第04講平面目標導航目標導航課程標準課標解讀理解三種語言的轉(zhuǎn)換與翻譯，三個基本事實的掌握與運用；會用圖形語言、符號語言表示點與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系．3.能初步判斷點與線、點與面、線與面的位置關(guān)系.通過本節(jié)課的學習，要求掌握三種語言表達幾何中的位置關(guān)系，并能運用基本事實及推論證明點與線、點與面、線與面的位置關(guān)系.知識精講知識精講知識點一、平面1．平面的概念生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們以平面的形象．幾何里所說的“平面”（plane）就是從這樣的一些物體中抽象出來的．但是，幾何里的平面是無限延展的，一個平面可以將空間分成兩部分．2．平面的畫法在立體幾何中，我們通常用平行四邊形來表示平面．（1）當平面水平放置時，如圖（1），平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍；當平面豎直放置時，如圖（2），平行四邊形的一組對邊通常畫成鉛垂線．（2）如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，我們常把被遮擋部分用虛線畫出來，也可以不畫．如圖（1）表示平面在平面的上面，圖（2）表示平面在平面的前面．3．平面的表示為了表示平面，我們常把希臘字母α，β，γ等寫在代表平面的平行四邊形的一個角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點表示，還可以用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的大寫英文字母表示．如圖中的平面可以表示為：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．4．點、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示點、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號語言來表示，點為元素，直線、平面都是點構(gòu)成的集合．集合中很多符號的規(guī)定都源于將圖形視為點集．點與直線（平面）之間的位置關(guān)系用符號“”，“”表示，直線與平面之間的位置關(guān)系用符號“”，“”表示等．點、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示如下：點P在直線a上，記作Pa；點Q不在直線a上，記作Qa；點A在平面α內(nèi)，記作Aα；點B不在平面α內(nèi)，記作Bα；直線a在平面α內(nèi)，記作aα；直線l不在平面α內(nèi)，記作lα；直線a與b相交于點A，記作a∩b=A；平面α，β相交于直線l，記作α∩β=l．二、平面的基本性質(zhì)1．三個基本事實：（1）基本事實1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．符號表示：Al，Bl，且Aα，Bα?l?α．如圖所示：作用：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面．（2）基本事實2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．符號表示：A，B，C三點不共線?有且只有一個平面α，使Aα，Bα，Cα．如圖所示：作用：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面．（3）基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．符號表示：Pα，且Pβ?α∩β＝l，且Pl．如圖所示：作用：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點．2.三個推論（1）推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．符號語言：若點直線a，則A和a確定一個平面．如圖所示：（2）推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．符號語言：?有且只有一個平面，使，．如圖所示：（3）推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．符號語言：?有且只有一個平面，使，．如圖所示：【微點撥】對三個基本事實的理解（1）對于基本事實1，我們可以知道：一是整條直線在平面內(nèi)；二是直線上的所有點在平面內(nèi)．（2）“不在一條直線上”和“三點”是基本事實2的重點字眼，如果沒有前者，那么只能說“有一個平面”，但不唯一；如果將“三點”改成“四點”，那么過四點不一定存在一個平面．由此可見，“不在一條直線上的三點”是確定一個平面的條件．（3）基本事實3反映了平面與平面的一種位置關(guān)系——相交，且交線唯一．