壓軸小題10迎刃而解平面解析幾何綜合問題壓軸壓軸秘籍點到直線的距離公式點，直線，點到直線的距離為：兩條平行線間的距離公式，，直線與圓的位置關(guān)系直線，圓代數(shù)關(guān)系，幾何關(guān)系圓上一點的切線方程圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為，設(shè)圓的半徑為，兩圓的圓心距為若，兩圓外離，若，兩圓外切，若，兩圓內(nèi)切若，兩圓相交，若，兩圓內(nèi)含，若，同心圓兩圓外離，公切線的條數(shù)為4條；兩圓外切，公切線的條數(shù)為3條；兩圓相交，公切線的條數(shù)為2條；兩圓內(nèi)切，公切線的條數(shù)為1條；兩圓內(nèi)含，公切線的條數(shù)為0條；弦長公式，直線與圓交于A，B兩點，設(shè)，，有：則或：橢圓離心率，雙曲線離心率，橢圓焦點三角形的面積公式（橢圓上一點與兩焦點組成的三角形叫做焦點三角形）雙曲線焦點三角形面積公式：拋物線（焦點在x軸上）焦點弦相關(guān)結(jié)論，直線A,B過拋物線（焦點在x軸上）焦點與拋物線交于A，B兩點，設(shè)，有6.橢圓離心率求解的5種常用方法公式1:公式2:變形證明:公式3:已知棚圓方程為,兩焦點分別為,設(shè)焦點三角形,,則橢圓的離心率證明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以橢圓兩焦點及橢圓上任一點(除長軸兩端點外)為頂點,則證明:由正弦定理有.公式5:點是橢圓的焦點,過的弦與橢圓焦點所在軸的夾角為為直線的斜率,且.,則當(dāng)曲線焦點在軸上時,注:或者而不是或7.雙曲線離心率求解的5種常用方法公式1:公式證明:公式3:已知雙曲線方程為兩焦點分別為,設(shè)焦點三角形,則證明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以雙曲線的兩個焦點及雙曲線上任意一點除實軸上兩個端點外)為頂點的,則離心率證明:由正弦定理,有即又公式5:點是雙曲線焦點,過弦與雙曲線焦點所在軸夾角為為直線斜率,,則,當(dāng)曲線焦點在軸上時,注:或者而不是或8.橢圓中的阿基米德三角形設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦為AB,過A，B兩點做橢圓切線，交于Q點，稱△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦AB繞著定點Pm,0轉(zhuǎn)動時,則其所對頂點Q落在直線x=a2m上.

其中,當(dāng)P點為左(右)焦點時9.雙曲線中的阿基米德三角形設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1a,b>0的弦為AB,過A，B兩點做雙曲線切線，交于Q點，稱△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦AB繞者定點Pm,0轉(zhuǎn)動時,則其所對頂點Q落在直線x=a2m上.

其中,當(dāng)P點為左(右)焦點時10.拋物線中的阿基米德三角形拋物線的弦為AB,過A，B阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)的定點C,則另一頂點Q的軌跡為一條直線若直線l與拋物線沒有公共點，以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點(若直線l方程為:ax+by+c=底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為a3若阿基米德三角形的底邊過焦點,頂點Q的軌跡為準(zhǔn)線,且阿基米德三角形的面積最小值為p在阿基米德三角形中,∠AF?拋物線上任取一點I(不與A,B重合),過I作拋物線切線交QA,QB于S,T,連接AI,BI,則△壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、單選題1．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知是雙曲線的左?右焦點，為雙曲線上兩點，滿足，且，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得，結(jié)合勾股定理運算求解.【詳解】延長與雙曲線交于點，因為，根據(jù)對稱性可知，設(shè)，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：D.

【點睛】方法點睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值；2．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．2．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，以為圓心的圓與軸交于，兩點，與軸正半軸交于點，線段與交于點.若與的焦距的比值為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出以為圓心的圓的方程，求出，，求出直線的方程后結(jié)合距離公式可求的坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求離心率.【詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為，因為以為圓心的圓過，故該圓的半徑為，故其方程為：，令，則，結(jié)合在軸正半軸上，故，令，則或，故.故，故直線.設(shè)，因為在軸的正半軸上，在軸的負(fù)半軸上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，整理得到：，故，故選：D.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過點在橢圓上或判別式為零等合理構(gòu)建.3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市第二高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線l1：與l2：相交于點M，線段AB是圓C：的一條動弦，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線所過定點和知，由此得軌跡是以為圓心，為半徑的圓（不含點），由垂徑定理和圓上點到定點距離最小值的求法求得，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律求得最小值.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；由得：，恒過定點；由得：，恒過定點；由直線方程可知：，，即，設(shè)，則，，，整理得：，即點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又直線斜率存在，點軌跡不包含；若點為弦的中點，則，位置關(guān)系如圖：

連接，由知：，則，（當(dāng)在處取等號），即的最小值為.故選：A.4．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，滿足的動點的軌跡為，經(jīng)過點的直線與有且只有一個公共點，點在圓上，則的最小值為（

