第一章集合與常用邏輯用語

.2充要條件

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解充要條件的意義；

2.會判斷充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件.

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)

對充分、必要、充要條件的判斷與證明.

2.教學(xué)難點(diǎn)

對充分、必要、充要條件的判斷與證明，并根據(jù)不同條件求參數(shù)的值或范圍.

三、教學(xué)過程

(-)新課導(dǎo)入

在上節(jié)課的時(shí)候我們學(xué)習(xí)了命題的充分條件和必要條件，那我們在學(xué)習(xí)充要條件之前先

復(fù)習(xí)一下上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容.“如果p可以推出4,那p是什么條件，又是什么條件?”老師

引導(dǎo)學(xué)生回答.接下來我們在看書中的思考，其中提到了逆命題，那我們先來回想一下，什么

是逆命題，老師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)言，并總結(jié)(命題“若p,則的逆命題為“若q,則p").

同學(xué)們要記住，將命題“若P，則，’中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個(gè)新的命題“若4,

則P"，稱這個(gè)命題為原命題的逆命題.

(二)探索新知

思考

下列“若p,則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？

(1)若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；

(2)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長相等；

(3)若一元二次方程加+法+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac<0；

(4)若AU8是空集，則A與8均是空集.

先引導(dǎo)學(xué)生回答出四個(gè)逆命題分別是什么，在判斷真假.

(1)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等；

(2)若兩個(gè)三角形的周長相等，則這兩個(gè)三角形全等；

(3)若ac<0,則一元二次方程a^+bx+c=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(4)若A與8均是空集，則AUB是空集.

不難發(fā)現(xiàn)，上述命題中的命題(1)(4)和它們的逆命題都是真命題：命題(2)是真命題，但它

的逆命題是假命題；命題(3)是假命題，但它的逆命題是真命題.

探究一：充要條件

1.定義：如果“若p,則夕”和它的逆命題“若q,則p"均是真命題，此時(shí)既有〃=",又

有9=〃，就記作〃=?此時(shí)P既是4的充分條件，也是4的必要條件，我們就

說/，是如與q互為充要條件.

2.p與q互為充要條件時(shí)，也稱“p等價(jià)于“q當(dāng)且僅當(dāng)p”等.

3.根據(jù)充要條件的定義可知，若原命題“若p,則及其逆命題“若“，則p"都是真命題，

則〃與4互為充要條件.

例3下列各題中，哪些。是q的充要條件？

(l)p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；

(2)p：兩個(gè)三角形相似，依兩個(gè)三角形三邊成比例；

(3)p：xy>0,<7：x>0,y>0；

(4)p：x=l是一元二次方程加+bx+c=O的一個(gè)根，<7：a+b+c=O(aHO).

解：(1)因?yàn)閷蔷€互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形(也可能是菱形)，所以

q/P，所以?不是g的充要條件.

(2)因?yàn)椤叭魀,則是相似三角形的性質(zhì)定理，“若必則p”是相似三角形的判定定

理，所以它們均為真命題，即poq,所以p是q的充要條件.

(3)因?yàn)閤y>0時(shí)，x>0,y>0不一定成立(因?yàn)閷O>0時(shí)，也可能x<0,y<0),所以p/q,

所以p不是q的充要條件.

(4)因?yàn)椤叭魀,則與''若q,則p”均為真命題，即poq,所以p是q的充要條件.

小結(jié)：在命題中“若p,則中，如何判斷p與q互為充要條件？

只要判斷出〃=外且4=〃，即p=“即可，其實(shí)質(zhì)都是判斷命題“若p,則

與它的逆命題的真假，若都為真，則p與g互為充要條件.

探究二：通過上面的學(xué)習(xí)，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？

(1)兩組對邊分別平行；

(2)兩組對角分別相等；

(3)兩組對邊分別相等；

(4)一組對邊平行且相等；

(5)對角線互相平分.