【即學即練1】如圖所示，用符號語言可表示為（）A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【解析】【分析】由圖可知兩平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，兩直線交于點，從而可得答案【詳解】由圖可知平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，兩直線交于點，所以用符號語言可表示為，，，故選：A【即學即練2】以下說法中，正確的個數(shù)是（）①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；③首尾依次相接的四條線段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)知①中若有三點共線則必四點共面，②中只能得到兩個平面有交線，不能得到兩面重合③可由空間四邊形知結(jié)論錯誤.【詳解】①正確，若四點中有三點共線，則可以推出四點共面，這與四點不共面矛盾；②不正確，共面不具有傳遞性；③不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面內(nèi),故選：B【即學即練3】下列敘述中，正確的是（）．A．因為，，所以B．因為，，所以C．因為，，，所以D．因為，，所以【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本事實1判斷選項A、C，根據(jù)基本事實3判斷選項B、D.【詳解】A：因為，所以，故A錯誤；B：因為，所以或，故B錯誤；C：因為，所以，故C錯誤；D：因為，所以，故D正確.故選：D【即學即練4】以下四個命題：①三個平面最多可以把空間分成八部分；②若直線平面α，直線平面β，則“a與b相交”與“α與β相交”等價；③若，直線平面α，直線平面β，且，則；④若n條直線中任意兩條共面，則它們共面．其中正確的是A．①② B．②③ C．③④ D．①③【答案】D【解析】【分析】利用公理求解空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系．【詳解】對于①，正確；對于②，逆推“α與β相交”推不出“a與b相交”，也可能是或異面，如長方體的面對角線；對于③，由“基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線”可知正確；對于④，反例：正方體的側(cè)棱任意兩條都共面，但這4條側(cè)棱卻不共面，故④錯．所以正確的是①③．故選：D．【點睛】本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系的判斷，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．【即學即練5】如圖所示，平面平面，點，點，直線.設(shè)過三點的平面為，則（）A．直線 B．直線C．直線 D．以上均不正確【答案】C【解析】由是平面和的兩個公共點，由兩個平面若有交點，所有的交點都在同一條直線上，即可進行判斷.【詳解】，平面平面，，.又三點確定的平面為，.又是平面和的公共點，.故選：C【點睛】如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，因此兩個不重合的平面的兩個公共點的連線必為這兩個不重合的平面的交線.【即學即練6】以下四個命題中，不正確的命題是（）A．不共面的四點中，其中任意三點不共線B．若點共面，點共面，則共面C．若直線共面，直線共面，則直線共面D．依次首尾相接的四條線段必共面【答案】BCD【解析】【分析】利用反證法可知正確；直線與直線異面時，不共面，判斷；中可為異面直線，判斷；中四條線段可構(gòu)成空間四邊形，判斷.【詳解】選項：若任意三點共線，則由該直線與第四個點可構(gòu)成一個平面，則與四點不共面矛盾，則任意三點不共線，正確；選項：若三點共線，直線與直線異面，此時不共面，錯誤；選項：共面，共面，此時可為異面直線，錯誤；選項：依次首尾相接的四條線段可構(gòu)成空間四邊形，錯誤.故選：BCD【即學即練7】在平地上，自行車側(cè)旁的撐腳放下能確保自行車的穩(wěn)定，其反映的立體幾何知識是：______________________.【答案】不在同一條直線上的三個點確定一個平面【解析】【分析】根據(jù)底面是三角形時，立體幾何比較穩(wěn)定即可得出答案.【詳解】自行車的前輪、后輪有兩個著地點，撐腳放下，在地面上形成三角形，由基本事實3可確定自行車的穩(wěn)定.故答案為：不在同一條直線的三個點確定一個平面.【即學即練8】經(jīng)過一點可作___________個平面，經(jīng)過兩點可作___________個平面，經(jīng)過三點可作___________個平面，經(jīng)過不共面的四點可作___________個平面.【答案】無數(shù)無數(shù)一或無數(shù)4##四【解析】【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)作答即可.【詳解】經(jīng)過一點可作無數(shù)個平面，經(jīng)過兩點可作無數(shù)個平面，經(jīng)過三點,若三點不在一條直線上，可作一個平面，若三點在一條直線上可作無數(shù)個平面，故經(jīng)過三點可作一或無數(shù)個平面經(jīng)過不共面的四點，任取3點可作一個平面，一共可作4個平面.故答案為：無數(shù)；無數(shù)；一或無數(shù)；4.【即學即練9】在空間四邊形中，點E，F(xiàn)，G，H分別在，，，上，若直線與相交于點P，則點P與直線的關(guān)系是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)點線、線面關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)，即可判斷點線關(guān)系.