20232024高三省級(jí)聯(lián)測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷班級(jí)__________姓名__________注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)和考號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.0 D.12.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知，則（）A. B. C. D.4.已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知函數(shù)，若值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，其中為切點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.7.已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且，若，則（）A. B.C. D.8.已知正方體的棱長為，為的中點(diǎn)，為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（）A. B. C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為B.樣本相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱C.根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷零假設(shè)不成立，即可認(rèn)為與獨(dú)立D.在回歸分析中，用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線使所有數(shù)據(jù)的殘差和為零10.已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的一個(gè)周期是4B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù)D.圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱11.如圖，在邊長為的等邊三角形中，圓與的三條邊相切，圓與圓相切且與、相切，，圓與圓相切且與、相切，設(shè)圓的半徑為，圓的外切正三角形的邊長為，則下列說法正確的是（）AB.數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且C.當(dāng)圓的半徑小于時(shí)，的最小值為D.數(shù)列的前項(xiàng)和小于12.已知棱長為1的正方體的棱切球（與正方體的各條棱都相切）為球，點(diǎn)為球面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.球的表面積為B.球在正方體外部的體積大于C.球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為D.若點(diǎn)正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.將六名志愿者分配到四個(gè)場(chǎng)所做志愿活動(dòng)，其中場(chǎng)所至少分配兩名志愿者，其他三個(gè)場(chǎng)所各至少分配一名志愿者，則不同的分配方案共有__________種．（用數(shù)字作答）14.若，則曲線在處的切線方程為__________．15.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)最大值，則的取值范圍是__________．16.已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為__________．四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．18.在中，角所對(duì)的邊分別是，已知，為在方向上的投影向量．（1）求；（2）若，求的周長的取值范圍．19.如圖，在四棱錐中，，，，，，，．（1）求證：平面平面；（2）若為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．20.2023年第31屆大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都舉行，中國運(yùn)動(dòng)員在賽場(chǎng)上挑戰(zhàn)自我，突破極限，以拼搏的姿態(tài)，展競技之美，攀體育高峰．最終，中國代表團(tuán)以103枚金牌?40枚銀牌?35枚銅牌，總計(jì)178放獎(jiǎng)牌的成績，位列金牌榜和獎(jiǎng)牌榜雙第一，引發(fā)了大學(xué)生積極進(jìn)行體育鍛煉的熱情．已知甲?乙兩名大學(xué)生每天上午?下午都進(jìn)行體育鍛煉，近50天選擇體育鍛煉項(xiàng)目情況統(tǒng)計(jì)如下：體育鍛煉目的情況（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天

10天乙10天10天5天25天假設(shè)甲?乙上午?下午選擇鍛煉的項(xiàng)目相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．（1）已知甲上午選擇足球的條件下，下午仍選擇足球的概率為，請(qǐng)將表格內(nèi)容補(bǔ)充完整；（寫出計(jì)算過程）（2）記為甲?乙在一天中選擇體育鍛煉項(xiàng)目個(gè)數(shù)差，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）已知在這50天中上午室外溫度在20度以下的概率為，并且當(dāng)上午的室外溫度低于20度時(shí)，甲去打羽毛球的概率為，若已知某天上午甲去打羽毛球，求這一天上午室外溫度在20度以下的概率．21.已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)（與不重合），直線和的斜率之積為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作斜率之和為1的兩條直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在不相等的實(shí)數(shù)，使得，證明：．20232024高三省級(jí)聯(lián)測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷班級(jí)__________姓名__________注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)和考號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，由此求得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因?yàn)?，所以虛部?.故選：D．