流體運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)描述流體運(yùn)動(dòng)的方法流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體微元的運(yùn)動(dòng)分析微分形式的基本方程（質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒）積分形式的基本方程按流動(dòng)分類作進(jìn)一步的具體分析流體運(yùn)動(dòng)時(shí)的基本規(guī)律流動(dòng)分析基礎(chǔ)描述流體運(yùn)動(dòng)的方法拉格朗日法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法歐拉法

——由于流體的易變形和易流動(dòng)性，相對(duì)于固體而言，其運(yùn)動(dòng)形態(tài)更為復(fù)雜。在研究流體的運(yùn)動(dòng)情況時(shí)，如果考察的著眼點(diǎn)不同，那么相應(yīng)采取的研究方法也有所不同。描述流體運(yùn)動(dòng)的方法§拉格朗日法拉格朗日法：著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，力圖描述出每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)自始至終的運(yùn)動(dòng)過程，即它們的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律。

——如果知道了所有流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，那么整個(gè)流體對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀況也就確定了。用拉格朗日法描述流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)x、y、z是起始坐標(biāo)a、b、c和時(shí)間t的函數(shù)，即彈性力學(xué)中即采用拉格朗日法來描述物體的變形——注意在拉格朗日法中的a、b、c是區(qū)別不同流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)，而非變量。描述流體運(yùn)動(dòng)的方法在拉格朗日觀點(diǎn)中，質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)x、y、z是時(shí)間和質(zhì)點(diǎn)初始標(biāo)號(hào)的函數(shù)。拉格朗日描述法中流體質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度：固定a、b、c改變t？改變a、b、c固定t？描述流體運(yùn)動(dòng)的方法§歐拉法歐拉法：著眼點(diǎn)不是流體質(zhì)點(diǎn)，而是空間點(diǎn)，力圖描述出空間中每個(gè)點(diǎn)處的流體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化的情況。

——如果流經(jīng)每一點(diǎn)的流體運(yùn)動(dòng)狀況都知道，那么整個(gè)流體對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀況也就確定了?！⒁庠跉W拉法中的x、y、z是空間中的位置坐標(biāo)，是變量；但對(duì)同一質(zhì)點(diǎn)來說它們不是獨(dú)立變量，而是時(shí)間t的函數(shù)。什么物理量能夠最直觀的反映空間點(diǎn)上流體運(yùn)動(dòng)的變化情況？——速度描述流體運(yùn)動(dòng)的方法在歐拉觀點(diǎn)中，空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度ux、uy、uz（當(dāng)然也可以是其它表征流體運(yùn)動(dòng)狀況的物理量，如壓強(qiáng)、密度、溫度等）是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。歐拉描述法中流體質(zhì)點(diǎn)的加速度：固定x、y、z改變t？改變x、y、z固定t？遷移加速度當(dāng)?shù)丶铀俣让枋隽黧w運(yùn)動(dòng)的方法§兩種方法的對(duì)比拉格朗日法歐拉法直接描述結(jié)果全面給出運(yùn)動(dòng)軌跡反映時(shí)間歷史表達(dá)式復(fù)雜實(shí)例：敵機(jī)追蹤間接描述結(jié)果有限給出瞬時(shí)參數(shù)反映空間分布表達(dá)式簡(jiǎn)單實(shí)例：氣象觀測(cè)流體力學(xué)最常用：機(jī)翼的空氣動(dòng)力學(xué)特性兩者可相互轉(zhuǎn)換拉格朗日觀點(diǎn)重要性：定義物理學(xué)基本規(guī)律流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§例1歐拉描述和拉格朗日描述的轉(zhuǎn)換（由速度分布求質(zhì)點(diǎn)軌跡）已知：已知用歐拉法表示的流場(chǎng)速度分布規(guī)律為求：在t=0時(shí)刻位于點(diǎn)（a,b）的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。解：對(duì)某時(shí)刻t

