2022-2023學年吉林省“BEST合作體”高一（下）期末數(shù)學試

卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若復數(shù)Z滿足舒=[2。23,則口=（）

A.2B.2023C.<7023D.1

2.已知直線/的方向向量方=（1,1,0）,平面a的一個法向量為元=（1,1,—口），則直線1與平

面a所成的角為（）

A.120°B.60°C.30°D,150°

3.仇章算術》是中國古代一部數(shù)學專著，其中的“邪田”為

直角梯形，上、下底稱為“畔”，高稱為“正廣”，非高腰邊稱

為“邪”.如圖所示，邪長為4門，東畔長為2/7,在4處測得C,

D兩點處的俯角分別為49。和19。，則正廣長約為（注：s譏41。v

0.66）（）

A.6.6B,3.3C.4D.7

4.如圖所示，M是四面體04BC的棱BC的中點,點N在線段OM上，0

點P在線段4N上，且4P=3PN,ON=|麗，設函=五，麗=石,/71\

OC=c，則下列等式成立的是（）

A.OP=-a+-b+-c

444

B

B.AN=a+jb+^c

C.AP=-^a+^b-^c

444

D.OM

5.在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=8,B屋.若AaBC有兩解，則b的

值可以是（）

A.4B.6C.8D.10

6.關于用統(tǒng)計方法獲取、分析數(shù)據(jù)，下列結論錯誤的是（）

A.質檢機構為檢測一大型超市某商品的質量情況，合理的調查方式為抽樣調查

B.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的標準差滿足S尹＜S乙，則可以估計甲比乙更穩(wěn)定

C.若數(shù)據(jù)%i，x2,x3,■■■,出的平均數(shù)為％,則數(shù)據(jù)%=a%-b（i=1,2,3,…,n）的平均數(shù)為

ax—b

D.為了解高一學生的視力情況，現(xiàn)有高一男生200人，女生400人，按性別進行分層抽樣，

樣本量按比例分配，若從女生中抽取的樣本量為80,則男生樣本容量為60

7.某中學舉行疾病防控知識競賽，其中某道題甲隊答對該題的概率為反，乙隊和丙隊答對該

題的概率都是,若各隊答題的結果相互獨立且都進行了答題.則甲、乙、丙三支競賽隊伍中恰

有一支隊伍答對該題的概率為（）

A.；B.JC.，D.J

z3366

8.已知三棱錐ABC的頂點都在球。的球面上，底面△ABC是邊長為3的等邊三角形.若三

棱錐。-4BC的體積的最大值為史2,則球。的表面積為（）

4

A.16兀B.127TC.87rD.47r

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學

黨史、育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100

分，成績取整數(shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的（）

405060708090100成績/分數(shù)

A.a的值為0.005B.估計成績低于60分的有25人

C.估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75D.估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86

10.已知瓦，石是平面單位向量,且瓦電=；,若該平面內的向量五滿足五?2=為怎=1,

則（）

（）B.al（e；-^）C.a=l（e;+er）D.|五|=浮

A.e1（e2=

11.已知△4BC的內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是（）

A.若4>B,則s譏力>sinB

B.若4=/a=5,則△4BC外接圓半徑為10

C.若a=2bcosC,則△ABC為等腰三角形

D.若b=6,a-2c,B則三角形面積S—BC=6/?

12.如圖所示，4BCD為正方形，平面ZBCD1平面ABF,E為4B的

中點，AF1BF,且4B=24F=2,貝立）

A.（CA+函2=20

B.直線BC到平面2DF的距離為2

C.異面直線4B與FC所成角的余弦值為岑

D.直線4C與平面CEF所成角的正弦值為安

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.i是虛數(shù)單位，若復數(shù)2=巖的6碼為純虛數(shù)，則6=—.

14.某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王

到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用

的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試；否

則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.則小王至少嘗試兩次才能成功的概率是.

15.在某次調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，部分數(shù)據(jù)如表.

樣品類別樣本容量平均數(shù)方差

A1032

B3053

根據(jù)這些數(shù)據(jù)可計算出總樣本的方差為.

