2023屆高三年級第一次模擬考試

文科數(shù)學(xué)

考生注意：

L答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題K答案』后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的K答案X標(biāo)號涂黑.

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他K答案H標(biāo)號.回答非選擇題時，將K答案X寫在

答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,已知集合P={RT<x<2},Q={x∣0<x<3},那么PUQ=()

A(-1,3)B.(0,2)C.(-1,0)D.(1,3)

K答案UA

K解析D

R祥解11由集合并集的定義即可得到結(jié)果.

K詳析H因?yàn)镻={x∣-l<x<2},Q={x∣O<x<3},

所以PUQ={x∣T<x<3}.

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)Z=含，則忸=()

A.√2B.6C.√5D.√10

K答案HC

K解析H

K樣解》根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)Z,可得其共規(guī)復(fù)數(shù)，根據(jù)模的計(jì)算可得K答案』.

K詳析H復(fù)數(shù)Z=2=0+ι)(l-ι)=2-i,故W=2+i,

1+12

所以同=V22+12=y/5，

故選：C

3.某大型企業(yè)開發(fā)了一款新產(chǎn)品，投放市場后供不應(yīng)求，為了達(dá)到產(chǎn)量最大化，決定增加生產(chǎn)線.經(jīng)過一

段時間的生產(chǎn)，統(tǒng)計(jì)得該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線條數(shù)X與月產(chǎn)量y（件）之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

X46810

y30406070

由數(shù)據(jù)可知X,＞線性相關(guān)，且滿足回歸直線方程$=法+1,則當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線為12條時，預(yù)計(jì)月

產(chǎn)量為（）

A.73件B.79件C.85件D.90件

K答案』c

K解析H

R祥解》根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出樣本中心點(diǎn)，再代入回歸直線方程，即可求出參數(shù)b的值，從而得到回歸直線

方程，最后將X=I2代入計(jì)算可得.

-1_1

R詳析2解：依題意可得X=W（4+6+8+10）=7,＞-=-（30+40+60+70）=50,

因?yàn)榛貧w直線方程9=bx+l必過樣本中心點(diǎn)）,即5（）=7H1,解得人=7,所以e=7x+l,

當(dāng)x=12時9=7x12+1=85,

故當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線為12條時，預(yù)計(jì)月產(chǎn)量為85件.

故選：C

Λ+3≥0,

4.若實(shí)數(shù)X,y滿足約束條件＜x-2y+?≤Q,則z=y-x的最大值為（）

2x+y+2≤0,

A.1B.2C.6D.7

K答案，D

K解析H

R祥解》根據(jù)不等式組作出可行域，結(jié)合直線縱截距的幾何意義求解.

K詳析D作出可行域如下，

由z=y-x可得y=x+z,結(jié)合Z幾何意義可知，

當(dāng)直線V=X+z經(jīng)過點(diǎn)B(-3,4)時,縱截距Z有最大值,

最大值為4-(-3)=7,

故選:D.

5.函數(shù)/(X)=的大致圖象為()

∣4x^-1|

R解析』

K祥解》首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再利用特殊值判斷即可.

6%_6_%

K詳析X解：對于函數(shù)/(x)=G,則解得即函數(shù)的定義域?yàn)?x∣xw±g

K-1I

6—-6'6x-6-χΛA

又/(x6-6^

T)-f(),即/(x)L，為奇函數(shù),函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,

4(-X)2-1K-1I4x2-1

故排除A；

當(dāng)x>g時6'-6->0，∣4∕一”>0,所以/(χ)>0,故排除B；

2233

6-6-2593626(.6-6^9331

且"2)=2

∣4×22-1Tθ8^1512,八^^∣4X3-1∣^1512

即〃3)>∕(2),故排除D.

