第三節(jié)二次函數與一元二次方程、不等式【課程標準】1.從函數觀點看一元二次方程:會結合一元二次函數的圖象,判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數,了解函數的零點與方程根的關系.2.從函數觀點看一元二次不等式:(1)經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程,了解一元二次不等式的現實意義.能借助一元二次函數求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(2)借助一元二次函數的圖象,了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯(lián)系.知識梳理·思維激活【必備知識

精歸納】1.一元二次不等式只含有____個未知數,并且未知數的最高次數是___的不等式,稱為一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均為常數,a≠0).2.二次函數的零點一般地,對于二次函數y=ax2+bx+c,我們把使ax2+bx+c=0的實數x叫做二次函數的零點.點睛二次函數的零點為對應方程的根,是一個實數,不是點的坐標.一23.二次函數與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應關系(其中a>0)判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數y=ax2+bx+c的圖象方程ax2+bx+c=0的根有兩個不相等的實數根x1,x2(x1<x2)沒有實數根判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0ax2+bx+c>0的解集______________________ax2+bx+c<0的解集___________??{x|x<x1,或x>x2}

R

{x|x1<x<x2}點睛1.解一元二次不等式一定要結合二次函數開口方向和不等號的方向下結論,防止取反.2.若關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(m,n),則x=m與x=n為方程ax2+bx+c=0的兩個根.

教材改編結論應用易錯易混1,24,53,6C

B

A

B

C6.(遺漏k=0的情況)已知對于任意實數x,kx2-2x+k>0恒成立,則實數k的取值范圍是(

)A.k>1 B.-1<k<1C.k<-1 D.k>-1A

核心題型·分類突破A

A【方法提煉】——自主歸納,老師指導1.解一元二次不等式的步驟(1)將二次項系數化為正數;(2)計算判別式;(3)求出對應的一元二次方程的根,或根據判別式說明方程沒有根;(4)根據解的情況,結合不等號的方向畫圖;(5)寫出不等式的解集.

(2)(2023·福州模擬)已知a∈R,函數f(x)=2x2+ax-a,解關于x的不等式f(x)≥x2.【方法提煉】求解含有參數的不等式的解題策略1.若二次項系數為常數,則需先將系數化為正數,再考慮分解因式,對兩個根的大小進行討論;若不易分解因式,可考慮對判別式進行討論.2.若二次項系數為參數,則應先考慮二次項系數為0的情況,再考慮系數不為0的情況.若能分解因式,需對兩個根的大小進行討論;若不易分解因式,可考慮對判別式進行討論.

D

ABC

【方法提煉】——自主完善,老師指導一元二次不等式與方程的關系解題策略1.一元二次方程的根就是相應一元二次函數的______,也是相應一元二次不等式解集的______值.2.給出一元二次不等式的解集,相當于知道了相應二次函數圖象的______方向及與x軸的______,可以利用代入根或利用根與系數的關系求解.零點端點開口交點

C

答案:[2,10)

角度2

在給定區(qū)間上的恒成立問題[典例5]已知二次函數f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x+2,且f(x)的圖象經過點A(1,-6).(1)求f(x)的解析式;(2)若x∈[-2,2],不等式f(x)≤mx恒成立,求實數m的取值范圍.【方法提煉】——自主歸納,老師指導一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法(1)最值轉化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,則函數y=f(x)在集合A中的最小值大于0;若f(x)<0在集合A中恒成立,則函數y=f(x)在集合A中的最大值小于0.(2)分離參數法:把不等式化為a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)max或a<f(x)min.(3)數形結合法:根據圖象列出約束條件求解.

B

D

D

A

【方法提煉】——自主完善,老師指導一元二次不等式在給定區(qū)間上的有解問題解題策略(1)分離參數法:把不等式化為a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>_______或a<_______(注意不等號方向是否改變).(2)最值轉化法;若f(x)>0在集合A中有解,則函數y=f(x)在集合A中的最____值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,則函數y=f(x)在集合A中的最____值小于0.(3)數形結合法:根據圖象列出約束條件求解.(4)最后一定要注意檢驗區(qū)間的開閉.f(x)minf(x)max大小

D

D

A題型四一元二次不等式的實際應用[典例7]汽車在行駛中,由于慣性的作用,剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住,這段距離稱為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要指標.在一個限速為40km/h的彎道上,甲、乙兩輛汽車相向而行,發(fā)現情況不對,同時剎車,但還是相碰了.事后現場勘查測得甲車的剎車距離略超過12m,乙車的剎車距離略超過10m,又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速v(km/h)分別有如下關系式:s1=0.1v+0.01v2,s2=0.05v+0.005v2.問:甲、乙兩輛汽車是否有超速現象?【解析】因為甲種車型的剎車距離s(m)與車速v(km/h)的關系式:s1=0.1v+0.01v2,所以由題意可得:s1=0.1v+0.01v2>12?v2+10v-1200>0?v>30或v<-40(舍去),即v>30,當v=40時,s1=0.1×40+0.01×1600=20>12,顯然甲汽車沒有超速現象;因為乙種車型的剎車距離s(m)與車速v(km/h)的關系式:s2=0.05v+0.005v2,所以由題意可得:s2=0.05v+0.005v2>10?v2+10v-2000>0?v>40或v<-50(舍去),即v>40,因此乙汽車有超速現象.【方法提煉】一元二次不等式的實際應用問題解題策略(1)審題要慢,把題干轉化成數學模型,列出正確的關系式;(2)結合實際,寫出自變量的取值范圍;(3)解不等式或求最值時,一定要在定義域范圍內求解.【對點訓練】

某旅店有200張床位.若每張床位一晚上的租金為50元,則可全部租出;若將出租收費標準每晚提高10x元(x為正整數),則租出的床位會相應減少10x張.若要使該旅店某晚的收入超過12600元,則每張床位的出租價格可定在什么范圍內?【解析】設該旅店某晚的收入為y元,則y=(50+10x)(200-10x),x∈