上海市度嘉定區(qū)2023-2024學年高二上數(shù)學期末預測試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在數(shù)列｛4｝中，若a；+i-夕是常數(shù)），則｛%｝稱為“等方差數(shù)列”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷,

其中不正確的為（）

A.若｛4｝是等方差數(shù)列，則｛碼是等差數(shù)列B.若｛4｝是等方差數(shù)列，則｛叫是等方差數(shù)列

C.1（-1）"｝是等方差數(shù)列D.若｛4｝是等方差數(shù)列，貝！!｛%〃｝是等方差數(shù)列

x+y-l>0,

2.設變量x,》滿足約束條件x-2y+220,則z=3x—2y的最小值為（）

2x-y-2<0,

A.3B.—3

C.2D.-2

3.設｛4｝是公比為；的等比數(shù)列，貝61”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，若的%=9,貝!1（儀6）2—%=（）

A.6B.12

C.56D.78

5.已知A(l,—2,3),則點A關于方為平面的對稱點的坐標是（）

A.(—1,—2,3)B.(—1,—2,—3)

C.(l,—2,—3)D.(-1,2,-3)

6.已知%>。，y>0,若2x+y=8孫，則孫的最小值是（）

A.立B.巫

42

11

c.一D.-

84

7.已知直線/:x-Cy+6=0與圓/+/=12交于兩點，過A,3分別作/的垂線與x軸交于C,￡>兩點，則

13=

A.2B.3

7

C.-D.4

2

8.若拋物線x12=38j上一點P到焦點的距離為9,則點P的縱坐標為。

A.±4V3B.±6

C.6D.7

9.1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”.現(xiàn)

有這樣一個問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列{4},則au=

()

A.130B.132

C.140D.144

10.若等比數(shù)列{%}中，+%=8,。3+。4=12,那么。5+。6=()

A.20B.18

C.16D.14

11.(5分)已知集合4={吊-2<￥<4},集合5={M(x-6)(x+l)v0},貝!|Anb=

A.{x|l<x<4}B.{x|x<4或x>6}

C.{x|-2<x<-l}D.{x|-l<x<4}

12.已知等比數(shù)列{4}的前〃項和為S〃，若公比q=2,則~L=()

21

A.-B.-

37

13

C.-D.一

37

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若直線4:x—y+l=0與4：x+ay-1=0平行，則實數(shù)。=.

14.(1+4)(1一%)5的展開式中一的系數(shù)為

X

15.在棱長為2的正方體A3。-A4Gq中，點尸是直線BG上的一個動點，點。在平面AC。上，則PQ的最

小值為.

16.在公差不為0的等差數(shù)列｛4｝中，S“為其前"項和，若S12=3（%+2%+W）,則正整數(shù)左=

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，正方形ABC。和四邊形ACM所在的平面互相垂直，CE_LAC,EF〃AC,AB=&,CE=EF=1.

尸4、尸

/?\】

7?/V

/以;……\..S\

/??*V/B

/j\/

DI^—

A

（1）求證：AF〃平面應出；

（2）求平面ABE與平面3￡）上的夾角.

18.（12分）設P：實數(shù)x滿足（x—3a）（x—a）<0,q：實數(shù)x滿足（x+2）（x+3）>0

（1）當。=1時，若。與4均為真命題，求實數(shù)》的取值范圍；

（2）當a<0時，若?是「4的必要條件，求實數(shù)。的取值范圍

19.（12分）已知函數(shù)/'（x）=--x+alnx

（1）當a=3時，求/'（X）的單調性；

2

（2）若/（%）存在兩個極值點%、/，試證明：‘"A"/’<a-2

X]-x2

20.（12分）已知直線/過點A（-3,1）,且與直線4x-3y+f=0垂直

（1）求直線/的一般式方程；

（2）若直線/與圓C：d+爐=機相交于點尸，Q,且|PQ|=8,求圓C方程

21.（12分）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200,預計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%,且每年年底賣出100頭牛，設

牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為%,出，的…?（參考數(shù)據(jù)：L088土1.8509，1.08晨1.9990，

1.0810-2.1589.）

（1）寫出一個遞推公式，表示區(qū)用與氏之間的關系；

（2）將（1）中的遞推關系表示成a“+i-左=/（4—左）的形式，其中/?為常數(shù)；

（3）求S9=%+4+%+「+。9的值（精確到1）.

