第04講4.3.1等比數(shù)列的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解等比數(shù)列的定義.會(huì)推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的問題.掌握等比中項(xiàng)的概念。②能根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的常用性質(zhì).能運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.。能應(yīng)用等比數(shù)列的定義判斷等比數(shù)列，會(huì)應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量的求解，能應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決與等比數(shù)列相關(guān)的問題知識(shí)點(diǎn)01：等比數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示()符號(hào)語言（或者）(為常數(shù)，，)知識(shí)點(diǎn)02：等比中項(xiàng)如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．即：是與的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)列?.【即學(xué)即練1】（2023秋·福建漳州·高二?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，∴．故選：D知識(shí)點(diǎn)03：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式一般地，對(duì)于等比數(shù)列的第項(xiàng)有公式.這就是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中為首項(xiàng)，為公比．知識(shí)點(diǎn)04：等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為1、當(dāng)或時(shí)，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；2、當(dāng)或時(shí)，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；3、當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列（）4、當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.【即學(xué)即練2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知為等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】A【詳解】當(dāng)公比且時(shí)，，，此時(shí)，，不遞增，充分性不成立，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，，顯然必要性成立.綜上所述：“”是“為遞增數(shù)列”的必要而不充分條件.故選：A知識(shí)點(diǎn)05：等比數(shù)列的判斷（證明）1、定義：（或者）（可判斷，可證明）2、等比中項(xiàng)法：驗(yàn)證（特別注意）（可判斷，可證明）3、通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證通項(xiàng)是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)（只可判斷）知識(shí)點(diǎn)06：等比數(shù)列常用性質(zhì)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和．（1）(2)若，則，其中.特別地，若，則，其中.(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為().(4)若數(shù)列，是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列，和(其中，，是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．【即學(xué)即練3】（2023秋·廣東深圳·高三校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則的公比（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【詳解】是等比數(shù)列，依題意，，所以.故選：B題型01等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用【典例1】（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則.【典例2】（2023春·北京東城·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，那么；數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【典例3】（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列．(1)若，，求的通項(xiàng)公式；(2)若，，，求n．【變式1】（2023春·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，且，則【變式3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．題型02等比中項(xiàng)【典例1】（2023秋·江蘇宿遷·高三?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則（

）A． B． C．或 D．【典例2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）若a，G，b成等比數(shù)列，則稱G為a和b的等比中項(xiàng)．(1)求45和80的等比中項(xiàng)；(2)已知兩個(gè)數(shù)和的等比中項(xiàng)是2k，求k．【變式1】（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則這個(gè)等比數(shù)列的公比是（

）A． B． C．2 D．4【變式2】（2023春·河南信陽·高二信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，函數(shù)的零點(diǎn)分別是，則（

）A．2 B． C． D．題型03等比數(shù)列的判斷與證明【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如果數(shù)列是等比數(shù)列，那么（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)（為常數(shù)，且），數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列．【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求的通項(xiàng)公式．【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中，，．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列中，，.證明：數(shù)列是等比數(shù)列；題型04等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列滿足.若，（

）A．24 B．32 C．36 D．40【典例2】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的最小值是（

）A．12 B．18 C．24 D．36【典例3】（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，與是方程的兩個(gè)根，則.【變式1】（2023秋·遼寧沈陽·高三新民市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，且，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知在等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【變式3】（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的值是．題型05構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式（構(gòu)造法求通項(xiàng)）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【典例3】（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．【變式1】（2023秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式.【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列滿足.(1)若，求證：為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)寫出該數(shù)列的前項(xiàng)；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.題型06等比數(shù)列在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用1．（2023秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形是一種分形，它的構(gòu)造方法如下：取一個(gè)實(shí)心等邊三角形（如圖1），沿三邊中點(diǎn)的連線，將它分成四個(gè)小三角形，挖去中間小三角形（如圖2），對(duì)剩下的三個(gè)小三角形繼續(xù)以上操作（如圖3），按照這樣的方法得到的三角形就是謝爾賓斯基三角形．如果圖1三角形的邊長(zhǎng)為2，則圖4被挖去的三角形面積之和是（

）

A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖1將線段等分為線段，如圖2.以為底向外作等邊三角形，并去掉線段，將以上的操作稱為第一次操作；繼續(xù)在圖2的各條線段上重復(fù)上述操作，當(dāng)進(jìn)行三次操作后形成如圖3的曲線.設(shè)線段的長(zhǎng)度為1，則圖3中曲線的長(zhǎng)度為（

）

A．2 B． C． D．33．（2023·北京·高三專題練習(xí)）“十二平均律”

是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為A． B．C． D．4．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）在第24屆北京冬奧會(huì)開幕式上，一朵朵六角雪花飄拂在國家體育場(chǎng)上空，暢想著“一起向未來”的美好愿景.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程，若第1個(gè)圖中的三角形的周長(zhǎng)為3，則第4個(gè)圖形的周長(zhǎng)為.

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．24 B．36 C．48 D．642．（2023秋·西藏林芝·高三?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·貴州黔東南·高二校考階段練習(xí)）數(shù)列1，1，1，…，1，…必為（

）A．等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 B．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列C．既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列4．（2023秋·河北石家莊·高三石家莊市第十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，，則（

）A． B． C．27 D．5．（2023秋·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則（

）A． B． C．12 D．366．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．7．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）分形幾何是一門新興學(xué)科，圖1是長(zhǎng)度為1的線段，將其三等分，以中間線段為邊作無底邊正三角形得到圖2，稱為一次分形；同樣把圖2的每一條線段重復(fù)上述操作得到圖3，稱為二次分形；……，則第5次分形后圖形長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．8．（2023秋·山東濰坊·高三校考階段練習(xí)）正項(xiàng)等比數(shù)列中，，若，則的最小值等于（

）A．1 B． C． D．二、多選題9．（2023春·山東淄博·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為4，且滿足，則（

）A．為等差數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．的前項(xiàng)和10．（2023秋·甘肅·高二?？茧A段練習(xí)）下列命題中，正確的有（

）A．?dāng)?shù)列中，“”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)為，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則C．等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則D．等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和為分別為，，若，則三、填空題11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則通項(xiàng)公式.12．（2023春·江西·高二統(tǒng)考期末）記等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則.四、解答題13．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列的滿足，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原來的順序組成數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．14．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．B能力提升1．（2023秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）0.618是無理數(shù)的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，是頂角為，底的第一個(gè)黃金三角形，是頂角為的第二個(gè)黃金三角形，是頂角為的第三個(gè)黃金三角形，是頂角為的第四個(gè)黃金三角形，那么依次類推，第2023個(gè)黃金三角形的周長(zhǎng)大約為（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）符號(hào)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足，，.若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·黑龍江大慶·高二校考期末）已如公比不為1的等比數(shù)列中，存在，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·上海靜安·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式（，為正整數(shù)）.(1)若，，成等差數(shù)列，求的值；(2)是否存在且為正整數(shù)）與，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說明理由.5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片