2022.2023學(xué)年湖北省襄陽四中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（5分）命題“Vx>l,/-x>0”的否定是（）

A.1,xo2-xo>OB.3xo>Lxo2-xo^O

C.Vx>1,x2-xWOD.VxWLJ?-x>0

2.（5分）集合｛y￡N|y=-f+6,x€N｝的真子集的個數(shù)是（）

A.9B.8C.7D.6

3.（5分）函數(shù)f（%）=%-Zogi%+1的零點所在的區(qū)間為（）

2

11i1ii

A.（0,4）B.6,1）C.亳,D.1）

4.（5分）下列函數(shù)中，以5為周期且在區(qū)間（J,芻單調(diào)遞增的是（）

A.f（x）=sin|x|B.f（x）=cos|x|

C.f(x)=|sin2x|D.f(x)=|cos2x|

5.（5分）《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成

的一個大的正方形，若圖中所示的角為a（00<a<45°）,且小正方形與大正方形面積

之比為1：25,則tana的值為（

3424

B.C.D.

4525

6.6分）BWW=W則下列選項錯誤的是（）

A.①是/（尤-1）的圖像B.②是f（-x）的圖像

C.③是/（|x|）的圖像D.④是/（x）|的圖像

7.（5分）a克糖水中含有b克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為L這個質(zhì)量比決定了糖水

a

匕+771b

的甜度，如果再添加加克糖，生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜，對應(yīng)的不等式為——>-

a+ma

（a>b>0,m>0）.若xi=log32,X2=logi510,%3=log4520,則（）

A.X1<X2<X3B.X1<X3<X2C.X3<X1<X2D.X3<X2<X1

8.（5分）設(shè)函數(shù)/（x）的定義域為R,/（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù),當在［1,

9

2］時，f（x）=〃/+〃.若/（O）4/（3）=6,則/（5）=（）

9375

A.--7B.—7TC.—D.一

4242

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）甲、乙、丙、丁四個人參加某項競賽，四人在成績公布前做出了如下預(yù)

測：

甲說：獲獎?wù)咴谝摇⒈?、丁三人中?/p>

乙說：我不會獲獎，丙獲獎；

丙說：甲和丁中有一人獲獎；

丁說：乙的猜測是對的.

成績公布后表明，四人中有兩人的預(yù)測與結(jié)果相符，另外兩人的預(yù)測與結(jié)果不相符.已

知有兩人獲獎，則獲獎的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

（多選）10.（5分）已知無>0,y>0,且2x+y=2,則下列說法中正確的（）

A.孫的最大值為萬B.4/+y2的最大值為2

2x

C.4犬+2丁的最小值為4D.一+一的最小值為4

xy

（多選）11.（5分）關(guān)于函數(shù)/（x）=sin|x|+|sirir|,有下述四個結(jié)論：

oy（X）是偶函數(shù)；

②于3在區(qū)間&，兀）單調(diào)遞增；

@f（X）在［-It,TT］有4個零點；

@f(X)的最大值為2.

其中正確結(jié)論的序號是()

A.①B.②C.③D.④

(多選)12.(5分)存在函數(shù)/(x)滿足：對于任意x€R都有()

A.j[ln(|尤|+1)]=x+lB.f(^'-ex)=x

C.fCex+ex)—xD.j\f(cosx)]=/(sin%)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)若“/+3x-4<0”是(24+3)X+F+3Q0”的充分不必要條件，則實數(shù)左

的取值范圍是.

14.(5分)若角0終邊上一點P的坐標為(s譏/~cosf),則舊|的最小值

為.

15.(5分)若/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當了\0時，/(%)=&尸—2x+:w(根為常數(shù))，

則當x<0時,f(x)=.

16.(5分)已知函數(shù)/(x)對于一切實數(shù)x,y均有/(x+y)-f(y)=%(x+2y+l)成立,

1

且/(I)=0,則當XE(0,-),不等式/(x)+2VlogaX恒成立時，實數(shù)〃的取值范圍

是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

4

-

17.(10分)(1)計算3

,21

(2)已知3〃=4。=36,求一+二的值.

ab

18.(12分)(1)若"<a<2兀，化簡：s譏(?！猘).(q+c°sp+a?+1+sin^-^

2')^l-cos(Tr-a)J-s爾等+a)

(2)若cosg-a)=祭求cos(冬+a)+cos2(普+a)的值.