位于坐標(biāo)點(diǎn)上(x,y)的質(zhì)點(diǎn)，有求解該一階常微分方程組，可得c1

，c2

為積分常數(shù)，由t=0時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)位于可確定流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§例1歐拉描述和拉格朗日描述的轉(zhuǎn)換（由速度分布求質(zhì)點(diǎn)軌跡）代入前式，可得拉格朗日法表示的流體質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為討論：本例說明，雖然題目給出的是速度分布式（歐拉法），即各空間點(diǎn)上速度分量隨時(shí)間的變化規(guī)律，但仍可由此求出指定流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻所處的空間位置，即運(yùn)動(dòng)軌跡（拉格朗日法）。通過本例可看到這兩種描述方法在數(shù)學(xué)上是如何相互轉(zhuǎn)換的。流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§恒定流與非恒定流根據(jù)流場(chǎng)中各運(yùn)動(dòng)要素是否隨時(shí)間變化，可將流體運(yùn)動(dòng)分為恒定流和非恒定流兩類。若流場(chǎng)中各運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間變化，則稱這種流動(dòng)為恒定流，否則稱之為非恒定流。在恒定流中，一切運(yùn)動(dòng)要素都只是空間坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)，而與時(shí)間t無關(guān)，故有——在實(shí)際工程中，當(dāng)非恒定流問題中所關(guān)注的運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間變化非常緩慢時(shí)，即可將其近似作為恒定流處理。各類穩(wěn)定的自然流動(dòng)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§恒定流與非恒定流

a.定常流動(dòng)；b.準(zhǔn)定常流動(dòng)c.周期性諧波脈動(dòng)流d.周期性非諧波脈動(dòng)流e.非周期性脈動(dòng)流；f.隨機(jī)流動(dòng)?

恒定流與非恒定流的轉(zhuǎn)換一元流二元流三元流流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§一元流、二元流與三元流根據(jù)流場(chǎng)中各運(yùn)動(dòng)要素與空間坐標(biāo)的關(guān)系，可將流體運(yùn)動(dòng)分為一元流、二元流和三元流?！獙?shí)際工程中的流體力學(xué)問題一般都屬于三元流。然而由于三元流的復(fù)雜性，在數(shù)學(xué)處理上存在相當(dāng)大的困難，人們?cè)谘芯繒r(shí)常常根據(jù)問題的具體性質(zhì)將其簡(jiǎn)化為二元流或一元流處理。流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念在了解流體運(yùn)動(dòng)的兩類基本描述方法后，可以此出發(fā)進(jìn)一步探討流體運(yùn)動(dòng)的幾何表示，這有助于更直觀形象的分析流體運(yùn)動(dòng)?！燠E線——在拉格朗日方法中，是通過描述各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的途徑來描述整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)。某個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)段內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)所描繪出的空間曲線稱為跡線?！E線的概念是和拉格朗日觀點(diǎn)相聯(lián)系的，它是同一流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的幾何表示。流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念當(dāng)流體運(yùn)動(dòng)是以歐拉描述的方式給出時(shí)此時(shí)要得到跡線的方程，必須先將歐拉描述轉(zhuǎn)換為拉格朗日描述，亦即跡線應(yīng)滿足的微分方程組?！渲衪是自變量，x、y、z是時(shí)間t的函數(shù)，積分后所得的表達(dá)式實(shí)質(zhì)上是流體質(zhì)點(diǎn)空間運(yùn)動(dòng)曲線（軌跡）的參數(shù)方程。隕石的下墜線流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§流線許多空間位置上的流體質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻的速度矢量所描繪的曲線稱為流線?！跉W拉方法中，是通過速度場(chǎng)來描述整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。——流線的概念是和歐拉觀點(diǎn)相聯(lián)系的，它是不同流體質(zhì)點(diǎn)速度分布的幾何表示。流線特點(diǎn)：不相交；充滿整個(gè)流場(chǎng)；疏密程度反映流速大小。流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念根據(jù)定義，流線上任一點(diǎn)的切線方向即為該點(diǎn)的流速方向，于是相應(yīng)的分量形式為——此即流線應(yīng)滿足的微分方程組，其中x、y、z是相互獨(dú)立的空間變量，時(shí)間t是參數(shù)，在積分時(shí)當(dāng)作常數(shù)處理。機(jī)翼的繞流線作業(yè)4：課后習(xí)題BP2.1.1,BP2.1.2,BP2.2.1,BP2.2.3流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§跡線和流線的對(duì)比跡線流線同一流體質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻描繪軌跡拉格朗日法時(shí)間是變量不同流體質(zhì)點(diǎn)同一時(shí)刻描繪分布?xì)W拉法時(shí)間是參數(shù)恒定流情況下兩者相同流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§例2非恒定流的跡線和流線。求：（1）質(zhì)點(diǎn)A的跡線方程；（2）t=0時(shí)刻過原點(diǎn)的流線方程；（3）t=1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方向。解：此流場(chǎng)屬于非恒定流場(chǎng)。上兩式分別積分可得已知：設(shè)速度場(chǎng)為u=t+1，v=1，t=0時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)A位于原點(diǎn)。（1）由跡線方程式，本例的跡線方程組為t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)A位于x=0，y=0處，得c1=c2=0。質(zhì)點(diǎn)A的跡線方程為流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§例2非恒定流的跡線和流線。消去參數(shù)t可得上式表明質(zhì)點(diǎn)A的跡線是一條以（-1/2，-1）點(diǎn)為頂點(diǎn)，且通過原點(diǎn)的拋物線（見圖）。（2）由流線微分方程式，本例的流線方程組為積分可得（此處t可當(dāng)作常數(shù)處理）在t=0時(shí)刻，流線通過原點(diǎn)，即x=y=0，因此C=0，相應(yīng)的流線方程為上式表明初始時(shí)刻過原點(diǎn)的流線是一、三象限的角平分線（見圖）。流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§例2非恒定流的跡線和流線。（3）為了確定t=1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方向，需求出此時(shí)過質(zhì)點(diǎn)A所在位置的流線方程。由跡線方程式可知，t=1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A位于x=3/2，y=1處，代入流線方程，有t=1時(shí)刻過流體質(zhì)點(diǎn)A所在位置的流線方程為這是一條與流體質(zhì)點(diǎn)A的跡線相切于（3/2，1）點(diǎn)處的斜直線，此時(shí)A的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)椋貉卦撝本€，x,y增大的方向。討論：本例說明，非恒定流中，跡線與流線明顯不相同。流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§脈線在某一瞬時(shí)將某一時(shí)段內(nèi)相繼通過某固定點(diǎn)的流體質(zhì)相連，所得的曲線稱為脈線?！E線與流線外，還可能運(yùn)用其它的手段來對(duì)流場(chǎng)中的流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行幾何描述?！ǔＡ鲃?dòng)中脈線的形狀不變，且與流線、跡線重合，故常用它來表示流線，原因在于脈線在流動(dòng)實(shí)驗(yàn)中易于觀察。在流場(chǎng)中某固定點(diǎn)施放染色源，則經(jīng)過該點(diǎn)的所有流體質(zhì)點(diǎn)均會(huì)染上色，因此脈線也稱染色線。[例B2.3.3]不定常流場(chǎng)的跡線與脈線解：此流場(chǎng)是周期性變化的不定常流動(dòng)。設(shè)t=0時(shí)刻起，每隔1s從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的質(zhì)點(diǎn)依次編號(hào)為a,b,c,d,e,f，每過6s重復(fù)循環(huán)一次。將每個(gè)質(zhì)點(diǎn)每隔1s的位置數(shù)據(jù)列表如下，每行的數(shù)據(jù)構(gòu)成每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的跡線，每欄的數(shù)據(jù)構(gòu)成每一時(shí)刻的脈線。