上面的這些充要條件從不同角度刻畫了“平行四邊形”這個(gè)概念，據(jù)此我們可以給出平

行四邊形的其他定義形式.例如：兩組對邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形；對角線互相平

分的四邊形叫做平行四邊形.

類似地，利用“兩個(gè)三角形全等”的充要條件，可以給出“三角形全等”的其他定義形

式(SSS、SAS、AAS、ASA、HL),而且這些定義是相互等價(jià)的；同樣，利用“兩個(gè)三角形

相似”的充要條件，可以給出“相似三角形”其他定義形式，這些定義也是相互等價(jià)的；等

等.

例4已知：。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d求證：d=z?是直線/與。。相切的充

要條件.

分析：設(shè)p：d=r,q：直線/與。。相切.要證p是q的充要條件，只需分別證明充分性

(〃=g)和必要性Qq=p)即可.

證明：設(shè)p：d=r,q：直線/與。。相切.

(1)充分性(p=q)：如圖，作0P，/于點(diǎn)P,則。尸=d.若(\

(

d=r,則點(diǎn)尸在。。上.在直線/上任取一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)尸)，連接'J

。。.在RfAOP。中，。。＞。尸=/?.所以，除點(diǎn)尸外直線/上的點(diǎn)都

圖1.4-2

在。。的外部，即直線/與。0僅有一個(gè)公共點(diǎn)P,所以直線/

與。0相切.

(2)必要性(q=p)：若直線/與。。相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P,則0P，/.因此，d=OP=r.

由(1)(2)可得，d=/?是直線/與。。相切的充要條件.

規(guī)律總結(jié)：

1.設(shè)原命題為“若p,則則逆命題為''若q,則p"，得p與q的關(guān)系有以下四種情形:

原命題逆命題P與4的關(guān)系結(jié)論

p是q的充分不必要條件；

真假p=q,但夕Np

q是p的必要不充分條件

p是q的必要不充分條件；

假真q=p，但〃Rg

q是p的充分不必耍條件

png且p，

真真p與q互為充要條件

即poq

p是q的既不充分也不必要條件；

假假〃Kq且qN〃

q是p的既不充分也不必要條件

充分、必要、充要條件都具有傳遞性，具體如下：

⑴若p=>q，q=s，則有〃=s，即p是s的充分條件；

(2)若夕="，s=q,則有s=〃，即p是s的必要條件；

(3)若p=qos，則有〃os，即〃是6的充要條件.

(三)課堂練習(xí)

1.下列各題中，哪些?是g的充要條件？

(Dp：三角形為等腰三角形，q：三角形存在兩角相等；

(2)p：。。內(nèi)兩條弦相等，q：。。內(nèi)兩條弦所對的圓周角相等；

(3)p-ACB為空集，q：A與B之一為空集.

解：(1)pOq，所以p是q的充要條件；

(2)。。內(nèi)兩條弦相等，它們所對的圓周角相等或互補(bǔ)，因此，pKq,所以p不是q

的充要條件；

(3)取4={1,2},8={3},顯然，A08=0,但A與8均不為空集，因此〃R鄉(xiāng)，所以

p不是q的充要條件；

2.分別寫出“兩個(gè)三角形全等”和“兩個(gè)三角形相似”的幾個(gè)充要條件.

解：“兩個(gè)三角形全等”的充要條件如下：

①三邊對應(yīng)相等；②兩邊及其夾角對應(yīng)相等；③兩角及其夾邊對應(yīng)相等；④兩角及一角的對

邊對應(yīng)相等.

“兩個(gè)三角形相似”的充要條件如下：

①三個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等（或兩個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等）；

②三邊對應(yīng)成比例；③兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等.

3.證明：如圖，梯形ABC。為等腰梯形的充要條件為4C=BD

證明：（1）必要性:

在等腰梯形ABC。中，

AB=CD,NABC=/DCB,

又,：BC=CB,.".△BAC^ACZ)B(SAS),

：.AC=BD.

(2)充分性：