10.1.3古典概型

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）理解古典概型的概念及特點(diǎn).（2）掌握利用古典概型概率公式解決簡(jiǎn)

單的概率計(jì)算問(wèn)題.

題型1古典概型的定義

【問(wèn)題探究1】試驗(yàn)1：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，觀察朝上的面.

試驗(yàn)2：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，觀察可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

試驗(yàn)3：一只袋子中放入3個(gè)黑球、2個(gè)綠球和1個(gè)紅球，所有球除顏色外一切相同,

從袋子中任意摸出1個(gè)球，觀察可能出現(xiàn)的結(jié)果.（用數(shù)字〃表示摸到的球號(hào)）

請(qǐng)大家仔細(xì)閱讀試驗(yàn)1、試驗(yàn)2、試驗(yàn)3,并完成下面的表格.

樣本空間樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性

試驗(yàn)1

試驗(yàn)2

試驗(yàn)3

請(qǐng)觀察上面的表格，找出這三個(gè)試驗(yàn)有什么共同特點(diǎn)？

例1下列概率模型是古典概型嗎？為什么？

（1）從區(qū)間［1,10］內(nèi)任意取出一個(gè)實(shí)數(shù)，求取到實(shí)數(shù)2的概率；

（2）向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣，求正面朝上的概率；

⑶從1,2,3,…，100這100個(gè)整數(shù)中任意取出一個(gè)整數(shù)，求取到偶數(shù)的概率.

：判斷試驗(yàn)是不是古典概型，關(guān)鍵看是否符合兩大特征：有限性和等可能性.

跟蹤訓(xùn)練1下列試驗(yàn)中是古典概型的是()

A.在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽

B.口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一球

C.向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，觀察該點(diǎn)落在圓內(nèi)的位置

D.射擊運(yùn)動(dòng)員向一靶心進(jìn)行射擊，試驗(yàn)結(jié)果為命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中。環(huán)

題型2古典概型概率的計(jì)算

【問(wèn)題探究2】一個(gè)班級(jí)中有18名男生，22名女生.采用抽簽的方式，從中隨機(jī)選

擇一名學(xué)生，事件4=“抽到男生”，如何度量事件4發(fā)生的可能性大小？

例2口袋內(nèi)有紅、白、黃大小完全相同的三個(gè)小球，求：

(1)從中任意摸出兩個(gè)小球，摸出的是紅球和白球的概率；

(2)從袋中摸出一個(gè)后放回，再摸出一個(gè)，兩次摸出的球是一紅一白的概率.

一題多變1本例前提條件不變，若從袋中摸出一個(gè)后放回，再摸出一個(gè)，求第一次摸

出紅球，第二次摸出白球的概率.

一題多變2本例前提條件不變，若從袋中依次無(wú)放回地摸出兩球，求第一次摸出紅球,

第二次摸出白球的概率.

題后師說(shuō)

求古典概型概率的一般步驟

跟蹤訓(xùn)練2有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5

支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()

題型3古典概型概率的綜合應(yīng)用

例32023年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式在北京國(guó)家體育場(chǎng)隆重舉

行，本屆北京冬奧會(huì)的主題口號(hào)一一“一起向未來(lái)”，某興趣小組制作了寫有

“一”“起”“向”“未”“來(lái)”的五張卡片.

(1)若采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從中逐一抽取兩張卡片，寫出試驗(yàn)的樣本空間.

(2)該興趣小組舉辦抽卡片送紀(jì)念品活動(dòng)，有如下兩種方案：

方案一：活動(dòng)參與者采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從五張卡片中任意抽取一張，若抽到“向”或

“未”或“來(lái)”，則可獲得紀(jì)念品；

方案二:活動(dòng)參與者采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從五張卡片中逐一抽取兩張,若抽到“未”

或“來(lái)”，則可獲得紀(jì)念品.

選擇哪種方案可以有更大機(jī)會(huì)獲得紀(jì)念品？說(shuō)明理由.

解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確利用古典概型求出各種情況的概率,再進(jìn)行比較.

跟蹤訓(xùn)練3某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)方

法是：從裝有2個(gè)紅球4,4和1個(gè)白球6的甲箱與裝有2個(gè)紅球國(guó),也和2個(gè)白球打，也

的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).

（1）用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果.

（2）有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率.你認(rèn)

為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

隨堂練習(xí)

1.（多選）下列有關(guān)古典概型的說(shuō)法中，正確的是（）

A.試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限

B.每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等

C.每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等

D.已知樣本點(diǎn)總數(shù)為〃，若隨機(jī)事件"包含"個(gè)樣本點(diǎn)，則事件/發(fā)生的概率204）=人

n

2.一個(gè)盒子中裝有除顏色外其他都相同的5個(gè)小球，其中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，從

中任取一球，則取到紅球的概率為（）

1122

A.-B.-C.-D.-

2535

3.同時(shí)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，則“兩枚硬幣均為正面向上”的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4334

4.從2,3,4,5四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)相差為2的概率是.

