專題訓(xùn)練10推理與證明一、填空題1．容器中有種粒子，若相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會變成另外一種粒子.例如，一顆A粒子和一顆B粒子發(fā)生碰撞則變成一顆C粒子，現(xiàn)有A粒子10顆，B粒子8顆，C粒子9顆，如果經(jīng)過各種兩兩碰撞后，只剩1顆粒子.給出下列結(jié)論：①最后一顆粒子可能是A粒子；②最后一顆粒子可能是B粒子；③最后一顆粒子可能是C粒子；其中正確結(jié)論的序號是______.（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①③【分析】分析每一次碰撞粒子數(shù)量的變化規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解.【詳解】①若最后剩下的可能是A粒子.10顆A粒子兩兩碰撞，形成5顆B粒子；9顆C粒子中的8個(gè)兩兩碰撞，形成4顆B粒子；所有的17顆B粒子兩兩碰撞，剩下一顆B粒子；這個(gè)B粒子與剩下的一顆C粒子碰撞形成A粒子.③最后剩下的可能是C粒子.10顆A粒子中的9顆與9顆C粒子兩兩碰撞，形成9顆B粒子；所有的17顆B粒子兩兩碰撞，最后剩一顆B粒子；這個(gè)B粒子與剩下的一顆A粒子碰撞形成C粒子.②最后剩下的不可能是B粒子.A、B、C三種粒子每一次碰撞有以下6種可能的情況：A與A碰撞，會產(chǎn)生一顆B粒子，減少兩顆A粒子:（B多1個(gè)，A、C共減少兩個(gè)）；B與B碰撞，會產(chǎn)生一顆B粒子，減少兩顆B粒子（B少1個(gè)，A、C總數(shù)不變）；C與C碰撞，會產(chǎn)生一顆B粒子，減少兩顆C粒子（B多1個(gè)，A、C共減少兩個(gè)）；A與B碰撞，會產(chǎn)生一顆C粒子，減少A、B各一顆粒子（B少1個(gè)，A、C總數(shù)不變）；A與C碰撞，會產(chǎn)生一顆B粒子，減少A、C各一顆粒子（B多1個(gè)，A、C共減少兩個(gè)）；B與C碰撞，會產(chǎn)生一顆A粒子，減少B、C各一顆粒子（B少1個(gè)，A、C總數(shù)不變），可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：（1）從B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的數(shù)量增多一個(gè)或減少一個(gè).題目中共有27顆粒子，經(jīng)過26次碰撞剩一顆粒子，整個(gè)過程變化了偶數(shù)次，由于開始B粒子共有8顆，所以26次碰撞之后，剩余的B粒子個(gè)數(shù)必為偶數(shù)，不可能是1個(gè)，所以最后剩下的不可能是B粒子.（2）從A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子總數(shù)或者不變、或者減少兩個(gè).題目中A、C粒子之和為19個(gè)，無論碰撞多少次，A、C粒子都沒了是不可能的，所以剩下的最后一顆粒子一定是A或C.故正確結(jié)論的序號為①③.故答案為：①③【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了分類思想，邏輯推理，分析問題解決問題的能力，讀懂題意是解題的關(guān)鍵.2．有限集的全部元素的積稱為該數(shù)集的“積數(shù)”，例如的“積數(shù)”為2，的“積數(shù)”為6，的“積數(shù)”為，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為___________.【答案】1010【分析】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)結(jié)論：對于有限非空數(shù)集，積數(shù)和，由此即可計(jì)算得到答案.【詳解】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)結(jié)論：對于有限非空數(shù)集，積數(shù)和當(dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上可得，，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為：故答案為：1010.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義“積數(shù)”的理解和運(yùn)用，以及“積數(shù)”的和的求法，求證對于有限非空數(shù)集，積數(shù)和是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算求解能力，屬于難題.3．長沙市為了支援邊遠(yuǎn)山區(qū)的教育事業(yè)，組織了一支由13名教師組成的隊(duì)伍下鄉(xiāng)支教，記者采訪隊(duì)長時(shí)詢問這個(gè)團(tuán)隊(duì)的構(gòu)成情況，隊(duì)長回答：“（1）有中學(xué)高級教師；（2）中學(xué)教師不多于小學(xué)教師；（3）小學(xué)高級教師少于中學(xué)中級教師；（4）小學(xué)中級教師少于小學(xué)高級教師；（5）支教隊(duì)伍的職稱只有小學(xué)中級、小學(xué)高級、中學(xué)中級、中學(xué)高級；（6）無論是否把我計(jì)算在內(nèi)，以上條件都成立．”