2024屆新高三開(kāi)學(xué)摸底考試卷（新高考專用）01

數(shù)學(xué)?全解全析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合A={M-2>3<O},B={XOC<4},則（”）”=（）

A.（0,3]B.（0,3）

C.[3,4）D.[-1,4）

【答案】C

【解析】

【分析】利用補(bǔ)集和交集的運(yùn)算法則求解.

【詳解】由已知得A={x∣Y-2x—3<θ}={乂—l<χ<3},

則&A）cB={X3≤X<4},

故選：C.

2.若α,瓦CGR,則“ac=匕c”是"α=Z√'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可得解.

【詳解】若C=0，令α=2∕=l,滿足αc=bc,但標(biāo)b；

若a=b,則αc=hc一定成立,

所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分條件.

故選：B

3.已知袋中裝有8個(gè)大小相同小球，其中4個(gè)紅球，3個(gè)白球，1個(gè)黃球，從袋中任意取出3個(gè)小球，則

其中恰有2個(gè)紅球的概率為（）

34Cl9

A.-B.-C.—D.—

77728

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求得答案.

【詳解】由題意得從袋中任意取出3個(gè)小球，共有C：=56種取法，

其中恰有2個(gè)紅球的取法有C；C；=24,

243

故其中恰有2個(gè)紅球的概率為P=-=-,

567

故選:A

4.已知隨機(jī)變量X的分布列如表（其中“為常數(shù)），則下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）

X0123

P0.20.30.4a

A.a=0.2B.P(X≥2)=0.7

C.E(X)=L5D.D(X)=0.84

【答案】D

【解析】

【分析】先由0.2+0.3+0.4+α=l,求得α=0.1,再逐項(xiàng)判斷.

【詳解】解：由0.2+0.3+0.4+α=l,解得α=0.1,

則P(X≥2)=0.4+0.1=().5,

E(X)=0×0.2+l×0.3+2×0.4+3×0.1=1.4,

D(X)=(0-1.4)2×0.2+(l-1.4)2×0.3+(2-1.4)2×0.4+(3-1.4)2×0.1=0.84,

故選：D

第2頁(yè)/共23頁(yè)

5.已知函數(shù)/(x)=(X—l)e'—〃優(yōu)在區(qū)間［2,4］上存在單調(diào)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.［4e4,+∞)B.(2e2,4e4)

C.［2e-,+e)D.(2e?+∞)

【答案】D

【解析】

【分析】求出f(x),由題意/'(%)<O在［2,4］上有解，再轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最小值.

【詳解】由已知f'M=ev+(x—l)e`-機(jī)=xe*-根<O在［2,4］上有解,

即m>xex在［2,4］上有解,

設(shè)g(x)=xe',則g(x)=(x+l)e'>O在［2,4］上恒成立，因此g(χ)在［2,4］上是增函數(shù),

g(x)min=g(2)=2/,

所以機(jī)>2e2，

故選：D.

6.在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，把所有的項(xiàng)進(jìn)行排列,有理項(xiàng)都互不相鄰,則不同的排列方案為()

A.A；A；種B.A：A：種C.A：A；種D.A：A；種

【答案】A

【解析】

【分析】先寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，找出有理項(xiàng)和無(wú)理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，再利用排列組合中的插空法求解即可.

【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為(+1

又因?yàn)镺≤r≤6,

所以當(dāng)r=O或r=4時(shí),,為有理項(xiàng)，

所以有理項(xiàng)共有2項(xiàng)，其余5項(xiàng)為無(wú)理項(xiàng),

先排5項(xiàng)為無(wú)理項(xiàng)，共有A；種排法，再排2項(xiàng)有理項(xiàng)，共有A；種排法,

所以有理項(xiàng)互不相鄰的排法總數(shù)為：A；A；種.

故選：A.

