PAGEPAGE63經(jīng)典易錯題會診與2012屆高考試題預(yù)測（九）考點(diǎn)9圓錐曲線?對橢圓相關(guān)知識的考查?對雙曲線相關(guān)知識的考查?對拋物線相關(guān)知識的考查?對直線與圓錐曲線相關(guān)知識的考查?對軌跡問題的考查?考察圓錐曲線中的定值與最值問題?橢圓?雙曲線?拋物線?直線與圓錐曲線?軌跡問題?圓錐曲線中的定值與最值問題經(jīng)典易錯題會診命題角度1對橢圓相關(guān)知識的考查1．(典型例題Ⅰ)設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△FlPF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()[考場錯解]A[專家把脈]沒有很好地理解橢圓的定義，錯誤地把當(dāng)作離心率．[對癥下藥]D設(shè)橢圓的方程為=l(a，b>0)由題意可設(shè)|PF2|=|F1F2|=k，|PF1|=k，則e=2．(典型例題)設(shè)雙曲線以橢圓=1長軸的兩個端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率為()A．±2B．±C．±D．±[考場錯解]D由題意得a=5，b=3，則c=4而雙曲線以橢圓=1長軸的兩個端點(diǎn)為焦點(diǎn)，則a=c=4，b=3∴k=[專家把脈]沒有很好理解a、b、c的實際意義．[對癥下藥]C設(shè)雙曲線方程為=1，則由題意知c=5，=4則a2=20b2=5，而a=2b=∴雙曲線漸近線斜率為±=3．(典型例題)從集合{1，2，3…，11}中任選兩個元素作為橢圓方程=1中的m和n，則能組成落在矩形區(qū)域B={(x，y)‖x|<11，且|y|<9}內(nèi)的橢圓個數(shù)為()A．43B．72C．86D．90[考場錯解]D由題意得，m、n都有10種可能，但m≠n故橢圓的個數(shù)10×10-10=90．[專家把脈]沒有注意，x、y的取值不同．[對癥下藥]B由題意得m有10種可能，n只能從集合11，2，3，4，5，6，7，81中選取，且m≠n，故橢圓的個數(shù)：10×8-8=72．4．(典型例題)設(shè)直線l與橢圓=1相交于A、B兩點(diǎn)，l又與雙曲線x2-y2=1相交于C、D兩點(diǎn)，C、D三等分線段AB，求直線l的方程()[考場錯解]設(shè)直線l的方程為y=kx+b如圖所示，l與橢圓，雙曲線的交點(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依題意有=3由所以x1+x2=-由得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0(2)若k=±1，則l與雙曲線最多只有一個交點(diǎn)，不合題意，故k≠±1所以x3+x4=、由x3-x1=x2-x4x1+x2=x3+x4-bk=0或b=0①當(dāng)k=0時，由(1)得x1、2=±由(2)得x3、4=±由=3(x4-x1)即故l的方程為y=±②當(dāng)b=0時，由(1)得x1、2=±，由(2)得x3、4=由=3(x4-x3)即綜上所述：直線l的方程為：y=[專家把脈]用斜截式設(shè)直線方程時沒有注意斜率是否存在，致使造成思維片面，漏解．[對癥下藥]解法一：首先討論l不與x軸垂直時的，情況．設(shè)直線l的方程為y=kx+b，如圖所示，l與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為：A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依題意有．由得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0．(1)所以x1+x2=-由得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0．若k=±1，則l與雙曲線最多只有一個交點(diǎn)，不合題意，故k≠±1．所以x3+x4=由x1+x2=x2+x4或b=0．①當(dāng)k=0時，由(1)得由(2)得x3、4=±由(x4-x3)．即故l的方程為y=±②當(dāng)b=0時，由(1)得x1、2=自(2)得x3、4=(x4-x3)．即故l的方程為y=．再討論l與x軸垂直時的情況．設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得yl、2=y3、4=即綜上所述，直線l的方程是：y=x、y=±和x=解法二：設(shè)l與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為：A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，則有由i的兩個式子相減及j的兩個式子相減，得：因C、D是AB的三等分點(diǎn)，故CD的中點(diǎn)(x0，y0)與AB的中點(diǎn)重合，且于是x0=y0=x2-x1=3(x4-x3)．因此若x0y0≠0，則x2=x1x4=x3y4=y3y2=y1．因A、B、C、D互異，故xi≠xj，yi≠yj，這里ij=1，2，3，4且i≠j(1)÷(2)得16=-25，矛盾，所以x0y0=0．①當(dāng)x0=0，y0≠0時，由(2)得y4=y3≠0，這時l平行x軸．設(shè)l的方程為y=b，分別代入橢圓、雙曲線方程得：xl、2=x3、4=∵x2-x1=3(x4-x3)．故l的方程為y=±②當(dāng)y0=0，x0≠0，由(2)得x4=x3≠0，這時l平行y軸．設(shè)l的方程為x=c，分別代入橢圓、雙曲線方程得：yl、2=y3、4=∵y2-y1=3(y4-y3)故l的方程為：③當(dāng)x0=0，y0=0時，這時l通過坐標(biāo)原點(diǎn)且不與x軸垂直．設(shè)l的方程為y=kx，分別代入橢圓、雙曲線方程得：x1、2=故l的方程為y=綜上所述，直線l的方程是：y=、y=和x=5．(典型例題)設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1，3)是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)．(1)確定A的取值范圍，并求直線AB的方程；(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的A，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個圓上?并說明理由．(此題不要求在答題卡上畫圖)[考場錯解](1)設(shè)A(x1，y1)B(x2，y2)則有:(x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0依題意，x1≠x2∴kAB-∵N(1，3)是AB的中點(diǎn)，∴x1+x2=2,yl+y2=6從而kAB=-9又由N(1，3)在橢圓內(nèi)，∴λ<3×12+32=12∴λ的取值范圍是(-∞，12)直線AB的方程為y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0[專家把脈]①用“差比法”求斜率時kAB=這地方很容易出錯．②N(1，3)在橢圓內(nèi)，λ>3×12+32=12應(yīng)用結(jié)論時也易混淆．[對癥下藥](1)解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=λ，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．①設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)，則x1，x2是方程①的兩個不同的根，∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0，②且x1+x2=，由N(1，3)是線段AB的中點(diǎn)，得，∴A(k-3)=k2+3．解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范圍是(12，+∞)．于是，直線AB的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．解法2：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0依題意，x1≠x2，∴kAB=-∵N(1，3)是AB的中點(diǎn)，∴x1+x2=2，yl+y2=6，從而kAB=-1．又由N(1，3)在橢圓內(nèi)，∴λ>3×12+32=12，∴λ的取值范圍是(12，∞)．直線AB的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y-3=x-1，即x-y+2=0，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4又設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x3，x4是方程③的兩根，∴x3+x4=-1，且x0=(x3+x4)=-，y0=x0+2=，即M(-，)．于是由弦長公式可得|CD|=④將直線AB的方程x+y-4=0，代入橢圓方程得4x2-8x+16-λ=0⑤同理可得|AB|=⑥∵當(dāng)λ>12時，>,∴|AB|<|CD|假設(shè)存在λ>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心．點(diǎn)M到直線AB的距離為d=⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d2+故當(dāng)λ>12時，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心，為半徑的圓上．(注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：)A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN|·|DN|，即.⑧由⑥式知，⑧式左邊=,由④和⑦知，⑧式右邊=∴⑧式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，∵CD垂直平分AB，∴直線CD方程為y-3=x-1，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③將直線AB的方程x+y-4=0，代入橢圓方程，整理得4x2-8x+16-λ=0．⑤解③和⑤式可得xl，2=不妨設(shè)A(1+計算可得,∴A在以CD為直徑的圓上．又B為A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓．(注：也可用勾股定理證明AC⊥AD)專家會診1．重點(diǎn)掌握橢圓的定義和性質(zhì)，加強(qiáng)直線與橢圓位置關(guān)系問題的研究．2.注重思維的全面性，例如求橢圓方程時只考慮到焦點(diǎn)在，軸上的情形；研究直線與橢圓位置關(guān)系時忽略了斜率不存在的情形……3．注重思想方法的訓(xùn)練，在分析直線與橢圓位置關(guān)系時要利用數(shù)形結(jié)合和設(shè)而不求法與弦長公式韋達(dá)定理聯(lián)系去解決；關(guān)于參數(shù)范圍問題常用思路有：判別式法，自身范圍法等．求橢圓的方程常用方法有：定義法，直接法，待定系數(shù)法，相關(guān)點(diǎn)法，參數(shù)法等．考場思維調(diào)練1已知橢圓的中心O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A是它的左頂點(diǎn)，F(xiàn)是它的左焦點(diǎn)，l1，l2分別為左右準(zhǔn)線，l1與x軸交于O，P、Q兩點(diǎn)在橢圓上，且PM⊥l1于M,PN⊥l2于N，QF⊥AO，則下列比值中等于橢圓離心率的有()A.1個B．2個C.4個D．5個答案：C解析：對(1)，(4)的正確性容易判斷；對(3)，由于=e，故(3)正確；對(5)，可求得|QF|=|BF|=,,故(5)正確；(2)顯然不對，所選C．2橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從隨圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓壁反射后，反射光線經(jīng)過隨圓的另一個焦點(diǎn)．今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長軸長為20，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑不計)，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時，小球經(jīng)過的路程是()A．4aB．2(a-c)C.2(a+c)D．以上答案均有可能答案：D解析：(1)靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑不計)從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁右頂點(diǎn)反彈后第一次回到點(diǎn)A時，小球經(jīng)過的路程是2(d-c)，則選B；(2)靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑不計)從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁左頂點(diǎn)反彈后第一次回到點(diǎn)A時，小

球經(jīng)過的路程是2(a+c)，則選C；(3)靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑不計)從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁非左右頂點(diǎn)反彈后第一次回到點(diǎn)A時，小球經(jīng)過的路程是4a，則選A.于是三種情況均有可能，故選D.3已知橢圓+y2=1(a>1)，直線l過點(diǎn)A(-a，0)和點(diǎn)B(a，ta)(tt>0)交橢圓于M．直線MO交橢圓于N(1)用a，t表示△AMN的面積S；(2)若t∈[1，2]，a為定值，求S的最大值．答案：易得l的方程為了y=(x+a)…1分由得(a2t2+4)y2-4aty=0解得了y=0或y=即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM=S=S△AMN=2S△AOM=|OA|·yM=(2)由(1)得，S==(t>0)令V=+a2t，V′=-+a2由V′=O當(dāng)時t>時，V′>0；當(dāng)0<t<時，V′<0．．．10分若1≤a≤2，則，故∈[1，2]當(dāng)t=時，Smax=a若a>2，則0<<1，∵V=+a2t在[1，2]上遞增，進(jìn)而S(t)為減函數(shù)．∴當(dāng)t=1時，Smax=綜上可得Smax命題角度2對雙曲線相關(guān)知識的考查1．(典型例題1)已知雙曲線x2-=1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且，則點(diǎn)M到x軸的距離為()[考場錯解]B[專家把脈]沒有理解M到x軸的距離的意義．[對癥下藥]C由題意得a=1，b=，c=可設(shè)M(x0，y0)|MF1|=|ex0+a|=|x0+1|，|MF2|=|ex0-a|=|x0-1|由|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2得x02=即點(diǎn)M到x軸的距離為2．(典型例題)已知雙曲線=1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，△OAF的面積為(O為原點(diǎn))，則兩條漸近線的夾角為()A．30°B．45°C．60°D．90°[考場錯解]B[專家把脈]把兩條漸近線的夾角看成漸近線的傾斜角．[對癥下藥]D由題意得A()s△OAF=·c·，則兩條漸近線為了y=x與y=-x則求兩條漸近線的夾角為90°．3．(典型例題Ⅲ)雙曲線=1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(diǎn)(a，0)和(0,b)，且點(diǎn)(1，0)到直線l的距離與點(diǎn)(-1，0)到直線l的距離之和s≥c，求雙曲線的離心率e的取值范圍．[考場錯解]直線l的方程為=1即bx+ay-ab=0點(diǎn)(-1，0)到直線l的距離：，點(diǎn)(1，0)到直線l的距離:∴+=得5a于是得5即4e4-25e2+25≤0解不等式得≤e2≤5，所以e的取值范圍是[專家把脈]沒有理解雙曲線離心率的意義及自身存在的范圍e>1．[對癥下藥]解法：直線J的方程為=1，即bx+ay-ab=0．由點(diǎn)到直線的距離公式，且a>1，得到點(diǎn)(1，0)到直線l的距離d1=同理得到點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離d2=s=d1+d2=由解不等式，得專家會診1．注意雙曲線兩個定義的理解及應(yīng)用，在第二定義中，要強(qiáng)調(diào)e>1，必須明確焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的對應(yīng)性2．由給定條件求出雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法，當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏．3．掌握參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，漸近線及其幾何意義，并注意靈活運(yùn)用．考場思維訓(xùn)練1已知F1，F(xiàn)2為雙曲線=1(a>0,b>0)的兩個焦點(diǎn)，過F2作垂直x軸的直線，它與雙曲線的一個交點(diǎn)為P，且∠pF1F2=30°，則雙曲線的漸近線方程為()答案：D解析：由已知有=tan30°=，所以2a2=b2漸近線方程為y=±,所以選取D2若Fl、F2雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在雙曲線左支上，M在右準(zhǔn)線上，且滿足(1)求此雙曲線的離心率；答案：由知四邊形PF1OM為平行四邊形，又由知OP平分∠F1OM,∴PF1OM菱形，設(shè)半焦距為c，由=c知，即c+e2-e-2=0,∴e=2(e=-1舍去)(2)若此雙曲線過點(diǎn)N(2，)，求雙曲線方程：答案：∵e=2=∴c=2a,∴雙曲線方程為代入，有

即所求雙曲線方程為=1.(3)設(shè)(2)中雙曲線的虛軸端點(diǎn)為B1，B2(B1在y軸正半軸上)，求B2作直線AB與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，求時，直線AB的方程．答案：依題意得B1（0，3），B2（0，-3）,設(shè)直線AB的方程為y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2)則由∵雙曲線的漸近線為y=±,∴當(dāng)k=±時，AB與雙曲線只有一個交點(diǎn)，即k≠±.∵x1+x2=y1+y2=k(x1+x2)-6=,y1y2=k2x1x2-k(x1+x2)+9=9又（x1，y1-3）,=(x2,y2-3),⊥,即k2=5,∴k=±.故所求直線AB的方程為y=x-3或y=-x-3.3設(shè)雙曲線-y2=1的右頂點(diǎn)為A、P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn)，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))分別交于Q和R兩點(diǎn)．(1)證明：無論P(yáng)點(diǎn)在什么位置，總有；答案：設(shè)OP：y=kx與AR：y=解得同理可得所以|·|設(shè)||2=（m,n）,則由雙曲線方程與OP方程聯(lián)立解得m2=所以||2=m2+n2=(點(diǎn)在雙曲線上，1-4k2>0);(2)設(shè)動點(diǎn)C滿足條件：，求點(diǎn)C的軌跡方程．答案：∵點(diǎn)C為QR的中心，設(shè)C（x,y）,則有，消去k,可得所求軌跡方程為x2-x2-4y2=0(x≠0).命題角度3對拋物線相關(guān)知識的考查。1．(典型例題)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線()A.有且僅只有一條B．有且僅有兩條C.有無窮多條D．不存在[考場錯解]D由題意得|AB|=5p=4，通徑長為2×4=85<8，故不存在這樣的直線．[專家把脈]沒有理解拋物線焦點(diǎn)的弦長及p的意義．[對癥下藥]B解法一：由題意得P=2，通徑長為4，而|AB|=x1+x2+p=7，由7>4，則這樣的直線有且僅有兩條，解法二：用待定系數(shù)法設(shè)直線方程為y=k(x-1)采用設(shè)而不求的方法求出k有兩個值，即直線有且僅有兩條．2．(典型例題1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上，l是AB的垂直平分線．