由隊(duì)長的敘述可以推測出他的學(xué)段及職稱分別是____．【答案】小學(xué)中級【分析】設(shè)小學(xué)中級、小學(xué)高級、中學(xué)中級、中學(xué)高級人數(shù)分別為，根據(jù)條件列不等式組，推出取法，根據(jù)取法推測隊(duì)長的學(xué)段及職稱.【詳解】設(shè)小學(xué)中級、小學(xué)高級、中學(xué)中級、中學(xué)高級人數(shù)分別為，則所以，若則，若則矛盾隊(duì)長為小學(xué)中級時(shí)，去掉隊(duì)長則，滿足；隊(duì)長為小學(xué)高級時(shí)，去掉隊(duì)長則，不滿足；隊(duì)長為中學(xué)中級時(shí)，去掉隊(duì)長則，不滿足；隊(duì)長為中學(xué)高級時(shí)，去掉隊(duì)長則，不滿足；綜上可得隊(duì)長為小學(xué)中級.【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查論證推理能力，屬難題.二、解答題4．已知集合，對于集合的非空子集．若中存在三個(gè)互不相同的元素，，，使得，，均屬于，則稱集合是集合的“期待子集”．(1)試判斷集合，是否為集合的“期待子集”；（直接寫出答案，不必說明理由）(2)如果一個(gè)集合中含有三個(gè)元素，，，同時(shí)滿足①，②，③為偶數(shù)．那么稱該集合具有性質(zhì)．對于集合的非空子集，證明：集合是集合的“期待子集”的充要條件是集合具有性質(zhì)；(3)若的任意含有個(gè)元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)所給定義判斷即可.（2）先證明必要性，再證明充分性，結(jié)合所給“期待子集”的定義及性質(zhì)的定義證明即可；（3）首先利用反例說明當(dāng)、時(shí)不成立，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明集合的任意含有個(gè)元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋瑢τ诩?，令，解得，顯然，，所以是集合的“期待子集”；對于集合，令，則，因?yàn)椋矗拭?，所以不是集合的“期待子集”；?）先證明必要性：當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，由題意，存在互不相同的，使得，不妨設(shè)，令，，，則，即條件中的①成立；又，所以，即條件中的②成立；因?yàn)?，所以為偶?shù)，即條件中的③成立；所以集合滿足條件.再證明充分性：當(dāng)集合滿足條件時(shí)，有存在，滿足①，②，③為偶數(shù)，記，，，由③得，由①得，由②得，所以，因?yàn)?，，，所以，，均屬于，即集合是集合的“期待子集?（3）的最小值為，理由如下：一方面，當(dāng)時(shí)，對于集合，其中任意三個(gè)元素之和均為奇數(shù)，由（2）知，不是的“期待子集”；當(dāng)時(shí)，對于集合，從中任取三個(gè)不同的元素，若不含有，則不滿足條件的③，若含有，則另外兩個(gè)數(shù)必都是奇數(shù)，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)奇數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）都不小于，故不滿足條件中的②，所以不是的“期待子集”；所以.另一方面，我們用數(shù)學(xué)歸納法證明集合的任意含有個(gè)元素的子集，都是的“期待子集”：（I）當(dāng)時(shí)，對于集合的任意含有個(gè)元素的子集，記為，當(dāng)、、三個(gè)數(shù)中恰有個(gè)屬于時(shí)，則，因?yàn)閿?shù)組、、、、都滿足條件，當(dāng)三個(gè)數(shù)都屬于，因?yàn)閿?shù)組滿足條件，所以此時(shí)集合必是集合的“期待子集”，所以當(dāng)時(shí)的任意含有個(gè)元素的子集都是集合的“期待子集”.（II）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即集合的任意含有個(gè)元素的子集都是的“期待子集”，那么時(shí)，對于集合的任意含有個(gè)元素的子集，分成兩類，①若，至多有個(gè)屬于，則中至少有個(gè)元素都在集合，由歸納假設(shè)知，結(jié)論成立；②若，，則集合中恰含的個(gè)元素，此時(shí)，當(dāng)中只有一個(gè)奇數(shù)時(shí)，則集合中包含中的所有偶數(shù)，此時(shí)數(shù)組，，符合條件，結(jié)論成立；當(dāng)集合中至少有兩個(gè)奇數(shù)時(shí)，則必有一個(gè)奇數(shù)不小于，此時(shí)數(shù)組，，符合條件，結(jié)論成立，所以時(shí)結(jié)論成立，根據(jù)（I）（II）知，集合的任意含有個(gè)元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及集合新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義，結(jié)合相關(guān)的其它知識，分類討論，進(jìn)行推理判斷解決.5．