課堂小結(jié)

1.古典概型的定義.

2.古典概型的概率公式.

3.利用古典概型的概率公式計(jì)算概率.

10.1.3古典概型

問(wèn)題探究1提示:

樣本空間樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性

試驗(yàn)1｛正面朝上，反面朝上｝p=-

2

試驗(yàn)2｛1,2,3,4,5,6)p=-

6

試驗(yàn)3｛黑1,黑2,黑3,綠1,綠2,紅｝p=-

6

樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)，每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

例1解析：（1）不是古典概型，因?yàn)閰^(qū)間［1,10］中有無(wú)限多個(gè)實(shí)數(shù)，取出的實(shí)數(shù)有無(wú)

限多種結(jié)果，與古典概型定義中“所有可能結(jié)果只有有限個(gè)”矛盾.

（2）不是古典概型，因?yàn)橛矌挪痪鶆驅(qū)е隆罢娉稀迸c“反面朝上”的概率不相等，

與古典概型定義中“每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同”矛盾.

（3）是古典概型，因?yàn)樵谠囼?yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，而且每個(gè)整數(shù)被抽到的

可能性相等.

跟蹤訓(xùn)練1解析：由古典概型的兩個(gè)特征易知B正確.

答案：B

問(wèn)題探究2提示：班級(jí)中共有40名學(xué)生，從中選擇1名學(xué)生，因?yàn)槭请S機(jī)選取的，

所以選到每個(gè)學(xué)生的可能性都相等，這是一個(gè)古典概型.

抽到男生的可能性大小，取決于男生數(shù)在班級(jí)學(xué)生數(shù)中所占的比例大小，因此，可以用

男生數(shù)與班級(jí)學(xué)生數(shù)的比值來(lái)度量.顯然，這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間中有40個(gè)樣本點(diǎn)，而

事件/="抽到男生”包含18個(gè)樣本點(diǎn)，因此，事件/發(fā)生的可能性大小為"=0.45.

40

例2解析：（1）任意摸出兩個(gè)小球的基本事件空間為｛（紅，白），（紅，黃），（白，黃）｝,

所以摸得紅球和白球的概率為點(diǎn)

（2）有放回地取球，基本事件空間為｛（紅，紅），（紅，白），（紅，黃），（白，白），（白，

紅），（白，黃），（黃，白），（黃，紅），（黃，黃）｝,摸出一紅一白包括（紅，白），（白，紅）2

個(gè)基本事件，所以摸得一紅一白的概率為|.

一題多變1解析：有放回地取球.樣本空間為｛（紅，紅），（紅，白），（紅，黃），（白，

白），（白，紅），（白，黃），（黃，紅），（黃，白），（黃，黃）｝,第一次摸出紅球，第二次摸

出白球，只包含（紅，白）一個(gè)樣本點(diǎn)，故所求概率為點(diǎn)

一題多變2解析：無(wú)放回地取球.樣本空間為｛（紅，白），（紅，黃），（白，紅），（白，

黃），（黃，紅），（黃，白）｝,所以第一次摸出紅球，第二次摸出白球的概率是g

6

跟蹤訓(xùn)練2解析：從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：（紅,

黃），（紅，藍(lán)），（紅，綠），（紅，紫），（黃，藍(lán)），（黃，綠），（黃，紫），（藍(lán)，綠），（藍(lán),

紫)，(綠，紫).而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠),

(紅，紫)共4種，故所求概率々2=：.故選C.

答案：C

例3解析：⑴用1,2,3,4,5,分別表示“一”“起”“向”“未”“來(lái)”五張卡

片，

荀，2,3,4,5),數(shù)組(xi,就表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，則該試驗(yàn)的樣本

空間。={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),

(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4)).

(2)采用方案一時(shí)，從五張卡片中采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從中任意抽取一張的樣本空間為{1,

2,3,4,5},且每個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型，事件4="抽到‘向‘

或‘未'或'來(lái)'"，/={3,4,5},則戶(力)=|.

采用方案二時(shí)，由(1)可得從五張卡片中采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從中任意抽取兩張共

有20個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型，事件8="抽到

‘未‘或'來(lái)'"，

6={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),

(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},

戶⑶

2010

因?yàn)楸R(㈤〈戶(6),所以選擇方案二可以有更大機(jī)會(huì)獲得紀(jì)念品.

跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)所有可能的摸出結(jié)果是：

(4,si),(4,a2),(4,61),(Ai,bi),(A,ai),(A,aj,(4,bj,(A,&),(B,

ai),(B,a),(B,Z?i),(B,tk).

(2)不正確.理由如下：

由(1)知，所有可能的摸出結(jié)果共有12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為：(4,

ai),(4,(12))(4,31),(4,a?)共4種，