【詳解】由題意，，而面，面，∴面，面，而面面，∴.故答案為：【即學即練10】畫出滿足下列條件的圖形（其中A，B，M表示點，m，n，a，b表示直線，，表示平面）：(1)，，，；(2)，，，，；(3)，，，．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析.【分析】利用點、線、面的位置關(guān)系的圖形表示，即可得到答案；【解析】(1)(2)(3)【即學即練11】請指出下列說法是否正確，并說明理由：(1)空間三點確定一個平面；(2)如果平面與平面有公共點，那么公共點就不止一個；(3)因為平的斜屋面不與地面相交，所以屋面所在的平面與地面不相交．【答案】(1)錯誤，理由見解析；(2)正確，理由見解析；(3)錯誤，理由見解析.【分析】利用平面的定義和性質(zhì)的應(yīng)用即可得出結(jié)果.【解析】(1)錯誤，因為只有不在同一條直線上的三點，才能確定一個平面，故(1)錯誤；(2)正確，若平面與有公共點，那么這些公共點可以構(gòu)成一條直線，故公共點就不止一個，故(2)正確；(3)錯誤，平的斜屋面所在的平面與底面不相交，只是斜屋面不夠大，由于平面是無限延展的，所以必相交，故(3)錯誤.【即學即練12】如圖，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求證：，l共點（相交于一點）.【答案】證明見解析.【解析】【分析】利用平面基本事實2可以證明三線共點：設(shè)直線直線，先證明M為的公共點，再證明，從而可以證明，l共點.【詳解】因為梯形中，，所以是梯形的兩腰.所以直線必相交于一點.設(shè)直線直線.又因為，所以.所以.又因為，所以，即，l共點（相交于一點）.能力拓展能力拓展考法011．三種語言的轉(zhuǎn)換學習幾何問題，三種語言間的互相轉(zhuǎn)換是一種基本技能．要注意：（1）正確區(qū)分點、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示；（2）用圖形表示時，正確區(qū)別實線和虛線．【典例1】如圖所示，用符號語言表示以下圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系：①點，在直線上________；②直線在平面內(nèi)________；③點在直線上，點在平面內(nèi)________.【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)點、線、面位置關(guān)系及其表示方法即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)點、線、面位置關(guān)系及其表示方法可知：①，；②；③，.故答案為：①，；②；③，【典例2】把下列符號敘述所對應(yīng)的圖形的字母編號填在題后橫線上.（1）A?α，a?α_____.

（2）α∩β=a，P?α，且P?β_____.

（3）α∩β=a，α∩γ=c，β∩γ=b，a∩b∩c=O_____.【答案】BCA【解析】【分析】根據(jù)圖形語言與符號語言的相互轉(zhuǎn)化即可判斷【詳解】根據(jù)圖形語言與符號語言的相互轉(zhuǎn)化即可判斷（1）對應(yīng)的是圖B；（2）對應(yīng)的是圖C；（3）對應(yīng)的是圖A,故答案為：B；C；A.【典例3】用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：（1）三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；（2）平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC．【答案】答案詳見解析．【解析】（1）符號語言表示：α∩β∩γ=P，α∩β=PA，α∩γ=PB，β∩γ=PC，圖形表示：如圖（1）．（2）符號語言表示：平面ABD∩平面BDC=BD，平面ABC∩平面ADC=AC，圖形表示：如圖（2）．（1）（2）【名師點睛】要注意符號語言的意義，如點與直線、點與平面之間的位置關(guān)系只能用“”或“”，直線與平面之間的位置關(guān)系只能用“”或“”．用圖形語言表示點、線、面之間的位置關(guān)系時，要注意實線和虛線的區(qū)別．【典例4】用符號表示下列語句：(1)點A在直線l上，l在平面內(nèi)；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內(nèi)；(3)點A在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過點A，且直線l在平面外；(4)直線l經(jīng)過平面外一點M．【答案】(1)；(2)平面平面=直線l，直線m平面；(3)點A平面，點A直線l，直線l平面；(4)點M平面，點M直線l.【解析】【分析】利用點與直線、點與平面、直線與平面的關(guān)系直接求解.(1)點A在直線l上，l在平面內(nèi)，記為：；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內(nèi)，記為：平面平面=直線l，直線m平面；(3)點A在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過點A，且直線l在平面內(nèi)外，記為：點A平面，點A直線l，直線l平面；(4)直線l經(jīng)過平面外一點M，記為：點M平面，點M直線l.