16.已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=7,點。為4C邊的中點,

已知前?而=尚則當角C取到最大值時sinC等于.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.(本小題10.0分)

2016年1月1日，我國實施“全面二孩”政策，中國社會科學院在某地隨機抽取了150名已婚

男性，其中愿意生育二孩的有100名，經(jīng)統(tǒng)計，該100名男性的年齡情況對應的頻率分布直方

圖如下：

2226303438424650年齡

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名已婚男性的年齡平均值X、眾數(shù)、中位數(shù)和樣本方差s2(

同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點值代替，結果精確到個位)；

(2)若在愿意生育二孩的且年齡在[30,34),[34,38),[38,42)的三組已婚男性中，用分層抽樣的

方法抽取19人，試估算每個年齡段應各抽取多少人？

18.(本小題12.0分)

如圖1,菱形4BCD中，N4=60。，AB=4,DElABfE,將△AEC沿DE翻折到△A'ED,使

A'E1BE,如圖2.

D.----------,C

A7A

EB

(1)求三棱錐C-ABD的體積；

(2)在線段4。上是否存在一點F,使平面ABC?若存在，求黑的值；若不存在，說明理

由.

19.(本小題12.0分)

已知向量行,方滿足|五|=C，@=2，|日+2石

(1)求向量五花的夾角。的大小；

(2)設向量記=3方—方，元=方+卜區(qū)若記，元的夾角為銳角，求實數(shù)k的取值范圍.

20.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P-4BC中，NACB=90。，P41底面48c.

(1)求證：平面P4C_L平面PBC；

(2)若4c=BC=PA,求平面P4B與平面PCB所成二面角的大小.

21.(本小題12。分)

一個口袋內裝有形狀，大小相同，編號為1，2,3的3個白球和編號為a的1個黑球.

(1)從中一次性摸出2個球，求摸出的2個球都是白球的概率;

(2)從中連續(xù)取兩次，每次取一球后放回，甲、乙約定：若取出的兩個球中至少有1個黑球,

則甲勝，反之，則乙勝.你認為此游戲是否公平？說明你的理由.

22.(本小題12.0分)

已知在A/IBC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,乙4=150。，點0滿足訪=2而，且

sinz.BAD,sin4C4O3

b+^^=五?

(1)求證：AD=

⑵求號的值?

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解:因為?023=1505X4+3=j3=一八

所以=‘2°23=—“則z—1=-i(z+1),B[lz—1=—zi—i,故(l+i)z=l—i,

則Z-曰-(J1-l-2i+,_4

故z-i,\z\-1.

故選：D.

先利用虛數(shù)單位的性質化簡產(chǎn)。23,從而解方程，結合復數(shù)的四則運算求得Z,再利用共輛復數(shù)的定

義與模的運算公式即可得解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：直線，的方向向量方=(1,1,0),平面a的一個法向量為元=(1,1,一口)，

直線I與平面a所成的角的正弦值=|cos<a,元>|=|品|=|j2」+i+6l=,

直線l與平面a所成的角為：30。.

故選：C.

利用面積向量的數(shù)量積，直接求解直線/與平面a所成的角的正弦值即可得出結果.

本題考查了線面兒角的計算公式、向量夾角公式、數(shù)量積運算性質，考查了計算能力，屬于基礎

題.

3.【答案】A

【解析】解：在4處測得C,。兩點處的俯角分別為49。和19。，

則4。4c=49°-19°=30°,

在小4CO中，由余弦定理可得,DC?=AC2+AD2-2AC-AD-cos30°,即28=AC2+48-12AC,

則(AC-2)(4。-10)=0,

???/.ADC=90°,

?■AC=10,

BC-AC-cos490=10s譏41°=6.6.

故選：A.

先求出NZMC,再結合余弦定理，求出AC,即可求解.

本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：ON=l0M,0A=a，OB=b，OC=c，

AN=A0+0N=A0+|0M=^40+1x1（Ofi+OC）=+|c-a,所以選項B錯誤;

33231131

兩HT

---=---+=--+-b+±巨所以選

443422?)44

項c錯誤；

因為兩=；（而+屈）=+所以選項￡>錯誤.