若正整數(shù)的二進(jìn)制表示是，這里()，稱有窮數(shù)列1，，，，為的生成數(shù)列，設(shè)是一個(gè)給定的實(shí)數(shù)，稱為的生成數(shù).（1）求的生成數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；（2）求由的生成數(shù)列，，，的前項(xiàng)的和(用?表示)；（3）若實(shí)數(shù)滿足，證明：存在無窮多個(gè)正整數(shù)，使得不存在正整數(shù)滿足.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】（1）由題意知，求出m,可知的生成數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，故解即可求解；（2）可先歸納猜想，再由數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）對，設(shè)二進(jìn)制表示下，證明不存在，使得，利用反證法證明.【詳解】因?yàn)?，所以且，，故確定即可確定的生成數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，令，解得，因?yàn)椋?，所以的生成?shù)列的項(xiàng)數(shù)為；（2）法一：(數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，猜想：，接下來用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，已證，假設(shè)結(jié)論對成立，則對有，故結(jié)論對也成立，所以；（3）對，設(shè)二進(jìn)制表示下，我們證明不存在，使得，事實(shí)上，對這樣的，有，如果存在，使得，設(shè)的二進(jìn)制表示為，則，①若，則，這時(shí)，如果，那么(因?yàn)?，所?，矛盾，如果，那么或，也矛盾，②設(shè)時(shí)可以推出矛盾，考慮的情形，若，則，矛盾，若，則，矛盾，上述推導(dǎo)中都用到了，所以，這時(shí)，記，進(jìn)而，有，于是，由得，與歸納假設(shè)不符.綜上所述，存在無窮多個(gè)正整數(shù)，使得不存在正整數(shù)，滿足.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于創(chuàng)新型題目，難度很大，推理要求很高，涉及到了數(shù)學(xué)歸納法，反證法，難度太大，屬于難題.6．甲、乙兩人輪流吹同一只氣球，當(dāng)且僅當(dāng)氣球內(nèi)的氣體體積（單位：毫升）大于2014時(shí)，氣球會被吹破．先由甲開始吹入1毫升氣體，約定以后每次吹入的氣體體積為上一次體積的2倍或，且吹入的氣體體積為整數(shù)．（1）若誰先吹破氣球誰輸，問誰有必勝策略？證明你的結(jié)論．（2）若在不吹破氣球的前提下，約定單次吹入的氣體體積最大者為贏家（如果吹入的體積相同，則最先吹出最大體積者為贏家）．問：誰有必勝策略？證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】（1）設(shè)氣球的最大體積為（當(dāng)且僅當(dāng)氣球內(nèi)氣體體積大于時(shí)，氣球被吹破）．若甲有必勝策略，則記；若乙有必勝策略，則記．當(dāng)，4，…，9時(shí)，容易驗(yàn)證，，，，．猜想：，，其中，．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立．當(dāng)時(shí)，經(jīng)試驗(yàn)結(jié)論成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．考慮．因?yàn)榍皟纱渭住⒁掖等氲臍怏w體積只能是甲1毫升、乙2毫升：若第三次甲吹入1毫升，則乙吹入2毫升即轉(zhuǎn)化為的情形，由歸納假設(shè)，最終乙勝；若第三次甲吹入4毫升，則乙吹入2毫升即轉(zhuǎn)化為的情形，由歸納假設(shè)，最終也是乙勝．因此，．當(dāng)或時(shí)，甲第三次只需吹入1毫升，即轉(zhuǎn)化為的情形，于是，由歸納假設(shè)．綜上，由數(shù)學(xué)歸納法，知猜想成立．因?yàn)椋?，．故甲有必勝策略．?）設(shè)氣球的最大體積為（當(dāng)且僅當(dāng)氣球內(nèi)氣體體積大于時(shí)，氣球被吹破）．若甲有必勝策略，則記；若乙有必勝策略，則記．當(dāng)，4，…，9時(shí)，可以驗(yàn)證，．一般地，猜想：當(dāng)時(shí)，．