故選：C

C，八兀)COSβ

6.設(shè)α,∕∈0,彳，且tana=;~~^―,則()

V2Jl+sιn^

TrTrTrTr

A.3a—β--B.2a-β=3C.3a+β――D.2a+∕7=/

K答案HD

K解析D

K祥解1根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到Sina+sinasin/7=CoSaCO,再根據(jù)兩角和的余弦公式

及誘導(dǎo)公式得到cos(a+/?)=,再根據(jù)a、夕的范圍判斷即可.

cosBsinacosβ...八C

K詳析X解：因?yàn)閠ana=?;-；~~-,所以-----=-—：~~-,即Sma+smasιn∕J=coSaCOS/，

1+sinpCOSal+sιnp

即sina=cosacos/一sinasin/=cos(a+∕?),

即cos(a+/?)=Sina=CoS(W—a)，

因?yàn)閍,p∈(θ,T),所以a+∕J∈(0,7i),

ITTΓ

所以a+，=]—a,即2a+/?=].

故選：D

7.已知圓柱GO2的下底面圓°?的內(nèi)接正三角形A8C的邊長為6,P為圓柱上底面圓O上任意一點(diǎn)，若三

棱錐尸-ABC的體積為12√J,則圓柱QQ的外接球的表面積為()

A.36πB.64πC.144πD.252π

K答案，B

K解析』

K祥解》求出底面內(nèi)接正三角形.ABC外接圓的半徑及一ABC的面積，設(shè)圓柱的母線長為/,根據(jù)圓錐的

體積公式求出/,則圓柱外接球的半徑K=Jr2+(3],即可求出外接球的表面積.

K詳析D解：如圖，因?yàn)槭沁呴L為6的正三角形，則其外接圓的半徑2r=」一，解得廠=26，

s?n60°

又S='x62sin60°="x62=9G，

ABC24

設(shè)圓柱的母線長為/,則V~A8C=;SABC?∕=gx9Gx∕=12G,解得/=4,

所以圓柱。。2的外接球的半徑R=產(chǎn)+[IY=^(2√3)2+22=4，

故選：B

8.在直三棱柱ABC-ABCl中，AB13C，且AB=BC=2,若直線4片與側(cè)面AAGC所成的角為：，

6

則異面直線48與AC所成的角的正弦值為()

A?B.@C.旦D.E

2322

K答案HD

K解析D

K樣解D建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)B4=α(α>0),利用線面角的向量求法求出。的值，再求異面直線所

成角即可.

K詳析H因?yàn)橹比庵?3C-AtBtCi,所以，底面ABC,

又因?yàn)锳BIBC,所以8A,8C,84兩兩垂直,

以BA,BC,BBl為X,XZ軸建立如圖所示坐標(biāo)系,

設(shè)64=α(α>0),則A(2,0,0),4(2,0,。)，4(0,0,α),C(0,2,0),

所以鉆1=(-2,0,4),A41=(0,0,α),AC=(—2,2,0),

設(shè)平面AAxCxC的法向量n=(x,%z),

AA?h=az=01

則V,解得〃=(1,1,0),

AC-n=-2x+2y=0

AB1?n2_1

所以直線AB1與側(cè)面AAlCtC所成的角的正弦值sin?=cos(AS,.n)=

AB11|?14+/X7∑2

解得Q=2，

所以4(2,0,2),AB=(-2,O,—2),

設(shè)異面直線A1B與AC所成的角為氏

/?AB-AC41

則cosθ=cos(AB,AC)=--i--∏-----=——尸=一

、'AiB??AC√8×√82

所以異面直線48與AC所成的角的正弦值為J—cos?夕=走

2

故選：D

■

c/?Qx—1,X≥1,

9.已知函數(shù)"x)=<2在R上單調(diào)，則〃的取值范圍是()

—X+2x+l,x≤l

A.(1,3)B.(1,3]C.(3,-κχ))D.[3,+∞)

R答案』D

K解析D

K祥解》根據(jù)/(x)在R上的單調(diào)性列不等式，由此求得”的取值范圍.

K詳析Hy=-∕+2χ+i的開口向下，對稱軸是直線X=1,

所以函數(shù)y=-/+2χ+l在(-oo,l)上單調(diào)遞增，

依題意可知，/(x)在R上單調(diào)遞增,

a>?

