[北京大學(xué)《量子信息物理原理》課程講稿]（III）§1.4,廣義測(cè)量與POVM1，開放系統(tǒng)的廣義測(cè)量通過把與所考慮系統(tǒng)有相互作用的外部系統(tǒng)都計(jì)算進(jìn)來，構(gòu)成足夠大系統(tǒng)的辦法，總能以足夠好的近似將這個(gè)大復(fù)合系統(tǒng)看作是孤立體系。人們知道，或者準(zhǔn)確些說是相信，孤立系量子測(cè)量必定是正交投影測(cè)量。因此可以說，對(duì)如此構(gòu)成的大系統(tǒng)中某一組相互對(duì)易力學(xué)量完備組進(jìn)行的量子測(cè)量，必定是正交投影測(cè)量。就是說，測(cè)量所得的必定是這個(gè)完備組共同本征態(tài)的量子數(shù)，測(cè)量所實(shí)現(xiàn)的也必定是向這個(gè)完備組相互正交共同本征態(tài)的投影。以前的量子力學(xué)都是針對(duì)封閉系統(tǒng)的?，F(xiàn)在研究開放系統(tǒng)也就是子系統(tǒng)的量子力學(xué)。注意，大系統(tǒng)的一組相互正交的本征態(tài)族在子系統(tǒng)所屬子空間中的對(duì)應(yīng)態(tài)未必仍然相互正交！于是可以設(shè)想，不知道（根本不知道、不想知道、難以知道）大系統(tǒng)、只知道子系統(tǒng)（?。┑挠^察者會(huì)認(rèn)為：通常情況下的量子測(cè)量將投影出一組非正交態(tài)，而不是一組正交態(tài)。這就是通常所說的“廣義測(cè)量不一定是正交投影”的原故。廣義測(cè)量是指，在一個(gè)由若干子系統(tǒng)組成的大系統(tǒng)上進(jìn)行正交測(cè)量時(shí)，在局部的子系統(tǒng)上所實(shí)現(xiàn)的局限性測(cè)量，稱為廣義測(cè)量，又稱為局域測(cè)量。從大系統(tǒng)的角度來看，現(xiàn)在的子系統(tǒng)是個(gè)開放系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行的觀測(cè)是片面的觀測(cè)、局部的觀測(cè)。廣義測(cè)量也可以說成是對(duì)開放系統(tǒng)的量子測(cè)量?？偫ㄆ饋恚_放系統(tǒng)的量子力學(xué)，包括開放系統(tǒng)的量子測(cè)量，出現(xiàn)三個(gè)新特點(diǎn)：a）量子態(tài)可能是混的；b）量子演化可能是非幺正的、不可逆的；c）量子測(cè)量可能是非正交投影分解—POVM。POVM直譯是“正算符取值測(cè)度”，是個(gè)重要概念。將它表示出來為(1.11)POVM是以前針對(duì)封閉系統(tǒng)的vonNeumann正交投影向開放系統(tǒng)的推廣，是完全測(cè)量向非完全測(cè)量的推廣。簡(jiǎn)明地說，在大系統(tǒng)上進(jìn)行正交測(cè)量時(shí)，在子系統(tǒng)中所觀察到的非正交投影就是一組POVM，在子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)的測(cè)量稱為廣義測(cè)量。其實(shí)，按POVM的含意，全稱應(yīng)當(dāng)是“單位算符的非正交測(cè)度分解”。下面會(huì)舉例詳細(xì)說明。2，局域測(cè)量——POVMi,直和解釋：空間正交測(cè)量在子空間中表現(xiàn)假設(shè)所關(guān)心的態(tài)空間是一個(gè)更大的直和空間(1.12)的一部分（設(shè)的基是，的基是）。有正交基。設(shè)是中的一個(gè)可觀察量，于是有以下正交分解關(guān)系（1.13）(1.14)這里。