1矩陣的概念(★)246矩陣的運算逆矩陣矩陣的應(yīng)用357第2章矩陣及其應(yīng)用1、矩陣的定義2、矩陣的運算矩陣的應(yīng)用重點:難點:第2章矩陣及其應(yīng)用一、學習矩陣的目的矩陣是高等代數(shù)學中的常見工具，也常見于統(tǒng)計分析等應(yīng)用數(shù)學學科中。計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。矩陣的運算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應(yīng)用上簡化矩陣的運算。對一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法?！?矩陣及其應(yīng)用二、矩陣的定義1、矩陣的定義由m×n個數(shù)排成的m行n列的矩陣表示為：矩陣一般都是用大寫黑體字母A,B,…等表示，為指明矩陣的行列信息，通常帶下標，如：Am×n

或[aij]m×n

§2.1矩陣的概念§2.1矩陣的概念【例如】某廠家向四個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可用矩陣表示。其中aij表示向第i個商店發(fā)送第j種產(chǎn)品的數(shù)量。這四種產(chǎn)品的單價和重量設(shè)用矩陣(bij)4×2表示。其中bi1表示第i種商品的單價，bi2表示第i種商品的重量。§2.1矩陣的概念【例如】四個城市間的直接單向可達航線如圖2.1所示。若城市之間的單向航線定義為：【練習】設(shè)小明家第一季度水、電、物業(yè)和煤氣費用如下表所示。請把該表格用矩陣等價的表示；如果用矩陣表示第一季度每個月費用總額如何表示？如果用矩陣表示第一季度水費、電費、物業(yè)費和煤氣費總額如何表示？§2.1矩陣的概念水費電費物業(yè)費煤氣費一月20元150元200元10元二月22元100元200元15元三月25元80元200元10元三、特殊矩陣1、方陣2、零矩陣（0）3、行矩陣4、列矩陣5、對角方陣（對角陣）6、單位矩陣（I）:主對角線元素全為1的對角陣。7、矩陣相等8、對稱矩陣：aij=aji元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等。9、負矩陣（-A）§2.1矩陣的概念【例如】設(shè)有矩陣相等如下，求x,y,z。§2.1矩陣的概念【例如】設(shè)矩陣A如下，求其負矩陣-A。一、矩陣的加法1、定義

設(shè)A=[aij]m×n,B=[aij]m×n,以A與B對應(yīng)元素之和為元素構(gòu)成的m×n矩陣，稱為矩陣A與B的和，記作A+B，公式如下：

§2.2矩陣的運算【練習】A+(-A)=?【例如】【考慮】矩陣的減法2、矩陣加法運算性質(zhì)設(shè)矩陣ABC都是m×n同類型矩陣，則：A+B=B+AA+(B+C)=(A+B)+CA+O=AA+(-A)=0【練習】驗證結(jié)合律?！?.2矩陣的運算二、矩陣的數(shù)乘1、定義設(shè)A=[aij]m×n

，k為數(shù)，數(shù)k與矩陣A的乘積定義為：kA=[kaij]m×n

，或者記為Ak。【例如】設(shè)k=5矩陣A如下所示，則5A=？§2.2矩陣的運算2、矩陣數(shù)乘的運算性質(zhì)1A=A(ku)A=k(uA)(k+u)A=kA+Uak(A+B)=ka+kB三、矩陣的線性運算矩陣的加法和數(shù)乘稱為矩陣的線性運算。四、矩陣的乘法1、定義設(shè)A=[ail]m×k

,B=[blj]k×n

,設(shè)其乘法矩陣AB用C=[cij]m×n表示如下：§2.2矩陣的運算【例如】設(shè)已知矩陣A和B如下，求矩陣AB和BA.§2.2矩陣的運算【思考】BA=?IA=?AI=?【練習】已知矩陣A、B如下所示，求AB=？BA=?【練習】設(shè)某廠家向3個商店分別銷售了4種產(chǎn)品，如矩陣(aij)3×4所示，每種商品的價錢和重量如矩陣(bij)4×2所示。試用矩陣運算求某廠家對每個商店銷售商品的總價錢和總重量?！?.2矩陣的運算2、矩陣乘法運算性質(zhì)(1)不滿足交換律(2)左分配律A(B+C)=AB+AC右分配律(B+C)A=BA+CA(3)結(jié)合律A(BC)=(AB)C(4)數(shù)與矩陣的結(jié)合律(kA)B=A(Kb)=k(AB)【練習】驗證矩陣乘法的結(jié)合律§2.2矩陣的運算五、矩陣轉(zhuǎn)置1、定義把矩陣A=[aij]m×n的行列互換得到一個新的矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置，記作AT?！?.2矩陣的運算例如【考慮】若矩陣是對稱的，則AT與A的關(guān)系？【練習】對角矩陣和I的轉(zhuǎn)置矩陣與原矩陣什么關(guān)系？2、矩陣轉(zhuǎn)置的運算性質(zhì)(AT)T=A(2)(kA)T=kAT(3)(A+B)T=AT+BT(4)(AB)T=BTAT【練習】驗證(AB)T=BTAT§2.2矩陣的運算【練習】求A+2B,AB-BA.【練習】求ATB,BAT.§2.2矩陣的運算一、逆矩陣1、定義設(shè)A是一個n階方陣，如果存在一個n階方陣B，使得AB=BA=In,則稱B是A的一個逆矩陣，并稱A是一個可逆矩陣。2、逆矩陣性質(zhì)逆矩陣是唯一的。并記作A-1。(1)(A-1)-1=A(2)如果矩陣A可逆，常數(shù)k≠0,則矩陣kA可逆，且(kA)-1=(1/k)A-1(3)如果A、B都是n階可逆矩陣，則AB是一個n階可逆矩陣，且(AB)-1=B-1A-1§2.3逆矩陣矩陣分析在計算機中的應(yīng)用非常多，是一種方便的計算工具，可以以簡單的形式表達復雜的公式，比如：數(shù)字圖像處理、計算機圖形學、計算機幾何學、人工智能、網(wǎng)絡(luò)通信、以及一般的算法設(shè)計和分析等。

矩陣分析與應(yīng)用將矩陣的分析分為梯度分析、奇異值分析、特征分析、子空間分析與投影分析五大部分。一、關(guān)系的矩陣表示，圖形的矩陣表示關(guān)系是純數(shù)學理論，是研究關(guān)系數(shù)據(jù)庫的重要方法。關(guān)系的矩陣表示，利用warshall算法構(gòu)造關(guān)系的傳遞閉包。