第3頁(yè)/共23頁(yè)

7.?Λ1,x2∈［l,e］,當(dāng)x∣<∕時(shí)，都有In土<。(2—w)，則實(shí)數(shù)”的最大值為()

X2

A.—-B.-C.D.I

e^ee

【答案】B

【解析】

【分析】依題意Ig-@<In龍2-初2對(duì)VXl，We［l,e］,當(dāng)無(wú)ι<々時(shí)恒成立，〃(X)=IIix-，ɑ，??［l,e］,

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為MX)在［l,e］上單調(diào)遞增，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則〃'(x)N()在［l,e］上恒成立，參變分離可得

。的取值范圍，即可得解.

【詳解】因?yàn)閂XPXZWLe］，當(dāng)時(shí)，都有一%)，

即］叫-即

Inx2<αrl-0r2,1ΠΛI(xiàn)-αr∣<?nx2-ax2,

令MX)=InX-OX,x∈［l,e］,則/?(%)<∕Z(Λ?)恒成立，

即〃(X)=InX-tzx在［l,e］上單調(diào)遞增，

又“(x)=，—a,所以I'(X)=L-α≥0在［l,e］上恒成立,

XX

所以α≤，在［1,e］上恒成立，因?yàn)間(χ)=L在［1,e］上單調(diào)遞減，

XX

所以g(x)min=g(e)=L所以α≤L即實(shí)數(shù)。的最大值為L(zhǎng)

eee

故選：B

8.根據(jù)汕頭市氣象災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)提示,5月12日?14日我市進(jìn)入持續(xù)性暴雨模式,城鄉(xiāng)積澇和質(zhì)災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)極高，

全市范圍內(nèi)降雨天氣易澇點(diǎn)新增至36處.已知有包括甲乙在內(nèi)的5個(gè)排水施工隊(duì)前往3個(gè)指定易澇路口強(qiáng)排

水(且每個(gè)易澇路口至少安排一個(gè)排水施工隊(duì))，其中甲、乙施工隊(duì)不在同個(gè)易澇路口，則不同的安排方法

有()

A.86B.IOOC.114D.136

【答案】C

【解析】

【分析】先將5個(gè)施工隊(duì)按照3,1,1和2,2,1兩種模式分成3組，注意排除甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)放在一個(gè)

組的種數(shù)，然后再將分好組的施工隊(duì)派往3個(gè)不同的易澇路口，即可得出答案.

詳解】解：若將5個(gè)施工隊(duì)分成3組，則有如下兩種情況，

第4頁(yè)/共23頁(yè)

CCC

第一種，按照3,1,1模式分組，則有A；=10種分組方法,

第二種，按照2,2,1模式分組，則有=15種分組方法,

所以將將5個(gè)施工隊(duì)分成3組，共有10+15=25種分組方法,

其中，如果甲、乙施工隊(duì)和另外一個(gè)隊(duì)構(gòu)成一個(gè)組，則有C；=3種分組方法,

如果甲、乙施工隊(duì)單獨(dú)構(gòu)成一個(gè)組，則有C；=3種分組方法，

所以將甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)放在一個(gè)組，共有3+3=6種分組方法，

所以將5個(gè)施工隊(duì)分成3組，甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)不在一個(gè)組的分組方法有25-6=19種，

現(xiàn)將分好組的施工隊(duì)派往3個(gè)不同的易澇路口，則有A；=6種安排方法，

所以符合題意的安排方法共有19x6=144種.

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.研究變量X,y得到一組樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，以下說(shuō)法正確的是（）

A.經(jīng)驗(yàn)回歸直線5?=gχ+4至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)（芭，Β）,（工2，%），…，（七,K）中的一個(gè)

B.若所有樣本點(diǎn)（Xj,y）（i=l,2,）都在直線y=gx+l,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為1

C.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程3=-2x+8中，當(dāng)解釋變量X每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量9平均增加2個(gè)單位

D.用決定系數(shù)R2來(lái)比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2越小，模型的擬合效果越差

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)關(guān)系的樣本相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)的定義以及回歸方程的概念求解.

