2024屆湖南省教育聯(lián)盟高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試卷（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．1 D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．下圖為某商家2023年1月至10月某商品的月銷售量，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．這10個(gè)月的月銷售量的中位數(shù)為28B．這10個(gè)月的月銷售量的平均數(shù)為31C．這10個(gè)月的月銷售量的第75百分位數(shù)為34.5D．前5個(gè)月的月銷售量的方差大于后5個(gè)月的月銷售量的方差4．設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是棱上的點(diǎn)，且滿足，平面，則的值是（

）A． B． C． D．5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列（其公比）的前項(xiàng)積為，設(shè)甲：，乙：有最大值，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．若，則（

）A． B． C． D．7．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與C交于兩點(diǎn)，若為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且，則ABD的面積為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若，且，恒有，則正實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A．B．C．D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)得0分．9．一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，過(guò)球心作一截面，如圖所示，則截面的可能圖形是（

）A． B． C． D．10．如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），與y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，則（

）A．圓C的方程為B．圓C與圓的相交弦所在直線方程為C．D．11．已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的取值可能為（

）A． B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．甲、乙、丙、丁共四名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，決出第1名到第4名的名次，已知甲不是第1名，乙不是第4名，則這4個(gè)人名次排列的可能情況共有種．13．若數(shù)列滿足，，則的最小值是．14．已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，其中A，B分別為的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若以B為頂角的等腰恰好有3個(gè)，則直線AB的斜率的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15．在中，已知．(1)求角C的大小；(2)若，，試判斷的形狀并說(shuō)明理由．16．如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，D，E分別為AB，的中點(diǎn)，若，平面ABC⊥平面．(1)求證：CD⊥平面；(2)若三棱柱的體積為4，求直線AE與平面所成角的正弦值．17．某電視臺(tái)綜藝節(jié)目邀請(qǐng)甲、乙兩位好友參加了“心有靈犀、竟猜謎語(yǔ)”活動(dòng)：即從5個(gè)謎語(yǔ)中隨機(jī)抽取個(gè)，讓甲負(fù)責(zé)比劃，乙負(fù)責(zé)猜謎語(yǔ)．已知甲會(huì)比劃其中3個(gè)謎語(yǔ)，這3個(gè)謎語(yǔ)乙猜對(duì)的概率都為，另外2個(gè)不會(huì)比劃的謎語(yǔ)乙無(wú)法猜對(duì)．(1)求甲、乙配合猜對(duì)1個(gè)謎語(yǔ)的概率；(2)設(shè)甲、乙配合猜對(duì)謎語(yǔ)個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．設(shè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比等于，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與C的右支相交于A，B兩點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，試判斷點(diǎn)是否在直線上，并說(shuō)明理由．19．已知函數(shù)．(1)若是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；(2)若存在三個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍．1．D【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，解得，所以|.故選：D．2．A【分析】由題意解對(duì)數(shù)不等式結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域、交集的概念即可得解.【詳解】由，得，所以又因?yàn)?，所?故選：A．3．B【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，百分位數(shù)定義計(jì)算判斷A,B,C選項(xiàng)，根據(jù)波動(dòng)性判斷D選項(xiàng)即可.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，這10個(gè)月的月銷售量的中位數(shù)為，A錯(cuò)誤；這10個(gè)月的月銷售量的平均數(shù)為，B正確;根據(jù)百分位數(shù)的定義可知，則這10個(gè)月的月銷售量的第75百分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)36，C錯(cuò)誤；由圖形可知，前5個(gè)月的月銷售量的波動(dòng)小于后5個(gè)月的月銷售量的波動(dòng)，所以前5個(gè)月的月銷售量的方差小于后5個(gè)月的月銷售量的方差，D錯(cuò)誤.故選:B．4．C【分析】由題意得，進(jìn)一步，由此可列出出關(guān)于的方程求解.【詳解】

