波動第十五章石子落在水面產(chǎn)生水波比較常見的機(jī)械波-水波當(dāng)你向池塘扔一塊石子，將看到形成的水波以圓圈的形式從振源開始擴(kuò)散。波動推動著水，從石子擊打水面的地方向外擴(kuò)散；因此運(yùn)動著的水?dāng)y帶著能量向外擴(kuò)散。波僅僅使水發(fā)生上下運(yùn)動，不會發(fā)生從中心向外的能量傳遞波僅僅使水發(fā)生上下運(yùn)動，但是波可以攜帶能量從石子擊打水面的地方向外傳播。哪個(gè)說法對呢？開篇問題----請猜一猜比較常見的機(jī)械波-細(xì)繩上的波其他形式的波-電磁波波與振子的運(yùn)動速度波沿著細(xì)繩傳播的速度和細(xì)繩上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度相同嗎？思考：是波將海水從遠(yuǎn)海帶到了岸上嗎？波可以傳播很遠(yuǎn)的距離，但是介質(zhì)（水和細(xì)繩）本身的運(yùn)動范圍卻非常有限，介質(zhì)僅僅是在平衡位置附近做簡諧振動?！?5-1波動的特征脈沖向右傳播一個(gè)傳播的波包就相當(dāng)于一個(gè)擾動振源相鄰質(zhì)元之間的結(jié)合力導(dǎo)致了波包的向前傳播隨著手(振源)的上下快速抖動，在繩子（彈性介質(zhì)）上形成了一個(gè)單獨(dú)的脈沖。機(jī)械波產(chǎn)生的條件：

振源+彈性介質(zhì)如果振源作簡諧振動，并且介質(zhì)具有良好彈性，那么波隨時(shí)間和空間的演變都具有正弦的形式?？臻g上：如果在某一時(shí)刻給波動拍一張照片，波隨著位置的變化將具有正弦或余弦的形式。時(shí)間上：如果觀察介質(zhì)中的某一質(zhì)元的運(yùn)動，會發(fā)現(xiàn)其作某一方向的簡諧振動。正弦波描述正弦波的物理量波形中的最高點(diǎn)叫做波峰(crest)，最低點(diǎn)叫做波谷(Trough)振幅是A：表示波峰的高度/波谷的深度兩個(gè)相鄰波峰間的距離叫做波長，用希臘字母λ（lambda）表示。波長等于任意兩相鄰等效點(diǎn)間的距離。頻率f：單位時(shí)間內(nèi)通過某一點(diǎn)的波峰/完整周期的數(shù)目周期T：兩個(gè)相鄰的波峰通過空間同一點(diǎn)所需要的時(shí)間波速v：波峰（或者波形上任意一點(diǎn)）向前傳播的速度。波在一個(gè)周期T的時(shí)間內(nèi)，向前傳播的距離是一個(gè)波長λ｝例如，波長5m，頻率3Hz的波，由于每秒有三個(gè)波峰通過某一點(diǎn)，而波峰與波峰之間的距離是5m，因此，第一個(gè)波峰在1s的時(shí)間內(nèi)將向前傳播15m的距離，波形中的其他任意一點(diǎn)也是如此。所以，波速是15m/s。思考題：假設(shè)水波相鄰的兩個(gè)波峰穿過碼頭的末端的時(shí)間間隔是0.5s，那么（a）頻率是0.5Hz；（b）波速是0.5m/s；（c）波長是0.5m；（d）周期是0.5s§15-2波的種類：橫波與縱波（a）橫波：波沿著繩子從左向右傳播，繩子上的質(zhì)點(diǎn)在垂直于波的傳播方向上下振蕩（b）縱波：介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動方向和波的傳播方向是一致的

注意：在固體中可以傳播橫波或縱波，在液體、氣體(因無剪切效應(yīng))中只能傳播縱波。振動方向傳播方向波谷波峰波密波疏橫波和縱波橫波：縱波：縱波的特征縱波具有波長、頻率和波速的概念。波長是兩個(gè)相鄰的波密（或兩個(gè)相鄰的波疏）之間的距離；頻率是每秒波疏/波密穿過固定點(diǎn)的數(shù)目波速是每個(gè)波疏/波密向前移動的速度，大小等于波長和頻率的乘積，