所以《解得ɑ≥3,

√-l≥-l2+2×l+l

所以。的取值范圍是［3,M).

故選：D

10.以拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F為端點(diǎn)的射線與C及C的準(zhǔn)線/分別交于A,8兩點(diǎn)，過8且平行于X

軸的直線交C于點(diǎn)P,過A且平行于X軸的直線交/于點(diǎn)Q,且IAQl=g,則尸的周長為()

A.16B.12C.10D.6

K答案DB

K解析H

K祥解D因C:y2=4x,則∕7(l,0),準(zhǔn)線為尤=一1.由∣AQ∣=g,可得A坐標(biāo)，直線AF方程，進(jìn)而可得

B,尸坐標(biāo)，后由兩點(diǎn)間距離公式及拋物線定義可得R答案』.

R詳析D因C:y2=4x,則F(l,0),準(zhǔn)線為x=-l.

由IAQl=g,如圖，設(shè)A(X,y),則χ+l=g,得χ=g,則

2√3

得直線AF方程：-?=二一=>?=-√3(x-1),

X111

——1

3

代入二一1,得3(τ,2g),

將y=26代入y2=4x,可得尸(3,26).

則周長=IFBl+IpFl+IPw

則歸耳=√22+12=4,?PF?=IM=4.故CPBF=12?

故選：B

11.已知雙曲線。：=一4=1（。＞0）＞0）左、右焦點(diǎn)分為￡,居，左、右頂點(diǎn)分別為A1,4,點(diǎn)M,

a'b^

N在），軸上，且滿足OM+2ON=0（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.直線M4∣,MA2與C的左、右支分別交于另外兩點(diǎn)

P,Q,若四邊形PQF2耳為矩形，且P,N,4三點(diǎn)共線，則C的離心率為（）

L3

A.3B.2C.∕3D.一

λ2

K答案7A

K解析員

R祥解D由四邊形P。居耳為矩形，可得Q（c,—久），P（-c,設(shè)N（0,〃），則歷（0,—2〃），由P,N,A

aa

h2h2

三點(diǎn)共線，可得〃=-」一,由尸，M,4三點(diǎn)共線，可得2〃二"一,即可得c=3α,從而得R答案D.

a+ca-c

K詳析》解:如圖所示：

設(shè)N（0,〃），則M（O,-2〃），

X=C[χ=C

由“χ2y2，可得<b1,

F—T=Iy=--

Va-b-a

取Q(c,-匕),

a

同理可得P(-c,-?^),

a

又因?yàn)?(一α,0),4(α,0),P,N,A?三點(diǎn)共線,

h2

n_n

所以“Cl，%A%=

-a

a+c

所以n_

a+c

b2

所以〃=-

α+c

P,M1A三點(diǎn)共線,

2n

所以“a'^MA

ia

c—a

b2

所以72n,

h2

所以2〃=

a-c

又因?yàn)?=-0

a-3t-c

2b2b2

所以-

a+ca-c

即有-2-=，1

a+ca—c

所以C=3〃，

所以e='=3.

a

故選：A.

12.已知實(shí)數(shù)”,b,C滿足a=ln(2&a),Z?=In,c=lnc÷e-l,且(2α-l)(3∕?—I)(C-e)≠0,

則（）

A.c<a<hB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

K答案HA

R解析H

R祥解D由題意可得a-lna=；—In；,∕?-In力=g-lng,c-lnc=e-lne,構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-lnx,

再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得出R答案Il.

R詳析》解：因?yàn)?2a—1)(38—I)(C-e)。()，所以αwgsNg,*e,

因?yàn)棣?In(2&a)=ln2+g+lnα,所以a—lnα=g-Ing,

因?yàn)閆?=In=ln3+』+lnb,所以b-ln〃=』-InL

333

因?yàn)镃=InC+e-l,所以C-InC=e-lne,

令/(X)=x-Inx,則∕<x)=1-?=-~~-(Λ>0),

當(dāng)O<x<l時,∕,(x)<O,當(dāng)χ>l時，∕<x)>O,

所以函數(shù)/(x)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增,

所以/(x)min="l)=l,

又當(dāng)X>0,X→0時，/(x)f+∞,當(dāng)X→+8,/(χ)f+oo,

由此作出函數(shù)/(X)的大致圖象如圖所示,

因?yàn)槌?/伍)=/(；卜'⑹=/⑻且"1”；cwe,

則由圖可知〃OVCV1,

所以CVa</?.

