專題二推導(dǎo)題類型1力學(xué)推導(dǎo)1.已知物體的重力勢能表達(dá)式為Ep=mgh,動能表達(dá)式為Ek=12mv2,其中m為物體的質(zhì)量,h為物體距離水平地面的高度,v為物體的運(yùn)動速度。如圖,一小球從斜面底端以速度v沿光滑斜面向上運(yùn)動。不計(jì)空氣阻力,小球在光滑的斜面上滑行時,機(jī)械能守恒。請推導(dǎo):小球能運(yùn)動到斜面上的最大高度h=v證明:根據(jù)題意,小球從斜面底端沿光滑斜面向上運(yùn)動的過程中機(jī)械能守恒,小球到達(dá)斜面最高點(diǎn)時動能全部轉(zhuǎn)化為重力勢能,則Ek=Ep即12mv2=小球能運(yùn)動到斜面上的最大高度h=v2.如圖甲,有一輕質(zhì)杠桿,左右兩端分別掛著質(zhì)量不等的實(shí)心鐵塊(m1>m2),恰好水平平衡。設(shè)左右懸掛點(diǎn)到支點(diǎn)O的距離分別為l1、l2,若將兩鐵塊分別浸沒于水中(如圖乙),則杠桿仍然平衡,試通過推導(dǎo)說明。證明:對浸沒于水中的物體受力分析可知,F拉+F浮=m物g得F拉=m物g-F浮=m物g-ρ水gV物=ρ物gV物-ρ水gV物=(ρ物-ρ水)gV物故F拉1l1=(ρ物-ρ水)gV物1l1F拉2l2=(ρ物-ρ水)gV物2l2又F1l1=F2l2即m1gl1=m2gl2,ρ物V物1gl1=ρ物V物2gl2,V物1l1=V物2l2所以F拉1l1=F拉2l2則杠桿仍然平衡3.如圖甲所示,物體A的體積V=100cm3,放入水中靜止時,浸入水中的體積V1=12V?，F(xiàn)將一體積V2=25cm3的物體B放在物體A上,物體A剛好完全浸沒在水中,(1)用題目中的物理量推導(dǎo)出物體B密度的數(shù)學(xué)表達(dá)式;(2)已知ρ水=1.0×103kg/m3,求物體B的密度。解:(1)題圖甲中,物體A漂浮,則有GA=F浮1=ρ水gV1=ρ水g×12題圖乙中,物體B放在物體A上,物體A剛好完全浸沒在水中,物體A、B整體處于漂浮狀態(tài),所以GA+GB=F浮2=ρ水gV則GB=F浮2-GA=ρ水gV-ρ水g×12V=由G=mg可得,mB=12ρ水物體B的密度ρB=mBV2(2)代入數(shù)據(jù),可得物體B的密度ρB=V2V2·ρ水=100cm32×25cm3×14.如圖所示,盤山公路可以簡化成物理模型——斜面,其中山路長可以看成是斜面長s,山高可以看成是斜面高h(yuǎn)。一輛重為G的汽車在牽引力F的作用下以速度v沿山路勻速開到山頂,汽車的功率為P,行駛過程中受到地面的摩擦力為f(已知sinθ=hs,忽略空氣的阻力)。請利用做功的原理推導(dǎo)摩擦力的表達(dá)式f=Pv-Gsin證明:汽車爬坡時,牽引力做的功為總功,即W總=Fs克服重力做的有用功W有=Gh克服摩擦力做的額外功W額=fs=W總-W有=Fs-Gh可得摩擦力f=F-Gh因?yàn)镻=W所以f=Pv-Gsin類型2電學(xué)推導(dǎo)1.如圖是并聯(lián)電路的一部分,由并聯(lián)電路的電流關(guān)系I=I1+I2可知,通過分電阻的電流I1和I2都是并聯(lián)電路總電流I的一部分。試推導(dǎo):I1=IR證明:因?yàn)椴⒙?lián)電路中總電阻的倒數(shù)等于各分電阻倒數(shù)之和,所以并聯(lián)部分的總電阻R=R由I=UR可知,U=IR=I×R因?yàn)椴⒙?lián)電路中各支路兩端的電壓相等,所以通過R1的電流I1=U2.如圖所示,R1與R2串聯(lián),電源電壓恒定。(1)若用一個電阻R代替兩個電阻,使電路中電流保持不變,即電阻R與R1、R2兩個電阻在電路中共同作用的效果是相同的,則R就是R1、R2的等效電阻。