第9章：統(tǒng)計重點題型復習題型一相關關系與函數(shù)關系辨識【例1】（2023·高二課時練習）下列兩個變量間的關系，是相關關系的是（）A．任意實數(shù)和它的平方B．圓半徑和圓的周長C．正多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和D．天空中的云量和下雨【答案】D【解析】對于ABC，兩個變量之間為確定性關系，即兩個變量之間均為函數(shù)關系，ABC錯誤；對于D，根據(jù)生活經(jīng)驗，天空中的云量和下雨之間不是確定性關系，雖然有云不一定下雨，但是如果沒有云一定不下雨，說明它們之間是相關關系，D正確.故選：D.【變式1-1】（2023·高二課時練習）下列變量之間的關系是相關關系的是（）A．正方體的表面積與體積B．光照時間與果樹的產(chǎn)量C．勻速行駛車輛的行駛距離與時間D．某運動會中某代表團的足球隊的比賽成績與乒乓球隊的比賽成績【答案】B【解析】對于A，正方體的體積確定，則表面積隨之確定，是一種確定性關系，A錯誤；對于B，光照時間越長，果樹的產(chǎn)量相對越大，是一種線性相關關系，B正確；對于C，行駛速度與時間是一種確定的函數(shù)關系，C錯誤；對于D，足球比賽成績與乒乓球比賽成績沒有關系，不具有相關關系，D錯誤.故選：B【變式1-2】（2022春·浙江·高二統(tǒng)考階段練習）已知變量與近似滿足關系，變量與負相關，則下列結論中正確的是（）A．與負相關，與負相關B．與正相關，與正相關C．與負相關，與正相關D．與正相關，與負相關【答案】C【解析】因為變量與近似滿足關系，又，所以與負相關，又因為變量與負相關，所以與正相關.故選：C.【變式1-3】（2022·高二課時練習）判斷如圖所示的圖形中具有相關關系的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)圖象可得A,B為連續(xù)曲線，變量間的關系是確定的，不是相關關系，C中散點分布在一條直線附近，可得其線性相關，D中散點分布在一個長方形區(qū)域，即非線性相關，故選：C【變式1-4】（2022春·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）成語“名師出高徒”可以解釋為“知名老師指導出高水平學生的概率較大”，即教師的名聲與學生的水平之間有關聯(lián)．下列能描述出生活中兩種屬性或現(xiàn)象之間關聯(lián)的成語是（）A．登高望遠B．亡羊補牢C．目瞪口呆D．袖手旁觀【答案】A【解析】成語“名師出高徒”的意思說有名的教師一定能教出高明的徒弟，通常情況下，高水平的教師有很大的趨勢教出高水平的學生，所以教師的水平與學生的水平成正相關關系，四個選項中只有“登高望遠”滿足題意，即登高有很大的趨勢可以看更遠，登高和望遠之間成正相關關系.故選：A.題型二相關系數(shù)的計算與應用【例2】（2023·高二課時練習）在一組樣本數(shù)據(jù)不全相等的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為（）A．B．0C．1D．【答案】A【解析】這組樣本數(shù)據(jù)的所有樣本點都在直線上，這組樣本數(shù)據(jù)完全相關，即說明這組數(shù)據(jù)的樣本完全負相關，其相關系數(shù)是故選：A.【變式2-1】（2023春·江蘇南京·高二南京航空航天大學附屬高級中學?？计谥校┮阎慕M不同數(shù)據(jù)的兩變量的線性相關系數(shù)如下：數(shù)據(jù)組①的相關系數(shù)；數(shù)據(jù)組②的相關系數(shù)；數(shù)據(jù)組③的相關系數(shù)；數(shù)據(jù)組④的相關系數(shù).則下列說法正確的是（）A．數(shù)據(jù)組①對應的數(shù)據(jù)點都在同一直線上B．數(shù)據(jù)組②中的兩變量線性相關性最強C．數(shù)據(jù)組③中的兩變量線性相關性最強D．數(shù)據(jù)組④中的兩變量線性相關性最弱【答案】B【解析】對A，數(shù)據(jù)組①的相關系數(shù)，故數(shù)據(jù)組①對應的數(shù)據(jù)點無線性關系，故A錯誤；對BC，數(shù)據(jù)組②的相關系數(shù)為4組中絕對值的最大值，故數(shù)據(jù)組②中的兩變量線性相關性最強，故B正確，C錯誤；對D，數(shù)據(jù)組①的相關系數(shù)為4組中絕對值最小，故數(shù)據(jù)組①中的兩變量線性相關性最弱，故D錯誤故選：B【變式2-2】（2023春·遼寧大連·高二大連二十四中?？计谥校┠辰y(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的散點圖．