由平面，平面平面，平面，得，因?yàn)?，于是，則，解得.故選：C．5．A【分析】根據(jù)題意，求得，得到，反之有最大值，列出不等式組，得到不一定為，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，且，可得，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以有最大值；若有最大值，則，因?yàn)?，所以，所以不一定?故選：A．6．D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，則.故選：D．7．C【分析】根據(jù)拋物線的定義，得到直線AD與拋物線的準(zhǔn)線垂直，再由，得到點(diǎn)A，D的坐標(biāo)，再由A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由求解．【詳解】解：如圖所示：

不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由題設(shè)及拋物線定義知，直線AD與拋物線的準(zhǔn)線垂直．因?yàn)椋?，即，又焦點(diǎn)F（1，0），由A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線可得，，故．故選：C．8．B【分析】設(shè)，將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)其單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為成立，繼續(xù)構(gòu)造函數(shù)求最值即可.【詳解】不妨設(shè)，又，則，所以，即恒成立，故單調(diào)遞減，則恒成立，即．當(dāng)時(shí)，成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，故單調(diào)遞增，由得恒成立，即成立．設(shè)，，則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，所以.故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過(guò)將不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而可以構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題，常見(jiàn)的變形有.9．ACD【分析】根據(jù)截面平行于側(cè)面；截面過(guò)體對(duì)角線；截面不平行于側(cè)面不過(guò)體對(duì)角線三種情況得到答案.【詳解】當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)側(cè)面時(shí)得C；當(dāng)截面過(guò)正方體的體對(duì)角線時(shí)可得D；當(dāng)截面既不過(guò)體對(duì)角線又不與任一側(cè)面平行時(shí)，可得A；但無(wú)論如何都不能截得B．故選：ACD10．AC【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓上待定系數(shù)法求解判斷A選項(xiàng),根據(jù)兩圓作差判斷B選項(xiàng),應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算判斷C,D選項(xiàng).【詳解】由圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），可設(shè)圓C的方程為，所以，所以圓C的方程為，故A正確；圓C與圓O的方程相減得，此方程即為其相交弦所在直線方程，故B錯(cuò)誤；設(shè)為圓O上任意一點(diǎn)，則，所以，所以，，故C正確，D錯(cuò)誤，故選:AC．11．ACD【分析】根據(jù)的單調(diào)性、對(duì)稱性求得的范圍以及的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)以及圖象進(jìn)行分類討論，由此求得的可能取值.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，，所以，因?yàn)?，所以，又，如下圖依次討論對(duì)應(yīng)為點(diǎn)四種情況，若，則，滿足；若，則，滿足；由，若，則，滿足；若，則，不滿足，其它情況均不符合.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)或，如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，則這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度不大于半周期.形如的條件，可以考慮對(duì)稱性或周期性.形如的條件，可以考慮對(duì)稱性（零點(diǎn)）.12．14【分析】先分類，考慮乙是第1名和不是第1名兩種情況討論，再由特殊元素優(yōu)先分步計(jì)數(shù).【詳解】直接法：當(dāng)乙是第1名時(shí)，甲、丙、丁共3名同學(xué)有種排法；當(dāng)乙不是第1名時(shí)，先排乙、甲，再排丙，丁，4名同學(xué)共有種排法，所以這4個(gè)人名次排列共有14種．間接法：這4個(gè)人名次排列的可能情況共有種．故答案為：1413．##【分析】利用累加法求得，利用基本不等式求得的最小值.【詳解】由已知，，…，，，所以，又也滿足上式，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是．故答案為：14．【分析】根據(jù)已知條件，的第三個(gè)頂點(diǎn)C在以B為圓心，以為半徑的圓上,結(jié)合題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橢圓與圓有四個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立方程可得，結(jié)合已知條件確定，進(jìn)而求得取值范圍為即可.【詳解】由題意知的第三個(gè)頂點(diǎn)C在以B為圓心，以為半徑的圓上，要使以B為頂角的等腰恰好有3個(gè)，則需要滿足橢圓與圓有四個(gè)公共點(diǎn)；由，得，所以或；當(dāng)時(shí)，橢圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為左右頂點(diǎn)，當(dāng)C位于右頂點(diǎn)處滿足條件；當(dāng)時(shí)，要滿足橢圓與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，需要，即，即，且，，解得，因?yàn)椋?，所以，所以直線AB的斜率的取值范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求橢圓與圓有四個(gè)公共點(diǎn)去解決.15．(1)(2)直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）已知等式，由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式倍角公式化簡(jiǎn)得，可求角C的大小；（2）設(shè)，則，，中，由正弦定理得，由，化簡(jiǎn)得，得，．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由，有，則，所以，得，故．（2）由，可知．設(shè)，則，．在中，，由正弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，即，因?yàn)?，所以，所以，．故是直角三角形?6．(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）根據(jù)面面空間垂直性質(zhì)定理及線面垂直判定定理證明即可；（2）空間向量法求解線面角即可.【詳解】（1）因?yàn)镈，E分別為，的中點(diǎn)，是正方形，所以，因?yàn)?，，平?平面,所以平面，故．