19.(12分)已知/(%)=2s譏(23%—1)，(u)W0)的最小正周期為Ti.

(1)求o)的值，并求/G)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若|3+2|>2,求/(無)在區(qū)間［0,/捫上的值域.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=(log”)2-21og2x+a2.

(1)若對任意在(0,+8),f(x)>0恒成立，求4的取值范圍;

（2）設(shè)機>1,若對任意xe［2,+8）,不等式/（優(yōu)（2工-2F））</（4A-+4-JC-1）恒成

立，求機的取值范圍.

21.（12分）物體在常溫下冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設(shè)物體的初始溫度

為7b,經(jīng)過一段時間f后的溫度為T,則「一二=（「（）—￡）?.，其中￡為環(huán)境溫度，a

為參數(shù).某日室溫為20°C,上午8點小王使用某品牌電熱養(yǎng)生壺燒1升水（假設(shè)加熱

時水溫隨時間變化為一次函數(shù)，且初始溫度與室溫一致），8分鐘后水溫達到100°C,8

點18分時，壺中熱水自然冷卻到60°C.

（1）求8點起壺中水溫7（單位：。C）關(guān)于時間f（單位：分鐘）的函數(shù)T=/（f）；

（2）若當日小王在1升水沸騰（100。C）時，恰好有事出門，于是將養(yǎng)生壺設(shè)定為保溫

狀態(tài).已知保溫時養(yǎng)生壺會自動檢測壺內(nèi)水溫，當壺內(nèi)水溫高于臨界值〃時，設(shè)備不工

作；當壺內(nèi)水溫不高于臨界值M時，開始加熱至80°C后停止，加熱速度與正常燒水一

致.若小王在出門34分鐘后回來發(fā)現(xiàn)養(yǎng)生壺處于未工作狀態(tài)，同時發(fā)現(xiàn)水溫恰為50。

C.（參考數(shù)據(jù)：log23-1.585）

（i）求這34分鐘內(nèi)，養(yǎng)生壺保溫過程中完成加熱次數(shù)（不需要寫出理由）；

（ii）求該養(yǎng)生壺保溫的臨界值M.

22.（12分）已知定義在。上函數(shù)y=/（x）同時滿足下列兩個條件：①函數(shù)/（%）在內(nèi)單

調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②如果存在區(qū)間［a,b匹D使函數(shù)八x）在區(qū)間［。，切上的值域為［a,

b］,那么稱y=/（尤），在。為閉函數(shù).

（1）判斷函數(shù)/（x）=-/+x+i,（x>0）是否為閉函數(shù)？并說明理由；

（2）求證：函數(shù)/（x）=-x3,（-IWXWI）為閉函數(shù)；

（3）若/（x）=/+五，％<0是閉函數(shù)，求實數(shù)上的取值范圍.

2022.2023學(xué)年湖北省襄陽四中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（5分）命題uVx>l,f-冗>0”的否定是（）

A.Lxo2-xo>OB.3xo>Lxo2-xo^O

C.Vx>l,x2-D.VxWl,x2-x>0

【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題的否定是：

3xo>Lxo2-xo^O.

故選：B.

2.（5分）集合{yCN|y=-/+6,xCN}的真子集的個數(shù)是（）

A.9B.8C.7D.6

【解答】解：％=0時，y=6；

x=l時，y=5；

x=2時，y=2；

x=3時，y=-3；

???函數(shù)y=-/+6,xeN,在［0,+8）上是減函數(shù)；

.?.x23時，y<0；

，{yEN|y=-7+6,xEN}={2,5,6}；

,該集合的所有真子集為:0,{2},{5},{6},{2,5},{2,6},{5,6}；

???該集合的真子集個數(shù)為7.

故選：C.

3.（5分）函數(shù)/（%）=%-logi久+1的零點所在的區(qū)間為（）

2

111111

A.（0,GB.Q,C.弓,2）D.（2,1）

【解答】解：Tyf+l在（0,+8）上單調(diào)遞增，y=Togi久在（0,+°°）上單調(diào)遞增，

2

，函數(shù)/（%）=%-logi%+1在（0,+8）上單調(diào)遞增，

2

1113111411

-/z\

--1-+=--(-J--1--1--

44-44<0\3Z3-33-32

222

2Tog、3+1=2>0,

11

???函數(shù)/(%)=%-Zogi%+1的零點所在的區(qū)間為(二，-)?

232

故選：C.