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知正六邊形ABCz)EF的邊長為2,則AB?OE=.

K答案R-6

R解析』

K祥解D根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)，求出向量的模長以及夾角，利用平面向量的定義式，可得K答案》.

詳析》由題意，作圖如下：

在正六邊形ABCDE尸中，易知ZEr)E=30°，AB=ED，NFDC=9G,ZDFC=30°>

則ED與。尸的夾角為150，即F)=I50,

在RtZXDRC中，DF=--------=2√3,

tan30

ABDF^EDDF=?EΓ^?DF?-COS(ED,DF^=-6.

故K答案』為：—6.

14.已知圓C∣,C2的圓心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑分別為1與5.若圓C的圓心在X軸正半軸上，且與圓C,C2

均內(nèi)切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

K答案F(%-2)2+∕=9

R解析】

K祥解D依題意求出圓心的橫坐標(biāo)與半徑，即可得解.

K詳析』解：依題意可知圓心。的橫坐標(biāo)為二乂二。=2,半徑為5一(7)=3,

22

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)2+J=9.

故K答案H為：(X-2)2+√=9.

/TT1兀2兀Tr

15.已知/(x)=sin(3x+°)M〈J為奇函數(shù)，若對任意αe,存在萬e，滿足

/(α)+/(萬)=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

TT2冗

K答案》[0,_].{—}

R解析1

"羊解Il根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得夕=0,再根據(jù)題意推得。,夕的關(guān)系式，結(jié)合。,尸的范圍，即可求得K答

案》.

K詳析》因?yàn)?(x)=sin(3x+e)[M<5)為奇函數(shù)，

故?(-x)=-/(x),.,.sin(-3x+(p)=-sin(3x+φ),

即cos3xSino=0,由于xe^R,故sin°=O,則9=?π,k∈Z,

由于MIV故°=。，所以/(x)=Sin3x,

由/(0)+F(分)=0,可得sin3a=-sin3∕?,

Jr2〃Tr

即34=3a+π+2Zτu,.,.β=a+-+-?-Λ∈Z

或34=-3α+2E,.,.β=-a+—^―,Z∈Z,

JT9JΓIT

對任意QG-，存在0W-3'。，滿足/(。)+/(尸)=。，

兀,c兀2Aπ,,π2kπ,八4π2kπ,.,.

故——≤∕J=α+-+----<a,則rl一+----≤0,α≥--------------,ZeZ,攵rr取負(fù)值，

9333393

2兀

則只能Z=—1,此時a=—,

9

7t?2&TT_.∕ciL7t227Γ_._TC

或——≤β=—a+----<a,則一≤a≤-+-----M1∈Z,則0<a≤-,

933939

綜合可得α=一77?；騉≤α47ΓL,

99

TT2兀

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是［0,—］、，

99

Ti2ττ

故K答案U為：［0々］{---}

99

16.如圖，已知AB為圓。的直徑，EC=BC=BD=DF，A5=4,則六邊形AJECB。尸的周長的最大值

K解析X

K祥解》連接所，DC,BE,設(shè)NE4B=α,CZG(O,5),ADFB=ADBF=β,先證明。=26,

再求得Ab=4cosa,ED=4sin分，則六邊形AECB力產(chǎn)的周長C為關(guān)于￡的函數(shù)，進(jìn)而求得最值即可.