請通過所學(xué)知識推導(dǎo):R=R1+R2;(2)若電路總功率為P,兩電阻的功率分別為P1、P2,請推導(dǎo):P=P1+P2。證明:(1)由歐姆定律可知,U=IR則R1兩端的電壓U1=I1R1R2兩端的電壓U2=I2R2由串聯(lián)電路電壓特點(diǎn)可知,U=U1+U2即IR=I1R1+I2R2串聯(lián)電路中I=I1=I2,所以R=R1+R2(2)由P=UI可得電阻R1的功率P1=U1I1電阻R2的功率P2=U2I2由串聯(lián)電路電壓特點(diǎn)可知,U=U1+U2所以P=UI=(U1+U2)I=U1I+U2I串聯(lián)電路中I=I1=I2,所以P=U1I1+U2I2=P1+P23.電動機(jī)是現(xiàn)代生活和生產(chǎn)中一種重要的動力裝置,它工作時主要把電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能,還有一部分電能在線圈中轉(zhuǎn)化為熱能散失掉。(1)電動機(jī)輸出的機(jī)械功率和消耗的電功率之比叫做電動機(jī)的效率。若電動機(jī)的額定電壓為U,額定電流為I,線圈電阻為R,請推證:電動機(jī)正常工作時的效率η=1-IRU(2)若一臺額定電壓為3V的小直流電動機(jī)正常工作時,通過線圈的電流為0.3A,線圈的電阻為2Ω,求電動機(jī)正常工作10s時輸出的機(jī)械能。解:(1)電動機(jī)消耗的電功率P電=UI電動機(jī)發(fā)熱功率P熱=I2R電動機(jī)輸出的機(jī)械功率P機(jī)械=P電-P熱=UI-I2R電動機(jī)工作時的效率η=P(2)10s內(nèi)電動機(jī)消耗的電能W=UIt=3V×0.3A×10s=9J10s內(nèi)線圈產(chǎn)生的熱量Q=I2Rt=(0.3A)2×2Ω×10s=1.8J10s內(nèi)電動機(jī)正常工作獲取的機(jī)械能W機(jī)=W-Q=9J-1.8J=7.2J類型3光學(xué)推導(dǎo)1.如圖所示,豎直放置的平面鏡MN前有一人AB直立,人眼可通過平面鏡觀察到自己的像,試結(jié)合平面鏡成像特點(diǎn)和光的反射原理推證:平面鏡所需最小長度為人體長度的一半時,人眼即可觀看到全身像。(設(shè)人眼和頭頂皆在A點(diǎn),不考慮成像寬度)證明:A、B分別表示人的頭頂和腳的位置,MN為平面鏡位置,由平面鏡成像特點(diǎn)可知,A'B'為AB的像,根據(jù)平面鏡所成的像與物體到鏡面距離相等可知,AC=CA'所以AC=12CD為△AA'B'的中位線,所以CD=12CD為平面鏡的最小長度,AB為人的身高,所以平面鏡的最小長度為人身高的一半。2.如圖所示,EF為一平面鏡,A為平面鏡前一發(fā)光點(diǎn),A'為發(fā)光點(diǎn)A在平面鏡中所成的像,AO為發(fā)光點(diǎn)到平面鏡上的一條入射光線,O為入射點(diǎn),OB為A'O的延長線,NO與平面鏡垂直。請你根據(jù)平面鏡所成像與物關(guān)于平面鏡對稱這一特點(diǎn),證明:∠NOB=∠AON(即OB為入射光線AO的反射光線)。證明:根據(jù)平面鏡成像的特點(diǎn)可知,平面鏡所成像與物關(guān)于平面鏡對稱,即A與A'是對稱的,所以AA'與鏡面是垂直的,且法線NO與鏡面也是垂直的,所以AA'與NO平行根據(jù)兩直線平行,同位角相等,則∠NOB=∠CA'O因平面鏡所成的像與物關(guān)于平面鏡對稱,所以△ACO與△A'CO是全等三角形,則∠CA'O=∠CAO由于AA'與NO平行,∠CAO與∠AON是內(nèi)錯角,則∠CAO=∠AON所以∠NOB=∠AON3.如圖,L表示凸透鏡