已知：設(shè)速度場(chǎng)為（0≤t＜3s）

t≥6s重復(fù)循環(huán)。（3s≤t＜6s）

求：試畫出：（1）0-6s內(nèi)每隔1s從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的跡線；（2）7-12s內(nèi)每隔1s的時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的脈線。t(s)0123456789101112a●(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)…b○(0,0)(1,0)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)…c▲(0,0)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)…d△(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,3)(2,3)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)…e■(0,0)(0,1)(0,2)(1,2)(2,2)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)…f□(0,0)(0,1)(1,1)(2,1)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)…[例B2.3.3]不定常流場(chǎng)的跡線與脈線在不定常流場(chǎng)中從某點(diǎn)發(fā)出的脈線形狀在不同時(shí)刻可以不同。本例中在7—12s內(nèi)的每一瞬時(shí)的脈線均不相同，但在下一個(gè)6秒內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)。[例B2.3.3]不定常流場(chǎng)的跡線與脈線(a)中分別為質(zhì)點(diǎn)a,b,c,d,e,f

的跡線(0-6s)，隨時(shí)間增長不斷延伸；

(b)為從原點(diǎn)每隔1s時(shí)刻(7-12s)

流出的不同質(zhì)點(diǎn)在每一瞬時(shí)連成的線

（以后重復(fù)循環(huán)），即從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的脈線。跡線脈線流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§流束、元流、總流和流管在流場(chǎng)中，過任意指定區(qū)域的所有流線的總和稱為流束。流束可大可小，如果指定區(qū)域取得無限小，這種情況下的流束稱為微元流束，也稱元流；如果指定區(qū)域到達(dá)流場(chǎng)周界，所得流束稱為總流。流束的外表面稱為流管，由于流線不能相交，所以，在各個(gè)時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)都只能在流管內(nèi)部或外部流動(dòng)，而不能穿越?！@四個(gè)都是假想的概念，對(duì)于直觀理解問題以及理論上處理某些問題有幫助?！爝^流斷面、流量與平均流速與流束中所有流線正交的截面稱為過流斷面。過流斷面不一定是平面，其形狀與流線的分布情況有關(guān)。