）．A． B．C． D．1【答案】A【分析】先求出軌跡的方程，再利用直線與有且只有一個公共點，求出點的坐標(biāo)，從而得解.【詳解】根據(jù)，可得，化簡得為動點的軌跡的方程為：，設(shè)經(jīng)過點的直線為：，（可判斷斜率存在）聯(lián)立方程，得①,由于直線與有且只有一個公共點，所以，或，得，或，因為圓，圓心，所以當(dāng)點在軸上方時較小，以下只討論點在軸上方的情況,當(dāng)時，代入①式，得，再代入雙曲線方程可得，當(dāng)時，點在圓內(nèi)，可得的最小值為；當(dāng)時，代入①式，得，再代入雙曲線方程可得則，當(dāng)時，點在圓外，可得的最小值為；則的最小值為.故選：A【點睛】方法點睛：求軌跡方程的常見方法有：①直接法，設(shè)出動點的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.5．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓）的焦點為，，是橢圓上一點，且，若的內(nèi)切圓的半徑滿足，則（其中為橢圓的離心率）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知即向量數(shù)量積定義可得，應(yīng)用余弦定理求得，根據(jù)等面積法可得，再由正弦定理列方程求離心率，結(jié)合目標(biāo)式、基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.【詳解】由題設(shè)，故，又，則，由余弦定理知：，所以，而，因為的內(nèi)切圓的半徑，故，所以，則，由，即，所以，整理得且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以目標(biāo)式最小值為.故選：B6．（2023春·江蘇南通·高三海安高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）雙曲線的左，右焦點分別為，過作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意畫出圖，由已知求出的值，找出的坐標(biāo)，由的內(nèi)切圓圓心分別為，進(jìn)行分析，由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑，從而求出的底和高，利用三角形的面積公式計算即可.【詳解】由題意如圖所示：由雙曲線，知，所以，所以，所以過作垂直于軸的直線為，代入中，解出，由題知的內(nèi)切圓的半徑相等，且，的內(nèi)切圓圓心的連線垂直于軸于點，設(shè)為，在中，由等面積法得：由雙曲線的定義可知：由，所以，所以，解得：，因為為的的角平分線，所以一定在上，即軸上，令圓半徑為，在中，由等面積法得：，又所以，所以，所以，，所以，故選：A.7．（2023·江蘇南京·南京市第五高級中學(xué)?？级＃┮阎?，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理得到的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.【詳解】因為，所以∽，設(shè)，則，設(shè)，則，．因為平分，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．8．（2023·江蘇南通·二模）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，有，，，由弦長公式可得，，四邊形AMBN的面積為，解得，可求雙曲線的離心率.【詳解】根據(jù)對稱性不妨設(shè)點P在第一象限，如圖所示，圓O：，圓心為，半徑為，設(shè)，，點P在雙曲線上，，則有，，可得，過O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點，則，，同理，，由，四邊形AMBN的面積為，，化簡得，則有，則C的離心率.故選：D9．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是雙曲線E上一點，，的平分線與x軸交于點Q，，則雙曲線E的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得，利用正弦定理結(jié)合角平分線可得，再根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合通徑分析運算即可.【詳解】∵，則，可得，分別在中，由正弦定理可得：∵平分，可得，即，且，故，則，所以，又∵，則，所以，整理得，故，得，即，所以.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).方法定睛：1.雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值．2.焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將雙曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．10．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃┮阎?、是橢圓與雙曲線的公共頂點，是雙曲線上一點，，交橢圓于，.若過橢圓的焦點，且，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出點P，M的坐標(biāo)，借助雙曲線、橢圓的方程及斜率坐標(biāo)公式可得軸，再利用和角的正切公式求出a，b的關(guān)系作答.【詳解】如圖，設(shè)，點共線，點共線，所在直線的斜率分別為，點在雙曲線上，即，有，因此，點在橢圓上，即，有，直線的斜率，有，即，于是，即直線與關(guān)于軸對稱，又橢圓也關(guān)于軸對稱，且過焦點，則軸，令，由得，顯然，，，解得，所以雙曲線的離心率.故選：D【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.11．（2023春·江蘇南通·高三海安高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）人教版必修第一冊第92頁上“探究與發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容是“探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)”，經(jīng)探究它的圖象實際上是雙曲線.現(xiàn)將函數(shù)的圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到焦點位于軸上的雙曲線，則該雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先確定的兩條漸近線分別為，也為旋轉(zhuǎn)前雙曲線的漸近線，再設(shè)兩條漸近線夾角（銳角）角平分線且，根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系、差角正切公式求雙曲線漸近線斜率，進(jìn)而求雙曲線離心率.【詳解】由的兩條漸近線分別為，所以該函數(shù)對應(yīng)的雙曲線焦點在夾角（銳角）的角平分線上，設(shè)且，若分別是，的傾斜角，故，故為雙曲線旋轉(zhuǎn)后其中一條漸近線的傾斜角，由，即，整理得，可得（負(fù)值舍去），所以繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到焦點位于軸上的雙曲線一條漸近線斜率為，故.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出的漸近線，利用正切差角公式求其旋轉(zhuǎn)后漸近線斜率是關(guān)鍵.二、多選題12．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）圓柱高為1，下底面圓的直徑長為2，是圓柱的一條母線，點分別在上、下底面內(nèi)（包含邊界），下列說法正確的有（

）．A．若，則點的軌跡為圓B．若直線與直線成，則的軌跡是拋物線的一部分C．存在唯一的一組點，使得D．的取值范圍是【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩點間距離公式以及向量夾角公式列式計算可得點的軌跡方程判斷選項A和選項B，假設(shè)，根據(jù)勾股定理列式結(jié)合均值不等式計算最值，即可判斷選項C，計算的最大值判斷選項D.【詳解】對B，如圖，不妨以為原點，以的垂直平分線，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，由題意，，化簡得，，由于點在上底面內(nèi)，所以的軌跡是拋物線的一部分，故B正確；對A，，化簡得，即點的軌跡為橢圓，故A錯誤；