2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)分式不等式、含絕對(duì)值不等式求解后結(jié)合集合運(yùn)算即可得.【詳解】由，可得或，即，由，可得或，即，所以.故選：B．3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用同角三角函數(shù)的關(guān)系和二倍角公式運(yùn)算即可得.【詳解】，，，，解得.故選：D．4.已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角為鈍角，由且與不共線求得的范圍，再利用充分條件和必要條件的定義判斷..【詳解】由已知可得，由可得，解得，所以由與的夾角為鈍角可得解得，且.因此，當(dāng)時(shí)，與的夾角不一定為鈍角，則充分性不成立；當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，，且，即成立，則必要性成立.綜上所述，“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B．5.已知函數(shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】借助的值域?yàn)榭傻靡”樗械恼龜?shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論即可得.【詳解】若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t要取遍所有的正數(shù)．所以或，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A．6.已知點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，其中為切點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直角三角形邊與角的關(guān)系分析得到，當(dāng)最小時(shí)，最大，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，最小即可求解.【詳解】要使得最大，則最小，的最小值即為圓心到直線的距離．由題意知，，，，且，所以最大時(shí)，最?。深}意知，．所以，則，即的最大值為.故選：A．7.已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知與函數(shù)單調(diào)，可得存在唯一，使，則，由求解，再由，根據(jù)指對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性作出圖象比較大小，然后根據(jù)單調(diào)遞增，比較大小即可.【詳解】由已知，令，又因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)．所以存在唯一，使，即，所以，解得，所以.如圖所示作出與的圖象，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由，在圖中作直線，則與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，可得，又因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的，所以，故選：C.8.已知正方體的棱長為，為的中點(diǎn)，為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，得出當(dāng)為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，截面為四邊形，點(diǎn)只能在線段上，求得，線段的取值范圍，得到答案.【詳解】在正方體中，平面平面，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，則平面與平面的交線過點(diǎn)，且與直線平行，與直線相交，設(shè)交點(diǎn)為，如圖所示，又因平面，平面，即分別為，與平面所成的角，因?yàn)椋瑒t，且有，當(dāng)與重合時(shí)，平面截該正方體所得的截面為四邊形，此時(shí)，即為棱中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)過程中，逐漸減小，點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)方向移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)時(shí)，平面只與該正方體的4個(gè)表而有交線，即可用成四邊形；當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上時(shí)，直線必與棱交于除點(diǎn)外的點(diǎn)，又點(diǎn)與不重合，此時(shí)，平面與該正方體的5個(gè)表面有交線，截面為五邊形，如圖所示．因此．當(dāng)為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，截面為四邊形，點(diǎn)只能在線段（除點(diǎn)外）上，即，可得，則，所以線段的取值范圍是，所以若平面截該正方體的截面為五邊形，線段的取值范圍是.故選：B．【點(diǎn)睛】知識(shí)方法：對(duì)于空間共面、共線問題，以及幾何體的截面問題的策略：1、正面共面的方法：一是先確定一個(gè)平面，然后再證明其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi)；二是證明兩個(gè)平面重合；2、證明共線的方法：一是先由兩個(gè)點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；二是直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上；3、空間幾何體中截面問題：一是熟記特殊幾何體（正方體，正四面體等）中的特殊截面的形狀與計(jì)算；二是結(jié)合平面的基本性質(zhì)，以及空間中的平行關(guān)系，以及平面的基本性質(zhì)，找全空間幾何體的截面問題，并作出計(jì)算；4、空間幾何體中的動(dòng)點(diǎn)軌跡等問題：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為B.樣本相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱C.根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷零假設(shè)不成立，即可認(rèn)為與獨(dú)立D.