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立．當(dāng)，8，9時(shí)，由試驗(yàn)知結(jié)論成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍皟纱渭住⒁掖等氲臍怏w體積只能是甲1毫升、乙2毫升，在第三次時(shí)甲只需吹入1毫升氣體，即轉(zhuǎn)化為的情形，由數(shù)學(xué)歸納法，最終甲是贏家，故．所以，當(dāng)時(shí)，甲有策略使自己成為最終的贏家．7．設(shè)，，.證明：（1）存在常數(shù)，使得對任意正整數(shù)，有.（2）對任意正整數(shù)，有.【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】（1）記.則，，.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意的正整數(shù)，有.當(dāng)時(shí)，.設(shè).則.結(jié)論成立.于是，取，對任意正整數(shù)，有.（2）由（1）得.記.則，.于是，對任意的正整數(shù)，.因此，當(dāng)時(shí)，.又當(dāng)時(shí)，，故對任意的正整數(shù)，有.8．集合，，.若集合中的所有元素都能用中不超過9個(gè)的不同元素相加表示，求，并構(gòu)造達(dá)到最小時(shí)對應(yīng)的一個(gè)集合.【答案】，為滿足條件的集合.【詳解】設(shè).依題意應(yīng)有.注意到，，，.故.下面證明：滿足條件.1.首先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意的，可以表示成中至多個(gè)不同元素之和.當(dāng)時(shí)，對任意的，由二進(jìn)制知識知.其中，或1，不全為1，.即可表示成中至多4個(gè)不同元素之和.假設(shè)時(shí)，命題成立.當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)易知，當(dāng)時(shí)命題成立；當(dāng)時(shí)，.由歸納假設(shè)，可以表示成中至多個(gè)不同元素之和，故可以表示成中至多個(gè)不同元素之和.2.對，取，使得.若，則，矛盾.若，則，同1知可表示成中至多3個(gè)不同元素之和.故可表示成中至多9個(gè)不同元素之和.若則，由1知可表示成中至多個(gè)不同元素之和.故可表示成中至多個(gè)不同元素之和.3.對，則.取，使得，從而，.由1知可表示成中至多個(gè)不同元素之和.故可表成中至多個(gè)不同元素之和.綜上，，為滿足條件的集合.9．對于一個(gè)m行n列的數(shù)表，用表示數(shù)表中第i行第j列的數(shù)，（；）．對于給定的正整數(shù)t，若數(shù)表滿足以下兩個(gè)條件，則稱數(shù)表具有性質(zhì)：①，；②．(1)以下給出數(shù)表1和數(shù)表2．?dāng)?shù)表111101000011110100001111010000數(shù)表2（i）數(shù)表1是否具有性質(zhì)？說明理由；（ii）是否存在正整數(shù)t，使得數(shù)表2具有性質(zhì)？若存在，直接寫出t的值，若不存在，說明理由；(2)是否存在數(shù)表具有性質(zhì)？若存在，求出m的最小值，若不存在，說明理由；(3)給定偶數(shù)，對每一個(gè)，將集合中的最小元素記為．求的最大值．【答案】(1)（i）數(shù)表1不具有性質(zhì)，理由見解析；（ii）存在．.(2)不存在，理由見解析(3)．【分析】（1）根據(jù)數(shù)表具有性質(zhì)的定義，可判斷（i）中數(shù)表1不具有性質(zhì)，（ii）中數(shù)表當(dāng)時(shí)滿足條件，即得答案；（2）假設(shè)存在m使得數(shù)表具有性質(zhì)，根據(jù)題意可推出任意兩行中，1的個(gè)數(shù)的奇偶性相同，與數(shù)表第一行有2023個(gè)1，最后一行有0個(gè)1矛盾，可得結(jié)論；（3）定義行n列的數(shù)表，滿足設(shè)定的條件其第i行第j列為，（），在其條件下先證明，再證時(shí)，，綜合可得，，從而得的最大值的為．【詳解】（1）（i）數(shù)表1不具有性質(zhì)．理由：．（ⅱ）存在．由圖表可知，故時(shí)，數(shù)表2具有性質(zhì)．（2）不存在數(shù)表具有性質(zhì)．假設(shè)存在m使得數(shù)表具有性質(zhì)，則．即在這兩行中，有6列的數(shù)不同，設(shè)其中有k列是第i行的數(shù)為1，第行的數(shù)為0，則有列是第i行的數(shù)為0，第行的數(shù)為1，所以，從第i行到第行，一共增加了個(gè)1，1的個(gè)數(shù)的奇偶性不變．所以，任意兩行中，1的個(gè)數(shù)的奇偶性相同，與數(shù)表第一行有2023個(gè)1，最后一行有0個(gè)1矛盾，所以，不存在具有性質(zhì)的數(shù)表．（3）的最大值的為．定義行n列的數(shù)表：其第i行第j列為，（），則，且表示，兩數(shù)相同，表示，兩數(shù)不同．