4.(5分)下列函數(shù)中，以]為周期且在區(qū)間。，芻單調(diào)遞增的是()

A.f(x)=sin|x|B.f(x)=cos|x|

C.f(x)=|sin2x|D.f(%)=|cos2x|

【解答】解：由于，(x)=sin|x|沒有周期性，故排除A；

由于/(x)=cos|x|=cosx,它的周期為2m故排除&

由于/(x)=|sin2x|的周期為5X3=金，在區(qū)間芻上，

71

2xE(―,11),f(x)=[in2R單調(diào)遞減，故排除C.

127r71

由于f(x)=|cos2x|的周期為5X—=—,

在區(qū)間芻上，2xC(泉n),y=cos2x<0且單調(diào)遞減，

故/(x)=|cos2x|=-cos2x單調(diào)遞增，故。正確，

故選：D.

5.(5分)《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成

的一個大的正方形，若圖中所示的角為a(00<a<45°),且小正方形與大正方形面積

之比為1：25,則tana的值為()

【解答】解：因為小正方形與大正方形面積之比為1：25,

設(shè)小正方形的邊長為1,則大正方形邊長為5,

由題意可得，小直角三角形的三邊分別為5cosa,5sina,5,

一1

因為4個小直角三角形全等，所以4xx5cosaX5sina+1=25,

即25sinacosa=12,

25sinacosa

所以，=12,

sin2a+cos2a

25tana

所以?=12,

tan2a+l

整理得12tan2a-25tana+12=0,

4

-

解得tana=五或3

4

又因為0°<a<45°,所以tana=*

故選：B.

6.(5分)已知f(x)=R+l'"IT'°),則下列選項錯誤的是()

I%2+1,Xe[0,1]

C.③是的圖像D.④是，(%)|的圖像

【解答】解：作出函數(shù)了(無)的圖象，如圖所示:

/(X-1)的圖象是由函數(shù)/(%)的圖象向右平移一個單位1長度得到的，A正確；

/(-%)的圖象與函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，3正確；

對于/(|x|)的圖象，當尤>0時，與/(無)的圖象相同，當x<0時，與/(x)在[0,1]

上的圖象關(guān)于y軸對稱，C正確；

因為/(無)20,所以，(x)|的圖象與函數(shù)/(x)的圖象相同，所以。不正確.

故選：D.

b

7.(5分)q克糖水中含有b克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為一，這個質(zhì)量比決定了糖水

a

匕+772b

的甜度，如果再添加根克糖，生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜，對應(yīng)的不等式為——>-

a+ma

(。>力>0,m>0).若Xl=10g32,X2=logl510,X3=log4520,則()

A.X1<X2<X3B.X1<X3<X2C.X3<X1<X2D.X3<X2<X1

匕+771b

【解答】解：根據(jù)題意，由題目中的不等式——

a+ma

_lg2_lg2+lgS_21g2+lgS_lg2+lg4S

久1-Tg3'"2-Ig3+lg5,町-2lg3+lg5-lg3+lg后'

則有XIVx3Vx2,

故選：B.

8.(5分)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,/(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當xE[l,

9

2]時，f(x)=ax2+b.若/(0)+f(3)=6,則/(一)=()

9375

----c--

A.4B.24D.2

【解答】解：：/(尤+1)為奇函數(shù)，=0,且/(x+1)=-/(-x+l),

'：f(x+2)偶函數(shù)，.../(x+2)=/(-x+2),

；./[(x+1)+1]=-/[-(x+1)+1]=-/(-x)，即/(x+2)=-/(-無)，

：.f(-x+2)=f(x+2)=-f(-x).

令f=-無，則/(r+2)=-/G),

：.f(f+4)=-/G+2)=/■⑺，：.f(x+4)=/(尤).

當尤e[l,2]時，f(x)=aj?+b.

f(0)=f(-1+1)=-f(2)=-4a-b,

f(3)=f(1+2)=f(-1+2)=f(1)=Q+。，

又f(。)t/(3)=6,-3(7=6,解得a=-2,

*.*/（1）=〃+/?=0,:?b=-a=2,

當尤日1,2］時,f（x）=-2/+2,

913Q5

?V（-）=/（5）=-/（5）=-（-2X*+2）=|.