【詳解】對(duì)A,經(jīng)驗(yàn)回歸直線5>=gχ+G可以不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（%,%）,（◎，%），…，（X.,y,）中的任意一個(gè)，A

錯(cuò)誤；

對(duì)B,因?yàn)樗袠颖军c(diǎn)（七,X）（i=1,2,）都在直線y=；龍+1,

所以樣本相關(guān)系數(shù)為1,B正確；

對(duì)C,在經(jīng)驗(yàn)回歸方程9=-2尤+8中，當(dāng)解釋變量X每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量夕平均減少2個(gè)單位，

C錯(cuò)誤；

第5頁(yè)供23頁(yè)

對(duì)D,用決定系數(shù)R2來(lái)比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2越小，模型的擬合效果越差，D正確;

故選:BD.

10.己知。，b,c∈R,則卜列命題為真命題的是()

A.若b<a<0,則bc2<ac2

B.若/>"3且曲<0,則J,>l.

ab

C.右a>b>c>4,則不>----

bb+c

cih

D.若c>b>a>0,則---->-----

c-ac-h

【答案】BC

【解析】

【分析】利用不等式的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】選項(xiàng)A,若C=O時(shí)，不成立，故選項(xiàng)A不正確；

選項(xiàng)B,由于函數(shù)/(x)=j?在R上單調(diào)遞增，所以α>b,又因?yàn)?活<0,

所以α>()>b,所以L>L,故選項(xiàng)B正確；

ah

選項(xiàng)C,因?yàn)镼>∕7>C>0,所以ac>bc,所以ac+ab>be+ab,

因?yàn)樵乒?>°，所以兩邊同乘77W得；>一，故選項(xiàng)C正確；

b[b^c)b[b-^c)hb+c

選項(xiàng)D1因?yàn)棣?/?<(),C—α>0,c-/?>(),

abc(a-b)Cab

所以---------=7~~號(hào)<0,即——<——，故選項(xiàng)D不正確；

c-ac-Γb^c-a)^c-b)c-ac-b

故選：BC.

11.下列結(jié)論正確的是()

A.若隨機(jī)變量Y的方差O(Y)=2,則θ(3Y+2)=8

B.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布若E(3X+1)=6,則”=5

C若隨機(jī)變量〃服從正態(tài)分布N(5,b)P(77≤2)=O.l,則P(2<v<8)=0.8

D.若事件4與8相互獨(dú)立，且P(A)=().5,P(B)=().2,則尸(布)=0.4

【答案】BCD

【解析】

第6頁(yè)/共23頁(yè)

【分析】對(duì)于A,根據(jù)方差的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于B,根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式分析求解，對(duì)于C,根據(jù)正

態(tài)分布的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于D,根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)殡S機(jī)變量y的方差。(丫)=2,所以。(3y+2)=32∕)(y)=9χ2=18,所以A錯(cuò)

誤，

對(duì)于B,因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布所以E(X)=；〃，

因?yàn)镋(3X+1)=6,所以3E(X)+l=3xg〃+l=6,得〃=5,所以B正確，

對(duì)于C,因?yàn)殡S機(jī)變量〃服從正態(tài)分布N(5,er?),P(T7≤2)=O.1,

所以P(2<T7<8)=2[0.5-P[η<2)]=2×(0.5-0.1)=0.8,所以C正確，

對(duì)于D,因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立，且P(A)=O.5,P(B)=O.2,

所以P(Aq=P(A)尸(可=P(A)[1-P(B)]=0?5x(l-0.2)=0.4,所以D正確，

故選：BCD

12.已知函數(shù)/(x)=e"+f+桁，ab≠0,則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)a+/?=0時(shí)，函數(shù)/(X)在(一8,0)上是減函數(shù)

B.當(dāng)α+b=-2時(shí)，方程/(x)=0有實(shí)數(shù)解

C.對(duì)任意。，b,/(χ)存在唯一極值點(diǎn)