考法022.點、線共面問題基本事實1、基本事實2及其推論是證明點、線共面的主要依據(jù)．常用的方法有：（1）納入平面法：先由部分元素確定一個平面，再證明其他的元素也在此平面內(nèi)．（2）輔助平面法：先證明有關(guān)點、線確定平面，再證明其余點、線確定平面，最后證明，重合．【典例5】下面三條直線一定共面的是（）A．a(chǎn)，b，c兩兩平行 B．a(chǎn)，b，c兩兩相交 C．a(chǎn)∥b，c與a，b均相交 D．a(chǎn)，b，c兩兩垂直【答案】C【解答】解：對于A，直線a，b，c兩兩平行，不一定得出a、b、c共面；對于B，直線a，b，c兩兩相交，不一定得a、b、c共面；對于C，a∥b，且c與a、b都相交，則a、b、c三條直線共面；對于D，a，b，c兩兩垂直，不一定得出a、b、c共面．故選：C．【名師點睛】本題考查了空間中的三條直線位置關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．根據(jù)題意分別判斷選項中的命題結(jié)論是否正確即可．【典例6】如圖，在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由.（1）由點A，O，C可以確定一個平面；（2）由點A，，確定的平面為平面.【答案】（1）不正確，理由見解析；（2）正確，理由見解析.【解析】【分析】（1）由正方體的性質(zhì)知A，O，C在同一條直線上，此三點所成平面有無數(shù)個，可知正誤.（2）由正方體的性質(zhì)知A，不共線且，即可判斷A，，的平面.【詳解】（1）不正確，由點A，O，C在同一條直線上，則不能確定一個平面，而有無數(shù)個平面.（2）正確，由A，不共線，則可確定一個平面.又，則面.∴由點A，，確定的平面為面.【典例7】如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且．求證：（1）、、、四點共面；（2）與的交點在直線上．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）由平行關(guān)系轉(zhuǎn)化，可得，即可證明四點共面；（2）由條件證明與的交點既在平面上，又在平面上，即可證明.【詳解】證明（1）∵，∴．∵，分別為，的中點，∴，∴，∴，，，四點共面．（2）∵，不是，的中點，∴，且，故為梯形．∴與必相交，設(shè)交點為，∴平面，平面，∴平面，且平面，∴，即與的交點在直線上．【典例8】求證：兩兩相交且交點不止一個的四條直線a、b、c、d共面．【答案】證明詳見解析．【解析】（1）無三線共點情況，如圖（1）．設(shè)，，，，，．因為，所以a，d可確定一個平面．因為，，所以，，所以，即．同理，，所以a，b，c，d共面．（2）有三線共點的情況，如圖（2）．設(shè)b，c，d三線相交于點K，與a分別交于點N，P，M，且，因為，所以K和a確定一個平面，設(shè)為．因為，，所以．所以，即．同理，，．所以a，b，c，d共面．由（1）（2）知，a、b、c、d共面．考法033．平面的交線問題根據(jù)基本事實3，如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們必定還有其他公共點，只要找出這兩個平面的兩個公共點，就找出了它們的交線．因此求兩個平面的交線的突破口是找到這兩個平面的兩個公共點．【典例9】如圖，在正方體中，若P為棱的中點，判斷平面與平面ABCD是否相交．如果相交，作出這兩個平面的交線．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)基本事實2可作兩個平面的交線.【詳解】平面與平面ABCD相交，如圖，連接、并延長交于，連接，則平面平面.【典例10】在三棱錐A－BCD的棱AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點，如果EF∩HG＝P，則點P（）A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上，也不在直線BD上【答案】B【解析】如圖所示，∵EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，故選B.【典例11】．如圖，平面平面，直線，過三點確定的平面為，則平面的交線必過（）A．點 B．點 C．點，但不過點 D．點和點【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及推論推導即可【詳解】由題意知，，，∴，又，∴，即在平面與平面的交線上，又，，∴點C在平面與平面的交線上，即平面的交線必過點和點故選：D.考法044．三點（多點）共線問題點共線問題就是證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要依據(jù)是公理3．常用方法有：（1）首先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3知這些點都在這兩個平面的交線上；（2）選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在這條直線上．