【教師版】例析對(duì)一道函數(shù)題的理解分解拓展

解答綜合題就好比修理汽車，你不需要見所有的汽車，只要把各類零件和背后的原理弄清楚就可以了。

綜合題、難題分解，顧名思義，當(dāng)然是把綜合題、難題的題分解成：基本概念與應(yīng)用題；定理、公式

與結(jié)論的推導(dǎo)與研究過程的試題；或若干個(gè)簡單的解答題；

分解函數(shù)綜合題，必備：

教材中的幾類初等函數(shù)：正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、黑函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函

數(shù)、反三角函數(shù)、特殊函數(shù)(等差、等比數(shù)列；抽象函數(shù)、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù))；

分解工具：不等式性質(zhì)與不等式的解法；區(qū)間的定義與表示；

當(dāng)然，解答題的求解自然還會(huì)用到：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想與綜

合創(chuàng)新思維等;

典例：已知函數(shù)/(X)滿足：/(x+2)=2∕(x)+ɑ(0∈/?),

若川)=2,且當(dāng)x∈(2,4］時(shí),/(x)=2√-6x+ll.

(1)求”的值；

(2)當(dāng)x∈(0,2］時(shí)，求/(x)的解析式；并判斷"x)在(0,4］上的單調(diào)性(不需要證明)；

(3)設(shè)8(力=1082(2+^^~^),MX)=2cosx+%COS2x(x∈,

若≥g［∕z(x)］,求實(shí)數(shù)加的值.

【提示】

本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)：本題考查了換元法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)

性得出∕z(x)≥l,轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立，考查了分類討論的思想.

L已知函數(shù)/(X)滿足/(x+l)=2∕(x),且當(dāng)xe((),l］時(shí)，F(xiàn)(X)=X(X-I).函數(shù)g(x)=x2-x-3.若存在實(shí)

數(shù),使得g(b)+"α)=-2成立，則實(shí)數(shù)人的取值范圍為()

A.riFMl+f'2B.［-b2)

,1-不∣+√5萼，2

D.

2'2

2、已知函數(shù)g(x)=or+l,函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽且滿足/(x+2)=2f(x).當(dāng)xe[2,4]時(shí)，

-X2+4x,2≤x≤3

.若對(duì)任意王都存在使得"七)，則實(shí)數(shù)。的取值

/(x)=?√+2e[-2,0],x,e[-2,l],g(x,)=

?3<x≤4

IX

范圍為()

BJTqK

D.I-?,-?J?+∞

I4J18

19

3、已知函數(shù)y(x)的定義域?yàn)榉矟M足y(x)=4(x+2),且當(dāng)χe[-2,0)時(shí)，f(X)=X+-+-,若對(duì)任意的機(jī)

X4

∈[w,+∞),都有/(x)≤g,則加的取值范圍為

4、已知函數(shù)”x)對(duì)任意XeR滿足∕?(x+2)?"x)=2∕(l),且/(x)>0,若y=/(x—1)的圖像關(guān)于x=l

對(duì)稱，/(0)=1，則“2023)=.

5、已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)榉矟M足/(x+1)—2/(X)=0,當(dāng)x∈(0,l]時(shí)，/(x)=x2-x,

O

若對(duì)任意X?—8,加)，有f(x)≥-],則用的取值范圍是

6、已知函數(shù)y=∕(x),XeH滿足：對(duì)任意的XeR,/(x+2)=-2∕(x),且當(dāng)XWO,2］時(shí)，/(x)=l-∣x-l∣.

函數(shù)g(x)=Mx+4),;^7?.若函數(shù)曠=/(司-8(司在區(qū)間[-6,8]上共有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值

范圍是_____________________________________

7、已知函數(shù)y=∕(x)的定義域?yàn)镽,且滿足下列條件：(1)/⑴=3；(2)對(duì)于任意的“，VeR,總有

/(“+U)=/(〃)+/(V)-1；(3)對(duì)于任意的“，veR,u-v≠O,(M-V)[∕(M)-∕(V)]>0.

(1)求〃。)及F(T)的值；

(2)求證：函數(shù)g(x)="x)T為奇函數(shù);

(3)若/>-2,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

8、已知函數(shù)/(x)滿足/(x)+2/(-X)=X+〃?，∕n∈R.

