第八章二元一次方程組8.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組第1課時(shí)利用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠根據(jù)具體的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.（重點(diǎn)）2.學(xué)會(huì)利用二元一次方程組解決幾何、行程問(wèn)題.

（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

問(wèn)題引入

養(yǎng)牛場(chǎng)原有30只大牛和15只小牛，1天約用飼料675kg；一周后又購(gòu)進(jìn)12只大牛和5只小牛，這時(shí)1天約用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)每只大牛1天約需飼料18到20kg，每只小牛1天約需飼料7到8kg.你認(rèn)為李大叔估計(jì)的準(zhǔn)確嗎？講授新課

列方程組解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題一合作與交流問(wèn)題1

題中有哪些未知量，你如何設(shè)未知數(shù)？未知量:每頭大牛1天需用的飼料;每頭小牛1天需用的飼料.問(wèn)題2

題中有哪些等量關(guān)系？(1)30只大牛和15只小牛一天需用飼料為675kg;(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用飼料為940kg.設(shè)未知數(shù)：設(shè)每頭大牛和每頭小牛平均1天各需用飼料為xkg和ykg，解:設(shè)每頭大牛和小牛平均1天各需用飼料為xkg和ykg，根據(jù)等量關(guān)系，列方程組：答:每頭大牛和每頭小牛1天各需用飼料為20kg和5kg，飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)每天大牛需用飼料18到20千克，每頭小牛一天需用7到8千克與計(jì)算有一定的出入.

+

=675,

+

=940.30x15y42x20y解方程組：x=

,

y=

.205劇情發(fā)展：隨著養(yǎng)牛場(chǎng)規(guī)模逐漸擴(kuò)大，李大叔需聘請(qǐng)飼養(yǎng)員協(xié)助管理現(xiàn)有的42頭大牛和20頭小牛，已知甲種飼養(yǎng)員每人可負(fù)責(zé)8頭大牛和4頭小牛，乙種飼養(yǎng)員每人可負(fù)責(zé)5頭大牛和2頭小牛，請(qǐng)問(wèn)李大叔應(yīng)聘請(qǐng)甲乙兩種飼養(yǎng)員各多少人？解：設(shè)李大叔應(yīng)聘請(qǐng)甲種飼養(yǎng)員x人，乙種飼養(yǎng)員y人，則：

+

=42,

+

=20.8x5y4x2y解得：x=4y=2答：李大叔應(yīng)聘請(qǐng)甲種飼養(yǎng)員4人，乙種飼養(yǎng)員2人.典例精析例1

某市舉辦中學(xué)生足球比賽，規(guī)定勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分.市第二中學(xué)足球隊(duì)比賽11場(chǎng)，沒(méi)有輸過(guò)一場(chǎng)，共得27分，試問(wèn)該隊(duì)勝幾場(chǎng)，平幾場(chǎng)？分析：題中的未知量有勝的場(chǎng)數(shù)和平的場(chǎng)數(shù)，等量關(guān)系有：勝的場(chǎng)數(shù)+平的場(chǎng)數(shù)=11；勝場(chǎng)得分+平場(chǎng)得分=27.勝場(chǎng)平場(chǎng)合計(jì)場(chǎng)數(shù)得分x3xyy1127解：設(shè)市第二中學(xué)足球隊(duì)勝x場(chǎng)，平y(tǒng)場(chǎng).依題意可得8y3xy3答：該市第二中學(xué)足球隊(duì)勝8場(chǎng)，平3場(chǎng).x通過(guò)上述兩題，總結(jié)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟解題小結(jié)：用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：(1)審題：弄清題意和題目中的_________；(2)設(shè)元：用___________表示題目中的未知數(shù)；(3)列方程組：根據(jù)___個(gè)等量關(guān)系列出方程組；(4)解方程組：利用__________法或___________解出未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)并答：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義，然后作答.總結(jié)歸納數(shù)量關(guān)系字母2代入消元加減消元法練一練1：某城市規(guī)定：出租車(chē)起步價(jià)所包含的路程為0～3km，超過(guò)3km的部分按每千米另收費(fèi).甲說(shuō)：“我乘這種出租車(chē)走了11km，付了17元.”乙說(shuō)：“我乘這種出租車(chē)走了23km，付了35元.”請(qǐng)你算一算：出租車(chē)的起步價(jià)是多少元？超過(guò)3km后，每千米的車(chē)費(fèi)是多少元？分析本問(wèn)題涉及的等量關(guān)系有：

總車(chē)費(fèi)=0～3km的車(chē)費(fèi)(起步價(jià))+超過(guò)3km的車(chē)費(fèi).解設(shè)出租車(chē)的起步價(jià)是x元,超過(guò)3km后每千米收費(fèi)y元.