【典例12】已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線.【答案】證明見解析【解析】【分析】推導出P，Q，R都在平面ABC與平面α的交線上，即可證明.【詳解】證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P，Q，R三點共線.法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點共線.【典例13】如圖所示，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延長線)分別與平面α相交于E，F(xiàn)，G，H，求證：E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上．【答案】證明見解析.【解析】【分析】根據(jù)推論3及基本事實2可知，兩條平行直線AB和CD可以確定一個平面ABCD，并且平面ABCD與平面的所有的公共點應(yīng)該在一條直線上，根據(jù)題意，這些公共點即E，F(xiàn)，G，H四點，所以這四點必定共線.【詳解】證明：因為AB∥CD，所以AB，CD確定平面AC，因為AB∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本事實3可知，E必在平面AC與平面α的交線上．同理F，G，H都在平面AC與平面α的交線上，因此E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上．【點睛】在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，常運用基本事實2，即先證明這些點都是某二平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結(jié)論.考法055．三線共點問題證明三線共點問題，一般先證明待證的三條直線中的兩條相交于一點，再證明第三條直線也過該點．常結(jié)合公理3，證明該點在不重合的兩個平面內(nèi)，故該點在它們的交線（第三條直線）上，從而證明三線共點．【典例14】如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點，點F在CD上，點H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求證：EF，GH，BD交于一點．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用基本事實4和基本事實2可證三線共點.【詳解】證明連接GE，HF.因為E，G分別為BC，AB中點，所以.因為DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3，所以.從而GE∥HF且，故G，E，F(xiàn)，H四點共面且四邊形為梯形，因為EF與GH不能平行，設(shè)EF∩GH＝O，則O∈平面ABD，O∈平面BCD.而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF，GH，BD交于一點．【典例15】如圖，不共面的四邊形ABB'A'，BCC'B'，CAA'C'都是梯形．求證：三條直線AA'，BB'，CC'相交于一點．【答案】證明見解析【解析】【分析】分析先證其中兩條直線共面且交于一點，再證這點也在第三條直線上即可．【詳解】因為在梯形ABB'A'中，A'B'∥AB，所以AA'，BB'在同一平面A'B內(nèi)．設(shè)直線AA'，BB'相交于點P，如圖所示．同理BB'，CC'同在平面BC'內(nèi)，CC'，AA'同在平面A'C內(nèi)．因為P∈AA'，AA'?平面A'C，所以P∈平面A'C．同理點P∈平面BC'，所以點P在平面A'C與平面BC'的交線上，而平面A'C∩平面BC'=CC'，故點P∈直線CC'，即三條直線AA'，BB'，CC'相交于一點．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.下列敘述錯誤的是（）A．若p∈α∩β，且α∩β=l，則p∈l.B．若直線a∩b=A，則直線a與b能確定一個平面.C．三點A，B，C確定一個平面.D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α則lα.【答案】C【解析】由空間線面位置關(guān)系，結(jié)合公理即推論，逐個驗證即可．【詳解】選項，點在是兩平面的公共點，當然在交線上，故正確；選項，由推論可知，兩相交直線確定一個平面，故正確；選項，只有不共線的三點才能確定一個平面，故錯誤；選項，由基本事實1，直線上有兩點在一個平面內(nèi)，則整條直線都在平面內(nèi)．故選：C2.下面四個條件中，能確定一個平面的是（）A．空間中任意三點 B．空間中兩條直線C．空間中兩條相交直線 D．一條直線和一個點【答案】C【解析】根據(jù)每個選項，可舉出相應(yīng)的反例進而得到結(jié)果.【詳解】A,空間任意三點，當三點共線時能確定一條直線而不是平面，故不正確；B.空間兩條直線，當兩條直線重合時，過這條直線的平面有無數(shù)個，故不正確；C.空間兩條平行直線，根據(jù)課本中的判定得到是正確的；D.一條直線和一個點，當這個點在直線上時，過這條直線的平面有無數(shù)個，故不正確.故選：C.3.