下面關于相關系數(shù)的比較，正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圖可知：所對應的圖中的散點呈現(xiàn)正相關，而且對應的相關性比對應的相關性要強，故，所對應的圖中的散點呈現(xiàn)負相關，且根據(jù)散點的分布情況可知,因此，故選：C【變式2-3】（2023·江蘇·高二專題練習）某中學統(tǒng)計了2011~2021這11年本校學生參加高考數(shù)學均分、英語均分、總分均分，得到如表所示的表格：年份20112012201320142015201620172018201920202021數(shù)學x（分）7577797480817783808281英語m（分）959810010110210310198107106100總分y（分）473481479485490487478492488493489從表中可知，數(shù)學和英語這兩科中與總分相關性較高的是______.【答案】數(shù)學【解析】設數(shù)學學科和英語學科的相關系數(shù)分別為，，，，，；；，∴，∴.；，∴，∴.∵，∴從相關系數(shù)角度來考慮，數(shù)學學科與總分的相關性較高，故答案為：數(shù)學.題型三樣本中心點的應用【例3】（2023春·天津和平·高二天津市第二南開中學校考期中）如果記錄了，的幾組數(shù)據(jù)分別為，，，，那么y關于x的經(jīng)驗回歸直線必過點（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知，，所以回歸直線必過點．故選：D．【變式3-1】（2023春·江西·高二江西師大附中?？茧A段練習）經(jīng)統(tǒng)計，用于數(shù)學學習的時間(單位：小時)與成績(單位:分)近似于線性相關關系.對某小組學生每周用于數(shù)學的學習時間與數(shù)學成績進行數(shù)據(jù)收集如下:151618192210298115115120由表中樣本數(shù)據(jù)求得回歸方程為，則點與直線的位置關系是（）A．點在直線左側B．點在直線右側C．點在直線上D．無法確定【答案】C【解析】由題得，，代入回歸方程得，∴點在直線上.故選：C【變式3-2】（2022秋·江西宜春·高三校聯(lián)考期末）為了研究某班學生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為．已知，，．該班某學生的腳長為25，據(jù)此估計其身高為（）A．167B．174C．176D．180【答案】B【解析】由題設，，且，所以，故回歸直線為，當厘米，則厘米.故選：B【變式3-3】（2023春·湖南長沙·高二長沙市明德中學?？计谥校傍Q叫是大自然優(yōu)美和諧的音樂，蟋蟀鳴叫的頻率（單位：次/分鐘）與氣溫（單位：℃）有較強的線性相關關系．某同學在當?shù)赝ㄟ^觀測，得到如下數(shù)據(jù)，并建立了關于的線性回歸方程．當蟋蟀每分鐘鳴叫52次時，該地當時的氣溫預報值為_______________．（次/分鐘）24364060（℃）2628.63035.4【答案】33【解析】依題意可得，，又關于的線性回歸方程，所以，解得，所以回歸方程為，當時，即當蟋蟀每分鐘鳴叫次時，該地當時的氣溫預報值為.故答案為：【變式3-4】（2023·北京·高三專題練習）“民生”供電公司為了分析“康居”小區(qū)的用電量y（單位）與氣溫x（單位：℃）之間的關系，隨機統(tǒng)計了4天的用電量與當天的氣溫，這兩者之間的對應關系見下表：氣溫x181310用電量y24343864若上表中的數(shù)據(jù)可用回歸方程來預測，則當氣溫為時該小區(qū)相應的用電量約為______．【答案】【解析】，則，解得，所以，當時，，即當氣溫為時該小區(qū)相應的用電量約為．故答案為：.題型四線性回歸分析【例4】（2023·全國·高三專題練習）某專營店統(tǒng)計了近五年來該店的創(chuàng)收利潤y（單位：萬元）與時間（單位：年）的相關數(shù)據(jù)，列表如下：123452.42.74.16.47.9依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關系？請計算相關系數(shù)r并加以說明（計算結果精確到0.01，若，則認為y與t高度相關，可用線性回歸模型擬合y與t的關系）．【答案】，y與t高度相關，可用線性回歸模型擬合y與t的關系.【解析】由題知，，，，，，則，，y與t高度相關，可用線性回歸模型擬合y與t的關系.【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）規(guī)定抽球試驗規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個，每次有放回的任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失?。诔槿∵^程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個紅球，然后接著進行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．（1）某人進行該抽球試驗時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進行抽球試驗的輪次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；（2）為驗證抽球試驗成功的概率不超過，有1000名數(shù)學愛好者獨立的進行該抽球試驗，記表示成功時抽球試驗的輪次數(shù)，表示對應的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：1234523298604020求關于的回歸方程，并預測成功的總人數(shù)（精確到1）；【答案】（1）分布列見解析，；（2），465【解析】（1）由題知，的取值可能為1，2，3，所以；