注意，不同值的雖然彼此正交，但它們?cè)谧涌臻g中投影部分，也即從子空間中看，這些態(tài)不一定正交歸一。將態(tài)歸一化記為。按，設(shè)，(1.15)注意，同時(shí)有?，F(xiàn)在假設(shè)，在大空間中對(duì)子空間中的一個(gè)態(tài)執(zhí)行向基矢的正交投影測(cè)量。這些測(cè)量，從“生活”在中的觀察者來看，只得到以概率（注意不屬于，其作用為零）（1.16a）獲得測(cè)量結(jié)果和態(tài)。特別是，在測(cè)出值以后，塌縮投影過去的這些測(cè)量末態(tài)不見得彼此正交！設(shè)是子空間的單位算符，它也是大空間向子空間的投影算符。利用它可將中的正交投影算符系列向投影。即，定義中的一組算符(1.17)利用定義（1.17）式，可以把（1.16a）式，即從中觀察所得結(jié)果為的概率重新表達(dá)為(1.16b)這些顯然是厄密的、非負(fù)的，但跡卻不一定為1（），而且也不一定彼此正交，所以不能算是正交投影算符系列。然而，它們總和等于子空間中的單位算符(1.18)因此，這些在子空間中執(zhí)行著類似于在空間中的投影分解任務(wù)，但它們卻不是正交投影。于是推廣開來看，可以引入如下定義：[定義]系統(tǒng)A的一個(gè)POVM（positiveoperatorvaluedmesure[2、3]、[8]p.90、[13]p.287）是一組不一定彼此正交，但總和等于系統(tǒng)單位算符的非負(fù)、厄密算符序列，（1.19）換句話說，POVM是將系統(tǒng)的單位算符用一組不一定彼此正交的正值算符序列進(jìn)行分解，簡(jiǎn)單地說，系統(tǒng)單位算符的一種非正交測(cè)度分解。這里態(tài)是系統(tǒng)A的任意態(tài)。根據(jù)這里的廣義測(cè)量理論，當(dāng)對(duì)中態(tài)作廣義測(cè)量時(shí)，相應(yīng)每個(gè)測(cè)量結(jié)果的概率由(1.16a、b)式表示。特別是，有為保證概率正定和總概率為1，的正定性和都是必需的。由于任何投影算符的平方等與它自己，所以開根也是它自己。而這里正屬于投影算符，于是在廣義測(cè)量前后，態(tài)的改變是(1.20)（1.20）式是正交投影情況（）向POVM情況的推廣。注意，由于“是大空間的向子空間的投影”，所以有的維數(shù)數(shù)目數(shù)目=維數(shù)和（1.21）個(gè)數(shù)可能多于的維數(shù)是因?yàn)椋鼈兺陚涞舜藚s不一定正交；而個(gè)數(shù)可能少于的維數(shù)是因?yàn)椋梢杂羞@樣的，它只向正交子空間投影，于是與這種相應(yīng)的便是零。這個(gè)POVM名詞最初來源于文獻(xiàn)[9]。該文首次引入廣義測(cè)量概念來分辯一些非正交的態(tài)。ii）直積解釋：空間正交測(cè)量在子空間中表現(xiàn)假設(shè)考慮一個(gè)維系統(tǒng)，處在態(tài)上。并假設(shè)另有一個(gè)輔助系統(tǒng)（常稱為“附屬系統(tǒng)”，其維數(shù)這里并不重要，予以略去）處在已知態(tài)上。設(shè)這兩個(gè)子系統(tǒng)組成一個(gè)“未關(guān)聯(lián)”的張量積的大系統(tǒng)，初態(tài)為?，F(xiàn)在對(duì)這個(gè)張量積系統(tǒng)進(jìn)行某種正交投影測(cè)量。在單次測(cè)量中得到測(cè)量結(jié)果為中的某一個(gè)，相應(yīng)概率為也即（1.22）這組算符稱作系統(tǒng)A的一組POVM━━單位算符的非正交測(cè)度分解。