因為而=列+而=五+（—，五）笠=：五+。至+。乙所以選項A正確.

、4，44444

故選：A.

根據(jù)空間向量的線性運算法則逐項進行計算即可判斷.

本題主要考查空間向量的線性運算，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：如圖，過點4作AO_LBC,垂足為。，貝必O=csinB,

若△力BC有兩解，所以AD<4C<AB,則csinB<b<c,

即8sing<b<8,

o

得4cb<8.

故選：B.

由題意畫出圖形，可得csinB<b<c,求出b的范圍，結合選項得出答案.

本題主要考查了正弦定理的應用，屬于基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,質檢機構為檢測一大型超市某商品的質量情況，合理的調查方式為抽樣調查，A正確；

對于B,若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的標準差滿足S/<S乙，由標準差的定義可以估計甲比乙更穩(wěn)定，8正

確；

對于C,若數(shù)據(jù)與，不，右，…，xn的平均數(shù)為3則數(shù)據(jù)%=。々一/)?=1,2,3,…,n)的平均數(shù)為

ax—b>C正確；

對于D,為了解高一學生的視力情況，現(xiàn)有高一男生200人，女生400人，按性別進行分層抽樣，

樣本量按比例分配，若從女生中抽取的樣本量為80,則男生樣本容量為40,。錯誤；

故選：D.

根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，即可得答案.

本題考查數(shù)據(jù)的分析，涉及平均數(shù)、標準差的計算以及抽樣方法，屬于基礎題.

7.【答案】C

【解析】解：記“甲隊答對該題”為事件4，“乙隊答對該題”為事件B,“丙隊答對該題”為事

件C,

則甲、乙、丙三支競賽隊伍中恰有一支隊伍答對該題的概率

P=P(ABC+ABC+ABC}=P(ABC)+P(4BC)+PQ4BC)

=P(A)P(B)P(C)4-P(4)P(B)P(C)+PQ4)P(B)P(C)

322322322

7

=36,

故選：C.

根據(jù)獨立事件的乘法公式計算即可.

本題主要考查獨立事件的乘法公式，屬于基礎題

8.【答案】A

【解析】解:如圖,

設球。的半徑為R,△48(7的外心為。1，

由題意得44BC外接圓半徑為?x3=，耳，面積為?x32=亨，

00]=7爐-3,

可得三棱錐0-4BC體積的最大值：

U=卻會?(R+0^3)=2x手(R+0^3)=學,

得R+V/?2-3=3，解得R=2.

二球。的表面積為4兀/?2=167r.

故選：A.

設球。的半徑為R,ZiABC的外心為0「由題意可得A/IBC外接圓的半徑及面積，即可得。01=

7R2-3,代入體積公式，結合題意得R值，再代入球的表面積公式得答案.

本題考查多面體的外接球，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】對于4，由(a+2a+3a+3a+5a+6a)x10=1,得a=0.005.故A正確；

對于8,估計成績低于6(0分)的有1000x(2a+3a)x10=50000a=250人.故B錯誤;

對于C,由眾數(shù)的定義知，估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75.故C正確；

對于D,設這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為zn,則(90-m)X5x0.005+0.005x10=1-85%=0.15,

解得：m=86.故￡)正確.

故選:ACD.

由所有組頻率之和為1求得a,再根據(jù)頻率直方圖中頻數(shù)、眾數(shù)及百分位數(shù)的求法可得結果.

本題主要考查頻率分布直方圖的應用，屬于基礎題.

10.【答案】BCD

【解析】解:對于4???宕隹=I引同|cos＜江,可＞=cos(耳局＞=1,??-＜瓦，瓦＞G[0,71],

???＜百，孩＞=今故A錯誤；

對于??,五?百=五?司=1,?,?五?百一行?司=0,???a?(e^＞—e^)=0,

|方|A0,|瓦■一名|=J瓦2—2瓦1?五+祓2=100，.?.a_L?-動，故8正確；

對于C,若弓=|同+劭則五?瓦=|(瓦+或)W=翱2+|江.石=|+|x：=l,

4運號(可+可),宅=1瓦＞,石+|蛾號x^+￡=1,滿足題意,故C正確；

對于。，由。知，記=,?＜+荀，則同=|J百2+2瓦.芍+石2=|xJ1+2xg+1=等,

故。正確.