斷面平均流速是一個(gè)假想的等效流速，是指在假想的均勻分布流速下，流體流經(jīng)過流斷面的流量與實(shí)際情況相等。流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念——過流斷面上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素一般是不相同的。元流的情況單位時(shí)間內(nèi)通過過流斷面的流體量稱為流量，一般可分為體積流量和質(zhì)量流量?！霐嗝嫫骄魉俸螅兄谠谀承┣闆r簡(jiǎn)化問題。不是過流斷面的情況[例B2.2.1]直圓管粘性定常流動(dòng)：流量與平均速度(2-1)求：兩種速度分布的（1）流量Q的表達(dá)式；（2）截面上平均速度U。解：（1）流量計(jì)算時(shí)dA=2πrdr，拋物線分布的流量為已知:粘性流體在圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動(dòng)。設(shè)圓截面上有兩種速度分布，一種是拋物線分布,另一種是1/7次冪分布：上式中um1、um2分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。

v·n

)dA

=1/7次冪分布的流量為

v·n

)dA

（2）拋物線分布和1/7次冪分布的平均速度分別為討論：拋物線速度分布的截面平均速度為最大速度的一半，而1/7次冪分布的截面平均速度為最大速度的0.8167倍，這是后者的速度廓線中部更平坦，速度分布更均勻的緣故。[例B2.2.1]直圓管粘性定常流動(dòng)：流量與平均速度(2-2)§流動(dòng)修正因子使用假想的平均流速代替實(shí)際的變化流速分布，能夠給某些問題的考慮和求解帶來方便，但在使用時(shí)也應(yīng)注意，這種簡(jiǎn)化給其它物理量計(jì)算可能帶來的誤差。流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念——如過流斷面動(dòng)能和動(dòng)量的計(jì)算偏差常使用動(dòng)能修正因子和動(dòng)量修正因子來衡量這種偏差。[例B2.2.2]直圓管粘性定常流動(dòng)：動(dòng)能修正因子與動(dòng)量修正因子(1)按單位質(zhì)量流體的動(dòng)能計(jì)算，按動(dòng)能修正因子的定義解：已知:粘性流體在直圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動(dòng)。圓截面上有兩種速度分布，一種是拋物線分布,另一種是1/7次冪分布：上式中um1，um2分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。求：（1）關(guān)于平均速度的動(dòng)能修正因子；（2）關(guān)于平均速度的動(dòng)量修正因子β。上式中V為平均速度，設(shè)ρ=常數(shù),截面積A=πR2，微元圓環(huán)面積。，對(duì)拋物線分布對(duì)1/7次冪分布（2）按單位質(zhì)量流體的動(dòng)量計(jì)算，動(dòng)量修正因子β定義為相應(yīng)有[例B2.2.2]直圓管粘性定常流動(dòng)：動(dòng)能修正因子與動(dòng)量修正因子可得拋物線分布1/7次冪分布討論：將例B2.2.1和本例的結(jié)果列表說明1/7次冪分布比較接近平均速度廓線，用一維流動(dòng)近似計(jì)算動(dòng)能和動(dòng)量時(shí)，可取α=β=1，即不必修正。表B2.2.1

圓管粘性一維定常流動(dòng)修正因子動(dòng)能修正因子1.0201.0580.81671/7次冪分布1.3332.00.5拋物線分布動(dòng)量修正因子β速度分布類型平均速度/中心速度[例B2.2.2]直圓管粘性定常流動(dòng)：動(dòng)能修正因子與動(dòng)量修正因子流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§均勻流與非均勻流、漸變流與急變流根據(jù)位于同一流線中各質(zhì)點(diǎn)的流速是否隨沿程變化，可將流體運(yùn)動(dòng)分為均勻流和非均勻流。若流場(chǎng)中同一流線上各質(zhì)點(diǎn)的流速隨沿程保持不變，這種流動(dòng)稱為均勻流，否則稱為非均勻流?！鶆蛄髦懈髁骶€是彼此平行的直線，過流斷面為平面且其上流速分布沿程不變，無遷移加速度；但不同流線上的流體質(zhì)點(diǎn)速度可以不相同。R實(shí)際工程中的流體運(yùn)動(dòng)大多為非均勻流。為了便于研究，常常按流線變化的緩急程度，又將非均勻流分為漸變流和急變流。流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)物理量隨時(shí)間的總變化率稱為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，流體運(yùn)動(dòng)學(xué)中關(guān)注的是歐拉法表示的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。質(zhì)點(diǎn)的物理量B的歐拉表示相應(yīng)的，其導(dǎo)數(shù)的歐拉表示B=B