(1)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F?證明你的結(jié)論；(Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍．[考場錯解](Ⅱ)，設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b，過點(diǎn)A、B的直線方程可寫為y=與y=2x2聯(lián)立得2x2+x-m=0．得x1+x2=-；設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0，y0)則x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m．由N∈l,得+m=-+b，于是b=即得l在y軸上截距的取值范圍為[].[專家把脈]沒有借助“△>0”來求出m>，無法進(jìn)一步求出b的范圍，只好胡亂地把m當(dāng)作大于或等于0．[對癥下藥](1)F∈l|FA|=|FB|A、B兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等．∵拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線，y1≥0，y2≥0，依題意y1、y2不同時為0，∴上述條件等價于yl=y2x12=x22(x1+x2)(x1-x2)=0；∵x1≠x2，∴上述條件等價于x1+x2=0．即當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2=0時，l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F。(Ⅱ)設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b過點(diǎn)A、B的直線方程可寫為y=-x+m，所以x1、x2滿足方程2x2+x-m=0，得x1+x2=-；A、B為拋物線上不同的兩點(diǎn)等價于上述方程的判別式+8m>0，即m>設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x0=(x1+x2)=-，y0=-x0+m=+m由N∈l，得+m=-+b，于是b=+m>即得l在y軸上截距的取值范圍為(，+∞)．3．(典型例題)如圖，過拋物線y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)p(x0，y0)(y0>0)，作兩條直線分別交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；(Ⅱ)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù)．[考場錯解](1)當(dāng)y=時，x=又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-P，由拋物線定義得，所求距離為(Ⅱ)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB由y21=2px1,y20=2px0相減得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0)故kPA=(x1≠x0)．同理可得kpB=(x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2(yl+y2)故設(shè)直線AB的斜率為kAB。由y22=2px2,y21=2px1相減得(y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)故kAB=將y1+y2=-y0(y0>0)代入得kAB=-故kAB是非零常數(shù)．[專家把脈]①沒有掌握拋物線的準(zhǔn)線方程，②計算不夠準(zhǔn)確．[對癥下藥](1)當(dāng)y=時，x=，又拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=，由拋物線定義得，所求距離為-(-)=(Ⅱ)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB由y12=2px1，y20=2px0相減得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，故kPA=(x1≠x0)．同理可得kPB=(x2≠x0)．由PA、PB傾斜角互補(bǔ)知kPA=-kPB，即=-，所以yl+y2=-2y0，故=-2.設(shè)直線AB的斜率為kAB由y22=2px2，y21=2pxl相減得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，所以將yl+y2=-2y0(y0>0)代入得所以kAB是非零常數(shù)．4．(典型例題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動點(diǎn)A、B滿足AO⊥BO(如圖所示)．(1)求△AOB的重心C(即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡方程；(Ⅱ)△AOB的面積是否存在最小值?若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．∵OA⊥OB．[考場錯解]（Ⅰ）設(shè)△AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則∵OAx1x2+yly2=0(2)又點(diǎn)A、B在拋物線上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化簡得xlx2=0或-1∴y=[（x1+x2）2-2x1x2]=3x2+或3x2，故重心為G的軌跡方程為y=3x2或y=3x2+.[專家把脈]沒有考慮到x1x2=0時，△AOB不存在[對癥下藥]（Ⅰ）設(shè)△AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則又點(diǎn)A、B在拋物線上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化簡得xlx2=-1∴y=[（x1+x2）2-2x1x2]==3x2+所以重心為G的軌跡方程為y=3x2+(Ⅱ)S△AOB=由(1)得S△AOB=當(dāng)且僅當(dāng)x16=x26即x1=-x2=-1時，等號成立。所以△AOB的面積存在最小值，最小值為1。專家會診用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分類討論思想。凡涉及拋物線的弦長，弦的中點(diǎn)，弦的斜率問題時要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。解決焦點(diǎn)弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)?？紙鏊季S調(diào)練1已知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于M點(diǎn)，過M作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線與x軸交于D(x0，0)(1)求x0的取值范圍．答案：由題意易得M（-1，0）設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為y=k(x+1)(k≠0)代入y2=4x得k2x2+(2k2-4)x+k2=0(1)再設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為那么線段AB的垂直平分線方程為又方程（1）中Δ=（2k2-4）2-4k4＞0，∴0＜k2＜1，∴(2)△ABD能否是正三角形?若能求出x0的值，若不能，說明理由答案：若ΔABD是正三角形，則有點(diǎn)D到AB的距離等于｜AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=點(diǎn)以AB的距離d=據(jù)d2∴4k4+k2-3=0,(k2+1)(4k2-3)=0,∴k2=,滿足0<k2<1.∴△ABD可以為正△，此時x0=2經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)．(1)若線段AB的中點(diǎn)為M(x，y)，直線的斜率為A，試求點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求點(diǎn)M的軌跡方程；答案：設(shè)A(x1,y1)、B（x2,y2）,直線AB的方程為：y=k(x-1)k≠0)把y=k(x-1)代入y2=4x得:消去k可得點(diǎn)的軌跡方程為：y2=2x-2(x>0)(2)若直線l的斜率k>2，且點(diǎn)M到直線3x+4y+m=0的距離為，試確定m的取值范圍．答案：∴∴∵∴0<1-3-m<∴0<1-3-m<或0<1-3-m<∴<m<-2∴或<m<-4∴<m<-2∴m的取值范圍為（，-2）.3在以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)T(-8，0)，點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在x軸的正半軸上，且滿足(1)當(dāng)M在y軸上移動時，求點(diǎn)P的軌跡C；答案：設(shè)點(diǎn)P（x,y）由，知P是M、N中點(diǎn)，又M在y軸上，N在x軸正半軸上，故M坐標(biāo)為（0，2y）,N個坐標(biāo)為（2x,0）.(x>0)得8x-2y2=0即y2=4x(x>0)故點(diǎn)P的軌跡是（0，0）為頂點(diǎn)，以（2，0）為焦距的拋物線.(除去原點(diǎn))(2)若動直線l經(jīng)過點(diǎn)D(4，0)，交曲線C與A、B兩點(diǎn)，求是否存在垂直于x軸直線l'被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在，求出l'的方程，若不存在，請說明理由．答案：設(shè)AD中點(diǎn)為H，垂直于x軸的直線l′的方程為x=a.以AD為直徑的圓交l′于E、F兩點(diǎn)。EF的中點(diǎn)為G因為|EH|=|AD|（其中（x1,y1）為坐標(biāo)），|HG|=所以|EG|2=|EH|2=[（x1-4）2+yx2]-[(x1-2a)2+4]=[(x1-4)2+4x1]-[(x1-2a)2+8(x1-2a)+16]=[4ax1-12x1-4a2+16a]=（a+3）x1-a2+4a所以當(dāng)a=3時，以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值，l′的方程x=3.