K詳析D連接Eδ,DC,BE,

由石C=BC=B￡>=￡>尸，則EC=BC=BD=DF,

設(shè)N∕?B=α,α∈(θ,]J,ADFB-ZDBF-β,

則ZD8C=2x[5-a+/?],/BDF=τι-2β,

又ZDBC=NBDF,得a=20,

在直角AE4β中，由AB=4，貝IJAF=4cos0,8F=4sin0,

BFFD4sinaFD

在△￡￡出中，由正弦定理有一7一忘=~~^，即一F----T=一得/。=4sin∕?,

sm(π-2p)sinβsιn[π-a)sinβ

所以六邊形AECB。產(chǎn)的周長為C=2AF+4FZ>=8COSa+16sin∕J=8cos2∕J+16sinβ

2

?8(1-2sin2^)+16sin∕?=-16∣^sin+12,

1Ti

故當(dāng)Sin/?=：,即，=W時，C取得最大值，且最大值為12.

26

所以六邊形AECBO尸的周長的最大值為12.

H點(diǎn)石成金D關(guān)鍵點(diǎn)F點(diǎn)石成金』：本題的關(guān)鍵是將六邊形AECBD尸的周長和邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為周長和角的

關(guān)系.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.在數(shù)列｛4｝中，4=1,也一%=2".

π+ln

(1)設(shè)仇=,，求數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)CZI=竺生二國±?,且數(shù)列｛c,,｝的前〃項(xiàng)和為若￡=2，求正整數(shù)Z的值.

aa

n,,+i63

R答案』(1)bn=2"-l

(2)k=5

K解析D

K祥解II(I)依題意可得6"-a=2",利用累加法求出數(shù)列抄“｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)可得1),即可得到?ι=J-——?-,利用裂項(xiàng)相消法求出刀,，即可得到方

程，解得即可.

R小問1詳析】

解：因?yàn)椋?1,也一%=2",且a=%，

n+1n〃

所以%=2",

當(dāng)〃=1時a=/=1,

當(dāng)〃≥2時blt=(?-?.l)+?.+(仇—4)+偽

1_on

=2,,-'++2+1=-----=2,'-l.

1-2

又〃=1時也符合上式,

所以包=2"—L

K小問2詳析一

解：由⑴可知a=4=2"-1,所以為="?(2"-1),

n

所以q,二竺』土迎?+111

aaa

nn+↑n

111

所以T=I-H—-----------+-------

22-l22-l2,-l

則7；—,解得k=5.

63

18.某出租車公司為推動駕駛員服務(wù)意識和服務(wù)水平大提升，對出租車駕駛員從駕駛技術(shù)和服務(wù)水平兩個方

面進(jìn)行了考核，并從中隨機(jī)抽取了IOO名駕駛員，這IOO名駕駛員的駕駛技術(shù)與性別的2x2列聯(lián)表和服務(wù)

水平評分的頻率分布直方圖如下，已知所有駕駛員的服務(wù)水平評分均在區(qū)間［76,100］內(nèi).

駕駛技術(shù)優(yōu)秀非優(yōu)秀

男2545

女525

評分

（1）判斷能否有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān);

(2)從服務(wù)水平評分在［92,96),［96,100］內(nèi)的駕駛員中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)

抽取3人，求這3人中恰有2人的評分在［92,96)內(nèi)的概率.

附：K2-----、/“("1)------r`其中〃=α+匕+c+d?

(α+b)(c+d)(α+C)S+d)

2

P(κ≥ko)0.100.0500.010

k。2.7063.8416.635

K答案X(1)沒有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)，理由見K解析》

⑵-

5

R解析D

K祥解D(1)計(jì)算出卡方，與3.841比較后得到相應(yīng)結(jié)論；

(2)先根據(jù)頻率之和為1得到α=0.040,從而得到評分在［92,96),［96,100］內(nèi)的駕駛員人數(shù)比例，及

兩個區(qū)間各抽取的人數(shù)，利用列舉法求出概率.