D.對(duì)任意。，b,曲線y=∕(χ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線有兩條

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,求導(dǎo)之后分類討論，即可判斷；對(duì)于B,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最值，根據(jù)最

值情況判斷函數(shù)的零點(diǎn)情況；對(duì)于C,求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，數(shù)形結(jié)合，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，從而判斷函數(shù)單調(diào)性，

確定函數(shù)極值點(diǎn)；對(duì)于D,設(shè)切點(diǎn)為(加,〃)，則可得"=e""'+7√+zwj,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程，

結(jié)合方程的根的個(gè)數(shù)，判斷切線的條數(shù)；

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)α+8=()時(shí)，則"x)=e"+x2-公，

所以∕'(x)=αeα'+2x-a=a{eax-?^+2x,

當(dāng)x<0時(shí)，若。>0,則eαf<l,則a(e'"—1)<0,2x<0,

第7頁(yè)供23頁(yè)

所以rG)<o,則/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)x<O時(shí)，若α<0,則e">l,則α(e"-l)<O,2x<0,

所以/'(x)<O,則/(x)單調(diào)遞減；

所以當(dāng)α+h=O時(shí)，函數(shù)/(x)在(—8,0)上是減函數(shù)，故A正確；

對(duì)于C,由已知αh≠O,函數(shù)/(x)=/+/+笈，可得r(χ)="*+2x+),

令g(x)=αe"+2x+b,g'(x)=εz2eαv+2>O,

則g(%)即/'(H=αe"+2x+b在R上單調(diào)遞增，

令/'(x)=αe"'+2x+方=。，則αertr=-2x-b，

當(dāng)”>()B寸，做出函數(shù)丁=恁",y=一2》—6的大致圖像如圖：

當(dāng)“<0時(shí),，做出函數(shù)y=αeαv,y=-2x-Z?的大致圖像如圖:

`?vv?

i,x

可知y=ae,y=-2x-b的圖像總有一個(gè)交點(diǎn)，即/'(x)=αe"+2x+匕=0總有一個(gè)根χ0,

當(dāng)XeXO時(shí)，∕,(x)<0;當(dāng)x>/時(shí)，F(xiàn)<x)>O,

此時(shí)/(%)存在唯一極小值點(diǎn)，C正確；

對(duì)于B,當(dāng)a+Z?=—2時(shí)，b——2—a,f(^v)-eα'+x2—(a+2)Λ,

故/'(X)="e~+2x-a-2,該函數(shù)為R上單調(diào)增函數(shù)，

第8頁(yè)供23頁(yè)

∕,(0)=-2<0,∕,(l)=ae,,-a=a(ea-l)>0,

故土e(0,l),使得/'(s)=0,即eβs=-*s+l+±,

QCl

22

結(jié)合C的分析知，f(x)的極小值也即最小值為/(s)=eαs+52-(α+2)5=一一s+l+-+s2-(a+2)s,

aa

222

令加(S)=——5,÷1+-+52一(α+2)s,則m,(s?=2s-(α+-+2),且為增函數(shù)，

aaa

當(dāng)α<0時(shí)，m'(0)=-(α+2+2)22√5-2>0,當(dāng)且僅當(dāng)。=一五時(shí)取等號(hào)，

a

故當(dāng)s>0時(shí)，加(s)>加(0)>0,則/(S)在((U)上單調(diào)遞增，

22I

故/(s)>∕(0)=—+1,令。=一3,則/(0)=—+l=3>O,.?.∕(s)>∕(O)>O,

aa37

此時(shí)/(x)的最小值為/(s)>0,/(x)無(wú)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