對C，設(shè)點在下平面的投影為，若，則，則，當(dāng)在線段上時，可取最小值，由均值不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，而點只有在與點重合時，才能取到，此時點與點重合，點與點重合，故C正確；對D，當(dāng)點與點，點與點重合，的值為，故D錯誤.故選：BC【點睛】判斷本題選項B時，利用定義法計算線線所成的角不好計算時，可通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角的計算公式列式計算.13．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）若點P是棱長為2的正方體表面上的動點，點M是棱的中點，則（

）A．當(dāng)點P在底面內(nèi)運動時，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時，線段長度的最大值為4C．當(dāng)直線AP與平面所成的角為45°時，點P的軌跡長度為D．直線DM被正方體的外接球所截得的線段的長度為【答案】ACD【分析】對A，找到高不變，底面為定值，則體積不變，求出相關(guān)高與底面積即可，對B，找到點軌跡是矩形（除點）與重合時最大,即可計算，對C，找到點的三次軌跡，第三次軌跡為四分之一圓，計算即可，對D建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到直線距離公式即可計算.【詳解】對A選項，根據(jù)正方體上下底面平行得到平面的距離始終為2，因為為的中點，故，故，故，故A正確；對于B，分別取中點,,連接,,首先與平行且相等,與平行且相等,因此與平行且相等,則是平行四邊形，在同一平面內(nèi),正方形,易得，所以(為,的交點),所以,又平面平面,所以平面,所以平面,而,則平面ABEF所以點軌跡是矩形（除點），與重合時最大,為,故B錯誤；對于C，直線與平面所成角為,若點在平面和平面內(nèi)，最大,不成立;在平面內(nèi),點的軌跡是,在平面內(nèi),點的軌跡是,在平面時,作平面,如圖,作平面，，點的軌跡是以為圓心,以2為半徑的四分之一，點的軌跡長度為,點的軌跡總長度為,故C正確;對于D選項，首先作出如圖所示圖象，正方體外接球半徑，直線與球面的一個交點為，另一交點設(shè)為，以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，首先求出圓心到直線的距離，因為棱長為2，且為中點，故,,,故,,，故圓心到直線的距離，故線段,故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：空間中點到直線的距離公式：設(shè)某空間直線的方向向量為過點;空間上的一點令，即表示由點指向點的向量.觀察而與要求的距離構(gòu)成以即為斜邊的直角三角形.故.14．（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）過圓：內(nèi)一點作兩條互相垂直的弦，，得到四邊形，則（

）A．的最小值為4B．當(dāng)時，C．四邊形面積的最大值為16D．為定值【答案】ABD【分析】當(dāng)為中點時最小，即可求出，從而判斷A；設(shè)到，的距離分別為，，則，求出，即可得到，從而求出，即可判斷B；根據(jù)利用基本不等式求出四邊形面積的最大值，即可判斷C；分別取，的中點，，根據(jù)數(shù)量積的運算律求出的值，即可判斷D.【詳解】解：當(dāng)為中點時最小，，，故A正確；設(shè)到，的距離分別為，，，∴，又，∴，，故B正確；因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故C錯誤.分別取，的中點，，則為定值，故D正確.故選：ABD.15．（2023春·江蘇南通·高三校考開學(xué)考試）已知過拋物線焦點的直線交于兩點，交的準(zhǔn)線于點，其中點在線段上，為坐標(biāo)原點，設(shè)直線的斜率為，則（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．存在使得 D．存在使得【答案】ABD【分析】特殊值法分別令和代入直線，再由拋物線的定義,過拋物線的焦點的弦長,選項得解,由,則,聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理,可判斷選項C,若,,聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理,可判斷選項D.【詳解】對于選項A.當(dāng)時,過拋物線的焦點的直線方程為:,設(shè)該直線與拋物線交于,兩點,聯(lián)立方程組,整理可得:,則,由拋物線的定義:,故A正確.對于選項B.當(dāng)時,過拋物線的焦點的直線方程為:,設(shè)該直線與拋物線交于,兩點,聯(lián)立方程組,整理可得:，則,則,所以，由拋物線的定義:又因為直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點,則，即，故B正確.對于選項C.設(shè)過拋物線的焦點的直線方程為:與拋物線交于兩點,聯(lián)立方程組,整理可得:則,，所以.若,則,故不存在，使得,故C不正確.對于選項D.設(shè)過拋物線的焦點的直線方程為:與拋物線交于兩點,聯(lián)立方程組,整理可得:,則，,若,因為,,即,則,即:,可得:,即:,則,解得:,解得:.故存在使得,故D正確;故選：ABD.【點睛】本題考查了拋物線與直線方程的位置關(guān)系，解方程組，焦點弦的應(yīng)用，對與本題，運算能力，數(shù)形結(jié)合思想是關(guān)鍵，屬于較難題.16．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中校考開學(xué)考試）已知經(jīng)過點的圓C的圓心坐標(biāo)為(t為整數(shù))，且與直線l：相切，直線m：與圓C相交于A、B兩點，下列說法正確的是（