設(shè)l，m表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，Q表示一個點，給出下列四個命題，其中正確的命題是（）①，②，③，，，④且，，，A．①② B．②③ C．②③ D．③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點線面的位置關(guān)系，判斷①的正確性.根據(jù)基本事實1判斷②的正確性，根據(jù)基本事實2及其推論判斷③的正確性，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，判斷④的正確性.【詳解】對于①，點和直線都在平面內(nèi)，但是不一定在直線上，故①錯誤.對于②，根據(jù)條件可知直線有一個點在內(nèi)，根據(jù)公理1，無法判斷直線是否含于平面，故②錯誤.對于③，由于，所以與共面，直線與確定一個平面，且，，所以，故③正確.對于④，且，而，，，過一點只能作平面的一條垂線，且，所以，故④成立故選：D【點睛】本小題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4.空間中五點不共面，已知在同一平面內(nèi)，在同一平面內(nèi)，那么三點（）A．一定構(gòu)成三角形 B．一定共線 C．不一定共線 D．與共面【答案】B【解析】【分析】由已知條件可知，既在平面上又在平面上，結(jié)合公理3即可得出．【詳解】設(shè)平面為，平面為，且不共面，則，，則必相交于直線，且，故三點一定共線且位于平面與平面的交線上.【點睛】本題對空間中三點共線進行考查，解題的關(guān)鍵是基本事實3的運用．5.如圖，四棱錐，，是的中點，直線交平面于點，則下列結(jié)論正確的是A．四點不共面 B．四點共面C．三點共線 D．三點共線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本事實一、二、三逐一排除即可．【詳解】直線與直線交于點，所以平面與平面交于點O，所以必相交于直線，直線在平面內(nèi)，點故面，故四點共面，所以A錯．點若與共面，則直線在平面內(nèi)，與題目矛盾，故B錯．為中點，所以，，故，故C錯．故選D．【點睛】本題屬于中檔題，考查基本事實一、二、三的應(yīng)用，學生不易掌握，屬于易錯題．6.一個平面將空間分成兩部分，兩個平面最多將空間分成四部分，三個平面最多將空間分成八部分……由此猜測，個平面最多將空間分成（）部分.A．2n B． C． D．【答案】D【解析】由2，3，4，5個平面把空間最多分成的部分數(shù)可排除A,B,C．【詳解】由一個平面將空間分成兩部分，兩個平面最多將空間分成四部分，三個平面最多將空間分成八部分，可以排除兩個選項.四個平面時，可以考慮在三個平面最多將空間分成八部分的情況下再加一個平面，則第四個平面最多可以將該八部分中的七個分為兩部分，所以四個平面最多將空間分成十五部分，可以排除C選項.故選：D.【點睛】本題考查平面分空間問題，解題時通過從特殊到一般進行歸納，也可通過特殊個數(shù)平面分空間個數(shù)來否定三個選項．7.如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用異面直線的判定方法可得正確的選項.【詳解】在A圖中，分別連接，則，所以四點共面，在B圖中，過可作一個正六邊形，如圖所示，故四點共面，在C圖中，分別連接，則，所以四點共面，在D圖中，與為異面直線，所以四點不共面，故選:D．【點睛】關(guān)鍵點睛：解題關(guān)鍵在于對異面直線的判定方法的理解，難度屬于基礎(chǔ)題8.下列結(jié)論中不正確的是（）A．若兩個平面有一個公共點，則它們有無數(shù)個公共點B．若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線C．若點既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則與相交于，且點在上D．任意兩條直線不能確定一個平面【答案】D【解析】【分析】由平面基本性質(zhì)若兩個不重合的平面有一個公共點，則兩平面相交于過這一點的一條直線，有無數(shù)個公共點，可判斷A,C正確，由直線與直線外一點確定一個平面可得選項B正確；由兩條直線平行或相交，則可以確定一個平面可得選項D錯誤.【詳解】解：由平面基本性質(zhì)可知，若兩個不重合的平面有一個公共點，則兩平面相交于過這一點的一條直線，有無數(shù)個公共點，因此選項A，C正確；當平面四個點中，有三點共線，由直線與直線外一點確定一個平面可得此四個點共面，故假設(shè)不成立，即其中任意三點不共線，因此選項B正確；若兩條直線平行或相交，則可以確定一個平面，因此選項D錯誤.故選D.【點睛】本題考查了平面的基本性質(zhì)、線面關(guān)系，重點考查了空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.9.在空間四邊形各邊、、、上分別取點、、、，若直線、相交于點，則（）A．點必在直線上 B．點必在直線上C．點必在平面內(nèi) D．點必在平面內(nèi)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)公理，利用兩個平面的公共點在兩平面的公共直線上來判斷即可.【詳解】解：∵在面上，而在面上，且、能相交于點，∴在面與面的交線上，∵是面與面的交線，所以點必在直線上．故選：A．