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）甲、乙、丙、丁四個人參加某項競賽，四人在成績公布前做出了如下預(yù)

測：

甲說：獲獎?wù)咴谝摇⒈?、丁三人中?/p>

乙說：我不會獲獎，丙獲獎；

丙說：甲和丁中有一人獲獎；

丁說：乙的猜測是對的.

成績公布后表明，四人中有兩人的預(yù)測與結(jié)果相符，另外兩人的預(yù)測與結(jié)果不相符.己

知有兩人獲獎，則獲獎的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【解答】解：若甲和丁獲獎，則所有人的預(yù)測都不符，不滿足題意；

若乙和丁獲獎，則甲和丙的預(yù)測相符，乙和丁的預(yù)測不符，滿足題意；

若乙和丙獲獎，則甲的預(yù)測相符，乙、丙、丁的預(yù)測都不相符，不滿足題意；

若甲和丙獲獎，則甲的預(yù)測不符，乙、丙、丁的預(yù)測相符，故。錯誤.

故選：BD.

（多選）10.（5分）己知x>0,y>0,且2r+y=2,則下列說法中正確的（）

A.孫的最大值為&B.4/+y2的最大值為2

2x

C.4x+2y的最小值為4D.-+一的最小值為4

xy

【解答】解：x>0,y>0,且2x+y=2,

由基本不等式得，2=2x+yN2j2%y,當且僅當2x=y且2x+y=2,即y=l,時取等

號

11

解得，孫42，此時孫取得最大值5，A正確；

4/+y2=（2x+y）2-4xy=4-4孫24-2=2,當且僅當2x=y且2x+y=2,即y=l,x=*時

取等號，

此時4/+y的最小值2,B錯誤;

4A'+2-v>2V4X?2y=2y/22x+y=4,當且僅當2x=y且2尤+y=2,即y=l,x='時取等號,

此時4，+2丫的最小值4,C正確；

yx72X

當且僅當乙=一且2x+y=2即x=j=暫時取等號，此時-+一取得最小值4,D正確.

xyJxy

故選：ACD.

(多選)11.(5分)關(guān)于函數(shù)/(x)=sin|x|+|sinx|,有下述四個結(jié)論：

@f(x)是偶函數(shù)；

②于3在區(qū)間皮，兀)單調(diào)遞增；

@f(無)在［-Tt,TT］有4個零點；

@f(x)的最大值為2.

其中正確結(jié)論的序號是()

A.①B.②C.③D.④

【解答】解：對于①，因為xER,/(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=/(x),

所以/(x)為偶函數(shù)，故正確；

對于②，因為7T),所以/(x)=sinx+sinx=2sinx,所以/(x)在(^,IT)上單調(diào)

遞減，故錯誤；

對于③，當xE［-n,01時，f(x)=-sinx-sinx=-2sinx,

此時令/(x)=0,則有x=-n或x=0,

當xE(0,川時，f(x)=siiLx+sinx=2siiix,

此時令f(%)=0,則有冗=71,

所以/(無)在［-71,用上有3個零點，故錯誤；

對于④，因為/(%)為偶函數(shù)，

所以當G0時/x)=產(chǎn)加，”『2-2"+汨，kwZ,此時八P的最大值為

10/xE(2/CTT+7T/2/CTT+2n］,kEZ

2,

由偶函數(shù)的對稱性可知，當x<0時，f(x)的最大值也為2,

所以了(無)的最大值為2,故正確.

故選：AD.

(多選)12.(5分)存在函數(shù)/(無)滿足：對于任意x€R都有()

A.j\ln(|x|+l)]=x+lB./-ex)=尤

C.f(^+ex)=xD.fif(cosx)]=/(sinx)

【解答】解：對于A,x=l時，歷2)=2；x=-1時，/(加2)=0.函數(shù)值不唯一，

故A錯誤；

X+74+%2

對于8,當/(無)=bi---------時，于-ex)=x,故B正確；

對于C,x=土山2時，f(|)=±ln2,函數(shù)值不唯一，故C錯誤；

對于￡),當/(x)="71—久2時,jy(cosx)]=/(sinx),故。正確.

故選：BD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)若“7+3x-4<0”是-(2A+3)萬^M+3/>0”的充分不必要條件，則實數(shù)A

的取值范圍是「1,+8)U(-8,-7].

【解答】解：解不等式/+3X-4C0得，-4<X<1,

解不等式/-(24+3)x+M+3左>。得，x<Z或x>&+3,

:“/+3x-4<0”是-(2k+3)x+kl+3k>Q^^的充分不必要條件，；.{x[-4<x<l}1小

<左或x>k+3},

.?.左21或左+3W-4,

解得左乞1或左W-7,

即實數(shù)上的取值范圍是[1,+8)U(-8,-7].