因?yàn)閿?shù)表的第1行確定，所以給定數(shù)表后，數(shù)表唯一確定．①先證．按照如下方式，構(gòu)造數(shù)表：對于第行和第2s行，，令，，，，且在這兩行其余的列中，任選相同的列都為1，其他列都為0，于是可得到具有性質(zhì)的數(shù)表如下：第1列第2列第3列第4列第n－1列第n列第1行1111…11第3行0011…11第5行0000…11…第行0000…00即對于每個(gè)，當(dāng)時(shí)，都存在數(shù)表具有性質(zhì)．所以．②再證時(shí)，．記（）．因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以與的奇偶性不相同（）．因?yàn)椋?，所以m是奇數(shù)．考慮的第i行和行，因?yàn)椋赃@兩行中都有列為1，1列為0．若這兩行相同，則數(shù)表的第i行和第行相同，．若這兩行不同，設(shè)其分別在第p，q列為0，則數(shù)表的第i行和第行只在第p，q列上不同，其他列都相同，．因?yàn)?，，其中n是偶數(shù)．所以，所以，即．結(jié)合①，．綜上所述，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于數(shù)表新定義的問題，涉及到歸納推理的思想方法，對學(xué)生的思維能力要求較高，綜合性強(qiáng)，能很好地考查學(xué)生的綜合素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是要理解新定義，根據(jù)其定義解決問題.10．如圖所示，，，…，，…是曲線（）上的點(diǎn)，，，…，，…是x軸正半軸上的點(diǎn)，且，，…，，…均為等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.【詳解】（1）依題意，有，得.由，得，即，由可得，，，猜測.證明：（ⅰ）當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有，則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)得，即得，即，解得（不合題意，舍去）.即當(dāng)時(shí)，命題也成立.由（ⅰ）、（ⅱ），對所有，；（2）.【點(diǎn)睛】用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，證明的過程中，一定要用上時(shí)的結(jié)論.11．在一張無限大的方格表上的每個(gè)方格中填有一個(gè)實(shí)數(shù)．已知任意一個(gè)由格線構(gòu)成的正方形中的數(shù)之和的絕對值不超過1．證明：任意一個(gè)由格線構(gòu)成的矩形中的數(shù)之和的絕對值不超過4．【答案】證明見解析.【詳解】反證法．假設(shè)有一個(gè)由格線構(gòu)成的矩形中的數(shù)值和的絕對值為．設(shè)其兩邊長為a，b且，則顯然，否則該矩形可以切割成兩個(gè)小正方形，兩個(gè)小正方形中數(shù)之和的絕對值均不超過2，從而矩形中的數(shù)值和不超過2，矛盾.（1），設(shè)．不妨設(shè)，對有．同理，．而，于是，于是．同理，．又，因此，故，并且這是一個(gè)的矩形中數(shù)之和．（2），不妨設(shè)．由，于是，于是．又，即，于是．同理．從而，且這是一個(gè)的矩形．從而綜合（1），（2）可知，如果有矩形中數(shù)之和絕對值為，則．且時(shí)存在一個(gè)的矩形中數(shù)之和絕對值至少時(shí)存在一個(gè)矩形中數(shù)之和絕對值至少．考慮：,令．我們說明存在正整數(shù)，時(shí)都滿足③，注意到如果滿足③，那么易知也滿足③．因此，若前述斷言不成立，則都不滿足③，從而易知，注意到，因此數(shù)列是單調(diào)遞增有界正整數(shù)數(shù)列，矛盾．于是前述斷言成立．我們不妨設(shè)滿足③，那么注意到．從而，即存在一個(gè)邊長為、的矩形中各方格中實(shí)數(shù)和絕對值至少，而這個(gè)矩形可以劃分成個(gè)邊長為的正方形，從而其各方格中實(shí)數(shù)和絕對值至多，于是，令，矛盾．綜上所述，假設(shè)不成立，原命題得證．12．已知集合，其中．對于，，定義與之間的距離為．（1）記，寫出所有使得；（2）記，、，并且，求的最大值；（3）設(shè)，中所有不同元素間的距離的最小值為，記滿足條件的集合的元素個(gè)數(shù)的最大值為，求證：．【答案】（1）的所有情形有：、、、；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題中定義可得的所有情形；（2）分、兩種情況，利用絕對值三角不等式可求得的最大值；（3）設(shè)是滿足條件的最大集合，即中的元素個(gè)數(shù)為，，記集合，分析出中的元素個(gè)數(shù)為，利用反證法可得出集合有個(gè)元素，從而推出矛盾，進(jìn)而可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）已知，，且，所以，的所有情形有：、、、；（2）設(shè)，，因?yàn)?