(1)若，"=0,求/(2)的值；

(2)求證：f(x)=r+1;

(3)若對(duì)于任意x∈[l,e],都有/(x),,-qlnx-x+2成立，求機(jī)的取值范圍;

【教師版】例析對(duì)一道函數(shù)題的理解分解拓展

解答綜合題就好比修理汽車，你不需要見所有的汽車，只要把各類零件和背后的原理弄清楚就可以了。

綜合題、難題分解，顧名思義，當(dāng)然是把綜合題、難題的題分解成：基本概念與應(yīng)用題；定理、公式

與結(jié)論的推導(dǎo)與研究過程的試題；或若干個(gè)簡單的解答題；

分解函數(shù)綜合題，必備：

教材中的幾類初等函數(shù)：正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、嘉函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函

數(shù)、反三角函數(shù)、特殊函數(shù)(等差、等比數(shù)列；抽象函數(shù)、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù))；

分解工具：不等式性質(zhì)與不等式的解法；區(qū)間的定義與表示；

當(dāng)然，解答題的求解自然還會(huì)用到：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想與綜

合創(chuàng)新思維等；

典例：已知函數(shù)/(x)滿足：/(x+2)=2∕(x)+α(αeR),

若/⑴=2,且當(dāng)x∈(2,4]時(shí)，/(x)=2√-6x+ll.

(1)求”的值；

(2)當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，求〃x)的解析式；并判斷了(x)在(0,4]上的單調(diào)性(不需要證明)；

(設(shè)(

3)g(x)=log22+￡,∕?(x)=2cosx+mcosIxx

若yp(x)]≥g[Mx)],求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【提示】(1)根據(jù)題意，根據(jù)【抽象函數(shù)】/(x+2)=2∕(x)+α(a∈/?);

通過“取特殊值"，可得"3)=2"l)+α=4+a,再由【二次函數(shù)】/⑶=11即可,

得關(guān)于。的【方程】解之；

(2)設(shè)x∈(0,2],貝b+2e(2,4],代入/(x+2)=2∕(x)+7即可得出/(x)=』+χ,再由分段函數(shù)單調(diào)性

判斷方法即可求解；

(3)由(2)知，當(dāng)x>4時(shí)，/(x)>21,且由條件知，/(1)=2,根據(jù)g(x)的單調(diào)性可得∕z(x)≥l恒成立，

設(shè)CoSX=fe[O,l],只需不等式2H2+2-(W+1)≥0在fe[O,l]上恒成立，討論方的取值范圍即可求解；

【答案】(1)7；(2)/(x)=x2+x,單調(diào)遞增；(3)-1；

【解析】(1)由題意/(1)=2,所以J.(3)=2∕(l)+α=4+α,

又/(3)=2x32-6x3+11=11,

因?yàn)?+α=ll,所以”=7；

(2)設(shè)Xe(0,2|,則x+2e(2,4∣,

所以/(x+2)=2(x+2)2-6(x+2)+ll=2χ2+2χ+7,

又〃x+2)=2∕(x)+7,代入解得：/(x)=x2+χ.

顯然，〃尤)在(0,2],(2,4]上分別是單增函數(shù)，

又/(2)=6,而當(dāng)χτ?2+時(shí)，y→7,

因?yàn)?>6,所以7(x)在(0,4]上單調(diào)遞增;

(3)由(2)知，/(x)是區(qū)間(0,4]上單調(diào)遞增，

且XW(2,4]時(shí)，"4)=19,F(X)>7,

且當(dāng)x>4時(shí)，?xe(2n,2n+2](n≥2,n∈Z),則x-(2"-2)w(2,4],

∕W=2∕(X-2)+7=27(X-4)+7?(2+1)=27(X-6)+7?(22+2+1)

=...=2,,^l∕[x-(2∕j-2)]+7?(2n^2+2,,^3+???+2+l)

>7?2n^l+7?(2,,^2+2n^3+???+2+l)≥21

且由條件知，/(1)=2；

再看函數(shù)g(x)=log2(2+，j),

由2+Y?>0=>x>0,即定義域?yàn)?0,+∞),

3-1

4

且〉=2+$在(0,+8)上單減，

所以g(x)=log(2+「y)在(0,+oo)上單減，

又發(fā)現(xiàn)g⑴=2,所以/R(x)]≥g[∕7(x)]nMX)≥1恒成立,

gp2COSX+W(2COS2Λ-1)≥1??e-?,?上恒成立，

設(shè)COSX=t∈[0,1],

則不等式2加+2f-(,"+l)≥0在∕e[O,l]上恒成立，

①當(dāng)〃=70時(shí)，不等式化為2r-1≥0,顯然不滿足恒成立；

②當(dāng)相＞0時(shí)，當(dāng)t=0代入得—(帆+l)≥0,矛盾；

-(m+l)≥0m≤-?