橫波的速度波的速度取決于波傳播過程中的介質(zhì)的特性。如：被拉伸的細(xì)繩中橫波的波速，其大小依賴于細(xì)繩上的張力對于小振幅的波，波速：

以及細(xì)繩單位長度的質(zhì)量（希臘字母mu，）；如圖，一列波沿著繩子向前傳播。當(dāng)一個(gè)人的手上下抖動繩子，抖動的頻率是2.0Hz；這時(shí)波以4.0m/s的速度向右傳播。如果手抖動繩子的頻率由2.0Hz增加到3.0Hz，那么此時(shí)的波速是（a）1.0m/s，（b）2.0m/s，（c）4.0m/s（d）8.0m/s，（e）16.0m/s例題一根長80.0m直徑2.10mm的銅導(dǎo)線，系在兩電線桿之間。一只小鳥落在銅導(dǎo)線的中央（取t=0時(shí)刻），并同時(shí)沿著銅導(dǎo)線向兩電線桿方向發(fā)送一個(gè)小的波脈沖，脈沖波在電線桿處發(fā)生反射后又回到小鳥落點(diǎn)的時(shí)刻t=0.750s.試求銅導(dǎo)線上張力的大小。解題思路：從公式15-2可以得到，張力速度v等于距離除以時(shí)間。銅導(dǎo)線單位長度的質(zhì)量可以由銅導(dǎo)線的密度和尺寸來計(jì)算解：波包的傳播速度v=（80.0m/0.750s）=107m/s于是張力:縱波的波速縱波的波速和繩子上的橫波波速（公式15-2）有相似的形式，E表示材料的彈性模量是材料的密度B表示材料的體彈性模量是液體或氣體的密度例題：回聲定位是很多動物所使用的一種感知世界的能力，比如蝙蝠、鋸齒鯨、海豚等。這些動物發(fā)射一個(gè)聲波脈沖（縱波），這個(gè)聲波脈沖被周圍物體反射以后，又再次被動物接收、感知?；芈暥ㄎ坏穆暡l率是100,000Hz.（a）試估算海洋動物回聲定位聲波的波長；（b）如果障礙物距離海洋動物100m，試問，海洋動物發(fā)射聲波以后多久能夠接收到被障礙物反射的聲波？解題思路：利用公式15-4，表12-1和表13-1，我們能夠計(jì)算縱波（聲波）在海水中的速度。波長解：（a）縱波在海水（海水的密度比純凈水稍大）中的波速可以得到：（b）聲波脈沖在動物和障礙物之間來回所需要的時(shí)間是：其他的波-地震波當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生的時(shí)候，可以產(chǎn)生橫波（S波）和縱波（P波）其他的波——海浪水波是表面波的一個(gè)例子；表面波是橫波與縱波的組合波動。波浪如何崩塌。綠色箭頭表示局部水分子團(tuán)的運(yùn)動速度?！?5-3波的能量波動可以將能量從一個(gè)地方傳遞到另一個(gè)地方。對于頻率為f的正弦波，當(dāng)波通過介質(zhì)中的某個(gè)質(zhì)元時(shí)，質(zhì)元將做簡諧振動，如果假設(shè)粒子簡諧振動的最大位移（振幅）為A,每個(gè)粒子的能量可以表示成:對于一個(gè)在彈性介質(zhì)中傳播的三維波，質(zhì)量代入粒子的能量公式可以得到：波的能量和振幅的平方成正比，和頻率的平方成正比。能量傳播的平均能流P：波的強(qiáng)度I定義：垂直于波的傳播方向上單位面積能流的大小。如果介質(zhì)是各向同性的，隨著球面波向外傳播，波的能量將分布在更大的面積上。于是波的強(qiáng)度將變成：如果假設(shè)波的能流是常數(shù)，那么波的強(qiáng)度I與其到振源的距離r的平方成反比：如果考慮到振源距離分別是r1和r2的兩個(gè)點(diǎn)球面波的特征當(dāng)波傳播的距離增加一倍時(shí)，波的強(qiáng)度將減小到原來的四分之一振幅A隨著r的增大而減小例題15-4

地震強(qiáng)度地震波穿越地殼在距離振源100km的地方被探測到的地震波強(qiáng)度是試求：距離振源400km的地方探測到的地震波強(qiáng)度是多少？解題思路：首先假設(shè)地震波是球面波，因此地震波的輻射強(qiáng)度隨著到振源距離的平方