；所以的分布列為：

123所以數(shù)學期望為（2）令，，，則，由題知：，，，所以，所以，，故所求的回歸方程為：，所以，估計時，；估計時，；估計時，；預測成功的總人數(shù)為.【變式4-2】（2023·全國·高二專題練習）從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第個家庭的月收入（單位：千元）與月儲蓄（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得.（1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關還是負相關；（3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄.附：線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值.【答案】（1）；（2）正相關；（3）（千元）.【解析】（1）由題意知，，則，.所以所求回歸方程為.（2）因為，所以變量的值隨的值增加而增加，故與之間是正相關.（3）將代入回歸方程，得，則可以預測該家庭的月儲蓄為（千元）.【變式4-3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）市場研究機構Counterpoint發(fā)布了最新全球電動汽車市場報告，2022年總計銷量超1020萬輛，比亞迪、特斯拉和大眾集團位列排行榜前三.某電動汽車公司調(diào)研統(tǒng)計了之前5年（2018年到2022年）自己品牌電動汽車年銷售量y（單位：萬輛），并制作了如下表格.年份（年）20182019202020212022年銷售量y（單位：萬輛）916.52946.569（1）請根據(jù)表格中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)作出散點圖：（2）記年份代碼為x，2018年到2022年分別對應x=1，2，3，4，5，請根據(jù)散點圖判斷，模型①y=a+bx；②；③，哪一個更適合作為年銷售量y關于年份代碼x的回歸方程（給出判斷即可，不必說明理由）；（3）根據(jù)（2）的判斷結果，求出年銷售量y關于年份代碼x的回歸方程，并預測今年（2023年）該公司電動汽車的年銷售量.參考數(shù)據(jù)：34559796602805參考公式：最小二乘估計公式：，.【答案】（1）散點圖見解析；（2）②更適合；（3），96.5萬輛【解析】（1）如圖，（2）根據(jù)散點圖可知②更適合；（3）令，則，，，，對于回歸方程，可得：，，∴回歸方程為，即，令x=6，得，預測2023年該公司電動汽車的年銷售量為96.5萬輛.題型五非線性回歸分析【例5】（2023·全國·高三專題練習）一種高產(chǎn)新品種水稻單株穗粒數(shù)和土壤鋅含量有關，現(xiàn)整理并收集了6組試驗數(shù)據(jù)，（單位：粒）與土壤鋅含量（單位：）得到樣本數(shù)據(jù)，令，并將繪制成如圖所示的散點圖.若用方程對與的關系進行擬合，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，，令，則與的回歸方程為，根據(jù)散點圖可知與正相關，因此，又回歸直線的縱截距小于0，即，得，所以，.故詵：C【變式5-1】（2023春·江蘇南通·高三海安高級中學?？茧A段練習）用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中；設，得變換后的線性回歸方程為，則（）A．B．70C．D．35【答案】C【解析】因為，所以，，即，所以.故選：C【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習）已知變量的關系可以用模型擬合，設，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下．由上表可得線性回歸方程，則（）x12345z2451014A．B．C．D．【答案】B【解析】由表格數(shù)據(jù)知，．即樣本中心點為，由，得，即，所以，即，可得，故選：B．【變式5-3】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）隨著全球新能源汽車市場蓬勃增長，在政策推動下，中國新能源汽車企業(yè)在10余年間實現(xiàn)了“彎道超車”，一躍成為新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年居世界第一的全球新能源汽車強國．某新能源汽車企業(yè)基于領先技術的支持，改進并生產(chǎn)純電動車、插電混合式電動車、氫燃料電池車三種車型，生產(chǎn)效益在短期內(nèi)逐月攀升，該企業(yè)在1月份至6月份的生產(chǎn)利潤y（單位，百萬元）關于月份的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點圖．