故選：BCD.

由平面向量的數(shù)量積及模，兩向量垂直的性質逐一判斷選項即可.

本題考查平面向量的數(shù)量積及模，兩向量垂直的性質，判斷命題的真假等知識，屬于基礎題.

11.【答案】ACD

【解析】解：因為4＞B,所以a＞b,由正弦定理三=3=2/?,可得2Rsim4＞2RsinB,即

sinAstnB

sinA＞sinB,A正確；

由正弦定理急=2R可知2R=10,所以△ABC外接圓半徑為5,B不正確；

因為a=2bcosC,=2sinBcosC,即sin(B+C)=2sinBcosC,

整理可得sinBcosC—cosBsinC=0,即sin(B—C)=0,

因為氏C為三角形的內角，所以B=C,即△4BC為等腰三角形，C正確；

因為b=6,a=2c,8=5,由余弦定理b?=a2+c2—2accosB得36=4c2+c2—2c2,解得c?=

12,所以SA.BC=gacsinB=；x2cxcx=67""^，O正確.

故選：ACD.

利用三角形性質和正弦定理可知A正確，利用正弦定理可知B,C的正誤，利用余弦定理及三角形

面積公式可知O正確.

本題主要考查了三角形大邊對大角，正弦定理，和差角公式及三角形面積公式的應用，屬于中檔

題.

12.【答案】ACD

【解析】解：4BCD為正方形，平面ABC。1平面ABF,E為4B的中點，AF1BF,且4B=2AF=2,

由題意得：平面ABCD_L平面4BF,平面ABC。n平面ABF=AB,

又ABCD為正方形，；.AD1AB,AD，平面ABF,

又BFu平面4BF,AFu平面ABF,所以4。1BF,AD1.AF,

過點4作4M〃BF,過點B作BM〃4F交4M于點M,

四邊形4尸BM是平行四邊形，且4DJ.AM,

又4F1BF,.??四邊形4FBM是矩形，二AF1.AM,

以4為坐標原點，分別以4F,AM,4D所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

F\

、x

由4F1BF,AB=2AF=2可得BF=口,

則4(0,0,0),8(1,<3,0),C(l,2),D(0,0,2),F(l,0,0).

?.?后為48的中點，」.岳(；,行,0)，

CA+CB—(—1,—V~3,-2)+(0,0,—2)——(—1,—V~3,—4)>

(CA+CB)2=(-1)2+(一，3)2+(—4>=20.故A正確；

由題意知BC//4。，???BCC平面40F,40u平面4。尸，BC//平面AOF,

vAFLBF,AD1BF,AFOAD=A,AFu平面4。尸，4尸u平面4。尸，

BF_L平面4。凡

.??直線BC到平面4DF的距離為BF=V-3,故B錯誤：

四=(1,0),定=(0,Y3,2)，所以cos〈卷，定〉=需嵩=曰=9

???異面直線48與FC所成角的余弦值為字，故C正確；

設平面CEF的一個法向量為元=(x,y,z),

??1定=(0,<3,2)歷=0,—,0),

n-FC=>/_3y+2z=0gf

JiyT3令y=i，可得x=C,z=--廠，二元=(，3,1,一亍)，

n'EF=-x———y=0/z

zz

AC=(l,/3,2)，設直線4c與平面CE尸所成的角為e,

.nIL~AT\\|元，AC|>/-3V114

則直線4c與平面CEF所成角的正弦值為ss9=|cos(nMC)|=而雨=百點三=』一,故。正

N彳X

確.

故選：ACD.

根據(jù)幾何體特征，可利用空間向量對各選項進行求解；以4為坐標原點建立空間直角坐標系可得

(CA+CBY=20,即選項A正確；易知直線BC到平面4DF的距離為BF=/?,即B錯誤；利用

向量的夾角計算公式可求得荏，正所成角的余弦值為智，即C正確；求出直線4c與平面CEF法

向量夾角的余弦值即可得。正確.