成反比。解：400km是100km距離的4倍，因此其地震波的輻射強(qiáng)度是100km地點(diǎn)輻射強(qiáng)度的§15-4波函數(shù)讓我們來考察沿著x軸傳播的一維正弦波，波的傳播方向上的x點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移用D(x)表示，其波長是λ頻率是f；A表示波的振幅（即：振動的最大位移）假設(shè)波以速度v向右傳播，經(jīng)過一定的時(shí)間t之后，波的每一部分都向前移動了vt的距離，如圖所示：考慮t=0時(shí)刻的任意一點(diǎn)，如波峰位置:其位置坐標(biāo)x，經(jīng)過一段時(shí)間t后，波峰向前運(yùn)動了vt的距離。新的波形還是正弦波，為了描述波形中同一點(diǎn)的振動，將（x-vt）代換公式中的x,即可得到：上式代表沿著x軸向右（x軸正方向）傳播的正弦波的數(shù)學(xué)表達(dá)式——波函數(shù)根據(jù)可以將上式寫成如下的形式：波函數(shù)給出了t時(shí)刻波的傳播方向上，坐標(biāo)為x的任意一點(diǎn)偏離平衡位置的位移其中周期

可化簡為：其中是角頻率，波數(shù)：這幾種表達(dá)形式是等價(jià)在的，公式中的表示相位。

波速v通常叫做相速度，因?yàn)樗硎玖瞬ǖ南辔粋鞑サ目炻?。可以表示為：對于沿著x軸向左（x軸負(fù)方向）傳播的波t=0時(shí)，x=0時(shí)，正弦的角度通常包含一個(gè)初相角于是波動方程可化為——振動方程波與振動的關(guān)系一、波函數(shù)數(shù)學(xué)函數(shù)式表示介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動狀態(tài)隨時(shí)間變化的關(guān)系.二、平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波：波面為平面的簡諧波.xy

平面簡諧波傳播時(shí)，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作同一頻率的簡諧振動，在任一時(shí)刻，各點(diǎn)的振動相位一般不同，它們的位移也不相同。據(jù)波陣面的定義可知，任一時(shí)刻在同一波陣面上的各點(diǎn)有相同的相位，它們離開各自的平衡位置有相同的位移。typO點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動表達(dá)式為：P處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的位移為：

波動方程：描述介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系.P處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的位移為：

因此，波線上任一點(diǎn)在任一時(shí)刻的位移都能由上式給出。此即所求的沿x軸正方向前進(jìn)的平面簡諧波的波函數(shù)。

波函數(shù)沿x軸負(fù)方向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)什么樣?沿x軸正方向傳播沿x軸負(fù)方向傳播P點(diǎn)落后o點(diǎn)P點(diǎn)超前o點(diǎn)時(shí)間時(shí)間波函數(shù)為：

波函數(shù)其它形式角波數(shù)

利用關(guān)系式，得和波動表式的意義：

上式代表x1處質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置附近以角頻率w作簡諧振動。即x

一定：令x=x1，則質(zhì)點(diǎn)位移y

僅是時(shí)間t

的函數(shù)。即

以y為縱坐標(biāo)、x為橫坐標(biāo)，得到一條余弦曲線，它是t1時(shí)刻波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形曲線(波形圖)。t一定:令t=t1，則質(zhì)點(diǎn)位移y

僅是x

的函數(shù)。沿波線方向，任意兩點(diǎn)x1、x2的簡諧運(yùn)動相位差為：x、t都變化:實(shí)線：t1時(shí)刻波形；虛線：t2時(shí)刻波形當(dāng)t=t1時(shí)，當(dāng)t=t1+Δt時(shí)，

在t1和t1+Δt時(shí)刻，對應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)位置用x1和x2表示，則

令，得

在Δt時(shí)間內(nèi),整個(gè)波形向波的傳播方向移動了，波速u是整個(gè)波形向前傳播的速度。

沿x

軸負(fù)方向傳播的平面簡諧波的表達(dá)式O點(diǎn)簡諧運(yùn)動方程：y

xoP點(diǎn)的運(yùn)動方程為：例題頻率為的平面余弦波沿細(xì)長的金屬棒傳播，波速為如以棒上某點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動的振幅為試求：（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動表達(dá)式；（2）波函數(shù)；（3）離原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振動表達(dá)式；（4）離原點(diǎn)20cm和30cm處質(zhì)點(diǎn)的振動相位差；（5）在原點(diǎn)振動0.0021s時(shí)的波形；解：由題意波長周期（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動表達(dá)式（2）波函數(shù)（3）距原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振動表達(dá)式（4）兩點(diǎn)間距離相位差（5）時(shí)的波形例題