，則，同理可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，時(shí)，上式等號成立.綜上所述，；（3）設(shè)是滿足條件的最大集合，即中的元素個(gè)數(shù)為，所以，、且，，，記集合，那么中的元素個(gè)數(shù)為，對于中的任意元素，都存在，使得，若不然，假設(shè)存在，都有，那么集合中所有不同元素間的距離的最小值為，且中有個(gè)元素，這與的最大性矛盾.所以中的每個(gè)元素必與中某個(gè)元素間的距離不超過.從而，所以，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：（1）緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之外用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).13．設(shè)為正整數(shù)，如果表達(dá)式同時(shí)滿足下列性質(zhì)，則稱之為“交錯(cuò)和”.①，；②；③當(dāng)時(shí)，（）；④規(guī)定：當(dāng)時(shí)，也是“交錯(cuò)和”.（1）請將7和10表示為“交錯(cuò)和”；（2）若正整數(shù)可以表示為“交錯(cuò)和”，求證：；（3）對于任意正整數(shù)，判斷一共有幾種“交錯(cuò)和”的表示方法，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）或；或；（2）證明見解析；（3）兩種，證明見解析.【分析】（1）按照交錯(cuò)和定義列舉出來即可；（2）假設(shè)，利用反證法證明；（3）首先證明，再證明僅有或兩種交錯(cuò)和表示，最后證明時(shí)，n均只有兩種交錯(cuò)和表示.【詳解】（1）或，或（2）假設(shè)，當(dāng)時(shí)，，這與“n是正整數(shù)”矛盾！當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，這與“n是正整數(shù)”矛盾！故.(3)①首先使,若必有，這是因?yàn)槿簦徽搈為奇數(shù)或偶數(shù)，由正負(fù)交錯(cuò)，矛盾，所以.②時(shí)，僅有或兩種交錯(cuò)和表示.(i)當(dāng)n=1時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)1=1,均為交錯(cuò)和表示，且由①知，所以1僅有1=1或兩種交錯(cuò)和表示.(i)假設(shè)僅有或兩種交錯(cuò)和表示，又因?yàn)榛驗(yàn)榈膬煞N交錯(cuò)和表示，假設(shè)又不同于上述兩種交錯(cuò)和的新表示，因?yàn)闉榕紨?shù)，所以,所以為的不同于或的交錯(cuò)和表示，與假設(shè)矛盾,所以或?yàn)榈奈ǘ诲e(cuò)和表示.③時(shí)，n均只有兩種交錯(cuò)和表示.(i)當(dāng)n=3時(shí)，3=-1+4或3=1-2+4為3的兩種交錯(cuò)和表示，又由①知，且均不成立，所以3的交錯(cuò)和僅上述兩種.(ii)假設(shè)對于，n均只有兩種交錯(cuò)和表示，對于，因?yàn)椋渲?所以由歸納假設(shè)及②知僅兩種交錯(cuò)和交錯(cuò)和表示，且的交錯(cuò)和表示中相應(yīng)的(由①可得)，所以此時(shí)已有兩種交錯(cuò)和表示，若l還有其他不同的交錯(cuò)和表示，此表示對應(yīng),所以也有第三種交錯(cuò)和表示，與假設(shè)矛盾，所以，l僅有兩種交錯(cuò)和表示.綜上，有兩種交錯(cuò)和表示.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題時(shí)要緊扣交錯(cuò)和的定義，理解交錯(cuò)和的表示，綜合運(yùn)用分類討論，反證法，遞推關(guān)系去證明，屬于困難題.14．是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意的，都有；②存在常數(shù)，使得對任意的，都有.（1）設(shè)，問是否屬于？說明你的判斷理由；（2）若，如果存在，使得，證明這樣的是唯一的；（3）設(shè)為正實(shí)數(shù)，是否存在函數(shù)，使？作出你的判斷，并說明理由.【答案】（1）是，詳見解析（2）詳見解析（3）詳見解析【分析】（1）根據(jù)定義逐一驗(yàn)證，即求函數(shù)在上值域，再判斷是否為子集；根據(jù)不等式尋找滿足條件的常數(shù)；（2）利用反證法，假設(shè)存在兩個(gè)，根據(jù)條件得到，即假設(shè)不成立，原命題成立；（3）先根據(jù)條件①解不等式確定，再根據(jù)條件②利用恒成立轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值，再解不等式確定.的條件由確定.