）A．圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．若，則實數(shù)a的值為C．若，則直線m的方程為或D．弦AB的中點M的軌跡方程為【答案】BC【分析】對于A，設(shè)圓C的半徑為r，由題意得出圓C的方程，即可根據(jù)已知點是圓C上的點，且圓C與直線l：相切，列方程組解出t，r的值，即可得出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；對于B，根據(jù)已知與得出線段AB為圓C的直徑，即可根據(jù)直線m與圓C相交于A、B兩點，得出圓心C在直線m上，代入求解即可得出a的值；對于C，利用點到直線距離公式得出圓心C到直線m的距離d的式子，根據(jù)弦長結(jié)合勾股定理得出d的值，即可列式得出a，即可得出直線m的方程；對于D，轉(zhuǎn)化直線m的方程得出直線m過定點，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，即可根據(jù)圓的性質(zhì)得出點M的軌跡是以線段CN為直徑的圓，即可得出該圓的方程，注意此方程是有范圍的，根據(jù)兩圓的交點坐標(biāo)得出范圍，即可判斷.【詳解】對于A，設(shè)圓C的半徑為r，由題意可得圓C的方程為(t為整數(shù))，根據(jù)點是圓C上的點，且圓C與直線l：相切，得，解得，或（舍去），則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A錯誤；對于B，由選項A知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，點在圓C上，且，線段AB為圓C的直徑，直線m：與圓C相交于A、B兩點，圓心在直線m上，，解得，故B正確；對于C，由選項A知圓C的半徑為2，圓心，則圓心C到直線m的距離，，即，解得，，整理得，解得或，則直線m的方程為或，故C正確；對于D，直線m的方程可化為，過定點，由圓的性質(zhì)可得，點M的軌跡是以線段CN為直徑的圓，則此圓圓心為線段CN的中點，其坐標(biāo)為，半徑為，則該圓的方程為，由，得兩圓的交點坐標(biāo)為與，故弦AB的中點M的軌跡方程為，，故D錯誤；故選：BC.17．（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線，拋物線，為曲線上一動點，為拋物線上一動點，與兩條曲線都相切的直線叫做這兩條曲線的公切線，則以下說法正確的有（

）．A．直線是曲線和的公切線；B．曲線和的公切線有且僅有一條；C．最小值為；D．當(dāng)軸時，最小值為．【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出斜率為1的切線并判斷與是否相切判斷A；設(shè)出公切線與和的切點，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義結(jié)合零點存在性定理判斷B；利用拋物線定義轉(zhuǎn)化求的焦點與P的距離最小值判斷C；構(gòu)造函數(shù)并求出最小值判斷D作答.【詳解】對于A，對函數(shù)求導(dǎo)得，由得，則與曲線相切且斜率為1的直線切曲線于點，切線方程為，由消去x得：，即直線與曲線相切，所以直線是曲線和的公切線，A正確；對于B，設(shè)曲線和的公切線與曲線相切于點，由選項A知，該切線斜率為，切線方程為，由消去x得：，因此，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上遞減，在上遞增，，而，，即存在，使得，因此函數(shù)有0和兩個零點，顯然當(dāng)時，，因此的解有0和兩個，即曲線和的公切線有兩條，B錯誤；對于C，拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，而，令，求導(dǎo)得，顯然在R上都遞增，因此函數(shù)在R上遞增，而，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，因此，所以當(dāng)，點Q為線段與拋物線的交點時，最小值為，C正確;對于D，當(dāng)軸時，，則，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上遞增，，所以最小值為，D正確．故選：ACD【點睛】知識點睛：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點求斜率,即求該點處的導(dǎo)數(shù)；(2)已知斜率求切點即解方程；(3)已知切線過某點(不是切點)求切點,設(shè)出切點利用求解.18．（2023秋·江蘇南京·高三金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點分別是，點在雙曲線的右支上，則（

）A．若直線的斜率為，則B．使得為等腰三角形的點有且僅有四個C．點到兩條漸近線的距離乘積為D．已知點，則的最小值為5【答案】ABC【分析】對于A，設(shè)，根據(jù)題意，將直線的斜率為化簡之二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求出范圍；對于B，和各有兩個，可得出結(jié)論；對于C，利用點到直線距離公式可求點到兩條漸近線的距離，進(jìn)而判斷C的正誤；對于D，根據(jù)點與雙曲線的位置關(guān)系，當(dāng)三點共線時，可求最小值.【詳解】對于A，由題意可知，，設(shè)則直線的斜率為，令，，令在單調(diào)遞減，對.對于B，當(dāng)，則滿足條件的有兩個；當(dāng)，則滿足條件的有兩個，易得不存在滿足，滿足為等腰三角形的有4個，B對.對于C，漸近線：即，，C對，對于D，由題意，點Q在雙曲線外，當(dāng)三點共線時，有最小值，此時，D錯誤.故選：ABC.19．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是直線l：x＋y＋2＝0上一點(除去與x軸的交點)，過P作拋物線C：x2＝2y的兩條切線，切點分別為A，B，直線PA，PB與x軸分別交于點M，N，則（