故答案為：[1,+°°)U(-8,-7].

14.(5分)若角。終邊上一點尸的坐標為(sin。~cos^),則⑹的最小值為,.

【解答】解：終邊上一點P的坐標為A(si哈-cosg),即4除―方)在第四象

1

限，且cos6=

57r

???8=2加+苓(依z),

71

當人=-1時，|0|取得最小值為1

7T

故答案為：

3

15.(5分)若/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當無力0時，/(X)=(相為常數(shù))，

則當x<0時，f(x)=-2丫-2x+l.

【解答】解：根據(jù)題意，若/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(0)=0,

又由當尤20時，/(x)=(^)x—2.x+m,則/(0)=1+比=0,即根=-1,

故當尤時，f(x)=8尸-2X-1,

,1_

當x<0時,-%>0,則/(-x)=(-)x-2(-x)-l=2x+2x-1,

又由/(x)為奇函數(shù)，則/(x)=-/(-%)=-(2x+2x-1)=-2X-2x+l,

故答案為：-2%-2%+l.

16.(5分)已知函數(shù)/(x)對于一切實數(shù)x,y均有了(九+y)-/(y)=%(x+2y+l)成立,

1

且/(I)=0,則當xE(0,-),不等式/(x)+2Vlogax恒成立時，實數(shù)〃的取值范圍

【解答】解：???/(工)對于一切實數(shù)％,y均有/(%+y)-f(y)=x(x+2y+l)成立,

???令y=0,x=l代入已知式子/(X+y)-f(y)=(x+2y+l)x,

得/(I)-f(0)=2,

V/(l)=0,

：.f(0)=-2；

令y=0得/(x)+2=(x+1)x,

/./(x)=x2+x-2.

1

當xE(0,-),不等式/(x)+2Vlogd恒成立時，

即x2+x<logax恒成立，

1

設(shè)g(x)=/+x,在(0,-)上是增函數(shù)，

/.0<^(x)V,,

要使X2+X<logaX恒成立，

Q1

則logdNq在xc(0,-)恒成立，

若a>l時，不成立.

13%

若OV〃V1,則有l(wèi)ogL=-時，a=

24-

Q1

，要使logaXN4在xe（0,5）恒成立，

V4

則一<a<\,

4

^4

故答案為：［----,1）

4

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）（1）計算沱x祈慶義工；

,21

（2）已知3“=4〃=36,求一+一的值.

ab

141

4A-XrX-

J3K3-J3

=2用+差）■3（3.3）=4,

(2)3。=心=36,

貝!ja=log336=210g36,b=log436=log26

,2111

故一+-=-------+-------=log63+log62=log66=1.

ablog36log26

18.(12^)(1)<a<2n,化簡：sin(ji—cr)?(譏第?)；

2V7<1—COS(TT—a)+l-sin^^aY

N乙

(2)若cos?！猘)—岸求cos(冬+a)+cos2(^-+a)的值.

3TT

【解答】解：(1)若——<a<2n,

2

則sinaVO,

(l+sin(￡—a)

所以s譏(7i—a)?(l+cos7r+a)+

l—cos(n—a)J1-s譏律+a))

1—cosa+[1+cosa)

1+cosa十N1—cosa

22

(1—cosa)(1+cosa)、

=sina>

sin2a---s-iFn￡-a---)

\l-cosa\\l+cosa\

/1—cosa1+cosa

一

=sina?(sinasina

_2；

(2)因為cosg—a)=等,

所以cos(§^+a)+cos2(普+a)

7TTC0

=COS[TI-(——a)]+[-cos(-+a)f

3

nr\7T7T

=cos[n-(——a)]+cos(———+a)

323

nr?271

=COS[TT-(——a)]+sin(——a)

33

7171

=-cos(——a)+1-cos,2(——a)

33

=-^+1-(—)2

33

2-V3

=-S-'

19.(12分)已知/(%)=2sin(23%—1)，(a)W0)的最小正周期為n.

(1)求3的值，并求的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若|3+2|>2,求/(x)在區(qū)間［0,1兀］上的值域.

27r

【解答】解：⑴當co>0時，,.?/(%)=2s譏(23%-看)(a)W0)的最小正周期為需=71,

，3=1,f(x)=2sin(2%一蘇).