③當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，只需=加二-1

2w+2-(∕n+l)≥0m≥-l

綜上，實(shí)數(shù),"的值為一1

本題解題的關(guān)耀點(diǎn)時(shí)：本題考查了換元法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)健是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)

性得出"G)≥1,轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立，考查了分類討論的思想.

1、已知函數(shù)“X)滿足/(x+l)=2∕(x),且當(dāng)XW(0,1]時(shí)，/(x)=x(X—1).函數(shù)g(x)=x2-X-3.若存在實(shí)

數(shù)”{-8,∣,使得g?+/(a)=—2成立，則實(shí)數(shù)6的取值范圍為()

',l-√51rl+√5C

A.T,-T-MM,2B.[-L2)

I-逐l+√5

2'2”.IM壬

【提示】先求分段函數(shù)的值域，?a∈(-∞,∣l,得-l≤∕(α)≤0,由存在實(shí)數(shù)”,

使得g(6)+"α)=-2成立得-2≤g(b)≤T,gp-2≤^-?-3≤-i,解得即可.

【答案】A

【解析】由函數(shù)/(x)滿足/(x+l)=2∕(x),

且當(dāng)Xe(0,1]時(shí)，/(x)=x(x-l)=(x-^)2-→-?,θ,

”0,2]時(shí)，X-1∈(0,l],/(Λ)?2∕(x-1)=2(x-l)(x-2)=2[(x-∣)2-?]∈-?,θ,

.?.Xe時(shí)，x—le0弓，/(x)=2〃x—1)=4(x-2)(x-3)=4KX-?^?)2—Ne[-1,0).

可得α∈y,∣]時(shí)，T≤f(a)≤(),

存在實(shí)數(shù)%使得8伍)+〃4)=-2成立，

只需一2-/(X)M≤g(h)<-2-f(X)min,

-2≤g(?)≤-l,即一2≤∕-b-3≤-l,

解得T≤b≤匕￡或上立4人2,

22

故實(shí)數(shù)8的取值范圍為TLf.

故選：A

2、已知函數(shù)g(x)=αr+l,函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽且滿足/(x+2)=2∕(x).當(dāng)x∈［2,4］時(shí)，

-X2+4x,2≤x≤3

/W=√+2.若對(duì)任意斗￡［-2,0］,都存在x,∈［-2,1］,使得g(w)=∕(x3則實(shí)數(shù)〃的取值

-------,3<x≤4

范圍為()

【提示】求出在［2,4］上的值域，利用/(x)的性質(zhì)得出/(x)在［-2⑼上的值域，再求出g(x)在上

的值域，根據(jù)題意得出兩值域的包含關(guān)系，從而解出。的范圍

【答案】D

f-x2+4x,2<x≤3

【解析】當(dāng)xw［2,4］時(shí)，/U)=√+2,可得/(可在［2,3］上單調(diào)遞減，在(3,4)上單調(diào)遞增，

I-------,3<x<4

所以“X)在［2,3］上的值域?yàn)椋?,4］,在(3,4)上的值域?yàn)?日,金，

所以/(x)在⑵4］上的值域?yàn)?,∣}

因?yàn)閒(x+2)=2∕(x),所以/(x)=g/(x+2)=:/(x+4),

所以/(x)在[-2,0]上的值域?yàn)橘ツ浚?/p>

_4θ√

當(dāng)?！?時(shí)，8。)為增函數(shù)，貝Uga)在上的值域?yàn)閇―2α+l,α+l],

I3

-≥-2a+↑

4

所以解得α≥J,

9O

一≤Q+1

18

當(dāng)“<0時(shí)，g(x)為減函數(shù)，貝Ilg(X)在[-2』]上的值域?yàn)閇α+l,-2α+l∣,

-≥a+?