）A．直線AB過定點(－1，2) B．MN的最小值為C．∠MPN為銳角 D．最小值為－1【答案】ABD【分析】對A：由寫出切線方程，將代入可得直線方程，整理可得恒過定點；對B：聯(lián)立直線與拋物線方程得，，求出M，N的橫坐標(biāo)，求的最小值即可；對C：將化為判斷正負(fù)即可；對D：將視為關(guān)于的函數(shù)求最小值；【詳解】設(shè)，由得，所以處切線斜率，所以切線的方程為：，將代入得，整理得切線的方程為：，同理切線的方程為：，將代入切線，方程得，，所以直線，即，將代入得，所以直線AB過定點(－1,2)，故A正確；將直線的方程代入得，由直線AB過拋物線內(nèi)定點(－1,2)知直線一定與拋物線有兩個交點，所以，在直線的方程中令得的橫坐標(biāo)，故，同理的橫坐標(biāo)，，所以，當(dāng)時取最小值為，故B正確；，當(dāng)時，為鈍角，故C錯誤；，當(dāng)即時，最小值為－1，故D正確；故選：ABD【點睛】結(jié)論點睛：定義:已知曲線,則稱點和直線是曲線G的一對極點與極線,點P稱為直線l關(guān)于曲線G的極點;直線l稱為點P關(guān)于曲線G的極線.已知點P關(guān)于圓錐曲線G的極線是直線l,則三者的位置關(guān)系是:①若點P在曲線G上,則直線l是曲線G在點P處的切線;②若點P在曲線G外,則直線l是由點P向曲線G引兩條切線的切點弦;③若點P在曲線G內(nèi),則直線l是經(jīng)過點P的曲線G的弦的兩端點處的切線交點軌跡.如圖:20．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線C：的焦點為F，直線l與C交于，兩點，其中點A在第一象限，點M是AB的中點，作MN垂直于準(zhǔn)線，垂足為N，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線l經(jīng)過焦點F，且，則B．若，則直線l的傾斜角為C．若以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點F，則的最小值為D．若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相切【答案】BC【分析】A選項，考慮直線斜率為0和不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由列出方程，求出，A錯誤；B選項，先得到直線經(jīng)過拋物線焦點，與A一樣，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合求出直線l的斜率，得到傾斜角；C選項，設(shè)，由拋物線定義結(jié)合基本不等式得到的最小值；D選項，與C一樣，考慮直線l不經(jīng)過焦點時，得到圓M與準(zhǔn)線相離，D錯誤.【詳解】A選項，由題意得：，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)直線的斜率為0時，此時，直線l與C只有1個交點，不合題意，故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，故，則，所以，解得：，A錯誤；B選項，因為，所以三點共線，即直線經(jīng)過拋物線焦點，當(dāng)直線的斜率為0時，此時，直線l與C只有1個交點，不合題意，故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，故，因為，所以，代入中，得到，即，因為點A在第一象限，所以，故，即，，解得：故直線l的斜率為，設(shè)直線l的傾斜角為，則，解得：，B正確；C選項，設(shè)，過點作⊥準(zhǔn)線于點，過點作⊥準(zhǔn)線于點P，因為以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點F，所以⊥，則，由拋物線定義可知：，由基本不等式得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即，C正確；D選項，當(dāng)直線l不經(jīng)過焦點時，設(shè)，由三角形三邊關(guān)系可知：，由拋物線定義可知結(jié)合C選項可知：，即，若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相離，D錯誤.故選：BC【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．21．（2023·江蘇徐州·江蘇省沛縣中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點，橢圓.過點作斜率分別為和的兩條直線，，其中與交于兩點，與交于兩點，且，則（

）A．的離心率為 B．C． D．四點共圓【答案】ABD【分析】求得點坐標(biāo)并代入橢圓方程，由此求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率.設(shè)出直線和的參數(shù)方程并與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系、圓的知識求得正確答案.【詳解】依題意，即，所以，解得（負(fù)根舍去）.所以橢圓，則.依題意可知直線的傾斜角為銳角，且，由解得.直線的傾斜角為鈍角，且，由解得.設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由整理得，解得（不妨設(shè)）.設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由整理得，解得（不妨設(shè)）.所以，B選項正確.，C選項錯誤.，所以，而，所以，所以，所以四點共圓.（也可用圓的相交弦定理的逆定理，直接由判斷出四點共圓）所以D選項正確.故選：ABD【點睛】待定系數(shù)法求橢圓的方程，可利用題目所給已知條件，列出等量關(guān)系式，由此來求得橢圓方程中的未知參數(shù).四點共圓的證明方法，可利用相交弦定理的逆定理，也可利用“同弧所對的圓周角相等”來證明.22．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動點P滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點的橫坐標(biāo)的取值范圍是B．的取值范圍是C．面積的最大值為D．的取值范圍是【答案】BC【分析】設(shè)出點P的坐標(biāo)，列出方程并化簡整理，放縮解不等式判斷A；利用幾何意義并結(jié)合求函數(shù)值域判斷B；利用三角形面積公式計算判斷C；取點計算判斷D作答.【詳解】設(shè)點，依題意，，對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，解不等式得：，即點的橫坐標(biāo)的取值范圍是，A錯誤；對于B，，則，顯然，因此，B正確；對于C，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，點P在以線段MN為直徑的圓上，由解得，所以面積的最大值為，C正確；對于D，因為點在動點P的軌跡上，當(dāng)點P為此點時，，D錯誤.故選：BC【點睛】易錯點睛：求解軌跡方程問題，設(shè)出動點坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡整理求解，還應(yīng)特別注意：補上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點.23．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓，，為橢圓上一點，，點關(guān)于軸對稱，直線分別與軸交于兩點，則（

