專題2.13三元一次方程組及其解法（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解三元一次方程(或組)的含義；2．會(huì)解簡(jiǎn)單的三元一次方程組；3.會(huì)列三元一次方程組解決有關(guān)實(shí)際問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三元一次方程及三元一次方程組的概念1.三元一次方程的定義含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．特別說(shuō)明：(1)三元一次方程的條件：①是整式方程，②含有三個(gè)未知數(shù)，③含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1次．(2)三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不為零．2．三元一次方程組的定義一般地，由幾個(gè)一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.特別說(shuō)明：(1)三個(gè)方程中不一定每一個(gè)方程中都含有三個(gè)未知數(shù)，只要三個(gè)方程共含有三個(gè)未知量即可．（2）在實(shí)際問題中含有三個(gè)未知數(shù)，當(dāng)這三個(gè)未知數(shù)同時(shí)滿足三個(gè)相等關(guān)系時(shí)，可以建立三元一次方程組求解．要點(diǎn)二、三元一次方程組的解法解三元一次方程組的一般步驟(1)利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；(2)解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；(3)將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程；(4)解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值；(5)將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．特別說(shuō)明：（1）解三元一次方程組的基本思路是：通過(guò)“代入”或“加減”消元，把“三元”化為“二元”．使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求其較簡(jiǎn)單的解法．要點(diǎn)三、三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟1．弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù)；2．找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；3．根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；4．解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；5．寫出答案(包括單位名稱)．特別說(shuō)明：(1)解實(shí)際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．(3)一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組．【典型例題】類型一、三元一次方程組??直接解三元一次方程組 1．解三元一次方程組．【答案】【分析】先由①×2-②消去y，①×3+③消去y，得到，轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x，z的二元一次方程組，據(jù)此解答．解：①×2-②，得①×3+③，得解方程組解得把代入①，得，所以原方程組的解為．【點(diǎn)撥】本題考查加減消元法解三元一次方程組，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】用代入法解三元一次方程組．【答案】【分析】觀察每個(gè)方程的特點(diǎn)，將變形為z＝3x+2y﹣16，分別代入剩下的方程，再利用加減消元解二元一次方程組即可．解：，由②得：z＝3x+2y﹣16④，把④代入①得：2x+y+9x+6y﹣48＝13，即11x+7y＝61⑤；把④代入③得：x+3y﹣15x﹣10y+80＝10，即2x+y＝10⑥，⑥×7﹣⑤得：3x＝9，即x＝3，把x＝3代入⑥得：y＝4，把x＝3，y＝4代入④得：z＝1，則方程組的解為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解三元一次方程組，正確運(yùn)用消元思想進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式2】解下列方程組：（1）

（2）【答案】（1）

（2）【分析】（1）先標(biāo)號(hào)利用加減消元法①+②得，（③-②）÷2得，再利用加減消元法解二元一次方程組即可；（2）先標(biāo)號(hào)利用加減消元法先消去z，再解x與y的二元方程組即可．解：（1），①+②得，（③-②）÷3得，④+⑤×2得4x=8，解得x=2，把x=2代入④得，把代入②得y=-3，∴；（2），①+③得，（②+③）÷5×3得，④-⑤得x=3，把x=3代入④得y=2，把x=3，y=2代入①得z=5，∴．【點(diǎn)撥】本題考查三元一次方程組的解法，掌握三元方程組消元轉(zhuǎn)化二元方程組來(lái)解是解題關(guān)鍵．類型二、三元一次方程組??特殊方法解三元一次方程組 2．用不同的方法解方程組：再對(duì)這些方法進(jìn)行比較．【答案】【分析】方法1：①-②和③可得關(guān)于x、z的方程組可求解x、z的值，代入②可求y的值；方法2：由①+②+③得，再代入①②③可求解x、y、z的值．解：方法1：①﹣②得x﹣z＝10④，由③④得，解得把代入②得，y=0∴方程組的解為．方法2：①+②+③得④，把①代入④得，z=5把③代入④得，y=0把②代入④得，x=15∴方程組的解為經(jīng)比較，方法2更簡(jiǎn)便些．【點(diǎn)撥】本題考查了解三元一次方程組：利用加減消元或代入消元把解三元一次方程組的問題轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．舉一反三：【變式1】已知方程組的解使得代數(shù)式的值等于-10，求的值．【答案】．【分析】把、、用含有的式子表示出來(lái)，然后再代入即可解出的值．解：②-①，得④③+④，得，把分別代入②和③，得，．∴．把，，代入得．解得．【點(diǎn)撥】本題考查了三元一次方程組，掌握代入消元法和加減消元法的解題步驟是解決此類題的關(guān)鍵．【變式2】設(shè)線段x、y、z滿足，求x、y、z的值．【答案】．【分析】設(shè)＝＝＝k，從而可得x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，進(jìn)而可得x+y+z＝k，然后根據(jù)x+y+z＝18，求出k的值，從而求出x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：設(shè)＝＝＝k，∴x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，∴x+y+z+x+y+z＝9k，∴2x+2y+2z＝9k，∴x+y+z＝k，∵x+y+z＝18，∴k＝18，∴k＝4，∴x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，∴z＝10，y＝6，x＝2，∴原方程組的解為：．【點(diǎn)撥】本題考查解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是令＝＝＝k，并求出k值．【變式3】在等式中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，．