解得“5

所以LE

18

當(dāng)a=0,g(x)為常函數(shù)，值域?yàn)閧1},不符合題意，

綜上，°的取值范圍為α≥J或αW-J,

故選：D

【說明】此題考查了分段函數(shù)的值域計(jì)算，集合的包含關(guān)系；

1Q

3、已知函數(shù)Hx)的定義域?yàn)榉矟M足外尸次什2),且當(dāng)X￡[—2,0)時(shí)，/(x)=x+-+-,若對(duì)任意的加

X4

∈[∕n,+°o),都有/(x)≤g,則加的取值范圍為

【提示】求出xe[-2,0)時(shí)，/(x)的值域，滿足/(χ)≤;,根據(jù)函數(shù)的定義，xe[0,2)時(shí)，滿足/(x)≤g,

同時(shí)可得x≥0時(shí)均滿足/(x)≤;,然后求得xe[T,-2)時(shí)的解析式，解不等式/(x)≤g得解集，分析后可

得加的范圍.

【答案】-}+8)

[解析人白-2,0)時(shí)，/(x)=x+L?在[-2,T上遞增，在[-l,?κo)上遞減，/。)€[-8,；],滿足/(幻4,

當(dāng)xw[0,2)時(shí)，x-2∈[-2,0),/(x)=^∕(x-2)∈[∣,-∞),滿足滿足/(x)≤<,

2o3

按此規(guī)律，XN2時(shí)，F(xiàn)(X)均滿足〃x)≤;,

29291

當(dāng)XE[YL2)時(shí)，/(x)=2∕(x÷2)=2(x+2)+—-+由2*+2)+--+-≤-,

x+22x+223

解得一4≤x≤—乎或一?^?≤x<一2,當(dāng)一半<工<一?時(shí)，/(?)>?.

34343

因此當(dāng)x≥-2時(shí)，都有/(x)≤g,

所以w≥-丹.

4

【說明】本題考查函數(shù)不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是依照周期函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的定義求出“X)在

［24,24+2)(丘心滿足/('抬:，在［-2,0)上直接判斷，求出1,-2)上的解析式，確定/(組4的范圍，

此時(shí)有不滿足/(χ)≤;的X出現(xiàn)，于是可得結(jié)論加的范圍.

4、已知函數(shù)〃x)對(duì)任意XeR滿足〃尤+2)?"x)=2"l),且"x)>0,若y=∕(x-l)的圖像關(guān)于X=I

對(duì)稱，/(O)=I,貝廳(2023)=.

【提示】根據(jù)條件可得，函數(shù)/(x)是周期為4的偶函數(shù)，即可得到

/(2023)=∕(4×505+3)=/(3),從而得到結(jié)果.

【答案】2；

【解析】因?yàn)閥=∕(χ-i)的圖像關(guān)于X=I對(duì)稱，所以y=∕(χ)的圖像關(guān)于X=O對(duì)稱，

即y=∕(χ)是偶函數(shù).

對(duì)于/(x+2)?"x)=2/⑴，令X=-I,可得/⑴f(T)=2"l),又/(x)>0,所以/(—1)=2,則

/⑴=∕(T)=2.所以函數(shù)"x)對(duì)VXeR滿足“x+2)?∕(x)=4.所以/(x+4)?"x+2)=4.

所以/(x)=∕(x+4),即f(x)是周期為4的周期函數(shù).

4

所以/(2023)=/(4×505+3)=/(3)=-=2.

故答案為：2

5、已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)樾臐M足/(x+l)-2〃X)=0,當(dāng)x∈(0,l］時(shí),/(x)=x2-x,

Q

若對(duì)任意xw(-w,m)，有/(x)≥-1,則,”的取值范圍是.

【提示】首先根據(jù)已知條件依次得到在X€(0,1］附近的區(qū)間，Λ?∈(l,2］、x∈(2,3］對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，然

后按其規(guī)律畫出函數(shù)的圖像，再根據(jù)不等式恒成立的意義與函數(shù)圖像即可求得實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

【答案】(一8，5］

【解析】因?yàn)椤皒+l)-2"x)=0,所以"x)=T"x+l).

所以x∈(-l,0］時(shí)，有x+l∈(0,l］.所以f(x)=Y(X+l)=gx(x+l).

因?yàn)椤皒+l)-2∕(x)=0,所以/(x)=2∕(x-l).

因?yàn)楫?dāng)Xe(0,l］時(shí)，/(x)=X2-X,

所以x∈(l,2］時(shí)，有x—lw(0,l］.所以f(x)=2f(x-l)=2(x-l)2—2(x—l)=2(x—l)(x-2)

所以x∈(2,3］時(shí)，有x-2w(0,l］.所以"X)=2"X-1)=2"(X-2)=22(X-2)(X-3)?