（1.22）表明，既是張量積大系統(tǒng)在正交測(cè)量中得到結(jié)果為的概率，也是在子系統(tǒng)中執(zhí)行相應(yīng)POVM并得到的概率。由于（1.22）中，以及是任意和非負(fù)的，可知全體都是非負(fù)的，有時(shí)簡(jiǎn)單稱它們?yōu)檎摹０?1.22)式，它們也是厄米的、總和為1。比如對(duì)總和，(1.22)式對(duì)求和即得分量形式為這正是（1.18）式。但對(duì)于直積情況，POVM中個(gè)數(shù)的上限與直和的（1.21）式不同。這時(shí)有維數(shù)積（1.23）大系統(tǒng)測(cè)量且塌縮結(jié)果為時(shí)，大系統(tǒng)的態(tài)相應(yīng)塌縮到下面狀態(tài)，（1.24）但與此同時(shí)，對(duì)于只知道子系統(tǒng)的觀察者而言，當(dāng)測(cè)量塌縮到時(shí)，密度矩陣從變?yōu)椋?.25）顯然，這里（1.25）式和前面（1.20）式求和中對(duì)應(yīng)項(xiàng)是相同的。因?yàn)?，注意到這里所用的向投影算符對(duì)而言是單位算符，于是由于（1.25）式分子已經(jīng)，所以可以左右全乘以，并收入求跡號(hào)內(nèi)，同時(shí)對(duì)求跡號(hào)內(nèi)兩側(cè)也如此做。至于分母可直接利用概率公式（1.22）?？傊梢杂羞@里最后結(jié)果上的根號(hào)是等式對(duì)全部測(cè)量概率歸一化的要求。以上通過直和與直積兩種方式說明了，在更大態(tài)空間中進(jìn)行某個(gè)正交投影測(cè)量過程，反映到它某個(gè)子空間中（相當(dāng)于只從這個(gè)子空間作局部性觀察），就實(shí)現(xiàn)為一個(gè)非正交的投影系列——實(shí)現(xiàn)一種POVM。3，POVM舉例[例1]舉一個(gè)單qubit兩維態(tài)空間中POVM例子。選擇個(gè)3維單位矢量和個(gè)正實(shí)數(shù)，使它們滿足：，。由此便可構(gòu)造一種有N個(gè)元素的POVM如下：(1.26a)回憶起自旋態(tài)的投影算符為[2]，其中是態(tài)的極化矢量，就有（1.26b）它們共計(jì)個(gè)，顯然都是非負(fù)的、厄密的，并且有所以，這個(gè)就在此qubit二維態(tài)空間中定義了一個(gè)POVM。注意，在兩維態(tài)空間中作單位算符的POVM分解時(shí)，若是兩個(gè)分解（N=2，即），雖有無窮多種分解，但必定都是正交分解：只有多于所在空間維數(shù)的分解，即的分解，才必定是非正交的分解。比如對(duì)N=3情況，若取任意三角形的三個(gè)邊作為（首尾相接的）三個(gè)矢量，則有，再選比如，于是便得到一種共計(jì)三個(gè)的如下POVM，（1.27）由它們乘積即知，它們已不再是正交投影，各自的跡也不是1了。[例2]三維空間中正交投影測(cè)量。向X,Y,Z三個(gè)方向投影矩陣：這時(shí)，在法線方向?yàn)榈亩S平面上生存的人看來，這個(gè)原本在三維空間中的正交投影測(cè)量是一個(gè)POVM測(cè)量。求這三個(gè)的表達(dá)式。解：將三維空間向X-Y平面投影操作轉(zhuǎn)到向這個(gè)平面的投影操作。這個(gè)投影操作和Z-軸轉(zhuǎn)到法線的轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)。此轉(zhuǎn)動(dòng)為向這個(gè)平面投影操作為（注意有一個(gè)零根，不是三維，是二維）這里的相當(dāng)于前面所說的向投影的。按(1.17)式，有這組POVM求和為這就是上面的(1.18)式。