在回歸分析中，用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線使所有數(shù)據(jù)的殘差和為零【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可；選項(xiàng)B，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義判斷即可；選項(xiàng)C，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想判斷；選項(xiàng)D，根據(jù)相關(guān)指數(shù)的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A，設(shè)展開式的通項(xiàng)為，令可得展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，A正確；對(duì)于B，樣本相關(guān)系數(shù)的范圍在到之間，有正有負(fù)，相關(guān)性有正相關(guān)和負(fù)相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值的大小越接近于1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之．線性相關(guān)性越弱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，沒有充分證據(jù)推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為與獨(dú)立，C正確；對(duì)于D，在回歸分析中，殘差和為：，用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線使所有數(shù)據(jù)的殘差和為零，D正確．故選：ACD．10.已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的一個(gè)周期是4B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù)D.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)周期性的定義分析判斷；對(duì)于BC：根據(jù)題意結(jié)合奇偶性的定義分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)偶函數(shù)的定值結(jié)合周期性分析判斷.【詳解】對(duì)于A：由知，所以是周期為4的周期函數(shù)，故A正確；對(duì)于BC：因?yàn)?，所以，由為奇函?shù)，得，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．則，因此，即，且的定義域?yàn)?，故是偶函?shù)，不一定是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，即圖象的一個(gè)對(duì)稱軸是，且是周期為4的周期函數(shù)，所以的圖象對(duì)稱軸是，不一定關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤，故選：AC．11.如圖，在邊長為的等邊三角形中，圓與的三條邊相切，圓與圓相切且與、相切，，圓與圓相切且與、相切，設(shè)圓的半徑為，圓的外切正三角形的邊長為，則下列說法正確的是（）A.B.數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且C.當(dāng)圓的半徑小于時(shí)，的最小值為D.數(shù)列的前項(xiàng)和小于【答案】ABD【解析】【分析】利用等面積法可判斷A選項(xiàng)；利用三角形相似可得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷B選項(xiàng)；解不等式，可判斷C選項(xiàng)；利用等比數(shù)列的求和公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】如圖，圓的外切正三角形的面積為，整理可得，故A正確；設(shè)圓切于點(diǎn)，易知，則，且，，，由可得，整理可得，由，得．所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，故B正確；由，得，即，因?yàn)?，故正整?shù)的最小值為，故C錯(cuò)誤；數(shù)列的前項(xiàng)和為，故D正確，故選：ABD．12.已知棱長為1的正方體的棱切球（與正方體的各條棱都相切）為球，點(diǎn)為球面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.球表面積為B.球在正方體外部的體積大于C.球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為D.若點(diǎn)在正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，可求得正方體棱切球半徑，運(yùn)用表面積公式即可得；對(duì)B，由球在正方體外部的體積大于球體體積與正方體的體積之差計(jì)算即可得；對(duì)C，計(jì)算出球內(nèi)接球內(nèi)接圓柱的高及底面積即可得；對(duì)D，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得.【詳解】解析：對(duì)于A．如圖所示，正方體的棱切球的半徑，則球的表面積為，故A正確；對(duì)于B．若球體?正方體的體積分別為．球在正方體外部的體積，故B正確；對(duì)于C，球的半徑，設(shè)圓柱的高為，則底面圓半徑，所以，當(dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，取中點(diǎn)，可知在球面上，可得，所以，點(diǎn)在球上且在正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，所以（當(dāng)為直徑時(shí)，），所以．故D正確．故選ABD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.將六名志愿者分配到四個(gè)場(chǎng)所做志愿活動(dòng)，其中場(chǎng)所至少分配兩名志愿者，其他三個(gè)場(chǎng)所各至少分配一名志愿者，則不同的分配方案共有__________種．（用數(shù)字作答）【答案】660【解析】【分析】根據(jù)題意，分情況討論每個(gè)場(chǎng)所分配人數(shù)即可求解.【詳解】第一類：A場(chǎng)所2人，B，C，D其中一場(chǎng)所2人，共有種；第二類：A場(chǎng)所3人，，C，D每個(gè)場(chǎng)所1人，共有種；則不同的分配方案共有種．故答案為：660.14.若，則曲線在處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】先求出后借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得.【詳解】因?yàn)?，所以，令，得，解得，所以，則，所以曲線在處的切線方程為，即．故答案為：.15.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)最大值，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】利用三角恒等變換將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，平移后得到函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得.