本題考查幾何體性質、向量坐標運算法則、直線到平面的距離、異面直線所成角、線面平行、線

面垂直的判定與性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

13.【答案】-1

【解析】解：2=巖=(1+”1+,它是純虛數(shù)，只須b=—l.

1+t2尸=匕+2尸

故答案為：—1

復數(shù)z=E(be/?)化為a+bi的形式，它是純虛數(shù)，貝Ija=o且匕40即可求出答案.

本題是復數(shù)代數(shù)形式的運算，以及復數(shù)的分類，特別注意復數(shù)的除法運算實質是分母實數(shù)化的過

程，是基礎題.也是高考考點.

14.【答案嗎

【解析】解：由題，小王嘗試兩次或三次成功.小王嘗試兩次成功的概率為：=

030

小王嘗試三次成功的概率為：=

6546

則小王至少嘗試兩次才能成功的概率是

003

故答案為：i

由題，小王嘗試兩次或三次成功，分別計算概率，相加即可得答案.

本題考查互斥事件概率加法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

15.【答案】3.5

【解析】解：因為樣本4的樣本容量為10,平均數(shù)為3,方差為2；

樣本B的樣本容量為30,平均數(shù)為5,方差為3,

可得總樣本的平均數(shù)7薩=4.5,

則總樣本的方差s2=款2+（3—4.5）2]+泵3+（5—4.5）2]=3.5.

故答案為：3.5.

由題意，根據(jù)平均數(shù)和方差公式進行求解即可.

本題考查平均數(shù)和方差，考查了邏輯推理和運算能力.

16.【答案】呼

【解析】解：點。為4c邊的中點，BD-AC=

KijBD-AC=^（BC+BA）-（BC-BA）=^\BC\2-^\BA\2=個，即=等,

M4乙

因為a=7,所以。=2「，

由c<a知，角C為銳角，故c°sC=^墳士=竺史烏=2（6+竺），

2ab14b14'b7

因為b>0,所以由基本不等式得：cosC=1（b+引b.L

當且僅當。=年，即b=5時等號成立，此時角C取到最大值，

b

所以si九C=7'-COS2c=J1_（5）2=當亙

故答案為：號.

利用向量的數(shù)量積求解得到c,用余弦定理和基本不等式得到cose的最小值，此時角C取到最大值,

求解得出結果.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)100位己婚男性的年齡平均值元和樣本方差s2分別為：

x=24X0.04+28X0.08+32x0.16+36x0.44+40X0.16+44x0.1+48x0.02

=35.92a36,

s2=(-12)2x0.04+(-8產(chǎn)+0.08+(-4)2x0.16+

02X0.44+42x0.16+82X0.14-122X0.02

=25.28x25,

眾數(shù)為36,

中位數(shù)為(0.5-0.04-0.08-0.16)4-0.11+34=36；

(2)在年齡段[30,34),[34,38),[38,42)的頻率

分別為0.04x4=0.16,0.11x4=0.44,0.04x4=0.16,

v0.16：0.44：0.16=4：11：4,

???人數(shù)分別為4人，11人，4人.

【解析】本題主要考查了頻率分布直方圖，中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)及樣本方差公式，屬于基礎題.解

題的關鍵是正確分析頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)信息，準確計算.

(1)由頻率分布直方圖即可計算得結果；

(2)求出各個年齡段的頻率，即可計算每個年齡段抽取的人數(shù).

18.【答案】解：（1）由題可知在菱形48C。中，LA=60°,AB=BC=

CD=DA=4,DELAB,

故AE=EB=2,ED=2<3,

.,.在四棱錐4一EBC。中，A'E1ED,EB1ED,A'E1EB,

又EDDEB=E,???A'EJ_平面EBCD,且AE=AE=2,

連接BD,BC=CD=4,乙BCD=60°,則SABCO=gx4X2<3=4y/~3,

^C-A/BD=匕，-BCD=5XA'EXS^BCD=§x2x4V-3=--—?

故棱錐C-&BD的體積為亨.