K小問1詳析》

100×(25×25-45×5)2

K2≈3.628<3.841

70×30×30×70

沒有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān);

K小問2詳析』

0.010×4×2+0.055×4+0.065×4+0.070×4+4tz=l,

解得：α=0.040,

故服務(wù)水平評分在［92,96),［96,100］內(nèi)的駕駛員人數(shù)比例為0.040:0.010=4:1,

故用分層抽樣的方法抽取5人中，［92,96)內(nèi)有4人，設(shè)為“,瓦。,4,［96,100］內(nèi)有1人，設(shè)為A,

再從這5人中隨機(jī)抽取3人，共有以下情況：

(a,Z?,c),(a,0,d),(a,0,A),(a,c,d),(a,c,A),(a,d,A)，3，c,d),(Z?,c,A)，3，d,A),(Gd,A),共10種情

況，

其中這3人中恰有2人的評分在［92,96)的有(。力,4),(。,。,4),(。,6/,4),(。,64),伍,4,4),(444),6

種情況,

故這3人中恰有2人的評分在［92,96)內(nèi)的概率為2.

19.在如圖所示的六面體ABC-AAga中，平面ABe//平面42gC∣,AAyHCCx,BC=2B∣C∣,

Λβ=2ΛlDl.

A

(1)求證：AC//平面BBQ；

(2)若4C,BC,CG兩兩互相垂直，AC=2,CC1=3,求點(diǎn)A到平面BCA的距離.

K答案Il(I)證明見K解析』

(2)-√10

K解析H

R祥解W(I)取AB的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)連BlF,EF,利用面面平行的性質(zhì)定理推出

ACllBQ?,再利用線面平行的判定定理可證結(jié)論成立；

(2)以。為原點(diǎn)，CA,C8,CG所在直線分別為X,χz軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)到面的距離的向量

公式可求出結(jié)果.

R小問1詳析』

取AB的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)/，連D∣E,BiF,EF，

A

在六面體ABC-A24&中，因?yàn)槠矫鍭Bc〃平面HAdG,平面ABC平面ABOA=AB,平面

ClC平面ABqa=42，所以AB∕∕AQ∣,

同理可得BC〃4G,

因?yàn)镋1分別是AB，BC的中點(diǎn)，且45=2AA,BC=2BiCi,

所以AIE)I//AE,∕llD1=AE,B1C1/ICF,ZJ1C1=CF,

所以四邊形AEA4是平行四邊形，四邊形。尸四￡是平行四邊形，

所以A4,∕∕EA,CC1//FB1,又已知A4∣∕∕CC∣,所以EDJ∕FB∣,則E,F,6],01共面，

因?yàn)槠矫鍭BCH平面ΛtDiBlCl,平面ABC^平面EFBR=EP,平面A1D1B1C1n平面EFB1D1=B1D1,

所以EF∕∕gq,

又￡,尸分別是AB，BC的中點(diǎn)，EFHAC,

所以AC/∕BQ∣,

因?yàn)锳Ca平面BBQ,BQIU平面BBQ,

所以AC//平面BB1O1；

K小問2詳析F

因?yàn)锳C,BC,Cc兩兩互相垂直，所以以C為原點(diǎn)，C4,CB,CG所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系：

則C(0,0,0),A(2,0,0),設(shè)BC=f,則B(O/0),D1(l,∣,3),

Aβ=(-2√,0).CB=(0√,0),CD1=(1,∣,3),

設(shè)平面的一個法向量為〃=(x,Kz),

n?CB=Zy=0

則《則y=。，取z=l,則x=-3,n=(-3,0,1),

n?CDl=Λ÷-γ÷3z=0

所以點(diǎn)A到平面BCDl的距離為=Y==-√W.

HI√9T15

20.已知函數(shù)〃%)=(X-I)e"+"x2?

(1)若a<—g,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)若關(guān)于X的不等式〃*"］/+公，+4。在［0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

K答案D(I)單調(diào)遞增區(qū)間為(-℃,0)和(ln(-2α),+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,ln(-2α))；

(2)a≤--.

5

K解析D

K祥解》(1)求導(dǎo)后，解不等式/‘(》)〉0可得增區(qū)間，解不等式r*)<o可得減區(qū)間；

1,2a

(2)先由X=O時不等式成立，f?<2≤——>再將不等式化為(X-I)e`+αx~—§X—ɑe`-4α≥0,構(gòu)造函

2

?^(?)=(X-l)et+ax2--x3-aer-4a,利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，代入可解得結(jié)果.