【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以；，所以存在常數(shù)，使得對任意的，都有，綜上屬于；（2）設(shè)存在，滿足，因?yàn)椋源嬖诔?shù)，使得，即，與矛盾，因此滿足條件的是唯一的；（3）假設(shè)存在，則因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以，因此；存在常數(shù)，使得對任意的，都有，，所以，因?yàn)橐虼藦亩串?dāng)時(shí)存在函數(shù)，使；否則不存在.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義、反證證以及恒成立問題，考查綜合分析求解與論證能力，屬難題.15．已知，給定個(gè)整點(diǎn),其中.（Ⅰ）當(dāng)時(shí),從上面的個(gè)整點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的整點(diǎn)，求的所有可能值；（Ⅱ）從上面?zhèn)€整點(diǎn)中任取個(gè)不同的整點(diǎn)，.（i）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足,；（ii）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足,.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）詳見解析；（ii）詳見解析.【解析】（Ⅰ）列出所有的整點(diǎn)后可得的所有可能值.（Ⅱ）對于（i），可用反證法，對于（ii），可設(shè)直線上選擇了個(gè)的點(diǎn)，計(jì)算可得諸直線上不同兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和的不同個(gè)數(shù)的最小值為，結(jié)合中任意不同兩項(xiàng)之和的不同的值恰有個(gè)可得至少有一個(gè)和出現(xiàn)兩次，從而可證結(jié)論成立.【詳解】解:（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，4個(gè)整點(diǎn)分別為.所以的所有可能值.

（Ⅱ）（i）假設(shè)不存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足.即在直線中至多有一條直線上取多于1個(gè)整點(diǎn)，其余每條直線上至多取一個(gè)整點(diǎn)，此時(shí)符合條件的整點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為.而，與已知矛盾.故存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足.（ii）設(shè)直線上有個(gè)選定的點(diǎn).若，設(shè)上的這個(gè)選定的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且滿足.由，知中任意不同兩項(xiàng)之和至少有個(gè)不同的值，這對于也成立.由于中任意不同兩項(xiàng)之和的不同的值恰有個(gè)，而,可知存在四個(gè)不同的點(diǎn)，滿足.【點(diǎn)睛】本題考查集合中的計(jì)數(shù)問題，對于存在性問題，可從反面討論或從不同和的個(gè)數(shù)切入，本題類似于組合數(shù)學(xué)的抽屜原理，本題競賽味濃烈，屬于難題.16．如圖，將一個(gè)正三角形的每一邊都等分后，過各分點(diǎn)作其它兩邊的平行線形成一個(gè)三角形網(wǎng).記為n等分后圖中所有梯形的個(gè)數(shù).（1）求的值；（2）求的表達(dá)式.【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）直接作出圖形，分別求得的值即可；（2）先分清楚梯形分別有正放和反放兩張情況，分別求得他們的個(gè)數(shù)，可得總個(gè)數(shù)，再利用排列組合數(shù)和n為奇數(shù)偶數(shù)，進(jìn)行化簡，可得最后結(jié)果.【詳解】（1）直接作出圖形，然后輸出n=2，；n=3，（2）顯然這些梯形分為三大類，第一類是水平放置的，這一類逆時(shí)針或者順時(shí)針轉(zhuǎn)得到另外兩大類，這三大類的梯形的個(gè)數(shù)顯然是一樣多的，所以現(xiàn)在只要求第一類的個(gè)數(shù).而第一大類的梯形又分為兩類，一類是正放的（上底小于下底），另一類是倒置的（上底大于下底）.1.下面先求正放的個(gè)數(shù).正放的梯形里，先求高度為一層的個(gè)數(shù)，最下面一層的總個(gè)數(shù)為：；再上面一層的這種梯形的個(gè)數(shù)為：；所以全部的一層高的梯形個(gè)數(shù)為：.下面再求高度為兩層的正放梯形，跟一層的求法完全一樣，只是項(xiàng)的個(gè)數(shù)不同.易有，高度為兩層的正放梯形總個(gè)數(shù)為：高度為三層的正放梯形總個(gè)數(shù)為：所以，全部正放的梯形的總個(gè)數(shù)為：2.下面再求倒置的梯形的個(gè)數(shù).一樣的，先求高為一層的總個(gè)數(shù)，最后為：.