專題4.6利用整體思想求值【六大題型】

【浙教版】

【題型1利用整體思想直接代入求值】..........................................................1

【題型2利用整體思想配系數(shù)求值】............................................................2

【題型3利用整體思想的奇次項為相反數(shù)求值】..................................................3

【題型4利用整體思想賦值求值】..............................................................5

【題型5利用整體思想拆分某項構造整體求值】..................................................7

【題型6多次利用整體思想構造整體求值】......................................................8

妙片聲'"??~二?

【題型1利用整體思想直接代入求值】

【例1】(2022秋?柳江區(qū)期中)已知“"=2,則2(4-8)-5的值是()

A.1B.-1C.-5D.-3

【分析】將a-b=2整體代入代數(shù)式2Sb)-5進行計算即可.

【解答】解：..Z-Q2,

：.2(.a-b)-5

≈2×2-5

=4-5

=-1,

故選：B.

【變式1-1](2022秋?巫溪縣期末)已知：χ-2y=-3,貝!∣4G-2v)2-3(x-2v)+20的值是65

【分析】整體代入思想把X-2y=-3整體代入求值即可.

【解答】解：?.h-2y=-3,

二原式=4X(-3)2-3×(-3)+20

=36+9+20

=65.

故答案為：65.

【變式1-2](2022春?八步區(qū)期末)若4+。-ι=o.則24+勿的值為2.

【分析】將代數(shù)式適當變形，利用整體代入的方法解答即可得出結論.

【解答】解：?.?/+〃-1=0,

.?a2+a=↑.

原式=2（tz2+α）

=2×1

=2.

故答案為：2.

【變式1-3]（2022秋?濰坊期末）已知m-n=29mn=-5,貝!j3{mn-∕ι）-Cmn-3機）的值為-4

【分析】原式去括號，合并同類項進行化簡，然后利用整體思想代入求值.

【解答】解：原式=3團〃-3〃-mn+3f∏

=3m-3n+2mn,

?*m-n=2,ιnn=-5,

，原式=3+2/7177

=3×2+2X（-5）

=6-10

=-4,

故答案為：-4.

【題型2利用整體思想配系數(shù)求值】

【例2】（2022春?贛榆區(qū)期末）己知代數(shù)式3,4χ-6的值是9,則代數(shù)式產(chǎn)-梟+2的值是」一

【分析】將代數(shù)式適當變形利用整體代入的方法解答即可.

【解答】解：?.?3∕-4X-6=9,

.*.3x2-4x=15.

??—X=5,

3

.?.原式=X2—÷2

=5+2

=7.

故答案為：7.

【變式2?1】（2022?德城區(qū)校級開學）若X-5y=7時，則代數(shù)式3-2x+10y的值為（）

A.17B.IlC,-11D.10

【分析】根據(jù)χ-5y=7,對要求的代數(shù)式進行變形，整體代入即可求得結果.

【解答】解：原式=3-2r+10y

=3-2（X-5y）,

當X-5y=7時，

原式=3-2X7=-11.

故選：C

【變式2-2]（2022秋?泗洪縣期中）當x=2,y=-4時，代數(shù)式公?初+8=2018,當X=-4,產(chǎn)一：時,

代數(shù)式3aχ-24?v3+6=-3009.

【分析】先將x=2,產(chǎn)-4代入北+翔+8=2018,可得出關于“"的等式，然后再將X=-4,尸一拊

入所求的式子，然后再使用整體代入即可求出所求代數(shù)式的值.

【解答】解：將x=2,y=-4代入“χ3+Wy+8=2018,得

8α-26=2010

Λ4a-∕>=1005

將X=-4,y=-L代入30r-24by3+6

/2/

得-12α+3H6=-3（4a-b）+6=-3X1005+6=-3009

【變式2-3]（2022秋?營山縣期中）已知5匕+3=2021,貝∣J106-2/+3的值為（）

A.4042B.-4042C.-4039D.-4033

【分析】將代數(shù)式適當變形，利用整體代入的方法解答即可.

【解答】解："-5^+3=2021,

：.a2-5?=2OI8,

原式=I0〃-24r+3

=-2（a2-5b）+3

=-2X2018+3

=-4033.

故選：D.

【題型3利用整體思想的奇次項為相反數(shù)求值】

【例3】（2022秋?威縣期中）已知當X=I時，多項式ar3+bx+2022的值為2023；則當X=-I時，多項式

0r,+?x+2022的值為（）

A.2024B.2022C.2021D.2019

【分析】將x=l代入多項式，得到關于“，6的關系式，再將X=-I代入后適當變形利用整體代入的方

法解答即可.