αv

對(duì)于D,由于"0)=1,故原點(diǎn)不在曲線/(x)=e+χ2+?x上，且/(力=枇川+2為+/?,

a,+ml+bm

設(shè)切點(diǎn)為(加,")，"=e""'+s2+∕w7,則f'(m?=ae"+2m+b=~=,

mm

即aet"n+m=-,即eβm(αrn-l)+rn2=0,

m

令Mm)=ean'(am-l)+m2,∕ι,(m)=ae,"n(am-1)+aeaι"+2m=m(a2ea'"+2),

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，A,(m)<0,〃(加)在(一8,0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)相>0時(shí)，h'(m)>0,力(加)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故力(㈤min=〃(0)=T，

當(dāng)加趨向負(fù)無(wú)窮時(shí)，e""(01)的值趨近于0,趨近于無(wú)窮大，故丸(根)趨近于正無(wú)窮大，

當(dāng)，"趨向正無(wú)窮時(shí)，e""'(α根-1)的值趨近于正無(wú)窮大，趨近于無(wú)窮大，故//(根)趨近于正無(wú)窮大，

故//(m)在(-8,0)和(0,+∞)上各有一個(gè)零點(diǎn)，即e"'"("加—1)+∕√=0有兩個(gè)解，

故對(duì)任意“，b,曲線y=/(x)過(guò)原點(diǎn)的切線有兩條，D正確；

故選：ACD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合新較強(qiáng)，綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及極值點(diǎn)、零點(diǎn)、最值問(wèn)題，計(jì)算量

較大；難點(diǎn)在于利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，要能構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷導(dǎo)數(shù)值的

情況，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，解決零點(diǎn)問(wèn)題.

第9頁(yè)/共23頁(yè)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.現(xiàn)從4名男志愿者和3名女志愿者中，選派2人分別去甲、乙兩地?fù)?dān)任服務(wù)工作，若被選

派的人中至少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】36

【詳解】依題意分兩種情況討論，①選一名男志愿者與一名女志愿者，則有CiC?度=24

種選派方法；

②選兩名男志愿者，則有點(diǎn)度=12種選派方法；

綜上可得一共有24+12=36種選派方法；

故答案為：36

14.《九章算術(shù)》中將正四棱臺(tái)體（棱臺(tái)的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方

亭ABCD-EFHG,其中上底面與下底面的面積之比為1:4,BF=旦EF

2

第8頁(yè)/共23頁(yè)

,方亭的四個(gè)側(cè)面均為全等的等腰梯形，己知方亭四個(gè)側(cè)面的面積之和為12君，則方亭的

【詳解】由題意得去：，設(shè)所=2x,則AB=4x,BF=g

過(guò)點(diǎn)E,尸在平面ABFE內(nèi)分別作EMLAB,FNlAB,垂足分別為點(diǎn)M、N,

在等腰梯形ABFE中，因?yàn)镋MYAB,FNLAB,則四邊形MNFE為矩形,

所以MN=EF,EM=FN,則MN=E尸=2x,

因?yàn)锳E=BF,EM=FN,ZAME=ZBNF=驕,

AR-EF

所以Rt/Rt48NF,所以AM=BN=-----------=x,

2

在RtN尸中，由勾股定理得JRV=JBF2-BN?=&，

所以等腰梯形AW芯的面積為S=帶"?石X=3指Y=3石，所以x=l.

所以EF=2x=2,AB=4x=4,方亭的高〃=J（扃-1=2,

故方亭的體積為gx〃X（S上+5下+75^7）=：'2*（4+16+扁）=寺.

故答案為：?

15.設(shè)函數(shù)T（X）=Sin3X+2在區(qū)間（O,π）上恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范

圍是___________

第9頁(yè)/共23頁(yè)

【答案】138

^653

第10頁(yè)/共23頁(yè)

【詳解】由題意可得m>0,故由x∈(O,π),得。x+W∈(q,mυ+?).

根據(jù)函數(shù)段)在區(qū)間(0,兀)上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，知生儂+；碧，得卷碧.