22.(10分)已知兩個定點4(0,4),5(0,1),動點P滿足|酬=2歸用，設動點p的軌跡為曲線E,直線/：y=kx-4

(1)求曲線E的軌跡方程；

(2)若/與曲線E交于不同的C、D兩點,且NCO￡>=120。(。為坐標原點)，求直線/的斜率;

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義逐一進行判斷即可

【詳解】選項A中，q"一4="("eN*,2是常數(shù))符合等差數(shù)列的定義，所以｛4｝是等差數(shù)列，A正確；選項B

中，力+「力=(片+「片)(匕1+4)=〃(4+1+d)(“€",°是常數(shù))不是常數(shù)，所以何｝不是等方差數(shù)列，選項

B錯誤；選項C中，[(-1)，，+1]2-[(-1)"]2=0,所以是等方差數(shù)列，C正確；選項D中

*+2-域=[4+1+(〃+1)P[-[d+np]=a\「a；+p=2p,所以｛%｝是等方差數(shù)列,D正確

故選：B

2、D

3z

【解析】轉化z=3x-2'為丁=—x--,貝!jz最小即直線在y軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數(shù)形

22

結合即得解

3z

【詳解】轉化z=3x—2y為y=]X-萬，則z最小即直線在》軸上的截距最大

作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,

3

作出直線y=平移該直線，

當直線經(jīng)過4(0,1)時，在y軸上的截距最大，z最小，

此時z=3x0—2x1=—2,

故選：D

3、D

【解析】當：?時，：；不是遞增數(shù)列；當，Jq?：：且二,：時，：：是遞增數(shù)列，但是g?1不成立，所

以選D.

考點：等比數(shù)列

4、D

【解析】由等比數(shù)列的性質直接求得.

【詳解】在等比數(shù)列｛%｝中，由等比數(shù)列的性質可得：

由=9,解得：=3；

由2+6=1+7可得：02a6~=9,

所以(a2a6)—4=9?-3=78.

故選：D

5、C

【解析】根據(jù)對稱性求得坐標即可.

【詳解】點A關于平面的對稱點的坐標是(L-2,-3),

故選：c

6、C

【解析】對2x+y使用基本不等式，這樣得到關于孫的不等式，解出孫的最小值

【詳解】因為龍＞0,?。?,由基本不等式得：2x+y之2，^,所以8盯22^^,解得：孫2：,當且僅當2x=y,

8

即工=工，y=!時，等號成立

4-2

故選：C

7、D

【解析】由題意，圓心到直線的距離〃=/==3,A\AB\=2712-9=2A/3,?.?直線/:x—百y+6=0.?.直線/的

71+3

|C￡)|=2G=4

傾斜角為30。，?.?過A,B分別作/的垂線與x軸交于C,。兩點，卜〃L6一'，故選D.

8、D

【解析】設出尸的縱坐標，利用拋物線的定義列出方程，求出答案.

【詳解】由題意得：拋物線準線方程為y=-2,尸點到拋物線的焦點的距離等于到準線的距離，設p點縱坐標為先，

則穌+2=9,解得：％=7.

故選：D

9、A

【解析】分析數(shù)列｛4｝的特點，可知其是等差數(shù)列，寫出其通項公式，進而求得結果，

【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構成首項為10,公差為12的等差數(shù)

列，

所以a”=10+12("-1)=12”一2,

故%=10+12(11-1)=130,

故選:A.

10、B

【解析】利用等比數(shù)列的基本量進行計算即可

a.+a.123

【詳解】設等比數(shù)列的公比為彘則」~-=q2-=—=-,所以

%+%82

+〃4)=12義~—18

故選：B

11、D

【解析】S(x-6)(x+l)<0,得一lvxv6,從而有5={x|-lvxv6},所以405=3-1V工<4},故選D

12、A

【解析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項公式與前〃項和公式直接計算即可.

a2+a4+a6_[40+/+/)_2x0+4+16)_42_2

【詳解】由已知可得無——q(l—斜)——匚王一-63-3.

-1-q1-2

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-1

【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關于實數(shù)〃的等式與不等式，即可解得實數(shù)〃的值.

1CL—1

【詳解】因為〃〃2,則；=1/不，解得。=一1.

故答案為：-1.

14、4

【解析】將代數(shù)式變形為(1+工)(1一%)5=(1-X)5+^(l—X)5,寫出展開式的通項，

XX

令X的指數(shù)為4,求得參數(shù)的值，代入通項即可求解.

【詳解】由(1-%)5展開式的通項為刀+i=c;15(—%)'=(-i)r-q-z,

令r=4,得(1—x)5展開式中X4的系數(shù)為(-1)4?C；=5.

由。(1—x)5展開式的通項為I；.=：??丘上?(—X)/=(-1/V-Ji,

令％=5,得：(1—x)5展開式中x4的系數(shù)為(-1)5C=—L

所以(1+-)(1-%)5的展開式中x4的系數(shù)為5+(-1)=4.

X

故答案為：4.

15、正

3

【解析】數(shù)形結合分析出PQ的最小值為點尸到平面AC，的距離，然后利用等體積法求出距離即可.

因為3GpA，，且3Gu平面ACDX,AD,u平面AC^,所以3G平面AC。，所以PQ的最小值為點p到平

面ACD1的距離,設P到平面ACDX的距離為h,

VV

則P-ACDl=B-ACDl=5-ACB，所以gX/zXSAcq=；XDD{XSACB,

即1x/ix^^x（20）=—x2x—x2x2?解得h=,

341/323

故答案為：2叵.