下面看高度為兩層的總個(gè)數(shù)：的情形最下面兩層的高度為兩層的個(gè)數(shù)為：稍上兩層的高度為兩層的個(gè)數(shù)為：.所以高度為兩層的倒置梯形總個(gè)數(shù)為：依此，高度為三層的倒置梯形的總個(gè)數(shù)為：.所以，所有的倒置的梯形的總個(gè)數(shù)為：上面的和式，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)以結(jié)尾，而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)以結(jié)尾.3.綜上所述，全部的梯形個(gè)數(shù)為：4.下面來簡化這個(gè)式子.令（當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)以結(jié)尾，而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)以結(jié)尾）易于計(jì)算：.將兩相鄰兩項(xiàng)合并后求和.i.當(dāng)n模4余2時(shí)：ii.當(dāng)n模4余0時(shí)：綜合i、ii得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：iii.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由于，所以有：綜上所述，得：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.而n為奇數(shù)時(shí)，；n為偶數(shù)時(shí)，所以，兩式可以合并為.即：，其中表示t的整數(shù)部分.【點(diǎn)睛】本題考查了推理、歸納總結(jié)，首先要熟悉組合數(shù)的化簡、數(shù)列的遞推、計(jì)算的仔細(xì)等能力，屬于難題.17．在個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表中，表示第行第列的數(shù)，記．，若，0，，且，，，，，，，，兩兩不等，則稱此表為“階表”，記，，，，，，，．(1)請寫出一個(gè)“階表”；(2)對任意一個(gè)“階表”，若整數(shù)，且，求證：為偶數(shù)；(3)求證：不存在“階表”．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用“階表”的概念，由題意能寫出一個(gè)“2階表”．（2）對任意一個(gè)“階表”，表示第行所有數(shù)的和，表示第列所有數(shù)的和，，推導(dǎo)出，從而，由此能證明為偶數(shù)．（3）假設(shè)存在一個(gè)“階表”，則5，，3，，且和至少有一個(gè)成立，推導(dǎo)出假設(shè)不成立，由此能證明不存在“5階表”．【詳解】（1）解：由題意寫出一個(gè)“階表”如下：（2）證明：對任意一個(gè)“階表”，表示第行所有數(shù)的和，表示第列所有數(shù)的和，，與均表示數(shù)表中所有數(shù)的和，，，0，，，，，，，，，只能取，內(nèi)的整數(shù)，，，，，，，，互不相等，，，且，，，，，，，，，，，，0，1，，，，，為偶數(shù)．（3）證明：假設(shè)存在一個(gè)“階表”，則由（2）知，，，，且和至少有一個(gè)成立，不妨設(shè)，設(shè)，，則，，，，可設(shè)，，，①若3是某列的和，，只能是某前四列的和，不妨設(shè)是第一列，即，現(xiàn)考慮，只能是或，不妨設(shè)，即，由，，兩兩不等知，，兩兩不等，不妨設(shè)，，，若，則，若，則，若，則，均與已知矛盾．②若3是某行的和，不妨設(shè)，則第4行至少有3個(gè)別，若這3個(gè)1是前四個(gè)中的某三個(gè)數(shù)，不妨設(shè)，則前五行前三個(gè)數(shù)只能是3個(gè)不同的數(shù)，不妨設(shè)，，，則矛盾，故第四行只能前四個(gè)數(shù)有2個(gè)1，第五個(gè)數(shù)為1，不妨設(shè)，，，第5行只能是2個(gè)0，3個(gè)或1個(gè)1，4個(gè)，則，，至少兩個(gè)數(shù)相同，不妨設(shè)，則，與已知矛盾．綜上，不存在“階表”．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題是新定義概念題，正確理解“階表”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)“階表”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．注意由特殊到一般的思想方法和反證法的應(yīng)用．本題需要較強(qiáng)的邏輯推理能力．18．已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足，．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（2）證明：；（3）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．【答案】（1）見解析;（2）見解析;（3）見解析.【詳解】