【詳解】因?yàn)椋瑢⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，．則，解得．故答案為：.16.已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】由題意，，，又在中，由余弦定理得，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得解.【詳解】由圖可得，在圓上，所以是直角，又因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好在雙曲線上，所以是的垂直平分線，所以，所以，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入雙曲線方程得，得，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率．故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)求出；（2）錯(cuò)位相減法求和得到，結(jié)合，得到.【小問1詳解】由題知，當(dāng)時(shí)，，則．又．①當(dāng)時(shí)，，②①②得，所以．當(dāng)時(shí)，也適合．綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】因?yàn)椋?，①，②①②得，整理得，因?yàn)椋?8.在中，角所對(duì)的邊分別是，已知，為在方向上的投影向量．（1）求；（2）若，求的周長的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助投影向量定義可得，代入等式運(yùn)用正弦定理邊角互化后結(jié)合兩角和的正弦公式計(jì)算即可得；（2）借助正弦定理將求邊問題轉(zhuǎn)化為求角問題，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得.【小問1詳解】由為在方向上的投影向量知，，所以，由正弦定理得，又，所以，又．所以；【小問2詳解】由正弦定理得．所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故的周長的取值范圍是．19.如圖，在四棱錐中，，，，，，，．（1）求證：平面平面；（2）若為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得；（2）由題意計(jì)算可得點(diǎn)所處位置，根據(jù)線面角的定義找到線面所成角后計(jì)算即可得.【小問1詳解】，，，，，平面，平面，平面，平面平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)．連接、，由（1）知平面，平面，，如圖，過點(diǎn)作，，，，，，，，，，由勾股定理可知，，平面，平面，，為的中點(diǎn)，，又，，平面，為直線與平面所成角，由（1）知，又，，，，，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．20.2023年第31屆大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都舉行，中國運(yùn)動(dòng)員在賽場(chǎng)上挑戰(zhàn)自我，突破極限，以拼搏的姿態(tài)，展競技之美，攀體育高峰．最終，中國代表團(tuán)以103枚金牌?40枚銀牌?35枚銅牌，總計(jì)178放獎(jiǎng)牌的成績，位列金牌榜和獎(jiǎng)牌榜雙第一，引發(fā)了大學(xué)生積極進(jìn)行體育鍛煉的熱情．已知甲?乙兩名大學(xué)生每天上午?下午都進(jìn)行體育鍛煉，近50天選擇體育鍛煉項(xiàng)目情況統(tǒng)計(jì)如下：體育鍛煉目的情況（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天

10天乙10天10天5天25天假設(shè)甲?乙上午?下午選擇鍛煉的項(xiàng)目相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．（1）已知甲上午選擇足球的條件下，下午仍選擇足球的概率為，請(qǐng)將表格內(nèi)容補(bǔ)充完整；（寫出計(jì)算過程）（2）記為甲?乙在一天中選擇體育鍛煉項(xiàng)目的個(gè)數(shù)差，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）已知在這50天中上午室外溫度在20度以下概率為，并且當(dāng)上午的室外溫度低于20度時(shí)，甲去打羽毛球的概率為，若已知某天上午甲去打羽毛球，求這一天上午室外溫度在20度以下的概率．【答案】（1）填表見解析（2）分布列見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式得到甲一天中假煉情況為（足球，羽毛球）的天數(shù)，從而可補(bǔ)充表格內(nèi)容.（2）先用古典概型計(jì)算公式分別計(jì)算甲、乙上午、下午選擇同一種球和兩種球的概率，再確定的取值，根據(jù)每個(gè)值對(duì)應(yīng)的含義，求得每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，進(jìn)而求得期望；（3）利用條件概率的計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】設(shè)事件C為“甲上午選擇足球”，事件為“甲下午選擇足球”，設(shè)甲一天中假煉情況為（足球，羽毛球）天數(shù)為，則，解得，所以甲一天中鍛煉情況為（羽毛球，足球）的天數(shù)為．體育鍛煉項(xiàng)目的情況（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天15天5天10天10天10天5天25天【小問2詳解】由題意知，甲上午?下午選擇同一種球的概率為，選擇兩種球的概率為；乙上午?下午選擇同一種球的概率為，選擇兩種球的概率為．記為甲?乙在一天中選擇體育鍛煉項(xiàng)目的個(gè)數(shù)差，則的所有可能取值為，．，，所以的分布列為所以．【小問3詳解】記事件為“上午室外溫度在20度以下”，事件為“甲上午打羽毛球”，由題意知，.故若某天上午甲去打羽毛球，則這一天上午室外溫度在20度以下的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查概率與分布列問題，從素養(yǎng)上體現(xiàn)對(duì)學(xué)生的邏輯推理?數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．21.已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)（與不重合），直線和的斜率之積為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作斜率之和為1的兩條直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直