3

16、13

【解析】設等差數(shù)列公差為d,根據(jù)等差數(shù)列通項公式、前“項和公式及12=3（%+2%+4）可求左

【詳解】設等差數(shù)列公差為d,

VS12=3（%+2a5+4），

12q十I22”.d=3[a]+2Q+2（a]+4d）+a[+（A:—l）d],

=

即4al~\-22d4al~\-^k~\-9^d,

即左+9=22,

，Z=13.

故答案為：13.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析

【解析】(1)由題意可證得宏，所以以C為坐標原點，8,四,“所在直線分別為x

軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量證明，

(2)求出兩個平面的法向量，利用空間向量求解

【小問1詳解】

?.?平面ABC。，平面ACEb,平面ABC。ACEF=AC,CELAC,

...CEJL平面ABC。，ACELCD,CELBC,CDLBC,

以C為坐標原點，C。,CB,"所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

則A("也0),6(0,"0),0(在0,0),后(0,0,1)1停,%],

I22)

BD=(42,-V2,0),BE=(0,-72,1),AF=,1.

(22J

設平面3￡>E的法向量為〃=(石,%,4),

BD-n=A/2X-拒y=0「「

則'，令4=0,貝!I〃=(1,1,0),

BE-n=72yl+Zj=0

AE?百=0,AF<z平面瓦汨，

AF〃平面BDE.

【小問2詳解】

AB=(-也0,0),詼=(0,-也1),

設平面AB石的法向量為機二(%,%,z2),

AB-m=-y/2x?=0i-f-

則《廣，令22二，2,則機=(0』,、歷).

BE-m=72y2+z2=0

|cos(m,n)|=m".

\m\-\n\2

由圖可知平面ABE與平面BED的夾角為銳角，

TT

所以平面4還與平面BED的夾角為B.

O

AZ

18、(1){x|l<x<3}；(2){?|-2<?<-1).

【解析】(1)將a=l代入，解一元二次不等式求兩集合的交集即可求解.

(2)求出F：-2,根據(jù)題意可得轉化為集合的包含關系即可求解.

【詳解】(1)當。=1時，P：i<%<3,q：*<一3或x>-2.

因為p,q中都是真命題.

所以1<X<3

所以實數(shù)天的取值范圍是{x11<x<3}；

⑵當a<0時，P：A={x[3a<x<a},q：3={尤[%<-3或x>-2},

所以F：=|x|-3<^<-2},

因為0是F的必要條件，

所以6R3QA,

3。<—3

所以〈C,解得—2<a<—1,

a>-2

所以實數(shù)。的取值范圍是僅1一2<。<—1}.

19、(1)答案見解析

(2)證明見解析

【解析】(1)依據(jù)導函數(shù)判定函數(shù)的單調性即可；

(2)等價轉化和構造新函數(shù)在不等式證明中可以起到關鍵性作用.

【小問1詳解】

〃九)的定義域為(0,+"),/'(x)=—士—1+3

XX

5-

當"”八十-11+22——5x+2（2x-l）（x-2）

XX~272^

令/（九）=0得x2=2

當》€(wěn)(0,31(2,+00)時，/(%)<0；

當時，r(x)>0

所以"％)在和(2,+8)上單調遞減，在［，2)上單調遞增.

【小問2詳解】

2

/（吁$1+￡=x-ax+1

A>0

了(%)存在兩個極值點，則f一ax+i=。有二正根，由<。〉0,得。>2

1>0

由于八％)的兩個極值點m、士滿足公+1=0，所以石々=1,

不妨設Xr<X2,則々〉1

了（罰）-〃9）=_1_]+aInXj-In々=__2+alnx「In/=_2+a-2In9

由于石一%再無2%一馬%一%1丫

42

x2

所以以止』—2等價于，一々+2”<0

再一x2X?

設函數(shù)g(x)=工一x+21n犬(犬>1),

1,2X2-2X+1

g'（x）-----1+—=

X2-------------X-------------------2X

g(x)在。,+8)單調遞減，又g(l)=0,從而g(x)<0

所以占一%,+2111々<0,故"[)一"")<a-2.

XX,-X,

【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注

意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理

20、(1)3x+4y+5=0

(2)X2+/=17

【解析】(1)由垂直關系得過直線/的斜率，由點斜式化簡即可求解/的一般式方程；

(2)結合勾股定理建立弦心距(由點到直線距離公式求解)，半弦長，圓半徑的基本關系，解出加，即可求解圓C的

方程

【小問1詳解】

3

因為直線/與直線4x-3y+f=0垂直，所以直線I的斜率為-一，

4

3

故直線/的方程為y—l=——(x+3),即3x+4y+5=0,

-4

因此直線I的一般式方程為3x+4y+5=0；

【小問2詳解】

圓C：X?+y2=，"的圓心為(0,0),半徑為

13x0+4x0+51

圓心(0,0)到直線/的距離為=1,

"+42

則半徑滿足/W=42+M=17,即機=17,所以圓C：x1+y2—Vl

21>(1)a“+i=1.08a”一100

(2)%-1250608(%-4250)