根據(jù)函數(shù)段)在區(qū)間(O,n)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，知2兀<兀0+基3兀，得∣<?υ*

綜上，。的取值范圍為(土日

V63_

22

C：——x-7=l(α>0,/>>0)

16.已知F為雙曲線ab-的右焦點(diǎn)，A、B是雙曲線C的一條漸近

線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，AF?8F=°且線段AE的中點(diǎn)在雙曲線C上，則雙曲線C的

離心率e=.

【答案】我T

Cx?~--?-=?{cι>0,/?>0)??/八、

【詳解】因?yàn)槭瑸殡p曲線礦b-的右焦點(diǎn)，所以AIGU人由題知雙曲

y=-χX?,~?∣(?>θ)β∣-?9--?I

線的一條漸過(guò)線的方程為0,不妨設(shè)IaJ,則I〃所以

7

A/=c-x0,—玉)，BF—c+x0,-X0

Va)VQJ,則

222

AFBF=[c-x0)(c+x0)-----γXg=C-----^Xo-=Or-∩.

aa,由此得天＞一0?因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(a+cb]

A("/),線段A尸的中點(diǎn)坐標(biāo)為I2,2J因?yàn)樗陔p曲線上，所以

(≡a^C(bI^L,化簡(jiǎn)得IE。J,;解得-a

四、解答題：共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

、-—..LcSinA+2SinBCoSA

17.記aABC的內(nèi)角A、B、jCλ的對(duì)邊分別為a、b、c,且一=-----------------

a2sinA

(1)求B的大小;

第10頁(yè)/共23頁(yè)

(2)若匕=2直，ZVlBC的面積為2曲，求C的周長(zhǎng).

?sinA+2sinBcosA

【詳解】(1)由正弦定理得”一，所以

SinA2sinA

sinA+2sinBcosA=2sinC=2sin(A+B)=2sinAcosβ+2cosAsinB,

得SinA=2sinAcos3,因?yàn)?vAvπ,所以SinA≠0,

得cosB=-,又0<3<τι,

2

π

所以

(2)由SAABC=gαcsin3=2λ∕5,得OC=8,

〃242_12.1

由余弦定理COS8=--------------=—,得/+02-8=a。，

2ac2

得(α+c)~=3αc+8=32,

得α+c=4λ∕5，

所以A5C的周長(zhǎng)為6√Σ?

18.如圖在四棱錐。一彳8。。中,底面488為直角梯形,4)〃8。,4*=90，平面

上底面/SCO,。為彳。的中點(diǎn),的是棱"C(不與端點(diǎn)重合)上的點(diǎn),以二以)二2,

Ak個(gè)

⑴求證:平面PBCI平面PQB；

(2)當(dāng)"V的長(zhǎng)為何值時(shí),平面與平面P∕)C所成的角的大小為60。？

【解析】(1)?.F∕)BC,。為的中點(diǎn)仞、'AD,

RC()∣),BC=QD,

第11頁(yè)供23頁(yè)

四邊形8C00為平行四邊形…80(7)?

VZADC-90。,，BClBQ.

YPA=PDMQQD,:.PQLAD.

又.平面AMDI平面加。,平面ZMOfl平面彳8C。=/。，

∕,01平面小N),.P018{.又./,0口80=。".8。1平面/。也

???8。匚平面，8。,平面。SCl平面。0從

(2)山⑴可知P0J.平面,48CD如圖,以。為原點(diǎn),分別以04,08,0。所在直線為人

則0(0,o,()),∕)(ι,0,0),依0,0,6),比0,6,0)，C(T3,0)，

../=(0,GO)Dd=(0,GO),而=(∣,Q,6)元=(Tj5,M),

PC—÷(V3)j+(-V?)=41?

設(shè)∕f∕一—?jiǎng)t麗=(-4同年)，且o<z<ι,得M(-九屬TS-Tii),

.?.ρΛ∕-(-λ.√3Λ,√3(1-Λ))

設(shè)平面VB0的法向量為「(X,I；二)，

Q?i∕w=0.-λx+√34>,+>∕3(l-λ)∑=0.

則,即

QBm=Ot75y=0.