[x(t),y

(t),z(t),t]物理意義：當(dāng)?shù)刈兓?遷移變化率——位置坐標(biāo)x、y、z均會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化。流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)前式中的質(zhì)點(diǎn)物理量B可以是標(biāo)量，也可以是向量。當(dāng)B為標(biāo)量（如密度）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)表示式為當(dāng)B為向量（如速度）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為其中為梯度算子相應(yīng)的，定義為梯度運(yùn)算，為散度運(yùn)算流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§例3由速度場(chǎng)求加速度求：（1）加速度場(chǎng)；（2）在原點(diǎn)和（1,1,1）點(diǎn)處的加速度。解：由質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式可得已知：設(shè)速度場(chǎng)為u=x+t，v=ty，w=xz在原點(diǎn)在（1,1,1）點(diǎn)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念§系統(tǒng)與控制體從理論角度分析研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，要用到系統(tǒng)和控制體的概念。所謂系統(tǒng)，就是包含確定不變的物質(zhì)的集合。在工程流體力學(xué)中，系統(tǒng)就是指由確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流體對(duì)象。顯然，使用系統(tǒng)作為考察對(duì)象，意味著采用拉格朗日方法來研究流體運(yùn)動(dòng)。所謂控制體，在工程流體力學(xué)中，是指相對(duì)于某個(gè)坐標(biāo)系而言，有流體流過的固定不變的空間區(qū)域，控制體的邊界面稱為控制面，它總是封閉的。由此可見，使用控制體作為考察對(duì)象，是與歐拉方法相對(duì)應(yīng)的研究手段。形狀改變追蹤的流體質(zhì)點(diǎn)不變形狀不變內(nèi)部的流體質(zhì)點(diǎn)改變流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體運(yùn)動(dòng)平移轉(zhuǎn)動(dòng)變形速度相互關(guān)聯(lián)§流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析§以平面流動(dòng)為例，流場(chǎng)中鄰近兩點(diǎn)的速度關(guān)系前式可寫成矩陣形式，其中F稱為速度梯度矩陣。再將速度梯度矩陣分解為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和，有將其代入前述速度關(guān)系式，整理得流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析§速度分解表達(dá)式——任意矩陣均可作此分解。類比：將函數(shù)分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)之和。取流場(chǎng)中的一個(gè)矩形微元（ABCD）為考察對(duì)象，其上各點(diǎn)的瞬時(shí)速度如圖所示。流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析§流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的組成分析——以A為基準(zhǔn)點(diǎn)，分析經(jīng)過dt

時(shí)間后流體微元的位置和形狀變化。平移運(yùn)動(dòng)：因各點(diǎn)均有相同的速度部分ux、uy，經(jīng)過時(shí)間dt

后，流體微團(tuán)ABCD將隨基準(zhǔn)點(diǎn)A平移至A1B1C1D1。流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析拉伸變形：線元dx、dy

分別沿x、y方向的局部相對(duì)伸長速率（線應(yīng)變率）相對(duì)面積變化率相對(duì)體積變化率（三維）流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析對(duì)應(yīng)速度散度[例B2.5.2]膨脹流動(dòng)：線應(yīng)變率與面積擴(kuò)張率解：(1)按流線微分方程式，因v=0得dy=0，積分可得流線方程為

已知：設(shè)平面流場(chǎng)為

（k>0，為常數(shù)）說明流線是平行于x軸的直線族。線應(yīng)變率為

求：（1）流線、線應(yīng)變率和面積擴(kuò)張率表達(dá)式；y=C

(C為常數(shù))

（2）設(shè)k=1,t=0時(shí)刻邊長為1的正方形流體面abcd位于圖中所示位置,求t=t’

時(shí)刻點(diǎn)a(1,3)到達(dá)點(diǎn)a’(3,3)時(shí)流體面a’b’c’d’