）A．的最大值為B．直線的斜率乘積為定值C．若軸上存在點，使得，則的坐標(biāo)為或D．直線過定點【答案】BCD【分析】利用兩點間距離公式表示出，結(jié)合可得關(guān)于的二次函數(shù)的形式，通過討論與二次函數(shù)對稱軸的位置關(guān)系，可求得的最大值，知A錯誤；利用斜率公式表示出，化簡可得定值，知B正確；假設(shè)存在，可得，求得橫坐標(biāo)后，代入化簡知C正確；表示出直線后，根據(jù)直線過定點的求法可知D正確.【詳解】對于A，在橢圓上，，，，由題意知：，的對稱軸為，若，即時，，；當(dāng)，即時，，；綜上所述：A錯誤；對于B，關(guān)于軸對稱，，，，，B正確；對于C，假設(shè)存在點，使得，，則∽，；直線，直線，，，，即或，C正確；對于D，，，，直線，即，直線過定點，D正確.故選：BCD．【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用的問題，解題基本思路是能夠利用表示出所需的點的坐標(biāo)，結(jié)合兩點間距離公式、斜率公式、三角形相似關(guān)系等知識化簡所求量，從而確定選項的正誤.24．（2023春·江蘇南通·高三海安高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點，與圓相切于點，且M為的中點．（

）A．當(dāng)時，的斜率為2 B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，符合條件的直線l有兩條 D．當(dāng)時，符合條件的直線l有四條【答案】ABD【分析】由點差法得，由此判斷AB正確；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r判斷是否符合要求，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r,由直線與圓切于得必在直線上，根據(jù)給定的求出位置，根據(jù)是否在拋物線內(nèi)部判斷CD是否正確.【詳解】如圖,設(shè),,則,兩式相減得,.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r,，則有,又,所以.當(dāng)時，，故A正確；由,得,即,因此,即必在直線上.當(dāng)時，，點，直線的方程為，恰好過拋物線焦點，故，故B正確；將代入,得,由在拋物線內(nèi)部得，因為點在圓上,所以,當(dāng)時，，解得，與矛盾，此時的斜率為的直線不存在，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r,符合條件的直線只有一條，故C錯誤；當(dāng)時，，解得，符合，此時的斜率為的直線有兩條.當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r,符合條件的直線也有兩條，故D正確；故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：不要遺漏判斷斜率不存在時的直線是否符合要求.當(dāng)斜率存在時，先確定點一定在直線上，再用點一定在拋物線內(nèi)部判斷給定的是否符合要求.25．（2023·江蘇鹽城·校考三模）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓.分別為橢圓的左、右焦點，直線的方程為，為橢圓的蒙日圓上一動點，分別與橢圓相切于兩點，為坐標(biāo)原點，下列說法正確的是（

）A．橢圓的蒙日圓方程為B．記點到直線的距離為，則的最小值為C．一矩形四條邊與橢圓相切，則此矩形面積最大值為D．的面積的最小值為，最大值為【答案】ACD【分析】當(dāng)斜率不存在時可得點坐標(biāo)，斜率存在時，將切線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用和垂直關(guān)系可構(gòu)造等式求得點軌跡；結(jié)合兩種情況可知A正確；利用橢圓定義將轉(zhuǎn)化為，由平面幾何知識可知最小值為點到直線的距離，結(jié)合點到直線距離公式可求得B錯誤；根據(jù)矩形為蒙日圓的內(nèi)接矩形，結(jié)合基本不等式可求得C正確；推導(dǎo)可得過橢圓外一點的橢圓的切點弦直線方程為，當(dāng)時，可求得的值；當(dāng)時，將直線與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合弦長公式和點到直線距離公式可化簡得到，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果，知D正確.【詳解】對于A，當(dāng)直線一條斜率為，另一條斜率不存在時，則；當(dāng)直線斜率均存在時，設(shè)，切線方程為：，由得：，由整理可得：，，又，，即，，點軌跡為；將檢驗，滿足，蒙日圓的方程為，A正確；對于B，為橢圓上的點，，；的最小值為點到直線的距離，又，，，B錯誤；對于C，矩形四條邊均與相切，該矩形為蒙日圓的內(nèi)接矩形，設(shè)矩形的長為，寬為，蒙日圓的半徑，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），此矩形面積最大值為，C正確；對于D，設(shè)位于橢圓上半部分，即，，在處的切線斜率，切線方程為：，即，在處的切線方程為；同理可得：當(dāng)位于橢圓下半部分，即時，切線方程為：；在點處的切線方程為，同理可知：在點處的切線方程為；設(shè)，則，可知坐標(biāo)滿足方程，即切點弦所在直線方程為：；當(dāng)時，，此時所在直線方程為：，，；當(dāng)時，由得：，由A知：，，設(shè)，則，，，又原點到直線的距離，，令，，，則，為開口方向向下，對稱軸為的拋物線，，，，，綜上所述：的面積的最小值為，最大值為，D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：求解直線與橢圓綜合應(yīng)用中的三角形面積最值（取值范圍）問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理和點到直線距離表示出所求三角形的面積；④將所求三角形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解出最值（范圍）.26．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左，右焦點分別為，，點P是雙曲線C的右支上一點，過點P的直線l與雙曲線C的兩條漸近線交于M，N，則（