求，，的值；求當(dāng)時(shí)，的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件，得到關(guān)于，，的三元一次方程組，利用加減消元法解之即可，（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，得到關(guān)于和的等式，把代入，計(jì)算求值即可．解：（1）根據(jù)題意得：，①＋②得：④③＋②×2得：⑤，⑤－④得：，把代入④得：，解得：，把，代入①得：，解得：，方程組的解為：；（2）根據(jù)題意得：，把代入得：，即的值為．【點(diǎn)撥】本題考查了解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵：（1）正確掌握加減消元法，（2）正確掌握代入法．類型三、三元一次方程組??應(yīng)用3．在求代數(shù)式的值時(shí)，可以用整體求值的方法，化難為易．例：已知，求的值．解：①得：③②③得：∴的值為2．已知，求的值；(2)馬上期中了，班委準(zhǔn)備把本學(xué)期賣廢品的錢給同學(xué)們買期中獎(jiǎng)品，根據(jù)商店的價(jià)格，購(gòu)買本筆記本、支簽字筆、支記號(hào)筆需要元．通過(guò)還價(jià)，班委購(gòu)買了本筆記本、支簽字筆、支記號(hào)筆，只花了元，請(qǐng)問比原價(jià)購(gòu)買節(jié)省了多少錢？【答案】(1) (2)節(jié)省了元【分析】（1）方程組兩方程左右兩邊相加，即可求出原式的值；（2）設(shè)筆記本、簽字筆、記號(hào)筆的價(jià)格分別為x元，y元，z元，根據(jù)題意列出方程，求出按照原價(jià)本筆記本、支簽字筆、支記號(hào)筆花費(fèi)總數(shù)，即可求出節(jié)省的錢數(shù)．（1）解：（1），①②得：，則；（2）設(shè)筆記本、簽字筆、記號(hào)筆的價(jià)格分別為x元，y元，z元，根據(jù)題意得：，∴，（元），則比原價(jià)購(gòu)買節(jié)省了元．【點(diǎn)撥】此題考查了三元一次方程組的應(yīng)用以及解三元一次方程組，代數(shù)式求值，弄清題意是解本題的關(guān)鍵，尋找代數(shù)式之間的倍數(shù)關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】小明到某服裝商場(chǎng)進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，了解到該商場(chǎng)為了激勵(lì)營(yíng)業(yè)員的工作積極性，實(shí)行“月總收入＝基本工資+計(jì)件獎(jiǎng)金”的方法，并獲得如下信息：營(yíng)業(yè)員小麗小華月銷售件數(shù)（件）200150月總收入（元）14001250假設(shè)營(yíng)業(yè)員的月基本工資為x元，銷售每件服裝獎(jiǎng)勵(lì)y元．求x、y的值；(2)如果在商場(chǎng)購(gòu)買甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果購(gòu)買甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顧客想購(gòu)買甲、乙、丙各一件共需多少元？【答案】(1)x的值為800，y的值為3 (2)購(gòu)買一件甲、一件乙、一件丙共需150元【分析】（1）通過(guò)理解題意可知此題存在兩個(gè)等量關(guān)系，即小麗的基本工資+提成=1400元，小華的基本工資+提成=1250元，列方程組求解即可；（2）理解題意可知，計(jì)算出甲、乙、丙各購(gòu)買4件共多少錢，即可求解．（1）解：設(shè)營(yíng)業(yè)員的基本工資為x元，買一件的獎(jiǎng)勵(lì)為y元．由題意得，解得，即x的值為800，y的值為3；（2）解：設(shè)一件甲為x元，一件乙為y元，一件丙為z元．則可列方程組：，將兩等式相加得4x+4y+4z=600，則x+y+z=150，答：購(gòu)買一件甲、一件乙、一件丙共需150元．【點(diǎn)撥】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．【變式2】某工程由甲、乙兩隊(duì)合作需6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)共8700元，乙、丙兩隊(duì)合作需10天完成，廠家需支付乙、丙兩隊(duì)共8000元；甲、丙兩隊(duì)合作5天完成全部工程的，此時(shí)廠家需付甲、丙兩隊(duì)共5500元．（1）求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？（2）若要不超過(guò)15天完成全部工程，問由哪隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程分別需10天，15天，30天．；（2）由乙隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢最少．【分析】（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做x天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做y天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做z天完成，則甲、乙、丙的工作效率分別是、、，列分式方程組求解；（2）設(shè)甲隊(duì)做一天應(yīng)付給a元，乙隊(duì)做一天應(yīng)付給b元，丙隊(duì)做一天應(yīng)付給c元，用每天應(yīng)付的費(fèi)用×完成任務(wù)天數(shù)=共付費(fèi)用，列方程組求、、，再根據(jù)工期的規(guī)定及花費(fèi)最少答題．解：（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做x天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做y天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做z天完成，則，解得，∴．答：甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程分別需10天，15天，30天．（2）設(shè)甲隊(duì)做一天應(yīng)付給a元，乙隊(duì)做一天應(yīng)付給b元，丙隊(duì)做一天應(yīng)付給c元，則，解得．∵（元），（元）．答：由乙隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢最少．【點(diǎn)撥】本題考查三元一次方程組的工程問題，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解是解題的關(guān)鍵．【變式3】感悟思想：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實(shí)數(shù)x，y滿足①，②，求和的值．思考：本題常規(guī)思路是將①②聯(lián)立成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，有的問題用常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過(guò)適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值．如①-②可得①+②×2可得．這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．體會(huì)思想：已知二元一次方程組，則______，______．解方程組：某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？【答案】(1)-1，5 (2) (3)30元【分析】（1）把兩個(gè)方