命題角度4對直線與圓錐曲線的關(guān)系的考查1．(典型例題Ⅰ)設(shè)雙曲線C：(a>0)與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B，(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；(Ⅱ)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且，求a的值．[考場錯解](1)由C點(diǎn)與l相交于兩個不同的點(diǎn)，故知方程組有兩個不同的實數(shù)解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0①故4a4+8a2(1-a2)>0解得：0<a<雙曲線的離心率e=∵0<a<∴即離心率e的取值范圍()．(Ⅱ)，設(shè)A(x1，y1)B(x2，y2)P(0，1)∵∴(x1，yl-1)=(x2，y2-1)由此得x1=x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以消去x2得[專家把脈](1)沒有考慮到1-a2≠0(Ⅱ)沒有注意到題目本身的條件a>0．[對癥下藥](1)由C與l相交于兩個不同的點(diǎn)，故知方程組有兩個不同的實數(shù)解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x+2a2x-2a2=0所以解得0<a<且a≠1．雙曲線的率心率e=且a≠1，∴e>且e≠，即離心率e的取值范圍為()∪()．(Ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)．∵∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1)由此得x1=x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以x2=-，消x2，得-，由a>0，所以a=2．(典型例題Ⅱ)給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)(1)設(shè)l的斜率為1，求與夾角的大小；(Ⅱ)設(shè)，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍．[考場錯解](1)設(shè)與夾角為α；由題意l的方程為了y=x-1，將y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0設(shè)A(x1，y1)B(x2，y2)則有x1+x2=6，x1x2=1．易得·=x1x2+y1y2=-3，cosα=∴α=-arccos(Ⅱ)由題意知，過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A'、B'．∴|FB|=|BB'|，|AF|=|AA'|∴|BB’|=λ|AA'|，λ∈[4，9]設(shè)l的方程為y=k(x-1)由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0∴x=∴|AA'|=+l=|BB'|=[專家把脈](Ⅰ)沒有理解反余弦的意義．(Ⅱ)思路不清晰．[對癥下藥](1)C的焦點(diǎn)為F(1，0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為了y=x-1．將y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有xl+x2=6，x1x2=1．=(x1，y1)·(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3．所以與夾角的大小為π-arccos(Ⅱ)由題設(shè)得(x2-1，y2)=λ(1-x1，-y1)，即①②由②得y22=λ2y21．∵y21=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1③聯(lián)立①、③解得x2=λ，依題意有λ>0，∴B(λ，2)或B(λ，-2)，又9(1，0)，得直線l方程為(λ-1)y=(x-1)或(λ-1)y=2(x-1)．當(dāng)λ∈[4，9]時，l在y軸上的截距為或-由=，可知：在[4，9]上是遞減的，∴≤≤，-≤-≤-直線l在y軸上截距的變化范圍為[-，-]∪[，]．3．(典型例題)已知橢圓C：(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為Fl、F2，離心率為e直線l:y=ex+a與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點(diǎn)，P是點(diǎn)Fl關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P，設(shè)(1)證明：λ=1-e2；(Ⅱ)確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．[考場錯解](Ⅱ)要使△PF1F2為等腰三角形必有三種情況：(1)當(dāng)|PF1|=|F1F2|時設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)是(x0，y0)則解得由|PF1|=|F1F2|得[]2+兩邊同時除以4a2，化簡得從而e2=于是(2)當(dāng)|PF1|=|F1F2|時，同理可得解得e2=3于是λ=1-3=-2．(3)當(dāng)|PF2|=|F1F2|時，同理可得=4c2解得e2=1于是λ=1-1=0綜上所述，當(dāng)λ=或-2或0時△PF1F2，F(xiàn)2為等腰三角形．[專家把脈](1)沒有注意到因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|(2)沒有注意到橢圓離心率的范圍．[對癥下藥](1)證法一：因為A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是(-)(0,a).由所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(-c,)，由得(-c+)=λ(，a)．即證法二：因為A、B分別是直線l:y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是(-，0)，(0，a)，設(shè)M的坐標(biāo)是(x0，y0)，由得()，所以因為點(diǎn)M在橢圓上，所以=1，即e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0，解得e2=1-λ即λ=1-e2．(Ⅱ)解法一：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,即|PF1|=c.設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由|PF1|=d，=,得=e．所以e2=，于是λ=1-e2=.即當(dāng)λ=時，△PF1F2為等腰三角形．解法二：因為PF1⊥l，所以，∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)，則解得由|PF1|=|FlF2|得=4c2，兩邊同時除以4a2，化簡得=e2．從而e2=于是λ=l-e2=．即當(dāng)λ=時，△PF1F2為等腰三角形．4．(典型例題)拋物線C的方程為y=ax2(a<0)，過拋物線C上一點(diǎn)P(x0，y0)(x0≠0)作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1，y1)B(x2，y2)兩點(diǎn)(P、A、B三點(diǎn)互不相同)，且滿足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1)．(Ⅰ)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(Ⅱ)設(shè)直線AB上一點(diǎn)M滿足=λ，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上(Ⅲ)當(dāng)A=1時，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，-1)，求∠PAB為鈍角時點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1的取值范圍．[考場錯解](1)拋物線C的方程y=ax2(a<0)得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)準(zhǔn)線方程為x=-(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1∴y=-x2由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(-k1-1,-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k21+2k1-1)于是=(k1+2,k21+2k1)，=(2k1，4k1)，2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同，故必有·<0易得k1的取值范圍是k1<-2或<kl<0，又∵yl=-(k1+1)2故當(dāng)k1<-2時，y<-1;當(dāng)-<k1<0時-1<yl<-即y1∈．[專家把脈]沒有掌握好拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式及交并集的概念．[對癥下藥](1)由拋物線C的方程y=ax2(a<0)得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，準(zhǔn)線方程為y=-．(Ⅱ)證明：設(shè)直線PA的方程為y-y0=k1(x-x0)，直線PB的方程為y-y0=k2(x-x0)．點(diǎn)P(x0，y0)和·點(diǎn)A(x1，y1)的坐標(biāo)是方程組的解．將②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是x1+x0=，故x1=-x0③又點(diǎn)P(x0，y0)和點(diǎn)B(x2，y2)的坐標(biāo)是方程組的解．將⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0．