因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面，平面平面，且平面，所以平面ABC，平面ABC,故．因?yàn)槠矫?，平?所以平面．（2）由三棱柱中的體積為4可得．以DA所在直線為x軸，過(guò)D作AB的垂線為y軸，DC所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（－1，0，0），C（0，0，2），，E（－1，1，0），．

設(shè)平面的法向量為，由得?。O(shè)直線AE與平面所成角為，則．故直線AE平面所成角的正弦值為．17．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)抽中甲會(huì)比劃的謎語(yǔ)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)概率計(jì)算公式求得正確答案.（2）的可能取值為，由此根據(jù)概率計(jì)算公式求得分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)“抽中甲會(huì)比劃的謎語(yǔ)的個(gè)數(shù)為”為事件，“乙猜對(duì)的謎語(yǔ)的個(gè)數(shù)為”為事件，“甲乙配合猜對(duì)1個(gè)謎語(yǔ)”為事件．甲乙配合猜對(duì)1個(gè)謎語(yǔ)，則，所以甲乙配合對(duì)1個(gè)謎語(yǔ)的概率為．（2）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為，，，，．所以的分布列為X023P數(shù)學(xué)期望．18．(1)(2)點(diǎn)在直線上，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程，化簡(jiǎn)即可得到曲線C的方程；（2）由，求得，分和與軸不垂直，兩種情況討論，設(shè)直線，聯(lián)立方程組求得，進(jìn)而求得，即可求解.【詳解】（1）由動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比等于，可得，化簡(jiǎn)得，故所求曲線C的方程為．（2）點(diǎn)在直線上．因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，由題設(shè)得，解得，當(dāng)軸時(shí)，，，代入有，所以點(diǎn)在直線上，當(dāng)AB不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是，因?yàn)榍€C的漸近線的斜率為，且直線AB與曲線C的右支相交于兩點(diǎn)，所以，聯(lián)立方程組，整理得，此時(shí)，可得，則，同理．于是，，所以，所以點(diǎn)在直線上．.【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問(wèn)題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問(wèn)題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過(guò)定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).19．(1)(2)．【分析】（1）依題意恒成立，分、、三種情況討論，當(dāng)時(shí)求出，由求出參數(shù)的取值范圍；（2）由可得為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若是函數(shù)的零點(diǎn)，推出也是函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合（1）可得，從而得到存在，使得，即可得到的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到在上存在唯一零點(diǎn)，即可得到有三個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，由，得到，從而得到，即可求出參數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由題設(shè)知恒成立．若，當(dāng)且，，不符合題意；若，則，滿足題意；若，令，則，令，得．當(dāng)時(shí)，則即單調(diào)遞減，時(shí)，則即單調(diào)遞增，故的最小值為．由題設(shè)知，即．綜上可知的取值范圍是．（2）因?yàn)椋允呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)．若是函數(shù)的零點(diǎn)，即，則，即是函數(shù)的零點(diǎn)，故函數(shù)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，且它們互為倒數(shù)．由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，因此，即在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)也只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上