2023年高考數(shù)學匯編平面向量

第一節(jié)平面向量的概念及線性運算

1.(2023新高考∏卷13)已知向量α力滿足Ia-W=6,∣α+U=∣2α-W,則網(wǎng)=

【解析】解法一(向量運算)：因為Ia-M=G,所以/-2α?Z,+A2=3①

因為∣α+6∣=∣2α-b∣,所以/+2a∕+61=4α,2-4α?b+/,

化簡得∕=2ɑ?。，代入①得〃=3,M∣=6.

解法二(向量運算加減幾何意義)：

如圖所示，a+b=OD,2a-b=BC,所以|。4=,4，

所以四邊形OCDB為等腰梯形，則口@=IOq=Ia-U=石.

即Ml=?/?.

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示

1.(2023新高考I卷3)已知向量α=(l,l),6=(1,-1).若(α+勸)_L(a+/力)，則()

A.Λ÷∕/=1B.Λ+//=-1C.λμ=1D.λμ=-1

［解析］(Q+λb^?(α+/蛇=a2+(Λ+χ∕)ο??+λμb1—2+0+22〃=2(1÷=0,

所以“/=-1.故選D.

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應用

1.(2023北京卷3)已知向量”,力滿足α+b=(2,3),α-?=(-2,l),則同。一網(wǎng)2=()

A.-2B.-lC.0D.1

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標表示求解作答.

【解析】向量a,b滿足α+b=(2,3),。一力=(-2,1),

所以IQF-?b?2=(a+b)?(a-b)=2×(—2)+3×1=—1.

故選B.

2.(2023全國甲卷理科4)向量Id=Ml=Ijd=V2且α+Z>+c=0,則COS—c,b—c)=()

Ic2--4

A.一一B.一一C.-D.-

5555

【分析】作出圖形，根據(jù)幾何意義求解.

【解析】因為α+萬+c=0,所以α+b=-c,

即02+〃+2Λ?方=",即1+1+2a?b=2,所以0?。=0.

如圖所示，設。4=α,OB=b,OC=c9

由題知，OA=OB=I,OC=√2,Z?Q45是等腰直角三角形，

AB近上的高OD=顯,AD^-,所以Cz)=CO+OZ)=√Σ+也=還，

2222

tanZACD=-=-,cosZACD=-^=,

CD3√K)

cos(α-c,b-c^-cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD_1=2x-1=^.

故選D.

3.(2023全國甲卷文科3)已知向量α=(3,l),力=(2,2),則COS(α+“α-8)=()

A±B.姮C至D.3L

171755

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得∣α+”,Ia-W,(α+9?(α-8),從而

利用平面向量余弦的運算公式即可得解.

【解析】因為α=(3,1),5=(2,2),所以α+b=(5,3),α-)=(1,一1),

則,+耳=7?壽=取"4=√ΓTT=√L(α+*)?(α-?)=5×l+3×(-l)=2,

,?(fl÷?)?(α-?)2√Γ7

所以cos{a+b,a-b)='——"--2

∣α+?∣∣α-?r∣√34×√2^17

故選B.

4.（2023全國乙卷理科12）已知圓。的半徑為I,直線P4與圓。相切于點A,直線PB與

圓。交于8,C兩點，。為BC的中點，若IPOl=JΣ,則P4PO的最大值為（）

l+2√2

C,l+√2D.2+√2

2

【解析】依題意4PAO為等腰直角三角形，∣PA∣=1,

Tr

ZAPO=-＞因為要求尸A?Pf＞的最大值，所以PAP。一定在尸O同側，如圖所示，

P

設ZAPf)=α,0<a<^,則NOPQ=,∣PQ∣=POcosNOPQ=&CoS(；-二

所以PA?PO=MfPQeOSaCOSa

^√2?！?Jl+√2

2[_2J2

當a=四時等號成立，所以PA.p￡）的最大值為上W?.故選A.

82

5.（2023全國乙卷文科6）正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點，則EC?ED=（）

A.√5B.3C.2√5D.5

【分析】解法一：以｛∕R,AZ）｝為基底向量表示EC,EO,再結合數(shù)量積的運算律運算求解;

解法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；解法三：利用余弦定理求COSNZ無C,進而

根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.

【解析】解法一(基底法)：以｛AB,AO｝為基底向量，可知IAq=IA4=2,A氏AO=0,

則EC=EB+BC=-AB+AD,ED=EA+AD=--AB+AD,

22

所以Ee?EO=(JAB+Ao]｛-；A8+AO)=-；A62+A爐=-1+4=3.

解法二(建系法)：如圖所示，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，

則E(l,0),C(2,2),D(0,2),可得EC=(1,2),EO=(—1,2),

所以ECEZ)=-I+4=3?

解法三(定義法)：由題意可得：ED=EC=區(qū)CD=2,

DE2+CE2-DC25÷5-4_3

在△口)E中，由余弦定理可得COSNDEC=----------------------

2DE?CE2×√5×√5^5

所以EC?ED=IEqEqCoSZDEC=√5×√5×-=3.

故選B.

6.(2023天津卷14)在ZVWC中，ZA=60,BC=I,點、D為AB的中點、，點、E為CD的

1

中點，若設A8=α,AC=6,則AE?可用。力表示為;若BF=^BC,則AE?A尸

的最大值為.

【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結合E為CZ)的中點進行求解；空2：用α力表示出Ab,

結合上一空答案，于是AE?AE可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.

【解析】空1:因為E為Co的中點，所以2AE=AO+AC,即2AE='α+b,則

2

A,LE=-1a-?-?-b,；

42

1?AF+FC=AC

空2：因為BF=-BC,則2EB+/C=0,由題意可得＜,

3AF+FB=AB

得到A/+尸C+2(AF+ES)=AC+2A8,即3AF=2α+Z>,即AF=2”+，/,.

v733

于是AE?AF=(lα+:b}(gα+gb]=±(2a2+5α?b+2∕)

記AB=X,AC=y,

AE-AF=^la2+5ab+2b1)=^2x1+5盯COS60+2y

22222

在ZXABC中，根據(jù)余弦定理：BC=x+y-2xycos60=χ+y-xy=↑