由此作出函數(shù)“x)的圖像如圖所示，

Q7R

由圖知，當(dāng)x∈(2,3］時(shí)，令21x-2)(x-3)=整理得(3x—7)(3x—8)=0,解得：χ=(或χ=∣.

o7

要使對(duì)VXW(Y?,%),有必有m≤w?

所以，”的取值范圍是(-8,g.

故答案為：卜8,(

【說明】解不等式的常見類型：

(1)一元二次不等式用因式分解法或圖像法；

(2)指對(duì)數(shù)型不等式化為同底的結(jié)構(gòu)，利用單調(diào)性解不等式；

(3)解抽象函數(shù)型不等式利用函數(shù)的單調(diào)性

6、已知函數(shù)y=∕(x),XdR滿足：對(duì)任意的XeR,/(X+2)=-2∕(Λ),且當(dāng)x∈［θ,2］時(shí)，/(x)=l-∣x-l∣.

函數(shù)g(x)=Mx+4),“€尺.若函數(shù)1=〃耳—8(力在區(qū)間［-6,8］上共有5個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)人的取值

范圍是_____________________________________

【提示】將問題轉(zhuǎn)化為“X)與g(x)在［-6,8］上有5個(gè)不同的交點(diǎn)，求解出分段函數(shù)/(X)在區(qū)間［-6,8］上

的解析式，進(jìn)而得到函數(shù)圖象；根據(jù)g(x)恒過(-4,0),采用數(shù)形結(jié)合的方式即可確定臨界值，進(jìn)而得到結(jié)

果.

【答案】(-∣5^??}

【解析】、=〃"-8(力在［-6,8］上共有5個(gè)不同的零點(diǎn)，

\/(勾與8(外在［-6,8］上有5個(gè)不同的交點(diǎn)，

當(dāng)Λ∈［-2,0］時(shí)，x+2∈［0,2］,.,.∕(x+2)=l-∣x÷l∣=-2∕(x),

???∕(χ)=-g+gk+ι∣,

-4+(k+"?r，卜6T]

OO

l-i∣x+3∣,x∈[-4,-2]

-→∣k+ι∣^∈[-2.o],

同理可得：/(χ)=?

1-∣Λ-ι∣,x∈[0,2]

-2+2∣x-3∣,x∈[2,4]

4-4∣x-5∣,x∈[4,6]

-8+8∣x-7∣,x∈[6,8]

由此可得/(X)在［-6,8］上圖象如下圖:

g(%)=A(%-4),.?.g(x)過定點(diǎn)(-4,0).

由圖象可知：當(dāng)丘(KK)或Z=&時(shí)，/(x)與g(x)在［F8］上有5個(gè)不同的交點(diǎn)

又A(U),8卜,一￡|,C(3,-2),

u

故答案為：(-∣`4)?}?

【說明】本題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⒘泓c(diǎn)個(gè)數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)

交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合的方式，利用函數(shù)圖象來求解結(jié)果；易錯(cuò)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求解.

7、已知函數(shù)y=∕(x)的定義域?yàn)镽,且滿足下列條件：(1)/0)=3；(2)對(duì)于任意的“，VeR,總有

，(“+?=/(“)+F(V)-1；(3)對(duì)于任意的”,veR,u-v≠O,(U-V)[∕(M)-∕(V)]>O.

(1)求/(O)及/(T)的值；

(2)求證：函數(shù)g(x)=∕(x)-1為奇函數(shù)；

(3)若求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【提示】(1)"=y=0得到"0)=1,取"=-l,v=l,貝!∣∕(T)=T,得到答案.

(2)變換得到/(?)=—/3)+2,計(jì)算g(r)=-g(x)得到證明.

⑶變換得至!∣/(2“)=2/(〃)—l,/[-￡|=0,證明函數(shù)單調(diào)遞增,將不等式轉(zhuǎn)化為yO巾,〃-|),

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到答案.

【答案】(1)/(0)=1,/(-1)-1；(2)證明見解析；⑶(7,1))(3,找)

【解析】⑴/(M+V)=∕(M)+∕(V)-1,取“=V=0,得到/⑼=/(0)+/(0)7,即"0)=1.

取“=