于是x2+x0=，故x2=-x0,由已知得，k2=-λkl，則x2=⑥設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM,yM)，由=λ，則xM=.將③式和⑥式代入上式得x0，即xM+x0=0．所以線段PM的中點(diǎn)在y軸上．(Ⅲ)因為點(diǎn)P(1，-1)在拋物線y=ax2上，所以a=-1，拋物線方程為y=-x2．由③式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-(k1+1)2．將λ=1代入⑥式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=-(k2+1)2．因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(-k1，-1，-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1)．于是=(k1+2，k12+2k1)，=(2K1，4K1)，=2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)．因∠PAB為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同，故必有<0．求得k1的取值范圍是k1<-2或-<k1<0．又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1滿足y1=-(k1+1)2，故當(dāng)k1<-2時，y1<-1；當(dāng)-<k1<0時，-1<y1<-.即y1∈(-∞，-1)U(-1，-)．專家會診1．判定直線與圓錐曲線交點(diǎn)個數(shù)的基本方法是聯(lián)立方程組，判斷方程組解的組數(shù)，對于直線與雙曲線的交點(diǎn)個數(shù)問題還可借助直線與漸近線斜率的關(guān)系來判斷，而直線與拋物線的位置關(guān)系則可借助直線與拋物線對稱軸的位置關(guān)系來判定，不可混淆．2．涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求計算弦長，不要蠻算，以免出現(xiàn)差錯．3．涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化?？紙鏊季S調(diào)練1設(shè)橢圓，雙曲線，拋物線y2=2(m+n)x，(其中m>n>0)的離心率分別為e1、e2、e3，則()A．e1e2>e3B．e1e2<e3Ce1e2=e3D．e1e2與e3大小不確定答案：B解析：e1=故選B.2已知平行四邊形ABCD，A(-2，0)，B(2，0)，且|AD|=2(1)求平行四邊形ABCD對角線交點(diǎn)E的軌跡方程．答案：設(shè)E（x,y）,D(x0,y0)∵ABCD是平行四邊形，∴∴（4，0）+（x0+2，y0）=2(x+2,y)∴(x0+6,y0)=（2x+4,2y）∴又|AD|=2，∴（x0+2）2+y02=4,∴(2x-2+2)2=4即：x2+y2=1∴ABCD對角線交點(diǎn)E的軌跡方程為x2+y2=1.(2)過A作直線交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=,MN的中點(diǎn)到了軸的距離為，求橢圓的方程．答案：設(shè)過A的直線方程為y=k(x+2)以A、B為焦點(diǎn)的橢圓的焦距2C=4,則C=2設(shè)橢圓方程為將y=k(x+2)代入(*)得即(a2+a2k2-4)x2+4a2k2-a4+4a2=0設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則∵中點(diǎn)到軸的距離為，且MN過點(diǎn)A，而點(diǎn)A在y軸的左側(cè)，∴MN中點(diǎn)也在y軸的左側(cè)。即12a2+12a2k2-32k2=160∴12a2+12(2a2-8)-32k2=160∴k2=∴a2·(a2-8)(9a2-8)=0,∵a>c=2,∴a2=8∴b2=a2-c2=8-4=4,∴所求橢圓方程為(3)與E點(diǎn)軌跡相切的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|的最大值及此時l的方程．答案：由（1）可知點(diǎn)E的軌跡是圓設(shè)是圓上的任點(diǎn)，則過(x0,y0)點(diǎn)的切線方程是x0x+y0y=1當(dāng)y0≠0時，代入橢圓方程得：令則∵15≤t<31∴當(dāng)t=15時|PQ|2取最大值為15，|PQ|的最大值為此時直線l的方程為y=±1.②當(dāng)時，容易求得故所求的最大值為，此時l的方程為y=±1.命題角度5對軌跡問題的考查1．(典型例題)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為若它的一條準(zhǔn)線與拋物線y2=4x的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線y2=4x的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是()A.2B．C．18+12D．21[考場錯解]C[專家把脈]對雙曲線的定義理解不夠深刻．[對癥下藥]B設(shè)雙曲線方程為=1，由題意得則a=b=，則雙曲線方程為=1,由得A（3，2），故交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2．(典型例題)已知點(diǎn)A（-2，0）、B(3，0)，動點(diǎn)P(x，y)滿足=x2，則點(diǎn)P的軌跡是()A.圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線[考場錯解]C由·=x2，得(-2-x，-y)·(3-x，-y)=x2即(-2-x)(3-x)+(-2x)(-y)+(-y)(3-x)+(-y)·(-y)=x2化簡得y2+2xy-x-3y-6=0則點(diǎn)P的軌跡是C.[專家把脈]沒有理解數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．[對癥下藥]D考查了圓錐曲線中的軌跡方程．由題=(-2-x，-y)，=(3-x，-y)，由·=x2．∴(-2-x)·(3-x)+y2=x2即y2=x+6．3．(典型例題)如圖，直線l1:y=kx(k>0)與直線l2:y=-kx之間的陰影區(qū)域(不含邊界)記為W，其左半部分記為W1，右半部分記為W2．(1)分別用不等式組表示W(wǎng)1和W2；(Ⅱ)若區(qū)域Ⅳ中的動點(diǎn)p(x,y)到l1，l2的距離之積等于d2，求P點(diǎn)的軌跡C的方程；(Ⅲ)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與(Ⅱ)中的曲線C相交于Ml，M2兩點(diǎn)，且與l1，l2分別交于M3，M4兩點(diǎn)，求證△OM1M2的重心與△OM3M3的重心重合．[考場錯解](1)W1={(x,y)|y≠±kxx<0|W2=｛(x，y)｝y=±kx,x>0|(Ⅱ)直線l1:kx-y=0直線l2:kx+y=0由題意得·=d2即=d2∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故動點(diǎn)P的軌跡C的方程為k2x2-y2±(k2+1)d2=0(Ⅲ)略[專家把脈]沒有很好地理解題意，第二問出現(xiàn)兩解，致使第三問過于復(fù)雜難以完成．[對癥下藥]解：(I)W1={(x，y)|kx<y-kx，z<0|，W2={(x,y)|kx<y<bc，x>0}，(Ⅱ)直線l1:kx-y=0直線l2:kx+y=0，由題意得·=d2，即=d2，由P(x，y)∈W，知k2x2-y2>0，所以=d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程為k2x2-y2-(k2+1)d2=0；(Ⅲ)當(dāng)直線J與，軸垂直時，可設(shè)直線J的方程為，x=a(a≠0)．由于直線l，曲線C關(guān)于x軸對稱，且l1與l2關(guān)于x軸對稱，于是M1M2，M3M4的中點(diǎn)坐標(biāo)都為(a，0)，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐標(biāo)都為(a，0)，即它們的重心重合，當(dāng)直線l1與x軸不垂直時，設(shè)直線J的方程為y=mx+n(n≠0)．由,得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0由直線l與曲線C有兩個不同交點(diǎn)，可知k2-m2≠0且△=(2mn)2+4(k2-m2)×x(n2+k2d2+d2)>0設(shè)M1、M2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1+x2=，y1+y2=m(x1+x2)+2n，設(shè)M3、M4的坐標(biāo)分別為(x3，y3)，(x4,y4)，由及得x3=,x4=從而x3+x4==x1+x2，所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2，于是△OM1M2的重心與△OM3M4的重心也重合．4．(典型例題)已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1(-c，0)、F2(c，0)，Q是橢圓外的動點(diǎn)，滿足=2a，點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足·=0，||≠0．(1)設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明||=a+；(Ⅱ)求點(diǎn)T的軌跡C的方程；(Ⅲ)試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使△F1MF2的面積S=b2，若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由．[考場錯解](1)證明：由焦半徑公式得=a+ex=a+(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x、y)由=0得，在△QF1F2中故有x2+b2=a2(x=±a)(Ⅲ)C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要條件是：又=(-C-x0-y0)，=(c-x0,y0)由·=x02-c2+y20=a2-c2=b2即cos∠F1MF2=b2又s=sin∠FlMF2得tan∠FlMF2=2[專家把脈](1)沒有注意證明題的書寫格式(2)思考問題不夠全面．