（解答］解：：當x=l時，多項式o√+?+2022的值為2023,

Λα+?+2022=2023.

.".a+b—1.

.?.當X=-I時，

αr,+?Λ+2022

=-a-?+2022

=-（a+b）+2022

=-1+2022

=2021.

故選：C.

【變式3-1］（2022秋?義馬市期中）當x=5時，代數(shù)式6+旅+cx-8的值為6,貝IJ當X=-5時，代數(shù)式

0r5+?x3+cx-8的值為-22.

【分析】根據(jù)題意，可得：55a+53b+5c-8=6,所以3125a+125h+5c=14,據(jù)此求出當無=-5時.,代數(shù)

式f∕x5÷?x3+cx-8的值為多少即可.

【解答】解：:當X=5時，αr5+bx3+CX-8=6,

Λ55a+5?+5c-8=6,

Λ3125β+125?+5c=14,

...當X=一5時，

0r5+?x3+cx-8

=-55a-53b-5C-8

=-3125?-125?-5c-8

=-（3125ɑ+125?+5c）-8

=-14-8

=-22.

故答案為：-22.

【變式3-2](2022秋?麥積區(qū)期末)當Λ=3時，代數(shù)式px5+qχ3+ι的值為2022,則當X=-3時，代數(shù)式

pjc,+qxi+1的值為：-2020.

【分析】先把3代入代數(shù)式，得到35p+33g=2021?再把-3代入，利用整體代入的思想求解即可.

【解答】解：：當x=3時，代數(shù)式px5+qx3+ι的值為2022,

Λ35p+3?+1=2022.

Λ35p+3?=2021.

當X=-3時，代數(shù)式px5+qx3+↑

=(-3)5∕τ+(-3)?+l

=-35p-3?+l

=-(35p+3?)+1

=-2021+1

=-2020.

【變式3-3](2022春?高州市月考)當X=-2005時，代數(shù)式0項+成叱_1的值是2005,那么當x=2005

時，代數(shù)式αr2005+?r2003_]的值是-20代.

【分析】由題意可得20052∞5o+2∞52,,0?=-2006,把X=2005時代入代數(shù)式ax2005+hx2m-1得

20052tw5α+2005≡3/?-1,再把2OO520o%+2OO520o3b=-2006代入計算即可得出結果.

【解答】解：?.?當X=-2005時，代數(shù)式αr2∞5+?x2∞3-I的值是2005,

.?.(-2005)2∞5a+(-2005)2003b-1=2005,

二-2OO5200^-20052003?=2006,

.,.2OO52OO5Λ+2OO52∞?==-2006,

當X=2005時，

αx2∞5+?x2003-1

=2OO5≡5α+2OO52°o?-1

=-2006-1

=-2007,

故答案為：-2007.

【題型4利用整體思想賦值求值】

【例4】(2022?新樂市一模)如果(X—?)3=ax3+bx2+cx+d,則α+"+c+d=:.

28

【分析】令X=1,則Or2+?r2+cr+d=α+力+c+d,然后把X=I代入（?-1）3,求出〃+0+c+d的值是多少即

可.

【解答】解：令x=l,

則0r3+?x2+cx÷J=a+h+c+df

.*.a+b+c+d

=（1-）3

2

=φ3

1

=—

8

故答案為：?.

O

5432

【變式4-1]（2022秋?桐城市校級期末）己知（-2x+l）5=α5x+α4χ+α3x+α2x+0x+ao是關于X的恒等式

（即X取任意值時等式都成立），則α1+α2+<?+α4+α5=-2.

【分析】令X=O和x=l得到兩個等式，即可求出所求.

【解答】解：當X=O時，?（）=!;

當X=I時，a5+a4+a3+a2+a1+ao=-I,

貝U45+α4+α3+α2+0=^2,

故答案為：-2

【變式4-2]（2022秋?海州區(qū)期中）已知多項式Or2009+b∕θθ7+5∞5+公2<X）3-3,當χ=-1時，多項式的值

為17,則當X=1時，多項式ax2m+bx2m+cx2m+dx2mi-3的值是-23.

【分析】把X=-I代入上述多項式，可得α+h+c+d的值，再把x=l代入該多項式，可求出多項式的值.

【解答】解：當X=-1時.，

多項式=-a-b-c-d-3=17,

a+b+c+d--20,

.?.當X=I時，原式=α+Hc+d-3=-20-3=-23.

故答案為：-23.