的位置和形狀。說明x方向的線元以恒速率k伸長，y方向的線元長度保持不變。面積擴(kuò)張率為

說明面元的瞬時(shí)面積相對(duì)擴(kuò)張率為常數(shù)。任何單位面積的流體面均以恒速率k擴(kuò)張，通常將這種流動(dòng)稱為膨脹流（當(dāng)k<0時(shí)為收縮流）。（2）設(shè)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于M（x,y），t=t’

時(shí)位于M’(x’，

y’)?？汕筚|(zhì)點(diǎn)軌跡方程(a)

(b)[例B2.5.2]膨脹流動(dòng)：線應(yīng)變率與面積擴(kuò)張率

abcd

和a’b’c’d’四角點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

a(1,3)，

b(2,3)，

c(2,4)，d(1,4)，

a’(3,3)，

b’(6,3)，c’(6,4)，

d’(3,4)，[例B2.5.2]膨脹流動(dòng)：線應(yīng)變率與面積擴(kuò)張率

設(shè)k=1，由點(diǎn)a和a’，x’/x=3，即x’=3x，y’=y，因此M’(x’,y’)=M’(3x,y)。a’b’c’d’的位置和形狀如下圖中虛線所示，說明從

t=0到t=t’，流體面在x方向擴(kuò)張了3倍.剪切變形：線元dx、dy

分別沿y、x方向的局部相對(duì)剪切速率（角變形率）。流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析同理可得流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析——由圖可見，上述剪切變形是非對(duì)稱的（兩個(gè)方向的剪切速率不一樣），為了和速度梯度表達(dá)式F中的次對(duì)角線元素相對(duì)應(yīng)，可將其分解為一個(gè)對(duì)稱剪切變形和一個(gè)旋轉(zhuǎn)變形的組合。對(duì)稱剪切變形的速率為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：線元dx、dy

在xOy

平面內(nèi)繞z軸的旋轉(zhuǎn)角速率。流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析事實(shí)上，旋轉(zhuǎn)角速度的概念還可按更一般的定義為：以點(diǎn)M0為中心，半徑為a的圓周線c上速度切向分量的平均值與半徑之比的極限值。與剛體角速度的區(qū)別[例B2.5.3]線性剪切流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度解：對(duì)于這種平行板間流動(dòng)，由第一章知識(shí)可知，根據(jù)牛頓粘性定律可以測(cè)定其流體粘度，但這里暫時(shí)僅討論它的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。

已知：設(shè)平面流場(chǎng)為

（k>0，為常數(shù)）

求：試分析該流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。

流場(chǎng)速度分布如圖所示。由流線微分方程

dy=0,積分得流線方程

y=C(C為常數(shù))，

說明流線是平行于x軸的直線族。x,y方向的線應(yīng)變率和

xOy

平面內(nèi)的角變形率分別為說明一點(diǎn)鄰域內(nèi)的流體作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。面積擴(kuò)張率為圖中四邊形流體面在運(yùn)動(dòng)過程中面積保持不變，對(duì)角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷被切向扯動(dòng)，進(jìn)而變窄。線元既不伸長也不縮短，互相正交的線元隨時(shí)間增長夾角不斷變化。本例中k>0

，即流體自左向右流動(dòng)時(shí)正交線元的夾角不斷減小。流體的旋轉(zhuǎn)角速度為[例B2.5.3]線性剪切流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度[例B2.5.3A]

剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度

解：該問題的物理來源是盛水圓筒繞中心軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，由第二章知識(shí)可知，流體處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，但這里僅討論它的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。

已知：設(shè)平面流場(chǎng)為

（k>0，為常數(shù)）

求：試分析該流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。x2

+

y2=C(C為常數(shù))

x,y方向線應(yīng)變率和xOy

平面內(nèi)角變形率分別為在圖示坐標(biāo)系中速度分布如圖。由流線微分方程

－kydy=kxdx,積分得流線方程，為圓周線[例B2.5.3A]

剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度

說明在x,y方向無線變形，在xOy平面內(nèi)無角變形。面積擴(kuò)張率為以上結(jié)果表明，該流動(dòng)在平面上流體處處無變形，運(yùn)動(dòng)與剛體無異（這也與相對(duì)靜止的概念吻合）。說明流體象剛體一樣繞中心軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)，故稱為剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng).相應(yīng)的，流體的旋轉(zhuǎn)角速度為

流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析§速度分解表達(dá)式的物理意義平移速率變形速率旋轉(zhuǎn)速率拉伸剪切彈性力學(xué)中的幾何方程類似的，可定義三維情況下的線應(yīng)變率角變形率旋轉(zhuǎn)角速率流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析§亥姆霍茲速度分解定理

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