[對癥下藥](1)證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．由P(x，y)在橢圓上，得2由|x|≤a，知a+≥-c+a>0，所以=a+x．證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．記則r1=，r2=.由r1+r2=2a，r21-r22=4cx，得=r1=a+．證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．橢圓的左準(zhǔn)線方程a+=0．由橢圓第二定義得即由x≥-a，知a+≥-c+a>0，所以=a+(Ⅱ)解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)．當(dāng)=0時，點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(-a，0)在軌跡上．當(dāng)且時，由=0，得又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn)．在△QF1F2中，=a，所以有x2+y2=a2綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)．當(dāng)||=0時，點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(-a，0)在軌跡上．當(dāng)且時，由又||=||，所以T為線段F2Q的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x'，y')，則因此①由=2a得(x'+c)2+y'2=4a2．②將①代入②，可得x2+y2=a2．綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2(Ⅲ)解法一：C上存在點(diǎn)M(x0，y0)使S=b2的充要條件是由③得，|y0|≤a，由④得，|y0|≤，所以，當(dāng)a≥時，存在點(diǎn)M，使S=b2；當(dāng)a<時，不存在滿足條件的點(diǎn)M．當(dāng)a≥時，=(-c-c0,-y0)，=(c-c0,-y0)，由·=x02-c2+y20=a2-c2=b2，解法二：C上存在點(diǎn)M(x0，y0)使S=b2的充要條件是由④得|y0|，上式代入③得x20=a2-=(a-)(a+)≥0．于是，當(dāng)a≥時，存在點(diǎn)M，使s=b2;當(dāng)a<時，不存在滿足條件的點(diǎn)M．當(dāng)a≥時，記k1=kF1M=由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°，所以tan∠F1MF2==2．專家會診(1)求軌跡方程的本質(zhì)是用代數(shù)形式將動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律表示出來，實質(zhì)上是一個翻譯過程，故選取一定解題策略找到動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律的一些表現(xiàn)形式是關(guān)鍵，往往和研究曲線幾何性質(zhì)，討論直線與曲線位置關(guān)系等聯(lián)系在一起．(2)求軌跡要注意取值范圍和“雜點(diǎn)”的去除．考場思維訓(xùn)練1已知橢圓：=1(a>b>0)，點(diǎn)戶為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，∠F1PF2的外角平分線為l，點(diǎn)F2關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R.(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，求R形成的軌跡方程；答案：∵點(diǎn)F2關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q，連接PQ，∴∠F2PQ=∠QPR，|F2R|=|PQ|=|PF2|又因為l為∠F1PF2外角的平分線，故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R（x0,y0）,Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則（x1+c）2+y12=(2a)2.又得x1=2x0-c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2故R的軌跡方程為：x2+y2=a2(y≠0)(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時，求k的值．答案：如下圖：∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB當(dāng)∠AOB=90°時，S△AOB最大值為a2.此時弦心距|OC|=在RT△AOC中，∠AOC=45°，∴°=2已知兩點(diǎn)M(-2，0)，N(2，0)，動點(diǎn)P在y軸上的射影為H，||是2和的等比中項．(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程，并指出方程所表示的曲線；答案：設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y),則H（0,y）,(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2-4+y2=|x|,由題意得|PH|2=2·，即x2=2(x2-4+y2)即=1，所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓(2)若以點(diǎn)M、N為焦點(diǎn)的雙曲線C過直線x+y=1上的點(diǎn)Q，求實軸最長的雙曲線C的方程．答案：由已知求得N（2，0）關(guān)于直線x+y=1的對稱點(diǎn)E（1,-1）,則|QE|=|QN|雙曲線的C實軸長2a=|QM|-|QN|=||QM|-|QE||≤|ME|=(當(dāng)且僅當(dāng)Q、E、M共線時取“=”)，雙曲線C的實半軸長a=3已知△OFQ的面積為2，且=m．(1)設(shè)<m<4，求向量與的夾角θ正切值的取值范圍；答案：∴tanθ=∴(2)設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q(如圖)，||=c，m=，當(dāng)取得最小值時，求此雙曲線的方程．答案：設(shè)所求的雙曲線方程為當(dāng)且僅當(dāng)c=4時，| 所求方程為(3)設(shè)F1為(2)中所求雙曲線的左焦點(diǎn)，若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動點(diǎn)，且2|AB|=5|F1F|，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．答案：設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2)l1的方程為y=-的方程為y=-則有y1=1①y2=-2②∵2|AB|=5|FF1|∴y1-y2=2代入③得∴命題角度6考查圓錐曲線中的定值與最值問題1．(典型例題)如圖，點(diǎn)A、B分別是橢圓=1長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)．點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸的上方，PA⊥PF．(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．[考場錯解](1)設(shè)P(x，y)則=(x+6，y)(x-4，y)由已知可得則2x2+9x+18=0．∴x=或x=-6∴點(diǎn)P的坐標(biāo)()或(-6，0)．(2)直線AP：x-y+6=0，設(shè)點(diǎn)M(A，0)則M到直線AP的距離為于是解得k=2或18i)當(dāng)k=2時，橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離為d，d2=(x-2)2+y2=(x-)2+15．∴當(dāng)x=時d取最小值ⅱ)當(dāng)k=18時，同理得d2=(x-)2-385當(dāng)x=時，d2=-385矛盾，故舍去綜上所述：當(dāng)x=時d取得最小值[專家把脈]沒有考慮到橢圓的分面有界性，致使思路不清晰，計算繁瑣．[對癥下藥][解](1)由已知可得點(diǎn)A(-6，0)，F(xiàn)(0，4)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則=(x+6，y)，=(x-4，y)，由已知可得則2x2+9x-18=0，x=或x=-6．由于y>0，只能x=，于是y=點(diǎn)P的坐標(biāo)是()(2)直線AP的方程是x-+6=0．設(shè)點(diǎn)M(m，0)，則M到直線AP的距離是．于是=|m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2．橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離d有，d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=(x-)2+15，由于-6≤m≤6，∴當(dāng)x=時，d取得最小值2．(典型例題)如圖，直線y=x嚴(yán)與拋物線y=x2-4交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于點(diǎn)Q．(1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含點(diǎn)A、B)的動點(diǎn)時，求△OPQ面積的最大值．[考場錯解](1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5，-5)直線OQ的方程為x+y=0設(shè)P(x,-4)∵點(diǎn)P到直線OQ的距離d=∵-4≤x≤8．∴S△OPQ最大值=|(-4+4)2-48|=15[專家把脈]要注意二次函數(shù)最大值的求法．[對癥下藥](1)解方程組，得即A(-4，-2)，B(8，4)，從而AB的中點(diǎn)為M(2，1)，由，得線段AB的垂直平分線方程y-1=-2(x-2)．令y=-5，得x=5，∴Q(5，-5)．