一橫波沿一弦線向右傳播。設(shè)已知t=0時(shí)的波形曲線如下圖中的虛線所示，波速u=12m/s。求(1)振幅；(2)波長；(3)波的周期；(4)弦上任一質(zhì)點(diǎn)的最大速率；(5)圖中a、b兩點(diǎn)的相位差；(6)3T/4時(shí)的波形曲線.

t

=0解:

由波形曲線圖可看出：(2)

=40cm；(1)A=0.5cm；(3)波的周期

t

=0(4)質(zhì)點(diǎn)的最大速率

(5)a、b兩點(diǎn)相隔半個(gè)波長，b點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)比a點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的相位落后

。

(7)3T/4時(shí)的波形如下圖中實(shí)線所示，波峰M1和M2已分別右移

而到達(dá)

和

處。

t=3T/4練習(xí)D：一列波其中x的單位是米，t的單位是秒；試求波速是多少？（a）10m/s,(b)0.10m/s,(c)40m/s,(d)0.005m/s,(e)2.5x10-4m/s例題15-5.行波，手抓住一條水平放置的彈性長細(xì)繩的左端，手上下移動的頻率f=250Hz，幅度是2.6cm；繩子上的拉力140N，線密度，當(dāng)t=0時(shí)，繩子的末端有一個(gè)向上的位移，1.6cm，繩子末端此時(shí)正在向下運(yùn)動；試求：（a）波長（b）行波的方程。解：（a）波的速度：（b）在繩子的最左端，令x=0，在t=0時(shí)刻，波的相位并不等于零，向右傳播的行波表達(dá)式的一般形式是：在t=0，x=0時(shí)D=1.6cm；于是有：因此由于于是有：化簡得到：§15-6波的疊加原理疊加原理：當(dāng)兩列或更多列的波同時(shí)通過空間中的同一區(qū)域時(shí)，質(zhì)點(diǎn)合振動是它們分振動的疊加。注意：對于機(jī)械波而言，當(dāng)其位移較小，且位移與介質(zhì)恢復(fù)力之間滿足線性關(guān)系時(shí)疊加原理成立。而如果機(jī)械波的振幅很大，甚至超過介質(zhì)的彈性范圍，疊加原理將不再成立。大多數(shù)情況下，我們所研究的系統(tǒng)都是滿足疊加原理的。比如：兩個(gè)石頭落在水面的不同點(diǎn)形成的水波（二維波），可以不受影響地穿過彼此而向外傳播。右圖中彈性細(xì)繩上有三列正弦波，分別具有不同的振幅和頻率。某一時(shí)刻，三列波相遇，空間位置是x的一點(diǎn)上，合成波的振動是三個(gè)分振動在此位置的疊加，其位移為三個(gè)分振動位移的代數(shù)和。這一合成波不再是簡單的正弦波。合成波可以看成是由許多振幅不同、波長不同、頻率不同的正弦波疊加而成一個(gè)周期為T的復(fù)雜行波可以分解為若干正弦波的線性疊加任意形式的波都可以看作是一系列正弦波的線性疊加例題15-17在t=0時(shí)刻，三列波的波函數(shù)分別是：其中A=1.0m，k=10m-1,在x=-0.40m到x=+0.40m的的范圍內(nèi)畫出三列波疊加之后得到的合成波的波形。解答：第一列波第二列波第三列波作圖：一個(gè)波脈沖沿著細(xì)繩傳播。如果細(xì)繩的另一端固定，反射的波脈沖將沿著反方向傳播（圖a）如果繩子的另一端是自由的，當(dāng)一個(gè)波脈沖沿著細(xì)繩向前傳播，并發(fā)生反射（圖b）§15-7

波的反射與傳播觀察不同并解釋如果細(xì)繩的末端是自由的，反射波脈沖的振動方向不發(fā)生反轉(zhuǎn)，還是保持原來的振動方向而返回。如果將繩子的末端系到一個(gè)支撐點(diǎn)上，當(dāng)波脈沖到達(dá)支撐點(diǎn)時(shí)，波脈沖對支撐點(diǎn)施加一個(gè)向上的作用力；根據(jù)牛頓第三定律：支撐點(diǎn)將對波脈沖有一個(gè)反方向（向下）的反作用力。這個(gè)力使得細(xì)繩上的波脈沖產(chǎn)生了振動方向的反轉(zhuǎn)。當(dāng)一個(gè)波脈沖沿著繩子傳播，繩子的左端是細(xì)繩（輕繩）右端是粗繩（重繩），當(dāng)脈沖由細(xì)繩一端傳遞到與粗繩一端的連接點(diǎn)時(shí)，波脈沖的一部分發(fā)生反射，另一部分繼續(xù)向前傳播反射波的半波損失當(dāng)波從波疏介質(zhì)傳播到波密介質(zhì)，分界面反射點(diǎn)不動，表明入射波在反射點(diǎn)反射時(shí)有相位