根據(jù)等量關(guān)系,得解這個(gè)方程組，得答：這種出租車(chē)的起步價(jià)是5元，超過(guò)3km后每千米收費(fèi)1.5元.起步價(jià)超過(guò)3km后的費(fèi)用合計(jì)費(fèi)用甲乙xx（11-3）y（23-3）y1735練一練2：今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．牛、羊各直金幾何？牛五、羊二牛二、羊五5頭牛、2只羊共價(jià)值10兩“金”；2頭牛、5只羊共價(jià)值8兩“金”.問(wèn)每頭牛、每只羊各價(jià)值多少“金”？題目大意

解:設(shè)每頭牛值“金”x兩,每只羊值“金”y兩,

由題意,得5x+2y=10,2x+5y=8.答:羊值“金”兩,牛值“金”兩.據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:2．現(xiàn)要把一塊長(zhǎng)200m、寬100m的長(zhǎng)方形土地，分為兩塊小長(zhǎng)方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4？請(qǐng)?zhí)崛?shù)學(xué)信息列方程組解決幾何問(wèn)題二轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言：ADCB已知：長(zhǎng)方形ABCD，AB=CD=200m，AD=BC=100m，長(zhǎng)方形ABCD分割為兩個(gè)小長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形1和長(zhǎng)方形2分別種甲、乙作物，甲、乙單位面積產(chǎn)量的比是1:2.目標(biāo)：甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4這里研究的實(shí)際上是

什么

問(wèn)題.分析把一個(gè)長(zhǎng)方形分成兩個(gè)小長(zhǎng)方形有哪些分割方式？01豎著畫(huà)，把長(zhǎng)分成兩段，則寬不變02橫著畫(huà)，把寬分成兩段，則長(zhǎng)不變長(zhǎng)方形的面積分割我們可以畫(huà)出示意圖來(lái)幫助分析試著畫(huà)一畫(huà)01豎著畫(huà)，把長(zhǎng)分成兩段，則寬不變ADCFBE1.大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=200m2.甲、乙兩種作物總產(chǎn)量比=3:4等量關(guān)系式有幾個(gè)？分析01豎著畫(huà)，把長(zhǎng)分成兩段，則寬不變ADCFBE1.大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=200m2.甲、乙兩種作物總產(chǎn)量比=3:4分析設(shè)AE＝xm，BE＝y(tǒng)m.先求出兩種作物的面積SAEFD=100xSEFCB=100y再寫(xiě)出兩種作物的總產(chǎn)量甲：100x×1乙：100y×2則列方程為

100x:200y=3:4總產(chǎn)量=？1:2xy200m100如何設(shè)未知數(shù)呢？則列方程為x+y=200單位面積產(chǎn)量×面積01豎著畫(huà)，把長(zhǎng)分成兩段，則寬不變ADCFBE根據(jù)題意列方程組為

100x:200y=3:4xy200m100m解答x+y=200解得x=120y=80你覺(jué)得該如何答題比較完整呢？甲種作物乙種作物解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，交CD于點(diǎn)F.設(shè)AE＝xm，BE＝y(tǒng)m.

答：將這塊土地分為長(zhǎng)120m,寬100m和長(zhǎng)100m,寬80m的兩個(gè)小長(zhǎng)方形分別種植甲、乙兩種作物.

02橫著畫(huà)，把寬分成兩段，則長(zhǎng)不變ADCBExyFx+y=100乙種作物甲種作物解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，交BC于點(diǎn)F.

設(shè)DE＝xm，AE＝y(tǒng)m.200x:400y=3:4200y200xx=60y=40解得解答根據(jù)題意列方程組為

200m100m答：將這塊土地分為長(zhǎng)200m,寬60m和長(zhǎng)200m,寬40m的兩個(gè)小長(zhǎng)方形分別種植甲、乙兩種作物.

