2023-2024學(xué)年上海市高二上冊期中數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.空間中，直線/在平面ɑ上用集合語言表示為.

【正確答案】IUa

【分析】利用直線在平面上，及元素與集合的關(guān)系符號、集合與集合的關(guān)系符號表達即可.

【詳解】直線/在平面α上，用集合語言表示為∕ua.

故答案為∕?α.

本題考查了點、線、平面的位置關(guān)系的表示，點與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，包括屬

于、不屬于兩種關(guān)系，直線和平面的關(guān)系是2個集合間的關(guān)系，包括真含于、不真含于兩種

關(guān)系.

2.已知向量卜=(2,-l,Z),且&與。互相垂直，則％的值是

3

【正確答案】-；##-0.75

4

【分析】兩向量垂直，數(shù)量積為0,列方程求解.

13

【詳解】因為a與b互相垂直，所以d?b=lχ2+∕χ(-l)+2k=0,解得Z=-“

,3

故4一：

4

3.在長方體ABCO-AqG。中，若A3=2,BC=I,M=3,則BG與平面陰DQ所成的

角θ可用反三角函數(shù)值表示為6=_.

【正確答案】arcsin也

5

【分析】過點G作Sa的垂線，垂足為點。，可證明OGJ_平面8BQD,找到線面角，再利

用幾何關(guān)系求出結(jié)果.

過點Cl作BQ的垂線，垂足為點0,連接BO,在長方體中由AB=2,BC=I,

由長方體的性質(zhì)得8片，面ABCQ,從而有OCiLBB∣,且BBU=B∣,BBKBBU平

?BS1D1D,

所以O(shè)C口平面88QQ,則NC∣B0為則8G與平面即。。所成角，

在Rtz?8θG中，OG=^^^=手,BC?=M,

2√5

所以O(shè)C_?√2,

SinZOBC=1=

l而一而-5

故BC］與平面BBQQ所成的角0=arcsin*.

故答案為.arcsin*

4.如圖，以長方體ABCD-A4GR的頂點。為坐標(biāo)原點，過。的三條棱所在的直線為坐

標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若。片的坐標(biāo)為(4,3,2),則AG的坐標(biāo)為

【正確答案】1,3,2)

【詳解】如圖所示，以長方體ABCQ-A與GR的頂點。為坐標(biāo)原點,

過。的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因為DBl的坐標(biāo)為(4,3,2),所以A(4,0,0),G(0,3,2),

所以AG=(-4,3,2).

5.如圖，R4_L平面45C,NACB=90。旦PA=AC=BC=I,則異面直線RS與AC所成角

的大小是一.

【正確答案】arctanV2.

【分析】過B作5D∕MC,BD=AC,則NPBZ）（或其補角）即為所求，由線線垂直證08J_

平面PAD,再證皮>_LP￡>,即可在Rt_PZ汨中求值.

【詳解】過8作8O∕∕AC,HBD=AC,因為NACB=90。，所以四邊形AOBC為矩形，

則NPBD（或其補角）即為所求.

因為PA=4C=3C=1,所以AQ=I,BD=I,

因為，平面A8C,AZλDBi平面ABC,PAlDB,PAVAD,所以

PD=PA2+AD2=√2；

又因為￡>B_LAZ）,ADPA=A,AD,PA?平面PA。，所以￡>31.平面PAO,

?；/>￡>u平面PAD,所以3Δ>"LP∕）.

在RJPDB中，tanN尸BD=乎=a,即異面直線PB與AC所成的角為arctan0.

故答案為.arctanV∑

6.已知點A,B到平面α的距離分別是4,6,則線段AB的中點M到平面α的距離是.

【正確答案】1或5

【分析】分別討論A8兩點位于平面同側(cè)和兩側(cè)的情況得到結(jié)果.

【詳解】若AB位于平面a同側(cè)，則AB中點M到平面ɑ距離為=5

6-4

若A,8位于平面α兩側(cè)，則A8中點M到平面a距離為一$—=1

故1或5

本題考查點到面的距離問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}進行準(zhǔn)確分類，屬于基礎(chǔ)題.

7.如圖，在三棱柱ABlG-48C中，D,E,尸分別為AB,AC,AA的中點，設(shè)三棱錐

尸-4)E體積為K,三棱柱ARG-ABC的體積為匕，則乂：匕=

【詳解】試題分析：因為D,E,分別是AB,AC的中點，所以SAADE：S?ABC=I:4,

又F是AAl的中點，所以A1到底面的距離H為F到底面距離h的2倍.

即三棱柱A1B1Ci-ABC的高是三棱錐F-ADE高的2倍.