月份123456收入（百萬元）6.88.616.119.628.140.0（1）根據(jù)散點圖判斷，與（，，，d均為常數(shù)）哪一個更適宜作為利潤關于月份的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的結果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關于的回歸方程；（3）該車企為提高新能源汽車的安全性，近期配合中國汽車技術研究中心進行了包括跌落、追尾、多車碰撞等一系列安全試驗項目，其中在實驗場進行了一項甲、乙、丙三車同時去碰撞實驗車的多車碰撞實驗，測得實驗車報廢的概率為0.188，并且當只有一車碰撞實驗車發(fā)生，實驗車報廢的概率為0.1，當有兩車碰撞實驗車發(fā)生，實驗車報廢的概率為0.2，由于各種因素，實驗中甲乙丙三車碰撞實驗車發(fā)生概率分別為0.7，0.5，0.4，且互不影響，求當三車同時碰撞實驗車發(fā)生時實驗車報廢的概率．參考數(shù)據(jù)：19.872.8017.50113.756.30其中，設，．參考公式：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【答案】（1）選用作為利潤關于月份的回歸方程更合適；（2）；（3）【解析】（1）散點圖中的點的分布不是一條直線，相鄰兩點在軸上的差距是增大的趨勢．故選用作為利潤關于月份的回歸方程更合適．（2）由，取對數(shù)可得，設，所以，，，，，所以，，所以，，即．（3）設事件為“實驗車報廢”，事件為“只有一車碰撞實驗車”，事件為“恰有兩車碰撞實驗車”，事件為“三車碰撞實驗車”，則由已知得，利用全概率公式得解得所以當三車同時碰撞實驗車發(fā)生時實驗車報廢的概率為0.5．題型六獨立檢驗性的概念理解【例6】（2023·全國·高二專題練習）為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠（可用小白鼠模擬人體受損程度）．在照射后14天內(nèi)的結果如表所示：死亡存活合計第一種劑量141125第二種劑量61925合計203050進行統(tǒng)計分析時的統(tǒng)計假設是______．【答案】電離輻射的劑量與人體受損程度無關【解析】根據(jù)獨立性檢驗知，應假設“電離輻射的劑量與人體受損程度無關”．【變式6-1】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若由一個列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得，則（）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．能有的把握認為這兩個變量有關系B．能有的把握認為這兩個變量沒有關系C．能有的把握認為這兩個變量有關系D．能有的把握認為這兩個變量沒有關系【答案】A【解析】因為，所以能有的把握認為這兩個變量有關系．故選：A【變式6-2】（2022·四川南充·高三統(tǒng)考期中）當前新冠病毒仍然肆虐，已經(jīng)成為全球性威脅．為了檢測某種新冠病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機抽取100只小白鼠進行試驗，得到如下2×2列聯(lián)表：則下列說法一定正確的是（）感染未感染總計注射104050未注射203050總計3070100附：（其中）．臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99.5%的把握認為“小白鼠有無被感染與是否注射疫苗有關”B．有99.5%的把握認為“小白鼠有無被感染與是否注射疫苗無關”C．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為“小白鼠有無被感染與是否注射疫苗無關”D．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為“小白鼠有無被感染與是否注射疫苗有關”【答案】D【解析】根據(jù)列聯(lián)表，，，所以有的把握認為“小白鼠有無感染與是否注射疫苗有關”，故選項A，B，C錯誤，D正確；故選：D.【變式6-3】（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考期中）已知兩個分類變量X，Y的可能取值分別為和，通過隨機調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，再整理成如下的2×2列聯(lián)表：10ab30若樣本容量為75，且，則當判斷X與Y有關系的把握最小時，a的值為（）A．5B．10C．15D．17【答案】C【解析】在兩個分類變量的列聯(lián)表中，當?shù)闹翟叫r，認為兩個分類變量有關的可能性越小.令，得，又樣本容量為75，，則，，化簡得，解得：，，又，.故選：C.