練一練：8塊相同的小長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，每塊小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少?（單位cm）60x+y=60x=3y解:設(shè)小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為x,寬為y,

由題意,得解此方程組得：x=45,y=15.答:小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為45cm,寬為15cm.列方程組解決行程問(wèn)題三

小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路.假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學(xué)校需10min，從學(xué)校到家里需15min.問(wèn)小華家離學(xué)校多遠(yuǎn)？分析：小華到學(xué)校的路分成兩段，一段為平路，一段為下坡路.平路：60m/min下坡路：80m/min上坡路：40m/min走平路的時(shí)間+走下坡路的時(shí)間=________，走上坡路的時(shí)間+走平路的時(shí)間=_______．路程=平均速度×?xí)r間1015方法一（直接設(shè)元法）平路時(shí)間坡路時(shí)間總時(shí)間上學(xué)放學(xué)解：設(shè)小華家到學(xué)校平路長(zhǎng)xm，下坡路長(zhǎng)ym.根據(jù)題意，可列方程組：解方程組，得所以，小明家到學(xué)校的距離為700m.方法二（間接設(shè)元法）平路距離坡路距離上學(xué)放學(xué)解：設(shè)小華下坡路所花時(shí)間為xmin,上坡路所花時(shí)間為ymin.根據(jù)題意，可列方程組：解方程組，得所以，小明家到學(xué)校的距離為700m.故平路距離：60×（10-5）=300（m）

坡路距離：80×5=400（m）

例2

甲、乙兩人相距4km，以各自的速度同時(shí)出發(fā).如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，兩人0.5h后相遇.試問(wèn)兩人的速度各是多少？典例精析分析：對(duì)于行程問(wèn)題，一般可以借助示意圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，可以更加直觀(guān)的找到相等關(guān)系.（1）同時(shí)出發(fā)，同向而行甲出發(fā)點(diǎn)乙出發(fā)點(diǎn)4km甲追上乙乙2h行程甲2h行程甲2h行程=4km+乙2h行程（2）同時(shí)出發(fā)，相向而行甲出發(fā)點(diǎn)乙出發(fā)點(diǎn)4km相遇地甲0.5h

行程乙0.5h

行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km解：設(shè)甲、乙的速度分別為xkm/h,ykm/h.根據(jù)題意，得解方程組，得答：甲的速度為5km/h,乙的速度為3km/h.練一練：我國(guó)的長(zhǎng)江由西至東奔騰不息，其中九江至南京約有450千米的路程，某船從九江出發(fā)9個(gè)小時(shí)就能到達(dá)南京；返回時(shí)則用多了1個(gè)小時(shí).求此船在靜水中的速度以及長(zhǎng)江水的平均流速.解：設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，長(zhǎng)江水的平均流速為y千米/時(shí).

答：輪船在靜水中的速度為47.5千米/時(shí)，長(zhǎng)江水的平均流速為2.5千米/時(shí).1.計(jì)劃若干節(jié)車(chē)皮裝運(yùn)一批貨物.如果每節(jié)裝15.5噸，則有4噸裝不下，如果每節(jié)裝16.5噸，則還可多裝8噸.問(wèn)有多少節(jié)車(chē)皮？多少?lài)嵷浳铮?/p>

解：設(shè)有x節(jié)車(chē)皮，y噸貨物，根據(jù)題意列出方程組得y=15.5x+4，y=16.5x-8（以下部分由同學(xué)們完成）當(dāng)堂練習(xí)2.某班有40名同學(xué)看演出，購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種票共用去370元，其中甲種票每張10元，乙種票每張8元.請(qǐng)問(wèn)甲種和乙種票各多少?gòu)?？解得答：甲種票25張，乙種票15張.3.課本中介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》上有這樣的一道題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各多少只？解得答：雞有23只，兔有12只.4.有甲、乙兩數(shù)，甲數(shù)的3倍與乙數(shù)的2倍之和等于47，甲數(shù)的5倍比乙數(shù)的6倍小1，這兩個(gè)數(shù)分別是多少？解得答：甲數(shù)為10，乙數(shù)為.5.甲、乙兩店共有練習(xí)本200本，某月甲店售出19本，乙店售出97本后，甲、乙兩店所剩的練習(xí)本數(shù)目相等，則甲店和乙店原有練習(xí)本各多少？解得答：甲店原有練習(xí)本61本，乙店原有練習(xí)本139本.6.某船順流航行36km用3h，逆流航行24km用3h，則水流速度和船在靜水中的速度各是多少？解得答：船在靜水中的速度為10km/h，水流速度為2km/h.隔壁聽(tīng)到人分銀，不知人數(shù)不知銀。每人五兩多六兩，每人六兩少五兩。多少人數(shù)多少銀？解：設(shè)有x個(gè)人，y兩銀，由題意得：

5x+6=y6x-5=y7.古有一捕快，一天晚上他在野外的一個(gè)茅屋里，聽(tīng)到外邊來(lái)了一群人在吵鬧，他隱隱約約地聽(tīng)到幾個(gè)聲音，下面有這一古詩(shī)為證：解得：

x=11

y=61答：有11個(gè)人，61兩銀.8.甲、乙兩人都