令X二、回,則y=0,二--?-，

平面V80的一個(gè)法向量為州(vkθ,?).

I-A

設(shè)平面PDC的法向量為〃-(Λ?',M二')，

ZX7Λ=α√3y=o,

則?.,即，

,

DPn=Otx+√3∕=0.

令K=3,則，0,γ=r5,

第12頁(yè)/共23頁(yè)

.?.平面上。C的一個(gè)法向量為G=(3,0.-6)?

平面與平面/7XT所成的銳二面角的大小為60。,

.?fiM-PC=—

22

PM=立

即當(dāng)2時(shí),平面0WB與平面PoC所成的角大小為60°

19.已知函數(shù)y(x)=e*-or一“，α∈R.

⑴討論危)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)α=l時(shí)，令g(x)=^^.證明：當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>l.

【詳解】(1)解函數(shù)火x)=ev—"一”的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得了(x)=e'—

當(dāng)好0時(shí)，/(x)>0恒成立，即貝x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)”>0時(shí)，令/(x)=e*-a>0,解得x>lnα,令/(x)<0,解得x<ln4,

即7U)在(-8,Ina)上單調(diào)遞減，在(In4,+s)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)把0時(shí)，式x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)〃>0時(shí)，式外在(-8,Ina)上單調(diào)遞減，在(In4,+s)上單調(diào)遞增.

2e1-X-1

(2)證明當(dāng)。=1時(shí)，g(x)=~2，

2ev-X—1X2/+%+1

當(dāng)x>0時(shí),---?----->1<≠ev>1÷x+y<=>------------<1,

^x2÷x+l-%

令F(X)=—--1,x>0,尸(%)=一；0恒成立，則Fa)在(0,+oo)上單調(diào)遞減,

?^x2+x÷l

F(x)<F(0)=/一1=0,因此---近---<1成立，

所以當(dāng)QO時(shí)，g(x)>l,即原不等式得證.

20.已知數(shù)列｛%｝是以d為公差的等差數(shù)列，d≠O,S"為｛4｝的前〃項(xiàng)和.

第13頁(yè)/共23頁(yè)

（1）若&-$3=6,%=1，求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式；

⑵若｛q｝中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列,”是以《為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，且4=4q,求

數(shù)列｛也｝的前"項(xiàng)和7”.

【答案】（1）?！皛?n

⑵1=6〃

【分析】（1）由臬-53=6,可得%=2,后由等差數(shù)列性質(zhì)可得公差，即可得通項(xiàng)公式；

（2）由題可得=4%,.,,叫=1.后由｛%｝是以"為公差的等差數(shù)列，4=4q可得數(shù)列

是以g為首項(xiàng).4為公比的等比數(shù)列，可求得數(shù)列｛”,｝的通項(xiàng)公式，后由分組求

和法可得｛肛J的前"項(xiàng)和刀,.

【詳解】（D）因?yàn)?6-53=6,所以q+%+%=6,

所以為+%+。6=3%=6=>%=2.

所以d=--=—=>a=a.-jt-（n-3d=—n--.

5-32m3\?）22

則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=

（2）因?yàn)閿?shù)列｛α,,J是以首項(xiàng)為4,公比為4等比數(shù)列.

所以4”.=4aml,a叫=4=叫=L

因?yàn)閿?shù)列｛4,,｝是等差數(shù)列，所以q+（a-l）d=4[q+（町--l）d].

化簡(jiǎn)得町，=斗+4以T-3.

因?yàn)?=q+d=4%,所以號(hào)=g，即叫=4m,,-∣~2-

所以q一?∣=4（〃*-?∣）.

因?yàn)榻?|=g，所以數(shù)列（此一|｝是以g為首項(xiàng).4為公比的等比數(shù)列

第14頁(yè)/共23頁(yè)

?11?

所以---=—?4"“=W=—?4n^lH—.

υ33〃33

,,1

所以I=mI+m2++機(jī)〃=；H0+4∣+4-)+F------；+6”?

