

0

時,

λ

a

與a的方向一定相同;③

λ

≠

0

時,

λ

a

與a是共線向量;④

λ

μ

>

0

時,

λ

a

與

μ

a

的方向一定相同;⑤

λ

μ

<

0

時,

λ

a

與

μ

a

的方向一定相反;A.

2

B.

3

C.

4

D.

5例2：已知非零向量

e

1,

e

2不共線

.(1)

若

=

e

1

+

e

2,

=2

e

1

+8

e

2,

=3(

e

1

-

e

2),求證:

A,

B,

D三點共線;(2)

欲使

k

e

1

+

e

2和

e

1

+k

e

2共線,試確定實數(shù)

k的值

.練1：計算：（1）（2）練2：已知，則練3：已知

a,

b是兩個非零向量,判斷下列各命題的真假,并說明理由.(1)

5

a

的方向與

a的方向相同,且

5

a

的模是

a的模的

5

倍;(2)

-4

a的方向與8

a的方向相反,且-4

a的模是8

a的模的

;(3)

?

1

2

a

與

1

2

a

是一對相反向量;(4)

a

?

b

與

?

(

b

?

a

)

是一對相反向量.練4：已知任意兩個非零向量

a

、

b

,試作

=

a

+

b

,

=

a

+2

b

,

=

a

+3

b

.你能判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系嗎?為什么?4.向量的坐標(biāo)運算1.平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)注意：(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)2平面向量的坐標(biāo)運算：若，則若，則若=(x,y)，則=(x,y)若，則若，則若，則題型4、向量的坐標(biāo)運算例1：（1）已知三點A（2，-1），B（3，4），C（-2，0），則向量，；（2）已知向量a，b的坐標(biāo)分別是（-1，2），（3，-5），求a+b，a-b，3a，2a+3b的坐標(biāo).例2：已知三點A（2，3），B（5，4），C（7，10），點P滿足.

①為何值時,點P在直線上；

②設(shè)點P在第三象限,求的取值范圍.練1：已知，，，則練2：已知，，求，，.練3：（1）已知,向量與相等，求的值.（2）已知是坐標(biāo)原點，，且，求的坐標(biāo).5.基底：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底題型5、判斷兩個向量能否作為一組基底（①兩向量是非零向量②兩向量不共線）例1：已知是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：A.B.C.D.練1：已知，能與構(gòu)成基底的是（）A.B.C.D.題型6、結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)例1：已知是坐標(biāo)原點，點在第二象限，，，求的坐標(biāo).練1：已知是原點，點在第一象限，，，求的坐標(biāo).6.向量的數(shù)量積：①已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定②向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影③數(shù)量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積④向量的模與平方的關(guān)系：⑤乘法公式成立：；⑥平面向量數(shù)量積的運算律：（1）交換律成立：（2）對實數(shù)的結(jié)合律成立：（3）分配律成立：注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=⑦兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算：已知兩個向量，則·=⑧向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=,=,則∠AOB=（）叫做向量與的夾角cos==當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題⑨垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥⑩兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O.平面向量數(shù)量積的性質(zhì).題型7、求數(shù)量積例1：已知，且與的夾角為，求（1），（2），（3），（4）.練1：已知，求（1），（2），（3），（4）.題型8、求向量的夾角例1：（1）已知向量，滿足，且，則與的夾角為

.（2）已知非零向量，滿足與互相垂直，與互相垂直，求與的夾角．例2：已知與夾角為45°,則使

與

的夾角為銳角時,的取值范圍是.例3：已知,且,若對兩個不同時為零的實數(shù)k、t,使得與垂直,試求k的最小值.練1：已知兩向量與滿足，,且,則與的夾角為

.練2：已知，向量a與b的夾角為，p＝3a－b，q＝λa＋17b，則系數(shù)λ＝________時，p與q垂直．練3：（1）已知，求與的夾角.（2）已知，，，求.題型9、求單位向量【與平行的單位向量：】例1：與平行的單位向量是。練1：與平行的單位向量是。題型10、向量的平行與垂直例1：已知，，當(dāng)為何值時，（1）？（2）？練1：已知，，（1）為何值時，向量與垂直？（2）為何值時，向量與平行？題型11、向量在幾何中的應(yīng)用例1：等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是應(yīng)的中點，E是AB上的點，且AE＝2BE，求證：AD⊥CE.例2：已知在等腰△ABC中,BB′、CC′是兩腰上的中線,且BB′⊥CC′,求頂