）A．的最小值為8B．若直線l經(jīng)過，且與雙曲線C交于另一點Q，則的最小值為6C．為定值D．若直線l與雙曲線C相切，則點M，N的縱坐標(biāo)之積為【答案】ACD【分析】設(shè)出點P坐標(biāo)，直接計算可判斷A、C；比較雙曲線的通徑長和實軸長可判斷B；設(shè)出直線l的方程后聯(lián)立漸近線方程，求出點M，N的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線l與雙曲線方程，利用判別式為零可得參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而計算點M，N的縱坐標(biāo)之積可得結(jié)果.【詳解】依題意，，，，，，設(shè)，則，，即，雙曲線C的兩條漸近線方程為，對于A，，A正確；對于B，若Q在雙曲線C的右支，則通徑最短，通徑為，若Q在雙曲線C的左支，則實軸最短，實軸長為，B錯誤；對于C，是定值，C正確；對于D，不妨設(shè)，，直線l的方程為，由得，若直線l與雙曲線C相切，則，化簡整理得，則點M，N的縱坐標(biāo)之積，D正確.故選：ACD.

27．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）橢圓曲線是代數(shù)幾何中一類重要的研究對象.關(guān)于橢圓曲線：，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線關(guān)于點對稱B．曲線關(guān)于直線對稱C．當(dāng)時，曲線上點的橫坐標(biāo)的取值范圍為D．若曲線上存在位于y軸左側(cè)的點，則【答案】BD【分析】對A選項和B選項，設(shè)一組對稱點代入檢驗即可；對選項C和選項D結(jié)合函數(shù)值域分析即可求解.【詳解】對選項A：設(shè)曲線上有一點，則，而點關(guān)于對稱的點為，如果曲線關(guān)于對稱，則也應(yīng)在曲線上，則有；聯(lián)立①②，得，此時無解，所以和這樣的對稱點不存在，即不是該橢圓曲線的對稱點，故A錯誤；對選項B：設(shè)曲線上有一點，則，而點關(guān)于對稱的點為，如果曲線關(guān)于對稱，則也應(yīng)在曲線上，則有；聯(lián)立①②，得=，即=，該式恒成立，則和是在曲線上且關(guān)于對稱的點，即是該橢圓曲線的對稱軸，故B正確；對選項C：因為，所以，所以，當(dāng)時，有，因為，所以；設(shè)，則，令，所以，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增當(dāng)時，，在單調(diào)遞減當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，極大值，即點也在曲線上，所以C錯誤；對選項D：由原方程得：，曲線上存在位于y軸左側(cè)的點，即當(dāng)時有點在曲線上，設(shè)，則，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，且，所以此時，此時沒有能使成立；當(dāng)時，令，所以，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；所以只需的極大值大于0即可使曲線上存在位于y軸左側(cè)的點，即，所以所以，所以，得，即，所以D正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：當(dāng)曲線涉及到對稱時，可設(shè)出對稱點代入方程進(jìn)行驗證；涉及到取值范圍，需要結(jié)合函數(shù)求出其取值范圍綜合分析.28．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點為，準(zhǔn)線為，直線與相交于兩點，為的中點，則（

）A．若，則B．若，則直線的斜率為C．不可能是正三角形D．當(dāng)時，點到的距離的最小值為【答案】ACD【分析】利用聯(lián)立求得點坐標(biāo)，結(jié)合向量數(shù)量積的運算即可判斷選項A；結(jié)合拋物線定義即可判斷選項CD；設(shè)，，根據(jù)即可判斷選項B.【詳解】對于A，代入，解得，，即，，則，所以，A正確；對于C，如圖，，所以不可能是正三角形，C正確；

對于D，由題知，，當(dāng)共線時，取等號，又點到的距離為，所以點到的距離的最小值為，D正確.對于B，當(dāng)直線的斜率大于時，根據(jù)上圖再作，因為，所以設(shè)，，因為都在上，所以，，，，所以，則；當(dāng)直線的斜率小于時，同理可得.綜上，直線的斜率為，B錯.故選：ACD【點睛】方法點睛：直線與拋物線的位置關(guān)系問題，從以下幾個角度分析：（1）拋物線定義的結(jié)合，來分析線段的相等關(guān)系；（2）斜率與傾斜角正切值的聯(lián)系；（3）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.29．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點是拋物線：的焦點，點是上異于原點的動點，過點且與相切的直線與軸交于點，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，，為垂足，則（

）A．當(dāng)點的坐標(biāo)為時，直線的方程為B．設(shè)，則的最小值為4C．D．【答案】ACD【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷A；由拋物線的定義結(jié)合圖象可判斷B；由題意求出的坐標(biāo)，由兩點間的距離公式可判斷C；證明四邊形是菱形可判斷D.【詳解】對于A，點的坐標(biāo)為時，則，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，化簡可得：，故A正確；對于B，的準(zhǔn)線為，過點作，交于點，與拋物線交于點，當(dāng)點與點重合時，的最小值，所以的最小值為，故B錯誤；

對于C，不妨設(shè)點在一象限，則點，所以，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，化簡可得：，令，則，所以，因為，所以，所以，，，所以，所以，故C正確.對于D，因為，，，，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，又由拋物線的定義可得：，所以四邊形是菱形，所以平分，所以，故D正確.故選：ACD.30．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知動圓（），則下列說法正確的是（