的突變相當(dāng)于在波程上突變。這一現(xiàn)象稱為半波損失。波線：沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。波線的指向表示波的傳播方向。波陣面：在波動過程中，把振動相位相同的點(diǎn)連成的面(簡稱波面)。波前：在任何時(shí)刻，波面有無數(shù)多個(gè)，最前方的波面即是波前。波前只有一個(gè)。幾個(gè)概念平面波：波面為平面球面波：波面為球面波面波線波線波面平面波球面波波線波陣面波陣面波線1、在各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)，波線和波陣面垂直。注：2、在遠(yuǎn)離波源的球面波波面上的任何一個(gè)小部份，都可視為平面波。如果滿足一定的條件將有可能發(fā)生干涉。兩列脈沖波相向而行，相遇區(qū)域發(fā)生疊加?！?5-8波的干涉a）水波的干涉。b）一個(gè)波峰（波谷）和另一個(gè)波峰（波谷）相遇將產(chǎn)生干涉加強(qiáng)。而當(dāng)一個(gè)波峰（波谷）和另一個(gè)波谷（波峰）相遇時(shí)，則產(chǎn)生干涉相消。兩列波同向傳播相干條件：振動方向相同頻率相同相位相同或相位差恒定

兩個(gè)相干波波源S1和

S2的振動方程分別為：S1和

S2單獨(dú)存在時(shí),在P點(diǎn)引起的振動的方程為:P

點(diǎn)的合方程為:振幅A和相位f

0（合振幅最大）（合振幅最?。┊?dāng)

為其他值時(shí)，合振幅介于若f10=f20，上述條件簡化為：

（合振幅最大）（合振幅最?。┖椭g波程差a中的干涉加強(qiáng)，是由于兩列分振動的相位相同而產(chǎn)生的。b中的干涉相消，是由于一個(gè)分振動波峰和另一個(gè)分振動的波谷相遇造成的兩列水波的相位差通常介于（圖a和圖b）兩種情況之間；這時(shí)將會發(fā)生圖c部分干涉減弱的情況§15-9波的共振駐波

駐波是兩列振幅相同的相干波在同一條直線上沿相反方向傳播時(shí)疊加而成的。uAl正向行波uAl反向行波繩子上有干涉相消的一些點(diǎn)，繩子上的這些點(diǎn)始終保持靜止——波節(jié)。繩子上也有一些干涉加強(qiáng)的點(diǎn)，這些點(diǎn)始終以最大的振幅振動——波腹。兩點(diǎn)之間產(chǎn)生駐波的最低振動頻率如圖a所示。而圖b和圖c所示的駐波，表示的是兩倍和三倍最低頻率的駐波。除此之外，繩子也可以出現(xiàn)四個(gè)、五個(gè)...波腹，即以四倍、五倍...的最低頻率振動。它們的頻率、波長之間存在倍數(shù)的關(guān)系，故稱基頻與倍頻。OACEFGHBD波節(jié)OBDFH波腹ACEG駐波的形成過程：考慮一條兩端固定的細(xì)繩，具有某頻率的波將沿著繩子的兩個(gè)方向傳播，然后在繩子的末端反射，反射以后又沿著相反的方向傳播。二階諧頻基頻通常也稱為“一階諧頻”三階諧頻依次類推下標(biāo)n表示諧頻的階數(shù)，n=1表示基頻；n=2表示二階諧頻從中可以解出：f是每種振動模式的頻率，是基頻；每一個(gè)共振頻率都是基頻的整數(shù)倍。例題15-8琴弦

一根琴弦長1.10m，質(zhì)量是9.00g。（a）如果要產(chǎn)生一個(gè)基頻是131Hz的振動，所需琴弦上的張力是多大？（b）前四階諧頻分別是多少？解：（a）基頻的波長，琴弦上的波速｛得到：（b）二、三、四階諧頻分別是262Hz，393Hz和524Hz.駐波的數(shù)學(xué)表示：駐波可以看作是兩列沿著相反方向傳播的波的疊加駐波的合振動表達(dá)式可以寫成：根據(jù)和差化積公式上式化為：由于繩子兩端固定，因此當(dāng)x=0,x=l處

D(x,t)必須等于零第一個(gè)條件（當(dāng)x=0時(shí)，D=0，自然滿