K小問1詳析工

f'(x)=e*+(?-l)e`+2ax=x(e'+2α),20<-1,

令/'(x)=0,得X=O或X=In(-2α)>0,

令/'(X)>0，得XCO或x>ln(-2α),令/'(X)<0,得0<x<ln(-2a),

所以函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(In(-2a),+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,In(—20).

K小問2詳析)

關(guān)于X的不等式/(x)≥§d+αe`+4.在［0,+8)上恒成立，

2r

即(X-l)e?'÷ax1"^^χ3-ɑe`-4〃≥0在［0,+8)上恒成立，

當(dāng)龍=O時，得一1一54i(),即α≤-J,

2

令g(%)=(x-l)e'+Cix^—M_QeA_4-cι,

g'(x)=e?+(?-l)ex+2ax-2x2—QeA=(X—Qxer_2x),

因?yàn)閤≥O,a<-^?,所以x-α>(),

設(shè)h{x}=ev-Ix,則h'(x)=ex-2,

令/(x)<O,得χ<ln2,令〃'(x)>O,得x>ln2,

所以h(x)=e`-2x在(-∞,ln2)上為減函數(shù)，在(In2,+∞)上為增函數(shù),

所以∕ι(x)≥Mln2)=e∣n2-21n2=2-21n2>0,即e*—2x>0，

所以g'(x)>O,所以g(χ)在［0,+紡)上為增函數(shù)，

所以g(O)=-l-5αN0,即α≤-g.

22

21.已知橢圓E:f+方=l(α>b>O)的離心率為點(diǎn)P(0,1)在短軸AB上，且∕??P6=-2?

(1)求E的方程；

(2)若直線Ly=依+m(MHθ)與E交于C,。兩點(diǎn)，求.OeD(點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值.

22

K答案，(1)—+^=1；

43

(2)√3.

K解析H

K祥解Il(I)由題知α=2c,A(0,—0),3(0,。)，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得=3,再根據(jù)

02=/一。2即可求得。2=4,進(jìn)而得R答案以

(2)設(shè)。(西,X),。(々,力)，進(jìn)而聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，弦長公式得

4√3√4?2-nz2+3

?CD?=y∣]+k2,再求得原點(diǎn)O到直線I的距離即可計(jì)算,OCD的面積

4r+3

2:

-∣-3—tτr)1fτr,再根據(jù)基本不等式求解即可.

SOCD=2下>

4/+3

R小問1詳析』

解:因?yàn)闄E圓E:1+=l(4>6>0)的離心率為，,

Q-

C1

所以一二—,即Q=2C,

a2

因?yàn)辄c(diǎn)P（O,1）在短軸AB上，且「A?PB=-2,

2

所以A（0,—h）,B（0S）,Λ4=（0,-?-1）,PB=（0,?-1）,JR4?PB=1-^=-2,解得^=3,

因?yàn)椤?=∕—C?=3c',所以/=1，ο2=4>

22

所以，E的方程為2+二=1；

43

K小問2詳析』

解：設(shè)C（Xl,%）,。（工2，%）

y=kx+m

22

聯(lián)立方程〈xy得（4攵2+3）/+8knr+4∕/-12=0,

143

所以A=64%2z√-4（4攵2+3）（4加2一12）=16*12人2—48加2+144>0,即4%2_m2+3>（）,

匚匚「ISkm4m2-12

所以…=-互寸也=GTT

64公療一4（4病-12）（4/+3）

所以，IC￡）|=Jl+k^^J（X1+%）-4X]%=?/l÷k2

（4公+3）2

=…縹/

in

因?yàn)樵c(diǎn)。到直線/的距離為d

?+k2

∣∣22行J（4∕+3-，叫癡

所以‘2√3m√4^-m+3

4k2+3'4二+3

（4公+3-m2）÷m

布,當(dāng)且僅當(dāng)4代+3—∕√=2,即4^+3=2∕√時等號成立,

*/+3—nz

所以，OCD（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值為由.

（二）選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多