所以V∣:V2=∣S?ADE?h∕S?ABC?H=^-=b24

棱柱、棱錐、棱臺的體積

8.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1,若點E、F分別是48、AO的中

點，PI1JEF-DC=.

【正確答案】一

4

【分析】根據(jù)題意，得A-8C。為正四面體，根據(jù)其幾何性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積公式，即可得答

案.

【詳解】連接AC、BD,由題意得A-BCQ為正四面體，底面48CO為等邊三角形，

因為點E、F分別是AB、的中點，

所以EFuBD,且EF=；BD=；,

所以?。C=∣EF∣?∣DC∣?cos<EF,DC>=→IXCoS等=-?.

E

B

9.直線/與平面。所成角為鄉(xiāng)Jca=A,muɑ,A^mf則〃?與/所成角的取值范圍是

Tt4

【正確答案】---

_62_

【分析】根據(jù)直線/與平面α所成角是直線/與平面ɑ內(nèi)所有直線成的角中最小的一個，直

線/與平面α所成角的范圍，即可求出結(jié)果.

【詳解】由于直線/與平面α所成角為

6

直線/與平面α所成角是直線/與平面α內(nèi)所有直線成的角中最小的一個，

而異面直線所成角的范圍是（θ,/,

由∕cα=A,muα,Aiιn,可知機與直線/異面，

7171

故加與/所成角的取值范圍是---，

_O2_

,,「下π

故一，一

|_62j

10.已知正三棱柱ABC-A4G的底面邊長為I,高為8,一質(zhì)點自A點出發(fā)，沿著三棱柱

的側(cè)面繞行兩周到達A的最短路線的長為.

【正確答案】10

【分析】將三棱柱的側(cè)面展開兩次，結(jié)合矩形的對角線長，進而求得最短距離，得到答案.

【詳解】將正三棱柱ABC-A4￡的側(cè)面展開兩次，再拼接到一起，

其側(cè)面展開圖，如圖所示的矩形，連接44，

因為正三棱柱ABC-AMG的底面邊長為1，高為8,可得矩形的底邊長為6,高為8,

F

所以A4l=√6lF=IO.

故答案為.10

11.如圖所示，在.ABC中，ZΛCB=90?NBAC=30°,BC=I.在三角形內(nèi)挖去半圓(圓

心。在邊AC上，半圓與BC,AB相切于點C,M,與Ae交于點N),則圖中陰影部分繞直

線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為.

【正確答案】也

27

幾何體是圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體，是一個圓錐內(nèi)挖去一個球后剩余部

分，求出圓錐的體積減去球的體積，可得幾何體的體積.

【詳解】幾何體是圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體，

是一個圓錐內(nèi)挖去一個球后剩余部分，

且球是圓錐的內(nèi)切球，

所以圓錐的底面半徑是1,高為G，球的半徑為，?，

可以得到tan30=^~=r=^-,

BC3

所以圓錐的體積為L萬1?6=3萬，

33

球的體積為&乃?(3)3=迪萬，

3327

所以陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為且乃-逑乃=巫兀,

32727

故答案為?史兀

27

該題考查的是有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的體積的求解問題，在解題的過程中，注意分析幾何體的特征，涉

及到的知識點有錐體的體積公式和球的體積公式，屬于簡單題目.

12.有兩個相同的直三棱柱，高為三2,底面三角形的三邊長分別為3α,4a,54(α>0),用

a

它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個三棱柱，則。的

取值范圍是

【分析】由不同的拼接方式，分別計算棱柱全面積，根據(jù)全面積最小值的情況列不等式求。

的取值范圍.

【詳解】①拼成一個三棱柱時，全面積有三種情況，

14

將上下底面對接，其全面積為S=2xQx3〃x4〃+(34+4Q+5a)x-=12〃2+48.

12

3α邊可以合在一起時，其全面積為S=2x2x∕x34x4a+2(5α+4o)x,=2442+36.

12

4〃邊合在一起時，其全面積為S=2×2×-×3(2×4<z+2(5tz+3tz)×-=24/+32.

②拼成一個四棱柱，有四種情況，其中全面積有三種情況,

就是分別讓邊長為3。，4〃，5。所在的側(cè)面重合,

其上下底面積之和都是2x2xgx34x44=24/,

222

但側(cè)面積分別為2(40+5a)×-=36,2(3〃+5。)x—=32,2(3〃+4〃)x—=28,

aaa

?9

顯然，三個四棱柱中全面積最小的值為S=2x2x∕x34x4α+2(3α+40)x?∣=2442+28.