令2%n—242%—石<2左口+^,女EZ,求得ku-不〈xWfcii+w，左EZ,

可得函數(shù)的增區(qū)間為［加-看，E+爭，kez.

2

當a)V0時，???/(%)=2si?i(23%-公(a)W0)的最小正周期為|—|=冗,

。23

JTTT

..0)-1,f(x)=2sin(-2x-^)=-2sin⑵+”

令2Arr+2<2x+6<2An+女EZ,求得Zn+g左€Z,

可得函數(shù)的增區(qū)間為麻+*E+等，依Z.

(2)當當=-1時，不滿足|a)+2|>2.

-T7-.q

當a)=l時，滿足|a)+2|>2,此時，f(x)=2sin(2x—石)在區(qū)間［0,近捫上,

7T7T271

2A薩H，r

故當2了-1=-熱，函數(shù)/(x)取得最小值為7,

當2尸卷=鄂寸，函數(shù)/⑴取得最大值為2,

故函數(shù)/(x)的值域為[-1,2].

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=(log”)2-21og2x+a2.

(1)若對任意尤6(0,+8),f(x)>0恒成立，求。的取值范圍；

(2)設(shè)相>1,若對任意xe[2,+8),不等式/(加(2%-2-9)<f(4-￥+4-x-1)恒成

立，求機的取值范圍.

【解答】解：(1)可令f=log”，則y=P-2r+/,由x>o,可得/6R,

對任意在(0,+8),f(x)>0恒成立，等價為/€R,y=P-2r+/>0恒成立，

貝I]A=4-4a2<0,解得a>1或a<-1；

(2)令r=log2x,因為x22,則

因為y=P-2H的對稱軸為f=i,所以-2什/在口，+8)遞增,即/(X)在[2,

+8)遞增，

因為尤22,所以2*-2)2號>2,4A+4-x-1>2,

因為機>1,所以機(2X-2-x)>2,

4X+4~X-1

因為八根(2"-2-、))</(4*+4.人1),所以m(2x-2^)<4A'+4-1,即相V

2x-2-x

因為4斗4卜-1=(2*-2-)2+1,所以"WN1

2—2

rnjac-X、15二匚[、|excFi1、154241_Lt,.7241

因為2-2>彳，所以2-2-+2X_2-X2彳+正=領(lǐng)-，故相〈領(lǐng)~，

-241

因為機>1,所以機的取值范圍是(1,-----).

60

21.(12分)物體在常溫下冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設(shè)物體的初始溫度

為7b,經(jīng)過一段時間f后的溫度為T,則7-4=(7o-或),.，其中￡為環(huán)境溫度，a

為參數(shù).某日室溫為20°C,上午8點小王使用某品牌電熱養(yǎng)生壺燒1升水(假設(shè)加熱

時水溫隨時間變化為一次函數(shù)，且初始溫度與室溫一致)，8分鐘后水溫達到100°C,8

點18分時，壺中熱水自然冷卻到60°C.

(1)求8點起壺中水溫7(單位：。C)關(guān)于時間f(單位：分鐘)的函數(shù)T=f(f)；

(2)若當日小王在1升水沸膳(100°C)時，恰好有事出門，于是將養(yǎng)生壺設(shè)定為保溫

狀態(tài).已知保溫時養(yǎng)生壺會自動檢測壺內(nèi)水溫，當壺內(nèi)水溫高于臨界值M時，設(shè)備不工

作；當壺內(nèi)水溫不高于臨界值M時，開始加熱至80°C后停止，加熱速度與正常燒水一

致.若小王在出門34分鐘后回來發(fā)現(xiàn)養(yǎng)生壺處于未工作狀態(tài)，同時發(fā)現(xiàn)水溫恰為50。

C.(參考數(shù)據(jù)：Iog23-L585)

(i)求這34分鐘內(nèi)，養(yǎng)生壺保溫過程中完成加熱次數(shù)(不需要寫出理由)；

(ii)求該養(yǎng)生壺保溫的臨界值M.

【解答】解：(1)當0QW8時，設(shè)T=kf+20,

則84+20=100,可得％=10,

所以7=10什20.

當f>8時，T一兀=(To-Tc)-3

貝460-20=(100-20)?小-8,可得。=電需，

’10t+20,0<t<8

綜上，T=f(r)=i.8；

80?