(2)直線OQ的方程為x+y=0，設(shè)P(x，-4)，∵點(diǎn)P到直線OQ的距離d=∵P為拋物線上位于線段AB下方點(diǎn)，且P不在直線OQ上．∴-4≤x<4-4或4-4<x≤8．∴S△OPQ最大值=303．(典型例題)設(shè)橢圓方程為x2+=1，過點(diǎn)M(0，1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B、O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，)，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時，求：(Ⅰ)動點(diǎn)戶的軌跡方程；(Ⅱ)的最小值與最大值．[考場錯解](1)①若l的斜率存在，設(shè)為k，則l：y=kx+1代入4x2+y2=4中得，(k2+4)x2+2kx-3=0∴x1+x2=i)A=0時，x=0y=1，∴P(0，1)ii）k≠0時，k=∴P點(diǎn)的軌跡為：x2+y2-y=0(y≠O)②若l不存在斜率，∴A、B為上、下頂點(diǎn)．∴P(0，0)(2)解：∵N()，i)，∵k不存在時P(0，0)，ii）k=0時P(0，1)．iii）k≠0時x2+(y-)2=。又∵N()max=2r=1∴min=0．[專家把脈]思路不清晰．[對癥下藥](1)解法一：直線l過點(diǎn)M(0，1)，設(shè)其斜率為A，則J的方程為y=kx+1．記A(x1，y1)、B(x2，y2)，由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)(x1，y1)、(x2,y2)是方程組的解．將①代入②并化簡得．(4+k2)x2+2kx-3=0．所以于是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0．③當(dāng)k不存在時，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)，也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在橢圓上，所以④⑤④-⑤得所以（x1-x2）(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0當(dāng)x1≠x2時，有⑥并且⑦將⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0．⑧當(dāng)x1=x2時，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(0，2)、(0，-2)，這時點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0，0)也滿足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為(Ⅱ)解法：由點(diǎn)P的軌跡方程知x2≤。即-≤x≤所以故當(dāng)x=時，取得最小值，最小值為，當(dāng)x=時，取得最大值，最大值為4．(典型例題)如圖，P是拋物線C：y=x2上—點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q．(1)若直線l與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；(Ⅱ)若直線l不過原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍．[考場錯解](1)設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M(x0，y0)由y=x2①得y'1=x∴直線l的方程為y=x12=-(x-x1)②聯(lián)立①②消去y得，x2+-x12-2=0∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，∴消去x1得y0=x02+∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2++1．(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+b，分別過P、Q作PP'⊥x軸，QQ'⊥y軸垂足分別為P'、Q'則由消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③則的取值范圍是[2，+∞]．[專家把脈](1)沒有注意“雜點(diǎn)”的去除；(Ⅱ)沒有注意利用重要不等式時等號成立的條件．[對癥下藥]解法：(1)設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M(x0，y0)，依題意x1≠0，yl>0，y2>0．由y=x2，①得y'=x.∴過點(diǎn)P的切線的斜率k切=x1,∵x1=0不合題意，∴x1≠0．∴直線l的斜率k1=,直線l的方程為y-x21=(x-x1)．②方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2+-x21-2=0．∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，消去x1,得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0)，方法二：由y1=x21,y2=x22，x0=，得y1-y2=x21-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，則x0=k1=-∴x1=-,將上式代入②并整理，得y0=x20++1(x0≠0)，∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0)．(Ⅱ)設(shè)直線l：y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b)．分別過P、Q作PP'⊥x軸，QQ'⊥y軸，垂足分別為p'、Q'，則由消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0．③則方法一：∵y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，∴的取值范圍是(2，+∞)．方法二：∴當(dāng)b>0時，=|b|+2>2；當(dāng)b<0時,=-b又由方程③有兩個相異實根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0．于是k2+2b>0，即k2>-2b．所以∵當(dāng)b>0時，可取一切正數(shù)，的取值范圍是(2+∞)．方法三：由P、Q、T三點(diǎn)共線得kTQ=kTP,即則x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2)．于是b=可取一切不等于l的正數(shù)，的取值范圍是(2，+∞)．專家會診①直線過定點(diǎn)的問題，常用直線系的思想處理．②定值問題常常用函數(shù)的思想處理，即把所求定值通過一些基本變量表示，最終化成常數(shù)．③最值問題往往用幾何方法，函數(shù)或不等式等方法處理．考場思維調(diào)練1已知橢圓C：(m>0)，經(jīng)過其右焦點(diǎn)F且以=(1，1)為方向向量的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)O為橢圓的中心，射線OM交橢圓C于N點(diǎn)．(Ⅰ)證明：(Ⅱ)求的值．答案：a2=∵直線l過焦點(diǎn)F（m,0）且與向量a(1,1)平行，∴直線l的方程為：y=x-m將其代和橢圓C的方程，并整理可得：８x2-10mx-…①設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN).∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，在方程①中由韋達(dá)定理，可得：設(shè)N’為OM延長線上的點(diǎn)，且M為ON’的中心，則N’平行四邊形，將N’的坐標(biāo)代入橢圓C方程的左端并化簡得N’點(diǎn)在橢圓C上，N’與N點(diǎn)重合，∴四邊形OANB為平行四邊形于是2已知橢圓C：(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=,P1為橢圓上一點(diǎn)，滿足斜率為k的直線l過左焦點(diǎn)F1且與橢圓的兩個交點(diǎn)為P、Q，與y軸交點(diǎn)為C，點(diǎn)Q分有向線段所成的比為λ．(Ⅰ)求橢圓C的方程．答案：設(shè)△P2F1F2為直角三角形且∠P1F2F1=90°，則r1cos∠F1P1F2,由(Ⅱ)設(shè)線段PQ中點(diǎn)R在左準(zhǔn)線上的射影為H，當(dāng)1≤λ≤2時，求|RH|的取值范圍．答案：可求得|RH|=3在y=k(x+1)中，令x=0得y=k,即得G（o,k）,定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式在[1，2]上遞增，∴3過橢圓C：=1(a>b>0)外一定點(diǎn)A(m，0)作一直線l交橢圓C：于P、Q兩點(diǎn)，又Q關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為Ql，連結(jié)PQ1交x軸于B點(diǎn)．(1)若λ，求證=λ，答案：連結(jié)AQ1，因為Q與Q1關(guān)于x軸對稱，而A在x軸上則在△APQ1中，AB平分∠PAQ1由內(nèi)角平分線定理可知：|A，故λ>0且|AP、B、Q1在同一直線且與于是有：(2)求證：點(diǎn)B為一定點(diǎn)(，0)．答案：設(shè)過A（m,0）的直線l與橢圓C：，交于P（x1,x2）,Q(x2,y2),Q1與Q關(guān)于x軸對稱，則Q1（x2,-y2）由而PQ過A（m,0）,則有：而PQ1過B（Xb,0）,同理可求得：下面利用分析法證明：mxB=a2,①只需證：[a2b2+b2x1x2-ab2(x1+x2)][a2b2+b2x1x2+ab2(x1+x2)]=(a2y1y2)2只需證：b2[a2-a(x1+x2)+x1x2]·b2[a2+a(x1+x2)+x1+x2]=(a2y1y2)2即證：b4(a-x1)(a-x2)(a+x1)(a+x2)=(a2y1y2)2②而（x1,y1）在橢圓上，則b2(a2-③同理b2④由③×④可知②成立，從而①式得證.mxB=a2成立.∴xB=另法：證（1）設(shè)l直線過A（m,0）和橢圓交于P（x1,y1）,Q(x2,y2),而Q1與Q關(guān)于x軸對稱，則Q1(x1,-y2)由，則