由題意得12/+48<24/+28,解得“>巫，

3

/r\

所以。的取值范圍為半,+∞.

、?J

故3'8

關(guān)鍵點點睛：本題除了考查棱柱全面積的計算外，重點在三棱柱和四棱柱的拼接方式，要考

慮全面，不能有遺漏.

二、單選題

13.“直線”與直線b沒有交點”是“直線。與直線方為異面直線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間兩直線的位置關(guān)系判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】兩條直線沒有交點，說明這兩條直線的位置關(guān)系為平行或異面

而兩條直線為異面直線時，它們必沒有交點，

所以選項B正確，選項ACD錯誤.

故選：B.

14.已知孫〃為兩條不同的直線,a、4為兩個不同的平面,下列四個命題中正確的是（）

A.若a,且〃〃a,則，〃M

B.若加、〃在a上,且加〃尸，〃〃夕,則a〃/

C.若aJ.P，且加在a上,則加，力

D.若a且m在a外,則根a

【正確答案】D

【分析】A.當(dāng)加和〃為異面直線時，也可滿足條件，即可判斷出；

B.利用面面平行的判定定理即可判斷出；

C.利用面面垂直的性質(zhì)定理即可判斷出；

D.利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得出.

【詳解】解：A.若m〃a,且〃〃a,則〃？〃或用和〃為異面直線，因此不正確；

B.若如W在a上,且相〃￡,〃〃夕,只有當(dāng)山和〃相交時，才能推出a〃?，因此不正確；

C.若。_1/?,且^在。上，只有機垂直與a和4的交線時才能推出相，￡,因此不正確；

D.若a，/?,機，￡,且加在a外，則a內(nèi)有一條垂直于a和4交線的直線/和夕垂直，又

mLβ,利用線面垂直的性質(zhì)定理加〃7，又加在a外，即可得出，"a,正確.

綜上可得：只有D正確.

故選D.

本題考查了線面與面面平行、垂直的性質(zhì)定理，考查了推理能力，屬于中檔題.

15.卜列命題：

①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；

②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；

③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；

④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.OB.IC.2D.3

【正確答案】A

【分析】①②③④均可舉出反例.

【詳解】①如圖1,滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形,

圖1

顯然不是棱柱，故①錯誤；

②如圖2,滿足兩側(cè)面與底面垂直，但不是直棱柱，②錯誤;

③如圖3,四邊形ACGA為矩形,

即過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；

④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④錯

誤.

故選：A

16.如圖，P為正方體A88-A耳CQl中AG與SR的交點，則ΔE4C在該正方體各個面上

的射影可能是

【正確答案】C

【分析】從三個角度對正方體進行平行投影，首先確定關(guān)鍵點P、A,C在各個面上的投影,

再把它們連接起來，即得△布C在該正方體各個面上的射影.

【詳解】由題意知，P為正方體ABCo-A的中心，

則從上向下投影時，點P的影子落在對角線AC上，故△/?C在下底面上的射影是線段AC,

是第一個圖形；

當(dāng)從前向后投影時，點P的影子應(yīng)落在側(cè)面CnC/0的中心上，4點的影子落在。上，故故

△方C在面CDGD上的射影是三角形，是第四個圖形；

當(dāng)從左向右投影時，點P的影子應(yīng)落在側(cè)面BCB/C/的中心上，A點的影子落在B上，故故

△/?C在面CZ)GQ上的射影是三角形，是第四個圖形.

故選C.

本題主要考查了平行投影和空間想象能力，關(guān)鍵是確定投影圖得關(guān)鍵點，如頂點等，再一次

連接即可得在平面上的投影圖，主要依據(jù)平行投影的含義和空間想象來完成.

三、解答題

4

17.若圓錐的側(cè)面積為20π,且母線與底面所成的角為arccos],求該圓錐的體積.

【正確答案】48π.

【分析】直接代入圓錐側(cè)面積公式，根據(jù)反三角定義與圓錐的體積公式即可求解.

【詳解】

設(shè)該圓錐的底面半徑為r,高為人,母線為/,如圖所示:

-4

因為圓錐的側(cè)面積為20π,且母線與底面所成的角為arccosg,

??4j

所以“∕=2θ7t,7=g,所以r=4,∕=5,所以〃=5尸一＞=3,

故該圓錐的體積V=πr%=48π.

18.已知正三棱柱ABC-ABC的底面邊長為3cm,高為3cm,M、N、P分別是A4、AC、

BC的中點.

（1）用“斜二測”畫法，作出此正三棱柱的直觀圖（嚴(yán)格按照直尺刻度）；

（2）在（1）中作出過M、N、尸三點的正三棱柱的截面（保留作圖痕跡）.