）A．存在圓經(jīng)過原點B．存在圓，其所有點均在第一象限C．存在定直線，被圓截得的弦長為定值D．所有動圓僅存在唯一一條公切線【答案】AB【分析】對于A選項：將代入圓方程，求得，即可判斷；對于B選項：根據(jù)圓所有點均在第一象限得到，即可判斷；對于C選項：當(dāng)定直線的斜率存在，設(shè)直線：，當(dāng)定直線的斜率不存在，設(shè)直線，由垂徑定理和勾股定理得到弦長，要使弦長為定值，則弦長與無關(guān)，得到關(guān)于和的方程組，即可求解；對于D選項：求出所有動圓的公切線，即可求解.【詳解】對于A選項：若圓經(jīng)過原點，則，化簡得：，解得：，所以當(dāng)時，圓經(jīng)過原點，所以A選項正確；對于B選項：由題意得圓的圓心，半徑（），若圓上的所有點均在第一象限，則，解得：，即且，所以當(dāng)時，圓上的所有點均在第一象限，所以B選項正確；對于C選項：當(dāng)定直線的斜率存在，設(shè)存在定直線：，被圓截得的弦長為定值，則圓心到直線的距離，則弦長即，要使弦長為定值，則弦長與無關(guān)，所以，解得：，此時弦長，不存在定直線：，被圓截得的弦長為定值，當(dāng)定直線的斜率不存在，設(shè)直線，則圓心到直線的距離，所以弦長，要使弦長為定值，則弦長與無關(guān)，即，此時弦長，綜上：不存在定直線，被圓截得的弦長為定值，所以C選項錯誤；對于D選項：若所有動圓存在公切線，當(dāng)切線斜率不存在時，滿足題意；切線斜率存在時，且圓心到它的距離等于半徑，結(jié)合C選項的證明可得：，即，化簡得：，若所有動圓存在公切線，則上式對恒成立，則，解得：，此時，綜上：所有動圓存在公切線，其方程為或，所以D選項不正確，故選：AB.三、填空題31．（2023秋·江蘇·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)橢圓T：的右焦點為F，過點的直線l與橢圓交于點A，B，M為AB的中點，使得是、的等比中項，則a的最小整數(shù)值為【答案】【分析】根據(jù)中點的性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式、點與橢圓的位置關(guān)系、等比中項的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以點在該橢圓內(nèi)，因此過點的直線l與橢圓必有兩個交點，設(shè)，因為M為AB的中點，所以有即，因為是、的等比中項，所以，于是有，，，同理：，由，即，顯然有，所以a的最小整數(shù)值為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：利用平面向量加法幾何意義，結(jié)合余弦定理得到中線表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.32．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，在兩點處的切線交于點，則弦的長為.【答案】4【分析】設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，求得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可設(shè)出切線，切線的方程，聯(lián)立兩切線的方程，求得的坐標(biāo)，結(jié)合已知可得，再利用拋物線的弦長公式即可得解.【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)，，顯然，直線的斜率存在，且則直線的方程為聯(lián)立，整理得，則由，求導(dǎo)得，故切線的方程為，即①同理切線的方程為②兩式相減，求得的橫坐標(biāo)，即，兩式相加，求得的縱坐標(biāo)，即，解得，所以故答案為：433．（2023秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為A，直線與橢圓C交于另一點B，若，則橢圓C的離心率為．【答案】【分析】設(shè)，再在中根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義可得，再分別在與列出余弦定理，根據(jù)化簡即可.【詳解】由橢圓的性質(zhì)可得，設(shè)，在中根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義可得，即，整理可得，即，故.又，故，，故，即，，故，故離心率.

故答案為：34．（2023·江蘇徐州·江蘇省沛縣中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知直線與雙曲線C：交于點，.為C上一點，且，，則△PAB的面積最大值為.【答案】【分析】先求得兩點的坐標(biāo)，然后求得與直線平行且與雙曲線相切的直線方程，根據(jù)三角形面積公式以及兩平行線間的距離公式求得正確答案.【詳解】依題意，，由解得或，所以為定值，由于，，所以在雙曲線兩點間的曲線上，在第一象限，當(dāng)距離最遠(yuǎn)時，三角形的面積取得最大值，設(shè)直線與雙曲線C：相切于點，由消去并化簡得，由解得（正根舍去），故切線方程為，直線與直線的距離為，所以△PAB的面積最大值為.故答案為：【點睛】求解雙曲線的切線方程，可先設(shè)出切線的方程，然后聯(lián)立切線的方程和雙曲線的方程，化簡成一元二次方程的形式，結(jié)合判別式即可求得切線方程.35．（2023秋·江蘇南京·高三南京外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點在拋物線上，過點A作圓的兩條切線分別交拋物線于B，C兩點，則直線BC的方程為．【答案】【分析】根據(jù)給定的條件，求出拋物線的方程，設(shè)出圓的切線方程并求出切線的斜率，再設(shè)出點B，C的坐標(biāo)并求出，即可求出直線方程作答.【詳解】因為點在拋物線上，則，解得，即拋物線方程為，顯然過點A作圓的兩條切線斜率存在，設(shè)此切線方程為，即，于是，解得，設(shè)點，不妨令直線的斜率分別為，于是，，同理，直線的斜率，而點，直線BC的方程為，即.故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：點是拋物線上的兩點，則直線斜率；點是拋物線上的兩點，則直線斜率.36．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，過點的動直線與圓交于點，，若的面積最大值為，則的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合面積關(guān)系分析可知圓心到動直線的距離的最大值為2，則點在以為圓心，2為半徑的圓M上，結(jié)合的幾何意義