(2)在線段4D上存在一點尸，使EF〃平面ABC.

理由如下：

分別取4。，4'C的中點F,M,連結E產(chǎn)，F(xiàn)M,BM,

???FM為△a'OC的中位線，F(xiàn)M//DC,ELFM=^DC,

在菱形4BC0中，EB//DC,S.EB=^DC,

FM//EB,且FM=E8,??.四邊形EBMF是平行四邊形，:EF〃BM,

???EFC平面ABC,BMu平面ABC,???EF〃平面ABC,

???F為4D中點，.?.黑=1.

【解析】(1)推導出4E，平面BCDE,三棱錐C-4BD的體積為%T，8D=%,-BCD=^^BCD-A'E,

由此能求出結果；

(2)分別取4。，AC的中點尸，G,連接EF、FG、GB,推導出四邊形EBGF是平行四邊形，EF//BG,

從而在線段AD上存在一點F,使EF〃平面4BC,且黑=L

本題考查三棱錐的體積的求法,考查滿足線面平行的點是否存在的判斷與求法,考查空間中線線、

線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

19.【答案】解：⑴由|五+28|=/無，兩邊平方得片+42?3+4/=31，

|a|=V"3，\b\=2<

二3+4五1+4x4=31，解得五不=3，

06[0,7T],

???0=1，

O

(2)向量記，元的夾角為銳角，

則記?元〉0且沆,元方向不同.

若雨,元方向相同，設五=2記(4>0),

'.a+kb=A(3a-b)=3Aa-Afe，

V2范不共線，

.??1=34解得;^弘:一，

m-n=(3a-K)-(a+/cK)=3a2+(3/c-l)a-K-fcb2=5fc+6>0>解得卜>一"

??a+kb=A(3a—K)=3Aa—

綜上所述,k的取值范圍是T，+oo).

【解析】(1)利用向量的模公式及向量的夾角公式即可求解；

(2)根據(jù)向量夾角與向量數(shù)量積的關系即可求解.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，考查轉化能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)證明：r/ML平面ABC,

???BCA.PA.

Z.ACB=90°,

BC1AC.

"PAOAC=A,PA,力Cu平面P4C,

???BC1平面PAC.

BCu平面P8C,

二平面P4C_L平面PBC；

(2)在△ABC中，取)B中點連接CD,則CD1AB.

在APAB中，過。作DE1PB于E,連接CE.

由PA_L平面4BC,得CD1P4XCD1AB,KPAQAB=A,PA,ABu平面P48,

可得CO，平面R4B.

所以CD1PB.又DE1PB,且CD(IDE=D,CD,DEu平面CDE,故PB_L平面CDE,所以PB1CE.

所以“ED即為二面角A—PB-C的平面角.

設AC=BC=PA=2.由題可得，CD=

由△BDE-ZkBPA得，匹=吧=早，

PAPB2公

...DE=

在RMCOE中，tan乙CED=叁=C，

則“EC=最

所以平面P4B與平面PCB所成二面角的大小為半

【解析】(1)由BCJ.P4,BO1C結合面面垂直的判定證明即可；

(2)作輔助線，證明PB1CE,由二面角的定義得出NCED即為二面角A-PB—C的平面角，再由

三角形的邊角關系求解.

本題考查了面面垂直的證明和線面角，二面角的計算，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)從袋中一次性摸出2個球，所包含的基本事件有：

(1,2),(1,3),(l,a),(2,3),(2,a),(3,a),共6個基本事件,

摸出的2個球都是白球，所包含的基本事件有：(1,2),(1,3),(2,3),共3個基本事件，

???摸出的2個球都是白球的概率為P=|=1；

(2)從袋中連續(xù)取兩次，每次取出一球后放回，則所包含的基本事件有：

(1,1),(1,2),(1,3),(l,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),

(a,l),(a,2),(a,3),(a,a),共16個基本事件，

則取出的兩個球中至少有1個黑球，所包含的基本事件有：

(l,a),(2,a),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),共7個基本事件,

???取出的2個球中至少有4個黑球的概率為P=即甲勝的概率為，，

乜1616

則乙勝的概率為1一￡=2>