則數(shù)列｛多｝的前n項(xiàng)和Tn為：T1=4"-；+6〃.

21.甲、乙兩選手進(jìn)行一場(chǎng)體育競(jìng)技比賽，采用2〃-1局N勝制(〃eN*)的比賽規(guī)則，即先

贏下〃局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為P,乙獲勝的概率為I-P,比賽結(jié)

束時(shí)，甲最終獲勝的概率為Z,("eN*).

(1)若P=；，"=2,結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，即A>鳥(niǎo).

⑴求〃的取值范圍；

(ii)證明數(shù)列｛門｝單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說(shuō)明該結(jié)論的實(shí)際含義.

【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，I

(2)(i)∣<p<li(ii)證明見(jiàn)解析，比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利

【詳解】(1)P=g,"=2,即采用3局2勝制，X所有可能取值為2,3,

P(XT=C噴臥4泥)』

X的分布列如下表：

X卜Il

所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=2x；+3xg=|.

(2)采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用4表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則J~8(3,p),

甲最終獲勝的概率為：

Pl=Pd=2)+Pq=3)=C；/?！猵)+C/'=p2C(I-P)+CR]=/(3-2p),

采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用?表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則〃~B(5,p),甲最

終獲勝的概率為：

3245

p2=P(77=3)+P(77=4)+P(77=5)=C>(l-p)+C^(l-p)+C>

第15頁(yè)/共23頁(yè)

=p[C(I-P)2+C：P(I-P)+Cp[=p3(6p2-15p+10),

第16頁(yè)/共23頁(yè)

2

p2-p1=〃3(6〃2-15〃+10)-〃2(3-2〃)=(6〃3-15p+10p-3+2p)

=3p2(2p3-5p2+4/2-1)=3p2(p-l)(2p2-3p+l)=3p2(l-p)2(2p-l)>0,

得g<p<l.

(ii)由⑴知g<p<l.

2〃-1局比賽中恰好甲贏了”局的概率為d=C-P"O-PΓ''

2〃-1局比賽中恰好甲贏了局的概率為%=G=p"T(l-p)",

則2〃-1局比賽中甲至少贏〃+1局的概率為5-4.

考慮2〃+1局比賽的前2〃-1局：

如果這2〃-1局比賽甲至少贏”+1局，則無(wú)論后面結(jié)果如何都勝利，其概率為a-4,

如果這2〃-1局比賽甲贏了“局，則需要后兩場(chǎng)至少贏一局，其概率為q[l-(l-p)[,

如果這2〃-1局比賽甲贏了〃-1局，則需要后兩場(chǎng)都贏，其概率為%小,

因此2〃+1局里甲最終獲勝的概率為：&=優(yōu)f)+叩-(I-P)[+%/,

EM-巴=-%+1[1-0-PT]+%p2=%p2-4∣0-

l,2l

=c^1∕-(ι-p)1-p-qn.,√(ι-PΓ'?(I-√

=C露陰(―p)JCM"(1-P戶

=C=p"(l-p)"[P-(I-P)]=C*p"(l-p)"(2p-l)>0

因此4“>4,即數(shù)歹(∣{C}單調(diào)遞增.

該結(jié)論的實(shí)際意義是：比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利.

22.已知圓工：(x-l)2+)『=16,定點(diǎn)耳(T0),用是圓心上的一動(dòng)點(diǎn)，線段耳M的垂直平分

線交半徑gM于點(diǎn)尸.

(1)求尸的軌跡。的方程；

⑵若過(guò)不工的直線44分別交軌跡。與AC和氏。，且直線4,4的斜率之積為-；，求四邊

4

形ABCD面積的取值范圍.

22

【答案】(1)二+二=1

43

⑵邛苧

第16頁(yè)/共23頁(yè)

因?yàn)榫€段耳M的垂直平分線交半徑與點(diǎn)P,

所以IPM=IP制,

所以IP