題型七獨立性檢驗的綜合應用【例7】（2023春·湖南·高二校聯(lián)考期中）甲、乙兩地到某高校實施“優(yōu)才計劃”，即通過筆試，面試，模擬技能這3項考核程序后直接簽約一批優(yōu)秀畢業(yè)生，已知3項程序分別由3個考核組獨立依次考核，當3項考核程序均通過后即可簽約．2022年，該校數(shù)學系100名畢業(yè)生參加甲地“優(yōu)才計劃”的具體情況如下表（不存在通過3項程序考核放棄簽約的情況）：人數(shù)性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)男生3515女生4010今年，該校數(shù)學系畢業(yè)生小明準備參加兩地的“優(yōu)才計劃”，假定他參加各程序的結果相互不影響，且他的輔導員作出較客觀的估計：小明通過甲地的每項程序的概率均為，通過乙地的各項程序的概率依次為，，．（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷這100名畢業(yè)生去年參加甲地“優(yōu)才計劃”能否簽約與性別是否有關聯(lián)？（2）若小明通過甲、乙兩地的程序的項數(shù)分別記為X，Y，分別求出X與Y的數(shù)學期望．參考公式與臨界值表：，．0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】（1）認為這100名畢業(yè)生去年參加甲地“優(yōu)才計劃”能否簽約與性別無關（2），【解析】（1）列聯(lián)表：人數(shù)性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)合計男生351550女生401050合計7525100，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可認為這100名畢業(yè)生去年參加甲地“優(yōu)才計劃”能否簽約與性別無關；（2）由已知，小明通過甲地的每項程序的概率均為，所以X服從二項分布，即，∴，由題意：Y的可能取值為0，1，2，3，，，，．所以Y的數(shù)學期望．【變式7-1】（2023春·遼寧大連·高二大連二十四中校考期中）在年春節(jié)期間，為了進一步發(fā)揮電子商務在活躍消費市場方面的積極作用，保障人民群眾度過一個平安健康快樂祥和的新春佳節(jié)，甲公司和乙公司在某購物平臺上同時開啟了打折促銷、直播帶年貨活動，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競爭關系．（1）現(xiàn)對某時間段名觀看直播后選擇這兩個公司直播間購物的情況進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：選擇甲公司直播間購物選擇乙公司直播間購物合計用戶年齡段歲用戶年齡段歲合計請將表格補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇哪家直播間購物與用戶的年齡有關？（2）若小李連續(xù)兩天每天選擇在甲、乙其中一個直播間進行購物，第一天等可能地從甲、乙兩家中選一家直播間購物，如果第一天去甲直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為；如果第一天去乙直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為，求小李第二天去乙直播間購物的概率．參考公式：，其中．臨界值表：【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有，理由見解析；（2）【解析】（1）列聯(lián)表如下：選擇甲公司直播間購物選擇乙公司直播間購物合計用戶年齡段歲用戶年齡段歲合計所以，，所以，有的把握認為選擇哪家直播間購物與用戶的年齡有關.（2）記事件小李第一天去甲直播間，事件小李第二天去乙直播間，則，，，由全概率公式可得.因此，小李第二天去乙直播間購物的概率為.【變式7-2】（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）某市閱讀研究小組為了解該城市中學生閱讀與語文成績的關系，在參加市中學生語文綜合能力競賽的各校學生中隨機抽取了500人進行調(diào)查，并按學生成績是否高于75分（滿分100分）及周平均閱讀時間是否少于10小時，將調(diào)查結果整理成列聯(lián)表.現(xiàn)統(tǒng)計出成績不低于75分的樣本占樣本總數(shù)的，周平均閱讀時間少于10小時的人數(shù)占樣本總數(shù)的一半，而不低于75分且周平均閱讀時間不少于10小時的樣本有100人.周平均閱讀時間少于10小時周平均閱讀時間不少于10小時合計75分以下不低于75分100合計500（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出表格中和的值，并分析能否有以上的把握認為語文成績與閱讀時間是否有關；（2）先從成績不低于75分的樣本中按周平均閱讀時間是否少于10小時分層抽樣抽取9人進一步做問卷調(diào)查，然后從這9人中再隨機抽取3人進行訪談，記抽取3人中周平均閱讀時間不少于10小時的人數(shù)為，求的分布列與均值.參考公式及數(shù)據(jù)：.0.010.0050