【變式4-3]（2022春?安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是數(shù)學中通過設題中某個未知量為特殊值，

從而通過簡單的運算，得出最終答案的一種方法.例如：

已知：如^+田耳痣/+4∣x+t?=6x,則：

(1)取X=O時，直接可以得到αo=0;

(2)取X=I時，可以得到〃4+。3+。2+。1+〃0=6；

(3)取X=-1時，可以得到〃4-〃3+。2-41+QO=-6.

(4)把(2),(3)的結論相加，就可以得至U204+2m+20o=O,結合(1)而=0的結論，從而得出內(nèi)+④

=0.

請類比上例，解決下面的問題：

已知。6(X-I)6+?5(x-1)5+?4(X-I)4+a3(X-I)3+。2(X-I)2+a↑(X-I)+αo=4x,

求⑴Oo的值;

(2)。6+。5+。4+。3+。2+〃1+。0的值；

(3)。6+。4+。2的值.

【分析】(1)觀察等式可發(fā)現(xiàn)只要令x=l即可求出。

(2)觀察等式可發(fā)現(xiàn)只要令X=2即可求出〃6+〃5+出+〃3+的+0+〃。的值.

(3)令X=O即可求出等式①，令x=2即可求出等式②，兩個式子相加即可求出來.

【解答】解：(1)當X=I時，θo=4Xl=4;

(2)當X—2時,可得期+/+出+6+。2+〃1+c，o=4X2=8；

(3)當X=O時，可得期-〃5+〃4-〃3+〃2-4]+〃0=00，

lil(2)得得。6+。5+〃4+。3+〃2+41+。0=4X2=8②；

①+②得：2〃6+244+2〃2+2的)=8,

***2(%+々4+〃2)=8~2X4—0,

:?。6+?4+。2=0.

【題型5利用整體思想拆分某項構造整體求值】

【例5】(2022秋?桐柏縣月考)若x+y=2,-y+z=-4,則2x-y÷3z的值是-8.

【分析】原式進行變形后，利用整體思想代入求值.

【解答】解：原式=2x+2y-3y+3z

=2(X+y)+3(-y+z),

?.?χ+y=2,-y+z=-4,

工原式=2X2+3X(-4)

=4-12

=-8,

故答案為：-8.

【變式5-1](2022秋?蔡甸區(qū)期中)已知"尸+〃?”=-2,3wz"+"2=-9,則2"P+11,"〃+3層的值是()

A.-27B.-31C.-4D.-23

【分析】把所給的式子進行整理，使其含有已知條件的形式，整體代入運算即可.

【解答】解：'."m2+mn=-2,3mn+n2=-9,

.'.2m2+↑?mn+3n2

=2m2+2mn+9ιnn+3n2

=2(m2+mn)+3(3mn+n2)

=2X(-2)+3×(-9)

--4+(-27)

=-31.

故選：B.

【變式5-2](2022秋?鼓樓區(qū)校級期末)<?+浦=3,ab-b2=6,則“2+3”/?-26=15.

【分析】原式進行變形后，利用整體思想代入求值.

【解答】解：原式="2+6?+2t?-2〃，

?.?"+"=3,ab-b2^6,

原式=。2+。什2(ab-b2)=3+2X6=3+12=15,

故答案為：15.

【變式5-3](2022秋?鐵鋒區(qū)期中)已知〃+2"=-10,?2+20?=16,則/+4>6+∕+5=“.

【分析】將原式變形為加+2必+尻+2"+5,然后利用整體思想代入求值即可.

【解答】解：原式="2+2出>+%2+2"+5,

；〃+2加=-10,〃+2必=16,

.?.原式=-10+16+5=11,

故答案為：II.

【題型6多次利用整體思想構造整體求值】

[例6](2022秋啷城區(qū)期末)若X,y二者滿足等式x2-2x=2y-V，且X)=?,則式子Λ2+2xγ+/-2(x+y)

+2020的值為()

A.2019B.2020C.2021D.2022

【分析】整理已知和要求值式子，然后整體代入得結論.

2

【解答】解：?.?χ-Zr=2y-y2,xy=|

.?.x2-2x+y2-2y=0,2xy=1.

.?.x2+2xy+)2-2(x+y)+2020

=/+2Xy+y2-2x-2y+2020

=X2-2x+y2-2y+2Ay+2020.

=0+1+2020

=2021.

故選：C.

【變式6-1](2022?鹽亭縣模擬)若q-6=2,3α+2b=3,則3αCa-?)+2?(〃-〃)=6.

【分析】把=2,代入化簡后，再將?3"28=3代入整式即可得出答案.

【解答】解：?.Z-b=2,3a+2?