【正確答案】（1）作圖見解析；

（2）作圖見解析.

【分析】（1）利用斜二測法畫出棱柱底面A4G的直觀圖，再根據(jù)斜二測畫圖的原則確定

AB,C三點，即可得直觀圖；

（2）應(yīng)用平面的基本性質(zhì)畫出截面即可.

【詳解】（1）①平面直角坐標(biāo)系中作邊長為3cm的等邊三角形，原點。為AM中點,

如下圖，

②在線段OG上找到中點。，過。作與X軸成45。的y'軸，并在V軸找點G使OG=。。,

此時直觀圖底面AAG確定；

③過A,耳,G向上作與X軸垂直的射線，并在各射線上找一點A反C使

AA=BIB=CC=3cm,連接A8,8C,8A,即得正三棱柱的直觀圖.

(2)①過MN作直線分別交射線GA，GC于E，。，連接EP,DP,分別交A綜BC于G,F,

②連接MG,NF,則截面FNMGP即為所求.

19.如圖所示，正四棱錐P-ASCD底面的四個頂點A,B,C,。在球。的同一個大圓上,

點尸在球面上，且已知％.ABCD=y.

(1)求球O的表面積；

(2)設(shè)M為BC中點，求異面直線AW與PC所成角的大小.

OFc

【正確答案】(1)16萬(2)arccos—

10

【分析】(1)由題意可知，尸。工平面ABC。，并且是半徑，由體積求出半徑，然后求出球

的表面積.

(2)以。4,OB,OP為X,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，進一步求出

AM,PC的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出AM.PC的夾角余弦,得到異面直線A〃與PC所

成角的大小.

【詳解】解：(1)解：如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A,B,C,。在球。的

同一個大圓上，點P在球面上，PoI底面ABmPO=R,SS=2斤，Vp.abcd=y,

所以;W./?=?，R=2,

球。的表面積是S=4ZΓR2=↑6π

(2)以O(shè)A,OB,OP為X,V,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

P(0,0,2),A(2,O,O),8(0,2,0),C(-2,0,。)，M(-l,1,0),

AM=(-3,1,0),PC=(-2,0,-2),

所以cos<AKPC>=輸=挈

所以異面直線AM與PC所成角的余弦值為定.

10

所以異面直線AM與PC所成角的大小為arccos專.

本題考查球的內(nèi)接體問題，球的表面積、體積，考查學(xué)生空間想象能力，通過建立空間直角

坐標(biāo)系，將異面直線所成的角通過向量的數(shù)量積來解決，屬于中檔題.

20.如圖，四面體ABC。中，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=立.

⑴求直線AC與平面BCO所成角的大小;

⑵求點8到平面A8的距離.

TT

【正確答案】（1）之；

0

⑵也

7

【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理，結(jié)合勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，可得Ao，平面

BCD,利用定義法找到線面角，從而在直角三角形中求出角的大小；

（2）根據(jù)等體積法，結(jié)合三角形面積公式，可得答案.

取BO中點。，連接。4、OC,因為30=。。，BA=AD,所以

因為8O=">,BC=CD,所以COj

1Fi

在ΔAOC中，AO=-BD=I,CO=-BD=>β,AC=2,

22

所以AO?+co?=AC?,所以AOJ_OC.

因為BDCoC=O,且BDu平面BC￡),OCU平面Ba),所以AO_L平面BCD

故直線AC與平面BCD所成角為NACO,

在RjAOC中，sinZACO=—=

AC2

所以直線AC與平面5C。所成角為F;

6

⑵因為AZ)3AC=8=2,所以-C=%坦*=空=3,

2ACCD84

所以SinC=Jl-(II=，,所以SACi)=gcA?CDSinC=*，

設(shè)點B到平面ACD的距離為〃，

又SBcB=?^x2?=6,且AO=I,由等體積法得匕(-4CO=匕-88，

所以!SAS?∕7=∣SZO,?A0,所以〃=￥=零

3S?J∕/

21.如圖，AB是圓。的直徑，點C是圓。上異于A、B的點，直線PC_L平面ABC,E,F

分別為P4,PC的中點.

(1)記平面BEF與平面ABC的交線為/,試判斷/與平面PAC的位置關(guān)系，并加以說明；

(2)設(shè)(1)中的直線/與圓。的另一個交點為。，且點。滿足2OQ=CP,記直線PQ與平面

A3C所成的角為。，異面直線PQ與竹所成的銳角為α,求證：BFsin^=CFsina.

【正確答案】(1)直線/〃平面PAC,答案見解析

(2)證明見解析