【點睛】本題考查平面的基本性質(zhì)及其推論，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答．10.A，B，C表示不同的點，n，l表示不同的直線，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正確的是（）A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α?α∩β＝直線ABC．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α與β重合D．lα，nα，l∩n＝A?l與n不能確定唯一平面【答案】D【解析】【分析】由平面性質(zhì)的三個公理得選項A正確；α∩β＝直線AB，所以選項B正確；因為不共線的三個點只能確定一個平面，所以選項C正確；l與n能確定唯一平面，所以選項D不正確.【詳解】由平面性質(zhì)的三個公理得選項A正確；由題得，所以α∩β＝直線AB，所以選項B正確；因為不共線的三個點只能確定一個平面，所以α與β重合，所以選項C正確；lα，nα，l∩n＝A，l與n能確定唯一平面，所以選項D不正確.11.平面內(nèi)條直線沒有四條直線共點，最多三條直線平行，至少有幾個交點（）A．個 B．個C．個 D．個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，可以有二組三條直線平行，再分析如何增加兩條直線使交點最少，作圖即可求解.【詳解】因為最多三條直線平行，可以有二組三條直線平行，如圖，，這條線共有個交點，如圖交點分別為，若要使交點最少可以使過兩組平行線的三個交點，此時沒有增加新的交點，因為平面內(nèi)條直線沒有四條直線共點，不能過三條線的公共點，比如不能過圖中的，由于不能過點為了保證交點最少，可以過兩條直線的交點，最少增加個新的交點，如圖點，所以至少有個交點，故選：C.題組B能力提升練1.（多選）已知A，B，C表示不同的點，l表示直線，，表示不同的平面，則下列推理正確的是（）A．，，， B．，，，C．， D．，，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)點線面的位置關(guān)系即可得到答案.【詳解】根據(jù)公理1可知A正確；根據(jù)公理3可知B正確；易知D正確；點A可以為的交點，C錯誤.故選：ABD.2.(多選)以下四個命題中，正確的是（）A．不共面的四點中，其中任意三點不共線B．若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面C．若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面D．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面【答案】AD【解析】【分析】A選項舉出反例即可說明；C選項根據(jù)共面不具有傳遞性即可判斷；B選項根據(jù)點共面的性質(zhì)判定即可；D選項根據(jù)過直線與直線外一點可確定個平面,即可判斷.【詳解】A正確，可以用反證法證明，假設(shè)任意三點共線，則四個點必共面，與不共面的四點矛盾；B從條件看出兩平面有三個公共點A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確；C不正確，共面不具有傳遞性，若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c可能不在一個平面內(nèi)；D正確，兩兩相交的直線有三個公共點，確定一個平面.故選：AD.3.如圖所示，在正方體中，為的中點，直線交平面于點，則下列結(jié)論正確的是（）A．，，三點共線 B．，，，四點共面C．，，，四點共面 D．，，，四點共面【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)點與線、點與面、線與面的位置關(guān)系判斷即可；【詳解】解：在正方體中，為的中點，直線交平面于點，在選項中，直線交平面于點，平面，直線，又平面，平面，為的中點，平面，底面為正方形，所以為的中點，平面，且平面，又平面，且平面，，，三點共線，故選項正確；在選項中，，，三點共線，，，，四點共面，故正確；在選項中，，，三點共線，，，，四點共面，故正確；在選項中，直線，，，，，四點不共面，故錯誤．故選：．4.在空間四面體中，如圖，分別是的中點，則下列結(jié)論一定正確的為（）A． B．C．與相交 D．【答案】ABC【解析】【分析】由題易得四邊形為平行四邊形，即可得到結(jié)論.【詳解】如圖∵分別是的中點，∴且，且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴選項ABC正確；又由題可知，與不一定相等，故選項D錯誤.故選：ABC.5.三個平面可以把空間分成n個部分，在下列選項中，n的值正確的有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】BCD【解析】【分析】三個平面可以把空間分成個部分，即可選出答案.【詳解】三個平面兩兩平行，分成4個部分，如圖1三個平面中有2個平行，另一個與它們相交，分成6個部分，如圖2三個平面兩兩相交于同一直線，分成6個部分，如圖3三個平面兩兩相交，三條交線兩兩平行，這時把空間分成7個部分，如圖4三個平面兩兩相交，三條交線共點，這時把空間分成8個部分，如圖5故選：BCD6.