4，Neumark定理i，Neumark定理[2，3]上面通過考察比更大空間中的正交測(cè)量，得到了在空間中的POVM的概念?，F(xiàn)在反過來考量，這就是Neumark定理：“總能夠采用將所考慮的態(tài)空間拓展到一個(gè)較大空間，并在這個(gè)較大空間執(zhí)行適當(dāng)正交測(cè)量的辦法，實(shí)現(xiàn)所考慮空間中任何事先給定的POVM?！弊C明：考慮維狀態(tài)空間和（）個(gè)的一種POVM。每個(gè)一維正算符（意即只有1個(gè)非零本征值）可寫為（1.28）注意這里和不一定歸一。于是，已設(shè)的全體之和為中單位矩陣的結(jié)果，現(xiàn)在就表示為（1.29）可以換一種角度看待關(guān)系式（1.29）：按下式定義個(gè)維矢量這里是說，在維空間中第個(gè)矢量的第分量為。于是在這維空間中就已經(jīng)有了個(gè)正交歸一的矢量?，F(xiàn)在只需要在這個(gè)維數(shù)較高的維空間中再增加（）個(gè)正交歸一矢量，補(bǔ)充這個(gè)正交歸一矢量集合，使它們共同構(gòu)成一組正交歸一完備基矢就可以了。顯然，這種補(bǔ)充不但可行，而且辦法并不唯一。設(shè)補(bǔ)充的（）個(gè)正交歸一矢量為（1.30）將兩部分合并排成正交歸一的行之后，各列便同時(shí)組成維空間的一組個(gè)正交歸一基。注意這些是如此構(gòu)造的：第個(gè)矢量的前個(gè)分量為（），后（）個(gè)分量為新補(bǔ)充的?，F(xiàn)在可以在這個(gè)維空間中執(zhí)行一個(gè)由下面定義的正交測(cè)量：（1.31）顯然，將基矢明寫出來便是（1.32）這里。這里是由所撐開的、維數(shù)為（）的、與正交的另一個(gè)子空間。通過正交投影，可將投影到，于是就得到中原先已設(shè)定為POVM的。證畢?？偠灾?，由正交測(cè)量的局部投影之后所得的POVM以及此處的Neumark定理，得到一個(gè)總體的認(rèn)識(shí)：在一個(gè)系統(tǒng)上執(zhí)行任選的POVM類型測(cè)量是人們能夠執(zhí)行的最一般的測(cè)量。ii，舉例說明[例1]可以采用直和拓展方法來應(yīng)用此定理。再次考慮單個(gè)qubit。取2維態(tài)空間中3個(gè)POVM的（1.27）式：現(xiàn)在用直和方式增加一維，在三維態(tài)空間中構(gòu)造相應(yīng)的正交投影操作，使得在二維態(tài)空間中觀察，測(cè)量就是事先給定的。為此取一個(gè)“三進(jìn)制”量子位——一個(gè)三維態(tài)空間的單量子系統(tǒng)qutrit，選取下面三個(gè)矢量，它們?cè)谇蜃鴺?biāo)中分別為，是X-Z面上的等角三葉螺旋槳，夾角。因此，考慮到和是歸一化自旋態(tài)。由此得到2維空間原有的3個(gè)態(tài)矢，（1.33）現(xiàn)在，按定理證明敘述，將這3個(gè)2維矢量看作是個(gè)的矩陣（由于所取POVM的完備性，（1.33）式中兩行是正交的）。再補(bǔ)上正交的第三行（注意保持歸一化），就成為（1.34）如定理所說的，各列（現(xiàn)即為）也彼此正交。這時(shí)若執(zhí)行向基的正交投影測(cè)量（即，測(cè)量以為本征矢量的物理量組）。一位只生活在二維子空間中的觀察者將會(huì)認(rèn)為在他子空間中執(zhí)行了一種POVM。就是說，如果我們手上的qubit暗中是某個(gè)qutrit的前兩個(gè)分量，對(duì)這個(gè)qutrit態(tài)空間中進(jìn)行上面這樣的正交測(cè)量，就實(shí)現(xiàn)了在我們這個(gè)qubit上所預(yù)定的P