y1-0=λ(y2-0)∴0-y1=λ(-y2-0)∴①②由①×②得③④④-⑤·由③⑥可知mxB=a2∵∴點(diǎn)B為一定點(diǎn)探究開放題預(yù)測預(yù)測角度l橢圓1．以橢圓兩焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，交橢圓于四個不同點(diǎn)，順次連結(jié)這四個點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)，恰好圍成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率等于()A．[解題思路]利用正六邊形的性質(zhì)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程中，可求e．[解答]C設(shè)橢圓方程為在橢圓上，∴2．設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點(diǎn)，橢圓上有一點(diǎn)P與這兩個焦點(diǎn)張成90度的角，且∠PF1F2>PF2F1，若橢圓離心率為，則∠PF1F2：∠PF2F1為()A．1：5B．1：3C．1：2D．1：l[解題思路]求角的比，聯(lián)想到運(yùn)用正弦定理，轉(zhuǎn)化為焦半徑的比，再利用合比性質(zhì)解三角形．[解答]A提示：設(shè)∠PF1F2=α，則∠PF2F1=90°-α,0<α<45°，在△PF1F2中，由正弦定理得：3．已知一橢圓以拋物線x2=2p(y+)的準(zhǔn)線為下準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為下焦點(diǎn)，橢圓和拋物線分別與直線x=在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A、B，且A為OB的中點(diǎn)(O為原點(diǎn))．(1)求橢圓的離心率；(2)若橢圓過點(diǎn)(0，5)，求拋物線和橢圓的方程．[解題思路](1)運(yùn)用橢圓第二定義；(2)橢圓過點(diǎn)(0，5)可求出F，運(yùn)用定義求出兩方程．[解答](1)由已知拋物線的準(zhǔn)線為y=-p，焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以橢圓的下準(zhǔn)線為y=-p，下焦點(diǎn)為原點(diǎn)O，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是方程組的解，由方程組得3y2=2py+p2，即3y2-2py-p2=0解之得yl=p，y2=(舍去)∴B(p，p)，A()．由點(diǎn)A在橢圓上，根據(jù)橢圓的第二定義有=e(dA為A到橢圓下準(zhǔn)線的距離)即得(2)橢圓過點(diǎn)(0，5)，故得p=∴拋物線的方程為x2=5(y+)設(shè)M(x，y)為橢圓上任一點(diǎn)，由橢圓下焦點(diǎn)為(0，0)，下準(zhǔn)線為y=-，離心率為．4．橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為2，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c，0)(c>0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若=0，求直線PQ的方程；(3)設(shè)=λ(λ>1)，過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明=-λ．[解題思路](1)設(shè)出橢圓的方程，由a、b、c的關(guān)系及|OF|=2|FA|可求．(2)運(yùn)用設(shè)而不求的方法求直線PQ的斜率；(3)運(yùn)用向量的坐標(biāo)，將M、E點(diǎn)表示出來，即可求證．[解答](1)解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為=1(a>)．由已知得解得a=，c=2．所以橢圓的方程為，離心率e=。(2)解：由(1)可得A(3，0)．設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-3)．由方程組得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0，依題意△=12(2-3k2)>0，得-<k<.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2,y2)，則x1+x2=，①x1x2=②由直線PQ的方程得y1=k(x1-3)，y2=k(x2-3)．于是yly2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9]．③∵=0,∴xlx2+y1y2=0．④由①②③④得5k2=1，從而k=．所以直線PQ的方程為x-y-3=0或x+-3=0(3)證明：=(x1-3，y1)，=(x2-3，y2)．由已知得方程組注意λ>1，解得x2=因F(2，0)、M(x1，-y1)，故=(x1-2，-y1)=(λ(x2-3)+1，-y1)=(,-y1)=-λ(，y2)．而=(x2-2，y2)=(，y2)，所以=-λ．預(yù)測角度2雙曲線1．雙曲線=1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2、p是雙曲線右支上一點(diǎn)，I為△PF1F2的內(nèi)心，PI交x軸于Q點(diǎn)，若|F1Q|=|PF2|，則I分線段PQ的比為()A．2B[解題思路]利用雙曲線的第一定義及三角形內(nèi)心的性質(zhì)求得．[解答]A設(shè)=λ，由內(nèi)角平分線性質(zhì)定理知，λ=又|F1P|-|F2P|=4，∴|F2P|=∴|F2Q|=|F2P|=,∴|F1F2|=|F1Q|+|QF2|=|PF2|+|QF2|==6，解方程，得λ1=-(舍去)，λ2=2，故I分PQ的比為2．選A2．2.設(shè)A是雙曲線(a>0，b>0)的右頂點(diǎn),P是雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過A作兩漸近線的平行線分別交直線OP于Q和R兩點(diǎn)．(1)求證：|OP|2=|OQ|·|OR|；(2)試確定雙曲線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△AQR的面積等于,如果存在，則求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．[解題思路](1)聯(lián)立OP與漸近線方程，求出Q、R點(diǎn)坐標(biāo)，從而可證；(2)反證法，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)戶，利用S△ARQ=S△OARQ-S△OAR，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，檢驗是否符合條件．[解答](1)證明：設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，則直線OP的方程為y=，且b2x02-a2y02=a2b2．由得Q點(diǎn)坐標(biāo)為由得R點(diǎn)坐標(biāo)為∴|OQ|·|OR|==x02+y02=|OP|2．即|OP|2=|OQ|·|OR|．(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，依據(jù)雙曲線的對稱性，可先討論P(yáng)在第一象限內(nèi)的情形．設(shè)P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，yQ>yR則S△ARQ=S△OARQ-S△OAR=a(yQ-yR)=由S△ARQ=,得,∴y02=,從而y0=,∴x0=a所以第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(a，)符合條件．根據(jù)雙曲線的對稱性，另外還有三個這樣的點(diǎn)P(-a，)、P（-a，-）和P（a，-）3．已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)且兩條漸近線與以點(diǎn)A（0）為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對稱。（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線l經(jīng)過M（-2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍；（Ⅲ）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)1F2為雙曲線C的左、右兩個焦點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程。[解題思路]（1）直接設(shè)方程可求；（2）聯(lián)立方程求出直線L的方程由k的范圍從而求出b的范圍；（3）運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)N的軌跡方程[解答]（Ⅰ）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0∵該直線與圓x2+(y-)2=1相切，∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x。故設(shè)雙曲線C的方程為，又雙曲線C的一個焦點(diǎn)為（0）。∴2a2=2,a2=1.∴雙曲線C的方程為x2-y2=1.(Ⅱ)由得（1-m2）x2-2mx-2=0令f(x)=(1-m2)x2-2xm-2直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價于方程f(x)=0在（-∞，0）上有兩個不等實根。因此解得1<m<又AB中點(diǎn)為（）∴直線l的方程為y=(x+2).令x=0,得b==∵m∈（1，），∴-2（m-）2+∈(-2+,1)∴b∈(-∞,-2-)∪（2，+∞）。（Ⅲ）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF2到T，使|QT|=|QF1|，若Q在雙曲線的左支上，則延長QF2到T，使|QT|=|QF1|，根據(jù)雙曲線的定義|TF2|=2，所以點(diǎn)T在以F2（，0）為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)T的軌跡方程是（x-）2+y2=4(x≠0)①由于點(diǎn)N是