(多選題)如圖，正方體中，若分別為棱的中點，分別是四邊形，的中心，則（）A．四點共面B．四點共面C．四點共面D．四點共面【答案】ACD【解析】【分析】對于A，易知共面，再判斷是否在這個平面即可；對于B，顯然在平面內(nèi)，D不在平面內(nèi)，可知四點不共面；對于C，由已知可知，可判斷四點共面；對于D，連接并延長，交于H，連接，可知，可判斷四點共面.【詳解】對于A，由是四邊形的中心，知是的中點，所以在平面內(nèi)，所以四點共面，故A正確；對于B，由分別為棱的中點，知在平面內(nèi)，D不在平面內(nèi)，所以四點不共面，故B錯誤；對于C，由已知可知，所以四點共面，故C正確；對于D，連接并延長，交于H，則H為的中點，連接，則，所以四點共面，故D正確；故選：ACD【點睛】方法點睛：本題考查點共面問題的證明，證明點或線共面問題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．7.空間給定不共面的A，B，C，D四個點，其中任意兩點間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面：A，B，C，D中有三個點到的距離相同，另一個點到的距離是前三個點到的距離的2倍，這樣的平面的個數(shù)是___________個【答案】32【解析】【分析】按照四個點的位置不同分類討論，即可求解【詳解】首先取3個點相等，不相等的那個點由4種取法；然后分3分個點到平面的距離相等，有以下兩種可能性：（1）全同側(cè)，這樣的平面有2個；（2）不同側(cè)，必然2個點在一側(cè)，另一個點在一側(cè)，1個點的取法有3種，并且平面過三角形兩個點邊上的中位線，考慮不相等的點與單側(cè)點是否同側(cè)有兩種可能，每種情況下都唯一確定一個平面，故共有6個，所有這兩種情況共有8個，綜上滿足條件的這樣的平面共有個，故答案為：328.若直線與平面相交于點，、，、，且，則、、三點的位置關(guān)系是______．【答案】共線【解析】【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系分析出在兩平面的交線上，由此判斷出三點位置關(guān)系.【詳解】如下圖所示，因為，所以四點共面，又因為平面，所以平面，又因為平面，所以在平面與平面的交線上，又平面平面，所以，所以三點共線，故答案為：共線.9.如圖，在四面體中作截面，若的延長線交于點的延長線交于點，的延長線交于點．則三點的位置關(guān)系是_______．【答案】共線【解析】【分析】根據(jù)空間中點、線、面的位置關(guān)系，分析即可得答案.【詳解】因為，直線平面，，直線平面，所以是平面與平面的一個公共點，所以在平面與平面的交線上．同理可證，也在平面與平面的交線上．所以三點共線．故答案為：共線10.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可以判斷截面是一個梯形，計算出其面積即可.【詳解】由面面平行的性質(zhì)知截面與平面ABB1A1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，，設(shè)梯形的高為，則，所以其面積為.故答案為：.【點睛】本題考查幾何體截面面積的計算，確定截面形狀是解題的關(guān)鍵.11.思考辨析.（1）直線l在平面α內(nèi)，記作l∈α.()（2）若a∩b＝?，則a與b平行．()（3）若l∩α≠?，則直線l與平面α有公共點．()（4）若直線l在平面α外，則直線l與平面α平行．()（5）若α∩β≠?，則平面α與平面β相交，且交于一個點．()【答案】錯誤錯誤正確錯誤錯誤【解析】直接利用空間線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的定義判斷即可.【詳解】（1）直線l在平面α內(nèi)，記作，所以錯誤；（2）若a∩b＝?，則a與b平行或異面，所以錯誤；（3）若l∩α≠?，則直線l與平面α有一個或無數(shù)個公共點，所以正確；（4）若直線l在平面α外，則直線l與平面α平行或相交，所以錯誤；（5）若α∩β≠?，則平面α與平面β有無數(shù)個公共點，所以錯誤故答案為：錯誤，錯誤，正確，錯誤，錯誤【點睛】本題主要考查空間線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的定義，考查了空間想象能力.12.如圖所示，在正方體中，點是棱的中點，動點在體對角線上（點與點，不重合），則平面可能經(jīng)過該正方體的頂點是______.（寫出滿足條件的所有頂點）【答案】【解析】【分析】取中點E，取中點F,在平面兩側(cè)，在平面兩側(cè)，分析即得解.【詳解】見上面左圖，取中點E，因為ME,所以A,M,E,四點共面，在平面兩側(cè)，所以和平面交于點N,此時平面AMN過點A,;見上面右圖，取中點F,因為,所以四點共面，在平面兩側(cè)，所以和平面交于點N,此時平面AMN過點A,;綜上，平面可能經(jīng)過該正方體的頂點是.故答案為：【點睛】本題主要考查棱柱的幾何特征和共面定理，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.13.在正方體中，下列說法正確的是_________.（填序號）（1）直線在平面內(nèi)；（2）設(shè)正方形與的中心分別為，，則平面與平面的交線為；（3）由確定的平面是；（4）由確定的平面與由確定的平面是同一個平面.【答案】（2）（3）（4）【分析